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模擬研究

第四章 模擬與實證

4.1 模擬研究

4.1.1 資料生成

本文想要探討投資人在不同的景氣情況下，討論持有投資組合期間長短不同，

採用不同的投資策略，投資組合的表現，以及投資策略的最佳資產配置。投資人 在做投資組合時，加入無風險性資產會讓投資組合做得更好，本文是討論風險性 資產(股票)和無風險性資產(債劵)構成的投資組合，考慮 N 個風險性資產和一 個無風險性資產，不同景氣狀況下，股票報酬服從的分配不同，模型假設如下:

當 N=1，�

rs~N(μ = 0.01, σ = 0.02) 景氣好 rs~N(μ = 0.0042, σ = 0.012) 景氣平 rs~N(μ = 0.002, σ = 0.008) 景氣差

其中rs為股票的報酬

當 N=2，

�

rs1~N(μ = 0.01, σ = 0.02) 景氣好 rs1~N(μ = 0.0042, σ = 0.012) 景氣平 rs1~N(μ = 0.002, σ = 0.008) 景氣差

�

rs2~N(μ = 0.012, σ = 0.021) 景氣好 rs2~N(μ = 0.004, σ = 0.011) 景氣平 rs2~N(μ = 0.0025, σ = 0.009) 景氣差

其中rs1、rs2分別為股票 1 和股票 2 的報酬

模型參數的假設是參考實際資料後所做，本文認為股市景氣好時，每年報酬率可 達約 12%；景氣持平則每年約 5%；即使景氣差則還是比定存一年約 1.2%多，假 設景氣差每年約 2.4%，標準差則依據實際資料的變異與高風險高報酬所做之假 設，以上生成的報酬皆假設為月資料，且假設無風險利率rf為0.001，當 N=1 時，

本文將討論投資組合為一個風險性資產和一個無風險性資產，資產配置分為 (0.01,0.99)、(0.1,0.9)、(0.2,0.8)、…、(0.9,0.1)和(0.99,0.01)等 11 種投資組合；當 N=2 時 ， 投 資 組 合 為 兩 個 風 險 性 資 產 和 一 個 無 風 險 性 資 產 ， 資 產 配 置 為 (0.1,0.1,0.8)、(0.1,0.2,0.7)、…、(0.8,0.1,0.1)等 36 種投資組合，一次抽一組報酬，

由於投資組合中資產間相關性呈現越大的負相關，其投資組合之風險越分散，因 而假設rs1和rs2相關係數為−0.8，投資標的為股票和債券兩種，本文先將債券視 為無風險性資產，並且將市場景氣情形分為景氣好、持平、差和混合，其中景氣 混合的目的是真實投資市場不可能是單一一種景氣情形，應該為景氣好壞的混合，

本文參考文獻和 NBER 網站上的建議，將景氣混合假設為市場好、持平和差的 比例為 2:1:1，在每種不同的景氣狀況下討論不同投資策略的投資表現以及最佳 資產配置。

此外，投資人皆是用過去的資料來預測未來，本文也採用這樣的方式來探討 投資組合的表現，並且與傳統 Markowitz 的投資方法作比較，由於傳統投資策略 對於風險容忍度較小，與本文投資策略作比較時較失公平性，因而將前述的投資 比例再細分，當 N=1 時，討論一個風險性資產和一個無風險性資產，投資比例 為(0.01,0.99)、(0.02,0.98)、…、(0.99,0.01)共 99 種投資組合；當 N=2 時，討論兩 個 風 險 性 資 產 和 一 個 無 風 險 性 資 產 ， 投 資 比 例 為 (0.01,0.01,0.98) 、 (0.01,0.02,0.97)、…、(0.98,0.01,0.01)共 4851 種投資組合，在每種不同的景氣狀 況下討論不同投資策略的表現。以下模擬結果的圖和表格中，將買進並持有策略 計作 BAH；固定比例策略計作 CONSTM；固定比例投資組合保險策略計作 CPPI；

傳統 Markowitz 方法則用不同風險忍受度 L 來表示。

4.1.2 投資策略的比較-平均報酬

當投資人只考慮期望報酬下，N=1 時，考慮一個風險性資產和一個無風險性 資產，在未來景氣看好的情況，由圖 4.1.2.1 可以看到無論是持有期間多長：半 年、一年、五年或七年以上，投資人採用固定比例投資組合保險策略所得到的平

