最佳動態投資策略及其效用函數之分析與比較

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(1)國立高雄大學統計學研究所碩士論文. A Comparison study on utility functions of the optimal dynamic strategies 最佳動態投資策略及其效用函數之分析與比較. 研究生：張巧柔撰指導教授：俞淑惠博士. 中華民國 102 年 7 月.

(2) 謝辭時間飛逝，碩士班兩年的時間很快就過了，完成論文的這一刻有種說不出來的感動，回想這段期間所有的過程，真的很感謝身邊的每一個人，所上的老師雖然不多，但往往都會盡心盡力的幫我們解決困難，國立高雄大學統計學研究所，短短的幾個字，卻有著深刻的感情，在這個大家庭裡，每一天都過得很開心，學海無涯，處處都有學不完的真理，待人處事的道理也明白了不少，還記得剛到高大的時候，校園好大，到處都是綠油油的一片綠地，周遭雖然沒有繁華的商街，但是所上的溫暖卻是很多地方所不及的。特別感謝我的指導老師俞淑惠教授，老師的教導方式很特別，無論是統計專業能力亦或是處事的態度，都讓我學會了許多，感謝老師這兩年無怨無悔的付出，為了學生費盡心思，做任何事情都只有學生第一，我也期許自己在未來可以向老師看齊。感謝黃文璋老師，為這個所上增添了許多色彩，每每在聚會娛樂大家，有您在的統計所真的很專業又歡樂。再來，感謝我的夥伴們，感謝章庭每天都跟我耍嘴皮，讓我在學業鬱悶之餘有地方可以紓壓；感謝龍格每天耍笨，讓我可以保持頭腦清晰；感謝君萍總是在我遇到問題時，提供意見並幫我想辦法解決；感謝展伊的貼心，每每都會想到幫大家買食物，提議去看電影舒壓；感謝曉祺在我遇到財金難題時，耐心的與我解釋與討論；感謝思萱總是為大家打理好一切，讓大家沒有後顧之憂；感謝婉芸在我遇到程式瓶頸時可以與我討論；感謝觀洋在學業上遇到困難時皆可以與我討論。謝謝大家這兩年的陪伴，雖然我們人數不多，但是感情卻是好得沒話講。希望大家在未來的日子裡，回憶起這兩年，依然可以笑著。最後，感謝我們父母，謝謝他們的陪伴，無論是學業壓力有多大，他們依然會傾聽我的心聲，想辦法幫我紓解壓力，一路栽培我到研究所，也一直支持著我做任何事，現在，我即將要成為社會新鮮人，邁向人生的下一個階段，希望我可以努力做任何事，勇於接受任何挑戰，也希望讓我的家人可以過得更好。也希望所有的同學在未來的每一天，朝自己的目標前進，創造自己的一片天地!. 張巧柔謹上中華民國 102 年 7 月. 2.

(3) A Comparison study on utility functions of the optimal dynamic strategies. by Chiao-Jo Chang Advisor Shu-Hui Yu. Institute of Statistics, National University of Kaohsiung Kaohsiung, Taiwan 811 R.O.C. July 2013.

(4) 目錄中文摘要....................................................................................................................... II 英文摘要...................................................................................................................... III 第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 1.1 研究背景與動機 ........................................................................................... 1 1.2 論文架構 ....................................................................................................... 2 第二章. 文獻回顧.................................................................................................... 5. 2.1. 資產配置的動態策略 ............................................................................... 5. 2.2. 投資組合理論 ......................................................................................... 11. 2.3. 投資組合績效評估 ................................................................................. 12. 2.4. 效用函數.................................................................................................. 16. 第三章. 研究方法.................................................................................................. 18. 3.1 投資組合衡量指標 ..................................................................................... 18 3.2 動態投資策略之效用函數 ......................................................................... 19 第四章. 模擬與實證 ............................................................................................. 20. 4.1. 模擬研究.................................................................................................. 20. 4.2. 實證分析.................................................................................................. 34. 第五章. 結論.......................................................................................................... 37. 5.1. 結論.......................................................................................................... 37. 5.2. 未來研究方向 ......................................................................................... 37. 參考文獻...................................................................................................................... 38 附錄一買進並持有策略之效用函數推導 ............................................................... 40 附錄二模擬研究表格與圖 ....................................................................................... 44. I.

