第五章 獨立董事社會網路
第二節 網路之模型
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第八款 簡單網路
如果一網路的節點之間最多只有一條連線且節點沒有自我連線，則稱該網 路為簡單網路。觀察圖一，任兩節點之間若有連線，則至多只有一條連線，且 沒有節點的自我連線(如節點 2 連線到節點 2 本身)，因此圖一屬於簡單網路。
第九款 群聚係數
在無向的簡單網路中，若一節點的度數為 K，則該節點共和 K 個不同的節 點相連，而這 K 個節點之間最多可能出現 K(K-1)/2 條連線(以排列組合觀點說 明：欲從該 K 個節點中任意選擇 2 個節點，則共有 K(K-1)/2 種組合之選擇)，如 果在實際網路中這 K 個節點之間有 M 條連線，則稱節點 A 的群聚係數為 M /(K(K-1)/2)。觀察圖一，節點 1 的群聚係數為 1；節點 2 的群聚係數無法定義(因 其分母 K(K-1)/2 等於 0)；節點 3 的群聚係數為 1；節點 4 的群聚係數為 1/3；節 點 5 的群聚係數無法定義(因其分母 K(K-1)/2 等於 0)。
第十款 連通與成分
若兩個節點之間可藉由路徑到訪，則稱這兩節點是連通的，反之則為不連 通。此時可定義同「成分」的節點之間都是連通的，不同成分的節點彼此之間 都是不連通的。觀察圖一，節點 1 和節點 2 是不連通的，而節點 1 和節點 5 是 連通的，且節點 1、節點 3、節點 4、節點 5 屬於同一成分。
第二節 網路之模型
第一項 正則網路與隨機網路
正則網路是指圖的每個節點的度數皆為定值 n，且每個節點都與最接近的 n 個節點連線，如圖二為度數 4 的正則圖，可以發現每一節點，不論在圓的哪個 位置，都和最近的四個節點連線。
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圖二：度數 4 的正則圖
與正規網路不同，在隨機網路之中，節點之間是隨機連結的，和節點之間 的距離無關。在研究的過程中，通常需先確定網路之中共有多少節點。不妨先 假設有一個網路共有 1000 個節點，接著開始隨機選取任兩個節點連線，便可以 建造出一個有 1000 個節點的隨機網路。
在隨機網路裡，若節點 1 和節點 2 連線且節點 1 也和節點 3 連線，則節點 2 和節點 3 之間是否連線，完全視該網路連線的總數量(連線密度)而定，與節點 2 和節點 3 共同相鄰的節點 1 完全無關。因此在該網路的連線總數量較小的情 況下，擁有共同相鄰節點的兩個節點很有可能彼此不相鄰，故整體群聚度是較 低的。換句話說，任意兩節點是否相鄰只與連線密度有關，與是否擁有共同相 鄰節點無關。
也因為隨機網路節點之間隨機連結的特性，物理上距離較遠的節點對之間 連結的機率，和距離較小的節點對之間連結的機率是相同的。所以任意取兩個 節點，其平均路徑長度是較低的。而觀察隨機網路的節點之度數，由於節點的 連結機率是為隨機，故在節點度數的分配將會是符合波松分配(Poisson)的，亦 即大多數節點所擁有的度數皆較集中於平均度數(所有節點的度數相加後除以節 點數目)，度數特別多或是特別少的節點則較不會出現。
在隨機圖中，有一個有趣的性質，深為數學家所著迷，同樣先假設一個圖 有 1000 個節點，接著開始隨機連線以建造隨機圖，先前定義成分是一個可連線 到訪的節點集合，同一成分中的節點表示彼此間可以互相到訪。數學家發現，
當隨機圖的平均度數大於 1 之後，圖中的最大成分內含的節點數占圖所有節點 數，會突然劇烈地上升，如圖所示，這樣的最大成分，稱之為巨大成分(giant component)。也就是說，在有 1000 個節點的隨機圖中，到了第 500 條連線(每 條線會連接兩個節點)後，巨大成分就突然湧現(emerge)了。
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圖三：隨機網路巨大成分的湧現，圖片來源：同註 50
第二項 小世界網路
第一款 社會學上的小世界現象
做過電擊實驗的社會心理學家 Milgram 後來離開耶魯轉到哈佛大學任教，
他在 1967 年於哈佛大學進行了著名的小世界實驗。他在美國中西部隨機選取受 測者，請求其將信件寄給遠方麻州的某一個不認識的人，受測者應先將信件寄 給一個認識的朋友，再要求朋友轉寄下去，直到目標。Milgram 分析成功到達 的信件，發現平均只需要六個人就能串連起任意兩個不認識的人，這就是所謂 的「小世界」。
從此之後，「小世界現象」在社會學研究中被廣泛討論。社會學者常用小世 界現象來表示兩個人之間擁有共同的朋友，或者兩個人之間的社會網路路徑很 短。例如甲的表親是乙公司隔壁部門的主管，當甲乙初次相遇，發現彼此的聯 繫後，常會不自覺地說：「哇！這是世界真小啊！」
