第二章 文獻回顧
2.3 投資組合績效評估
σ
p：投資組合 P 的變異數 Σ ：N 個資產的共變異數矩陣L
：投資人可以忍受的風險上限投資組合理論主要是在述說，投資人在一定可忍受的風險水準之下，希望找到使 報酬最大的資產配置；或在一定的期望報酬之下，可以找到風險最低的投資組合。
將這些可能的投資組合繪於圖上並連成一條線，即是效率前緣(efficient frontier)，
而落在效率前緣上的投資組合皆是最佳的，然而，投資人的最佳資產配置會因著 個人的風險厭惡程度不同而有所差異，積極型的投資人，可能會選擇高風險高報 酬的資產配置；保守型的投資人則相對會選擇風險較低的投資組合。此理論給予 投資人一套選取最佳資產配置的系統，本文在第三章會利用這個理論的概念來試 著發展投資策略所對應的效用函數，並於第四章以模擬的方式比較投資策略的表 現。
2.3 投資組合績效評估
由於市場不可能隨時處於有效率的狀態，有些投資組合的表現會優於其他組 合，因而需要設計一些方法來評估投資組合的績效，藉以判斷投資組合的表現。
以下介紹常見的幾種評估投資組合績效的方法，一個投資組合只要能夠為其所承 擔的每一單位風險獲得較高的報酬，就是一個比較好的投資組合(周行一，2000)。
Yen(2012)提到幾個衡量投資組合表現的指標，例如周轉率、投資組合之淨報酬 等。王堃峰(2005)以投資策略的角度來探討基金績效的問題，引用 Treynor(1965)、
Sharpe(1966)及 Jensen(1968)為績效衡量的指標。
2.3.1 期望報酬
當投資人做投資組合時，無論持有期間多長，皆是希望該投資組合期末的期 望報酬最大，因而平均期望報酬最佳之投資組合，就是投資人比較嚮往的投資組 合。
2.3.2 夏普指數
Sharpe(1966)認為在評估投資組合績效時，需考慮風險與報酬的關係，而傳 統根據投資組合平均報酬來評估績效之方式，忽略了風險且過於簡化。因此 Sharpe 在考慮了投資組合的報酬與風險後，建立了一由報酬與風險決定的績效指 標，其所建立的評估指標如下，用來衡量承擔每單位風險所能額外得到的平均報 酬。
Sharpe ratio =E�Rp� − Rf
σp 其中E(Rp)：投資組合預期報酬率
Rf：無風險利率
σp：投資組合的標準差
夏普指數乃由諾貝爾獎得主夏普博士於 1960 年代提出，其做法是將股票或基金 在某一期間的報酬減去在此期間的無風險證券的報酬，再除以該股票或基金在此 期間的標準差。夏普指數所代表的意義為相對於無風險投資（例如投資國庫券）， 投資人所承擔每一單位風險，投資標的所創造的「超額報酬」。該指數愈高，表 示投資組合每承受一單位風險所額外得到的報酬愈大。
2.3.3 周轉率
Yen(2012)利用投資組合的周轉率來衡量投資組合的績效，其模型假設為：
給定資產i在時間t的最佳權重w�i,t∗，且Ri,t+1為資產i在時間t + 1之報酬，用過去 N 天的最佳投資比例來預測 N+1 天的報酬如下：
14
R�oos,p,t+1= � w�i,t∗ Ri,t+1
N
i=1
因而可以得到資產i在時間t和時間t + 1之周轉率如下：
TORi,t+1= |w�i,t∗ − w�i,t−1∗ �1 + Ri,t� (1 + R�oos,p,t)|
投資組合在時間t + 1之周轉率為每個資產在時間t和時間t + 1之周轉率的和，如 下：
TORp,t+1 = � TORi,t+1
N
i=1
2.3.4 投資組合之淨報酬
Yen(2012)將投資的交易費考慮進來，提出用投資組合在時間t + 1 時的樣本外投資組合淨報酬來評估投資組合績效，如下：
R�oos,p,t+1net = �1 − εTORp,t+1� × �1 + R�oos,p,t+1� − 1
2.3.5 活躍資產的比例(PAC)
資產之間相類似的情況會影響投資組合的表現，因而提出在
時間t時，有投資的資產個數佔全部資產的比例，利用這個指標來評估投資績效 Yen(2012)，如下：
PACt = �S�t+∪ S�t−� N 其中 S�t+ = �i：w�i,t∗ > 0�
S�t− = �i：w�i,t∗ < 0�
但又怕投資人太過專注於某些特定的資產，因而給予一個處罰項，並提出 adjusted normalized Herfindahl-Hirschman Index(ANHHI)在時間t為
ANHHIt =HHIt− 1|S�t| 1 − 1
|S�t|
其中 HHIt= ∑ (∑�w��wi,t∗��2
i,t∗ �)2 Ni=1
Ni=1 =�|w�t∗|�2
2
��w�t∗��
1
2 S�t = �i：w�i,t∗ ≠ 0�
最後也定義一個在時間t 的shortsales-long ratio，投資組合中短部位佔長部位的比 例，此指標可以幫助看活躍資產的比例。模型如下：
SLRt= ∑i∈S�t−|w�i,t∗ |
∑i∈S�t+|w�i,t∗ |
2.3.6 Treynor 指標
Treynor(1965)藉由包含投資組合係數，來評估投資組合績效；Treynor 建議 可用投資組合報酬相對於風險來衡量投資組合的績效，也就是每承擔一單位的系 統風險所獲得的報酬。其所建立的評估指標如下所示：
Tp =Rp− Rf
𝛽𝑝 其中 Rp：投資組合報酬率
Rf：無風險利率
βp：投資組合之beta 係數
2.3.7 Jensen 指標
Jensen(1968)將證券市場迴歸線加以修正，使其成為一績效評估指標，其模 式如下所示：
E�Rpt− Rft� = Jp+ βp× �Rmt− Rpt� + ε 其中 Rp：投資組合報酬率
Rf：無風險利率
βp：投資組合之beta 係數
Jp：投資組合P 之 Jensen 指標 ε：誤差項
Jensen 透過多期的迴歸模式來求算Jp值。Jp為迴歸式的截距項，代表投資組合的 績效，當Jp愈大時代表投資組合的績效愈佳，反之則愈差。雖然 Jensen 與 Treynor
16
一樣，都是直接利用 CAPM 推導出其評估績效的指標，但不同於 Treynor 及 Sharpe 指標的地方，在於JP為一衡量絕對績效的觀念。