(5) 最佳動態投資策略及其效用函數之分析與比較指導教授：俞淑惠博士國立高雄大學統計學研究所學生：張巧柔國立高雄大學統計學研究所. 摘要. 在金融市場上，投資者大多是在風險與報酬的雙重考量下尋找最佳資產配置。就投資的實務上而言，投資人多數僅關心投資策略為何、如何投資，鮮少考量學理上的效用函數；而在理論上則多以效用函數來衡量投資組合的綜合表現。目前，常見的效用函數有 Markowitz(1952)以變異數衡量風險的前提下所衍生的二次式效用函數，以及考量不同條件下，最佳化效用函數時所得到的絕對風險厭惡 (CARA)與相對風險厭惡(CRRA)的指數型效用函數和對數型效用函數等。本研究希望將實務上常見的投資策略，發展出與其對應的效用函數，希望透過這一部分的結果，從一個綜合風險與報酬考量的角度下，討論不同投資策略的投資表現。本文主要考量三種常見的投資策略：買進並持有策略、固定比例策略與固定比例投資組合保險策略，並與傳統的投資組合 Markowitz(1952)做比較。本研究將透過理論、模擬或實證的方法，在考量最大期望報酬和投資風險的相互抵換下，找出最佳資產配置，以動態的投資策略(固定比例策略和固定比例投資組合保險策略)和靜態的投資策略(買進並持有策略和傳統的投資組合 Markowitz(1952))持有此投資組合一段期間後，比較它們的投資表現和對應效用函數的分析。藉此，我們希望一方面從效用函數的角度，來重新解釋這些投資策略的意義；另一方面，也希望藉由本研究的結果給予對應的投資建議。關鍵字：動態投資策略、效用函數、固定比例策略、買進並持有策略、固定比例投資組合保險策略、資產配置 II.

(6) A Comparison study on utility functions of the optimal dynamic strategies Advisor: Dr. Shu-Hui Yu Institute of Statistics, National University of Kaohsiung. Student: Chiao-Jo Chang Institute of Statistics, National University of Kaohsiung. ABSTRACT. In the financial markets, investors mostly consider both Mean and Variance to find the optimal asset allocation. In real investment, most investors only care about what the investment strategy is, how to invest, and rarely consider the doctrinal utility functions. In theory, the overall performance of the portfolio can usually be measured by utility functions. At present, the common utility functions are Markowitz (1952) which is under the premise of variance to assess the risks arising from the quadratic utility function, as well as under the different conditions, optimizing the utility function to get the exponential and logarithmic utility function of constant absolute risk aversion (CARA) and constant relative risk aversion (CRRA). This study hopes to develop those corresponding utility functions of the common investment strategies, and through this part of the results, hopes to discuss the investment performance of different investment strategies. This research mainly considers three common investment strategies: Buy-and-hold strategy, Constant-mix strategy and Constant proportion portfolio insurance (CPPI), and also use these strategies to compare with III.

(7) the traditional portfolio by Markowitz (1952). This study considers the trade-off between maximum expected return and investment risk to find the optimal asset allocation through theory, simulation or empirical methods. After holding the portfolio over a period by using dynamic investment strategy (Constant-mix strategy and Constant-proportion-portfolio insurance) and static investment strategy (Buy-and-hold strategy and traditional portfolio Markowitz (1952)), and then comparing their investment performance and analysis of corresponding utility function. Herewith we hope in the one hand to re-interpret the significance of these investment strategies from the point of view of the utility function. On the other hand, we also hope to give the corresponding investment advice by the results of this study.. Keywords: Dynamic Investment Strategy, Utility Function, Buy-and-Hold Strategy, Constant-Mix Strategy, Constant-Proportion-Portfolio Insurance Strategy, Asset Allocation. IV.