第二款 物理學者發現小世界網路
在 1998 年以前，科學界通常使用正則網路或隨機網路來模擬神經傳導、食 物鏈、螢火蟲同步發光等網路。
自然界的網路大部分都很稀疏，節點不太可能和其他節點都有連線，稀疏 正則網路的特色是群聚係數高、平均路徑長；稀疏隨機網路則群聚係數低、平 均路徑短。
物理學者 Watts 和 Strogatz 在 1998 年發現：只要將正則網路的極少數連線 隨機重連(rewire)，就能夠大幅降低該網路的平均距離，同時維持該網路群聚係
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數幾乎不改變51。
以全世界六十億人為節點的圖為例，若每個人都與身邊最親近的五十人連 線，則形成度數 50 的正則圖。正則圖的群聚係數很高，這表示如果這是一個友 情社會網路圖，那麼甲的朋友乙(甲乙有連線)和甲的朋友丙(甲丙有連線)，彼此 之間應該也是朋友(乙丙有連線)，和人們的實際生活經驗相仿，臉書也藉這樣的 方式推薦使用者互加為好友。這個正則友情社會網路圖，任意兩個人的距離平 均是六千萬。不過，若加入一些隨機連結，平均距離會劇烈下降：在每一萬的 連結中加入兩條連線，平均距離會從六千萬降到 8；若是每一萬條加入三條隨 機連線，則會降到 5。這些隨機連線對於圖的平均距離有「非線性」的作用，
一點隨機連線就會影響網路劇烈。又由於隨機連線的數目非常少，這對原圖的 群聚係數幾乎沒有影響。學者就則使用「小世界網路」來描述這樣平均路徑較 短、群聚度較高的網路型態。
簡而言之，小世界網路是介於隨機網路及正規網路之間的網路型態：小世 界網路的群聚度明顯的比隨機網路來的高，如同正規網路一樣；而平均路徑又 比正規網路來的短，就和隨機網路差不多。若一網路同時具有正規網路的高群 聚度及隨機網路的短平均路徑，則稱該網路具有小世界網路之特性。
以用數學的語言來說：在一正則網路中，若其共有 n 個節點，每個節點有 k 個連線(度數為 k)，則在 n>>k>>ln(k)>>1 的情況下時，若將正規網路的連線隨 機重連(重連的機率為 p，p 略大於 0 即可)，便可以建造出群聚度高且平均路徑 短的小世界網路。
圖四：建造小世界網路 資料來源：同註 51
51 Watts, D.J. and Strogatz, S. ‘Collective Dynamics of “Small World” Networks’, Nature 393: 440–
2(1998).
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會網路圖，結果是出現的一個巨大成分(giant component)53。學者因此認為，這些點頭之交扮演著橋梁的作用，在社會網路中具有關鍵
52 Mark Buchanan, Nexus: Small Worlds and the Groundbreaking Theory of Networks, #596, W. W.
Norton & Company(2003), Kindle Edition.
53 Id., at #612.
54 Id., at #630.
55 Davis, G.F. and M. Yoo and W.E. Baker , ‘The Small World of the Corporate Elite, 1982-2001’, Strategic Organization, pp. 301–26(2003).
56 Martin J. Conyon and Mark R. Muldoon, The Small World of Corporate Boards, Journal of Business Finance & Accounting, 33(9) & (10), 1321–1343(2006).
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director)，則稱此二節點有連結。這些文獻都發現小世界網路出現董事社會網路 和董事會社會網路當中，和物理學家 Watts 與 Strogatz 表示實際生活中的許多 真實網路都應當都是小世界網路的說法相符。
這些研究顯示，不論從時間的尺度來觀察，還是國家的分野來觀察，小世 界網路都普遍出現。有文獻認為，從 1980 年到二十一世紀，歷經各公司的興 衰、美國董事會機能的變更及公司治理法制的更迭，董事社會網路都呈現小世 界網路的現象值得注意，這樣的強固性(robustness)可能是在表示：除非完全禁 止兼任董事的存在，否則董事社會網路將維持小世界網路的態樣57。