22

均期望報酬會比固定比例策略和買進並持有策略高。當股市上漲機率大過下跌機 率時，固定比例策略會在股市上漲時賣掉股票，而買進並持有策略是維持原本的 股數，固定比例投資組合保險策略則會不斷的買進股票，因而相對於固定比例策 略，買進並持有和固定比例投資組合保險策略所持有的股數較多，且隨著股價一 直攀升，投資組合的總價值會一直上升。對於投資人採用不同的投資策略，最佳 的資產配置比例也不同，可以從附錄二的表 1 中了解無論是何種投資策略，在只 考量期望報酬下，無論是哪個持有期間，投資人皆會傾向於將全部的資金投資於 股票上，由於股票的報酬較無風險利率大，在不考量風險只考慮報酬最大化的情 況下，投資人將資產配置放置在股票上可獲得較大的期望報酬。同樣的，若市場 景氣狀況持平或景氣差，由圖 4.1.2.2 和圖 4.1.2.3 可以看到，若投資人只考慮報 酬的情況下，投資人採用固定比例投資組合保險策略會得到較大的期望報酬，投 資人不但投資較高比例在股票上，且景氣差時，投資人會在股市下跌時賣掉股票 來買債券，相對地，固定比例策略會在低點的時候不斷的買進股票，因而股市持 續下跌時，固定比例投資組合保險策略的表現較固定比例和買進並持有策略好。

再由圖 4.1.2.4 看到，在本文假設的混合型市場下，固定比例投資組合保險策略 所得到的期望報酬還是較另外兩個策略大，在本文的假設中，股市有一半的機率 是上漲，平均而言整體市場景氣還算不錯，因而只考慮期望報酬下，固定比例投 資組合保險策略表現較好。

圖 4.1.2.1 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣好

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

0 20 40 60 80 100

平均報酬

持有期間 單位(月)

景氣好

BAH CONSTM CPPI(m=2)

(註：BAH 為買進並持有策略 CONSTM 為固定比例策略 CPPI 為固定比例投資組合保險策略)

24

圖 4.1.2.7 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣差

26

圖 4.1.3.3 各個策略不同持有期間的夏普指數-景氣差

28

圖 4.1.4.1 傳統效率前緣

本文實際的作法是為了想抓整個效用函數曲率的變化，在此我們希望找三點 可以涵蓋整個範圍，圖 4.1.4.2 以持有 30 期固定比例策略之效率前緣為例，我可 能找到圖中用粉紫色圈出的三個點來計算一次微分和二次微分，進而得到風險厭 惡衡量指標 A(w)，此衡量指標數值越大則表示效用函數彎曲程度越強，投資人 風險厭惡越大，而各個策略不同持有期間的效率前緣圖形置於附錄二。由表 4.1.4.1、表 4.1.4.2、表 4.1.4.3 和表 4.1.4.4 看到當景氣好或持平時，大多是採用 固定比例策略的投資人風險厭惡較大，由於固定比例是在低點時買進風險性資產

圖 4.1.4.2 持有 30 期固定比例策略之效率前緣

0.0007978 , 0.0314739

0.0482783 , 0.1130573

0.0673064 , 0.1244368

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

平 均 報酬

標準差

持有30期

CONSTM

，高點時賣掉風險性資產，是個相對保守的投資策略，因而風險厭惡較大，導致 風險性資產投資比例較低，且由資產配置上可對照附錄二的表 9 與表 10，考慮 風險下景氣好的表格，以表 4.1.4.1 和表 4.1.4.2 中 N=1 固定比例策略持有 60 期 和 N=2 固定比例策略持有 90 期為例，風險厭惡大則投資風險性資產的比例確實 比較小。同樣的，景氣持平時，以固定比例策略持有 60 期為例，可對照附錄二 表 11 考慮風險下景氣持平的表格，風險厭惡指標大，投資風險性資產比例低。

表 4.1.4.1 N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣好 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.24988 0.33550 0.19278 0.30369 0.09579 CONSTM

0.26241 0.35475 0.24095 0.36530 0.31621

CPPI 0.25262 0.30959 0.23462 0.33991 0.20212 表 4.1.4.2 N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣好 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.65807 0.54364

0.61526

0.66499 0.35652 CONSTM

0.66781 0.56301

0.54014

0.67020 0.39545

CPPI 0.65915 0.54229 0.57057 0.66756 0.34088 表 4.1.4.3 N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣持平 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.04117 0.07679 0.65128 0.23068 0.38059 CONSTM

0.04867 0.09116

0.65060

0.27247 0.41810

CPPI 0.04561 0.07959

0.66228

0.22818 0.34517 表 4.1.4.4 N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣持平 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.57619 0.09366