(8) 第一章. 緒論. 1.1 研究背景與動機最佳的資產配置一直是財務金融與經濟研究上一個重要的議題。將不同類型的資產（債券、股票等等）納入投資組合中，並決定其投資比重的做法稱之為資產配置(周行一，2000)。如何按風險偏好設定資產配置目標並有紀律地貫徹，是資產配置成功的要件，而學術研究也顯示，資產配置是決定長期報酬率的最重要因素。然而，對於投資人尋找資產配置時，須先決定採用的投資策略。投資人通常可以透過基本分析來選出投資標的，而Markowitz(1952)提出的投資組合理論(Portfolio theory)，可決定一投資組合中資產的權重，投資者希望獲得利益但也須面臨風險，為確保投資組合能降低風險，投資人之投資組合由一種以上之投資標的物件所組合，藉由多種不同的投資以分散風險。而投資組合理論焦點在於如何使風險最低，報酬率最大及風險與投資績效之衡量。 Perold and Sharpe(1995)探討四種動態投資策略：一.買入並持有，二.固定比例策略，三.固定比例投資組合保險策略，四.選擇權評價模式為基礎的投資組合保險策略(option-based portfolio insurance, OBPI)於證券、債券的投資組合中之風險及報酬率。其研究結論為，四種策略的好壞，取決於投資人的風險承受度，及持有證券於資產中的比例。就動態的各種保險策略(如CPPI、TIPP、複製性賣權、固定組合)對投資組合保險的績效，總體而言，各種動態的保險策略均能達到保險的效果，即在多頭時減少一點多頭時期的利潤，以換取空頭時下跌的損失。邵光耀(1991)認為CPPI策略績效較佳。林筠(1991)也認為複製性賣權及CPPI 策略皆能達到投資組合保險的基本目標。楊昌博(1995)，認為在多頭市場，複製性賣權策略有最佳的績效；在空頭市場，TIPP 策略避險效果較好，而陳玫纓(1997)則認為投資組合保險策略的效果與當時的景氣榮枯有關。因此，各家實證的結果，亦無法達成有某一種策略能在任何市場狀況下均優於其他策略的結論(王堃峰， 2005)。 1.

(9) Bernoulli(1738)提出「效用」的概念。決策者針對不同問題建立的效用函數，會因為本身面對風險的態度不同而有差異，一般而言，Keeney and Raiffa(1976； 1993)將決策者面對風險的態度分為三種類型：風險規避型(risk-aversion)、風險趨向型(risk-seeking)及風險中庸型(risk-neutral)。建立效用函數之後，就可以期望效用 (expected utility) 準則取代期望值準則來分析決策問題， Clemen and Reilly(2001)應用期望效用準則必先計算各方案之期望效用，然後選擇期望效用最高之方案。蔡美華(2006)利用效用函數配合機率權重估計出個人的風險態度。 Merton(1969,1971)首先建構回饋控制模型描述多期財務決策過程，利用動態規劃方法分析最佳策略之套利與避險行為，但此種方法在考量投資限制和資產時間變動因素下，將會使求解的複雜度增加。Chang(2003)回顧Sorensen(1999)之逼近模型，以平賭過程描述基金財富之未來價值，納入不同的投資限制、風險偏好與市場風險之考量，以單期擬似動態規畫擬定最佳策略，利用常數相對風險厭惡效用函數描述投資人的風險態度，以到期最佳效用為目標檢視動態最佳資產配置。文獻上投資策略的探討與風險態度的探討比比皆是，但對於兩者關係的探討則較為少見，事實上，風險態度與投資策略有著密不可分的關係。傳統上在做投資組合時，投資人僅關心投資策略為何，如何投資?而學理是以效用函數來衡量投資組合的表現，而投資人採用不同的投資策略，風險厭惡態度也不同，投資策略的效用函數可以用來衡量風險厭惡的程度，因而本研究想要將理論的效用函數應用至實務的投資策略上，希望結合這兩種的考量下，發展出投資策略它們所對應的效用函數，進而可以給予投資人一個完整且適當的投資建議。. 1.2 論文架構本文是討論常見的買進並持有(Buy-and-hold)、固定比例(Constant-mix)和固定比例投資組合保險(Constant-proportion portfolio insurance)三種投資策略與傳統 Markowitz方法做比較，文中利用Markowitz(1952)Mean-Variance的概念，導出投 2.

(10) 資人採用買進並持有策略長期平均的期望報酬、風險和最佳資產配置的理論值，另外兩個投資策略則用模擬的方式呈現，藉由平均報酬和夏普指數來衡量投資策略的表現並且找出最佳資產配置，由最佳資產配置可以繪製出每個策略的效率前緣，而效率前緣為效用函數的估計，利用效用函數的一次微分和二次微分，可以得到不同策略Arrow-Pratt的絕對風險厭惡衡量指標，風險厭惡衡量指標越大，則表示投資人採用此種投資策略的風險厭惡程度大，因而投資策略之最佳資產配置放置在股票上的比例則較小。本文將投資組合持有期間分為半年、一年、兩年半、五年和七年半並將股票市場分成景氣好、持平、和差三種景氣情況，最後考慮真實市場的景氣情形不可能只有單一個景氣情況，也考慮一個景氣混合的情況，本文參考文獻與NBER網站上的建議，將景氣混合的市場假設景氣好、持平和差的比例為2:1:1，在不同的景氣情況和持有期間下討論不同投資策略的表現。再者，投資人皆是用過去的資料預測未來，本文也採用模擬與實證的方式呈現，模擬的作法為假設投資人持有N期，則先生成N期報酬來決定最佳資產配置，本文三種投資策略本身有一定的風險厭惡態度，因此以平均報酬最大化的資產比例為最佳，Markowitz則是以一定風險忍受程度L下，找期望報酬最大化之資產配置，以此投資比例持有未來N期，討論不同投資策略投資的表現。由模擬結果顯示，當投資人只管投資組合的平均期望報酬最佳化時，無論持有期間多長或景氣情況為何，投資人採用固定比例投資組合保險策略(CPPI)可以得到較大的期望報酬，加入風險的考量後，投資人採用固定比例策略 (Constant-mix)的夏普指數較大，景氣好或持平時，固定比例策略的投資人風險厭惡較大，投資風險性資產的比例較小，景氣差時，則是固定比例投資組合保險策略的投資人風險厭惡大，風險厭惡程度增加時，投資於風險性資產之比例會下降，無風險性資產債券的比例將增加。本論文的架構敘述如下：第一章簡述本論文的研究動機、目的及流程；第二章為文獻回顧，第一節介紹投資策略，第二節介紹投資組合理論，第三節介紹評 3.

(11) 估投資組合績效之指標，第四節介紹效用函數；第三章為本文所使用之方法，分別為平均報酬、夏普指數、效用函數與風險厭惡衡量指標；第四章為模擬分析與實證；第五章為本研究做一個結論，並闡述未來研究的內容。. 4.

(12) 第二章. 文獻回顧. 資產配置可分為兩個層次，政策性資產配置與策略性資產配置，政策性是按投資者之偏好，對資產配置做長期性的規劃，一旦實行後即不再調整投資組合，或偶而調整以保持其原來的配置。策略性則是短中期的做法，為了增加獲利或降低風險，通常會依據客觀的數據或方法調整投資組合。但政策性資產配置的長期績效有賴於適度的管理，如果不管理，資產配置就會由主觀或市場所主導。基本上應採取系統性的策略式資產配置(也就是本文的資產配置動態策略)，並以客觀的法則調整資產配置，進而使投資組合的績效更好(周行一，2000)。投資組合的績效評估因人而異，投資人可以藉由本文所提的這些績效指標找到適合自己的，並且可以比較不同績效指標間的差異。再者，利用最佳資產配置建構出的效率前緣與效用函數間的關係串聯在一起，利用投資策略之效用函數得到的絕對風險厭惡衡量指標(A(w))，將投資策略和風險態度結合一起比較。. 2.1 資產配置的動態策略資產配置的動態投資策略，大部分的投資組合都包含了風險性資產和無風險性資產，而投資組合的資產總價值會受到風險性資產波動的影響，資產配置的比例也會發生變動，因而投資人應該將它的投資組合調整回來以因應風險性資產波動的影響(Perold and Sharpe，1995)。針對這樣動態調整資產配置比例的策略，他們提出四個動態策略─買進並持有、固定比例、固定比例投資組合保險和選擇權的投資組合保險，而本研究主要針對前三種策略進行討論。另外，時間無關投資組合保護策略也是一種投資組合保險策略，常被拿來與固定比例投資組合保險策略做比較。以下先簡單介紹這些投資策略的基本做法後，再給予一個綜合比較的結果。. 5.