0.63968

0.16404 -2.15148 CONSTM 0.57766

0.45160

0.61108

0.29875

0.27931 CPPI

0.57918

0.11718 0.61001 -0.16076

0.35396

而當市場景氣不佳時，由表 4.1.4.5 和表 4.1.4.6 看到固定比例投資組合保險策略 的風險厭惡較大，此策略是在高點買進和低點賣出風險性資產，當景氣差時，投 資人採用固定比例投資組合保險策略會不斷地賣掉風險性資產，趕快獲利了結，

因而風險厭惡較大，且投資風險性資產的比例則較小。

30

表 4.1.4.5 N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣差 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH -0.02813 0.35860 0.42725 0.44298 0.26729 CONSTM -0.02806 0.36290 0.42828

0.45294

0.27663 CPPI -0.01734

0.36914 0.43731

0.45046

0.43334

表 4.1.4.6 N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣差 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.43164 0.31691

0.59636

0.29387 0.34213 CONSTM

0.43499 0.34498

0.59021 0.29452 0.35043 CPPI 0.42912 0.32356 0.58564

0.34463 0.46063

當市場景氣混合時結論不一定，表 4.1.4.7 為一個風險性資產和一個無風險性資 產的投資組合構成的，在本文的假設下，景氣好的機率占一半，積極投資人採用 固定比例投資組合保險策略得到的報酬和風險相對較大，效用前緣彎曲的程度也 較大，因而風險厭惡衡量指標較大。表 4.1.4.8 為兩個風險性資產和一個無風險 性資產，模擬結果可能由於短期景氣混合的情況較不穩定，樣本數少混合比例較 不穩，得到的結果也較不一定，而長期平均而言，景氣混合比例較穩定，景氣好 的比例又占多數，則在景氣好時，固定比例策略的風險厭惡較大。

表 4.1.4.7 N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣混合 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH 0.52095 0.52411 0.50231 0.59531 0.50187 CONSTM 0.52077 0.52669

0.50848

0.58444 0.50130 CPPI

0.52857 0.54062

0.50302

0.64254 0.54857

表 4.1.4.8 N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣混合 投資策略 6 期 12 期 30 期 60 期 90 期

BAH

0.48362

0.17820 0.08039 0.21433 0.13576 CONSTM 0.47569

0.21596

0.11364

0.28841 0.19357

CPPI 0.47703 0.16662

0.13301

0.01123 0.16276

4.1.5 用過去資料預測未來投資組合的表現

投資人在做投資時，往往都是用過去的資料來預測未來，本文也採用這樣的 作法來比較不同投資策略的表現。模擬做法為若投資人想要觀察持有半年投資組 合的表現，則先生成半年的資料視為過去的資料，以過去資料找到最佳資產配置 後，再以此比例持有未來半年，以此類推。討論不同持有期間，投資策略的表現，

由於投資組合為風險性資產和無風險性資產構成，且不同風險厭惡程度的投資人 採用的投資策略也不同，因而本研究採用夏普指數來衡量投資人採用不同投資策 略，風險性資產額外承擔每一單位風險所得到的風險溢酬，夏普指數越大則表示 風險溢酬越大，投資組合表現越好。投資策略本身有不同的風險厭惡態度，固定 比例策略為股市下跌就買進股票和上漲就賣出，固定比例投資組合保險策略則相 反，買進並持有策略為買進後就不去更動投資組合，與傳統 Markowitz(1952)投 資組合的差異為 Markowitz 是在一定風險忍受程度(L)下找投資報酬最大的最佳 資產配置，由於另外三種投資策略於 4.1.3 節提到，策略本身對於風險就有一定 的厭惡程度，為了和傳統 Markowitz 投資策略做比較，本研究的三種投資策略是 在所有可能的投資比例中找報酬最大的最佳資產配置。在不同景氣情況下討論文

由於投資組合為風險性資產和無風險性資產構成，且不同風險厭惡程度的投資人 採用的投資策略也不同，因而本研究採用夏普指數來衡量投資人採用不同投資策 略，風險性資產額外承擔每一單位風險所得到的風險溢酬，夏普指數越大則表示 風險溢酬越大，投資組合表現越好。投資策略本身有不同的風險厭惡態度，固定 比例策略為股市下跌就買進股票和上漲就賣出，固定比例投資組合保險策略則相 反，買進並持有策略為買進後就不去更動投資組合，與傳統 Markowitz(1952)投 資組合的差異為 Markowitz 是在一定風險忍受程度(L)下找投資報酬最大的最佳 資產配置，由於另外三種投資策略於 4.1.3 節提到，策略本身對於風險就有一定 的厭惡程度，為了和傳統 Markowitz 投資策略做比較，本研究的三種投資策略是 在所有可能的投資比例中找報酬最大的最佳資產配置。在不同景氣情況下討論文

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