(13) 2.1.1 買進並持有策略買進並持有(Buy-and-hold)策略的特色，就是買進資產後就不去更動投資組合，起初投資人會因個人的偏好，有一個最佳資產配置的比例，之後不管投資組合如何受股市波動的影響，投資人皆不去做調整。舉例來說，假設投資人擁有資金 100 元，投資組合包含股票和債券，投資人的資產配置比例為股票 60%和債券 40%，在此先將債券視為無風險性資產，因而，此投資組合的價值只會受到股票價格變動的影響，且由圖 2.1.1 可以知道這個策略的投資組合價值與股市是呈現線性關係，投資組合的價值是一開始投資在股票比例的函數，換句話說，股價每上漲 1 單位，投資組合的價值就會上漲 0.6 單位，且投資在股票市場的比例越多，圖 2.1.1. 買進並持有策略的資產價值變動. 股市的表現又比債券佳，這個策略的表現就越好。這個策略有個最大好處就是，不管股市漲跌，投資組合的價值永遠不會低於一開始投資在債券的價值，且只要隨著股市一直上漲，投資組合的價值就會無止盡地增加。. 2.1.2 固定比例策略固定比例(Constant-mix)策略，不同於買進並持有策略的是當資產相對比例發生變動時，投資人就進行調整，使其與原始投資的比例相同。這個策略所做的就是資產配置中的“再平衡”。如表 2.1.1，若投資人有 100 元，一開始以 6:4 的資產配置比例，投資股票 60%(60 元)和債券 40%(40 元) ，當股價從每股 100 6.

(14) 下跌 10 個百分比時，變成每股 90，則原本投資在股票的 60 元會變成 54 元，加上原本投資債券 40 元，資產總值由 100 元變成 94 元，這時股票占資產總值的比例為 57.4%，投資人為了讓股票和債券的投資比例仍然維持在 6:4，所以投資人會進行資產配置的再平衡，此時投資人會賣掉 2.4 元的債券，且買進 2.4 元的股票，讓資產的相對比例再次平衡為 6:4。同樣的，若股市持續下跌，當股價跌至每股 80 時，原本投資在股票的 56.4 元會變成 50.13 元，加上原本投資債券 37.6 元，投資組合的總價值變成 87.73 元，資產相對比例發生變動，投資人將賣掉 2.51 元的債券來買進等值的股票，以維持起始的投資組合配置的比例。表 2.1.1. 固定比例策略的資產價值變動. 單股股價. 股票價值. 債券價值. 資產總價值. 股票占的比例. 起始值. 100. 60.00. 40.00. 100.00. 60.0. 股市下跌. 90. 54.00. 40.00. 94.00. 57.4. 再平衡. 90. 56.40. 37.60. 94.00. 60.0. 股市下跌. 80. 50.13. 37.60. 87.73. 57.1. 再平衡. 80. 52.64. 35.09. 87.73. 60.0. 此策略要求投資人在股市下跌後買進，在上漲後賣出。在這個策略下，投資人可以利用市場的波動來增加資產的總值，如表 2.1.2，當每股股價由 100 下跌至 90 再上漲回 100，投資組合的總價值就由 100 下跌至 94 再上漲回 100.27，比原本的 100 多了 0.27，因此，投資人可以藉由此策略利用市場波動來增加資產總價值。但此策略沒有最低資產價值的保護，相較於買進並持有(buy-and-hold)策略，資產總值最低也不會跌破當初放在債券的部位，固定比例策略則要求投資人愈跌愈買，股市跌愈多，就要賣愈多債券來買股票，資產總值會跟著一路下滑，沒有最低價值的保護。但在文獻中並未提到哪個策略比較好，若投資人認為市場未來會持續上漲或下跌，那麼投資人採用買進並持有策略會比固定比例策略好。若投資人認為股市未來漲跌的幅度不會太大，那麼投資人採用固定比例策略會有較大 7.

(15) 的資產價值，而這部分在第四章會用模擬的方式來討論。表 2.1.2. 固定比例策略利用市場的波動來增加資產的總值. 單股股價. 股票價值. 債券價值. 資產總價值. 股票占的比例. 起始值. 100. 60.00. 40.00. 100.00. 60.0. 股市下跌. 90. 54.00. 40.00. 94.00. 57.4. 再平衡. 90. 56.40. 37.60. 94.00. 60.0. 股市上漲. 100. 62.67. 37.60. 100.27. 62.5. 再平衡. 100. 60.16. 40.11. 100.27. 60.0. 2.1.3 固定比例投資組合保險策略固定比例投資組合保險(Constant-proportion portfolio insurance, CPPI)策略，是投資人以一個預先訂定好的規則，進行買高賣低的投資策略。投資人先選定一個最低忍受值(Floor)，作為投資人不希望投資組合跌超過的值，然後再選一個乘數(m)，這個乘數是用來決定股票部位要投資多少金額。如下: 投資在股票的金額 = 乘數(m)*(資產總值-最低忍受值(Floor)) 其中定義. 緩衝區 = 資產總值-最低忍受值(Floor). 如表 2.1.3，若投資人一開始有 100，選擇最低值為 80，乘數為 2，緩衝區為 20，則投資人需投資股票 40 和債券 60，資產總價值為 100。當股票價值從 40 跌至 25 時，資產總價值則從 100 跌至 85，此時緩衝區為 5，投資組合需調整為投資在股票 10 和債券 75，這時投資人需賣掉 15 股票和買進 15 債券；而當股票價值從 10 漲至 60 時，資產總價值則從 85 漲至 120，此時緩衝區為 40，投資組合需調整為投資在股票 80 和債券 40，這時投資人需賣掉 20 債券和買進 20 股票。表 2.1.3. 固定比例投資組合保險策略的資產價值變動. 乘數(m). 最低忍受值. 緩衝區. 股票價值. 債券價值. 資產總價值. 起始值. 2. 80. 20. 40. 60. 100. 股市下跌. 2. 25. 60. 85. 調整後. 2. 10. 75. 85. 80. 5 8.

(16) 股市上漲. 2. 調整後. 2. 80. 40. 60. 60. 120. 80. 40. 120. 從上述例子中可以看到，這個策略是在股市上漲時，股票就要買越多，反之，就要賣出股票，買進債券。此策略稱為投資組合保險，在於它有最低值的保護，只要股市不要跌得太多，在投資人還來不及反應的時候，就先跌破資產總值預設的下限，這種賣出下跌資產的方法，可以保障最低的資產價值。此策略與買進並持有和固定比例策略有一定的關係。當最低忍受值(Floor)為投資在債券的金額且乘數(m)為 1 時，就是買進並持有策略；當最低忍受值(Floor)為 0 且乘數 (m)為投資在股票的比例(0<m<1)時，就是固定比例策略。. 2.1.4 時間無關投資組合保護策略時間無關投資組合保護(Time Invariant Portfolio Protection, TIPP)策略(Estep and Krizman，1988)。此策略根據固定的要保比率(Floor Percentage)設定為某一時點的要保額度，假設投資組合價值上漲的時候，要保額度亦將隨之調高，當投資組合價值下跌時，要保額度維持原來的水準，不做調整。TIPP 的公式為： Ft = Max�f × At ，Ft−1 �. t = 0,1,2,3, … … …. Et = m × (At − Ft ). Where Ft ：t 期的要保金額(Floor). f：固定的要保比率(Floor Percentage) At ：t 期的投資組合總價值. Ft−1 ：t − 1 期的要保金額(Floor) Et ：t 期的風險性資產價值. m：風險乘數，乘數愈大風險偏好程度愈高，且 m > 1. Black and Jones(1987)以 1974 年至 1986 年之美國資料進行實證，以 S&P500 為風險性資產，30 年期政府公債為保留性資產，發現當市場走空頭或是多頭時，投資組合保險策略皆可發揮其功能，但如果市場在保險期間大幅波動，而在到期時股價恢復當初投資時的水準，則投資組合保險的好處無法發揮且績效最差。劉懋 9.

(17) 楠(1993)利用實證與模擬方式研究各種投資組合策略特性，發現市場呈現明顯多頭時，以 CPPI(固定比例投資組合保險策略)與 OBPI(選擇權評價公式為主的選擇權式投資組合保險)建構之投資組合大致上能追隨大盤，分享上漲利益，機會成本較低；TIPP 則因其要保額度會不斷提升，參與獲利程度較低。故推論出 CPPI 與 OBPI 較適合多頭走勢，TIPP 則在多頭後之空頭表現良好；至於 CM(固定比例策略)則適合用於震盪走勢，所以不論是 CM、CPPI、TIPP 或 OBPI 皆並非能適用於各種情境，而是其各自有最適用之市場情境。陳玫纓(1997)以投資組合保險策略搭配台灣金融市場過去的資料實證 1986~1996 年的投資組合績效，認為投資組合保險策略的投資績效與當時的景氣榮枯有關。且 CPPI 策略適用於大多頭行情；而 TIPP 策略適用於大多頭之後的大空頭行情；至於 CM 策略適用於橫向整理的股市行情。利用投資組合保險策略能提高投資組合報酬，而海外投資能大幅降低報酬率變異性(楊杰，2007)。林進益(2008)將 TIPP 策略與 CPPI 策略做比較，文中提到此策略的操作大致與 CPPI 策略雷同，比較大的差異在於 TIPP 策略之保本底限永遠維持在最高檔；換言之，先預設某一固定的保本比率，當資產組合價值上升時，保本底限亦隨之提高，只要保本底限有提高，舊的保本底限即失效。也因 TIPP 策略會隨時調整其保本底限，其才能與時間同步也才能與時間無關，相反的，CPPI 策略只允許保本底限隨無風險利率調整，倘若調整不當，無法償還原先承諾的本金，有可能被迫融資還本。文中發現 TIPP 策略雖有佔較高保本優勢，然而 CPPI 策略卻有創造較大資產組合價值的潛力。就 CPPI(TIPP) 策略操作而言，若要發揮保本的功能，當選擇波動度愈小(大)的環境且所選擇的乘數愈小(大)為佳；但若著重於平均資產組合價值的提升，當選擇波動度愈小(小) 的環境且所選擇的乘數愈小(小)為佳。葉正丞(2001)利用台灣金融市場的實際資料來驗證投資策略與風險承受度對投資績效的影響性。以效用函數為基礎決定的風險承受度大小來求算風險資產投資比重。發現 CM 除了在明顯多頭走勢時沒有良好的績效表現外，在全期間低風險值下及盤整期都有不錯的報酬；CPPI 則可以在多頭期獲得相當高的報酬，而 TIPP 則未如預期般的表現出策略價值，並認 10.

(18) 為 TIPP 不是長期適用的策略。蔡惠名(2003)提出一個新的表達方式，將 CPPI 與 TIPP 兩種投資組合保險策略做模型上的擴充，使這兩個策略得以運用在投資組合之上。擴充後的策略模型，不僅同時考量了現金保留及資產權重的問題，且具有動態調整資產權重及資金可相互流動的特性。並利用遺傳演算法之最佳化能力，搜尋新策略模型中最適合的乘數(Multiplier)及最大跌幅(Max DrawDown)，以求單位風險報酬率的最大化。吳美瑤(2006)藉由尋求動態調整風險參數 M 值，分析各種投資組合保險策略的優劣勢及保險後的績效分析。同時加入技術分析工具 (中長期移動平均線)，來判定股市多空，改變風險乘數 M 值，並比較動態投資組合保險與固定值的傳統式投資組合保險的期間報酬及風險值。結果發現加入多空判斷的投資組合保險策略，確實能夠創造比傳統型投資組合保險策略更佳的期末資產報酬及更高的夏普指數績效表現。本文與葉正丞(2001)利用實際資料來驗證投資策略與風險承受度對投資績效的影響，以效用函數為基礎決定的風險承受度大小來求算風險資產投資比重。不同的是，本文欲建立每個投資策略之效用函數，藉由投資策略的效率前緣為效用函數之估計，建構出效用函數之估計後，再與風險態度結合一起比較。. 2.2 投資組合理論美國經濟學家 Markowitz(1952)提出以平均數-變異數模型來衡量投資風險與報酬，在考量風險與報酬的相互抵換下，決定投資比例的最佳化。Markowitz 的基本假設為考量一個投資組合由 N 個資產所組成， wT = (w1 , w2 ,..., wN ) 為這 N 個資產的權重， r T = (r1 , r2 ,..., rN ) 為 N 個資產的期望報酬，則其平均數-變異數模型如下: Max µ p w. subject to σ p2 = wT × Σ × w ≤ L 11.

(19) 其中 µ p = wT × r ， σ p = wT × Σ1 / 2 × w. µ p ：投資組合 P 的期望報酬率. σ p2 ：投資組合 P 的變異數 Σ ：N 個資產的共變異數矩陣. L ：投資人可以忍受的風險上限. 投資組合理論主要是在述說，投資人在一定可忍受的風險水準之下，希望找到使報酬最大的資產配置；或在一定的期望報酬之下，可以找到風險最低的投資組合。將這些可能的投資組合繪於圖上並連成一條線，即是效率前緣(efficient frontier)，而落在效率前緣上的投資組合皆是最佳的，然而，投資人的最佳資產配置會因著個人的風險厭惡程度不同而有所差異，積極型的投資人，可能會選擇高風險高報酬的資產配置；保守型的投資人則相對會選擇風險較低的投資組合。此理論給予投資人一套選取最佳資產配置的系統，本文在第三章會利用這個理論的概念來試著發展投資策略所對應的效用函數，並於第四章以模擬的方式比較投資策略的表現。. 2.3 投資組合績效評估由於市場不可能隨時處於有效率的狀態，有些投資組合的表現會優於其他組合，因而需要設計一些方法來評估投資組合的績效，藉以判斷投資組合的表現。以下介紹常見的幾種評估投資組合績效的方法，一個投資組合只要能夠為其所承擔的每一單位風險獲得較高的報酬，就是一個比較好的投資組合(周行一，2000)。 Yen(2012)提到幾個衡量投資組合表現的指標，例如周轉率、投資組合之淨報酬等。王堃峰(2005)以投資策略的角度來探討基金績效的問題，引用 Treynor(1965)、 Sharpe(1966)及 Jensen(1968)為績效衡量的指標。. 12.

(20) 2.3.1 期望報酬當投資人做投資組合時，無論持有期間多長，皆是希望該投資組合期末的期望報酬最大，因而平均期望報酬最佳之投資組合，就是投資人比較嚮往的投資組合。. 2.3.2 夏普指數 Sharpe(1966)認為在評估投資組合績效時，需考慮風險與報酬的關係，而傳統根據投資組合平均報酬來評估績效之方式，忽略了風險且過於簡化。因此 Sharpe 在考慮了投資組合的報酬與風險後，建立了一由報酬與風險決定的績效指標，其所建立的評估指標如下，用來衡量承擔每單位風險所能額外得到的平均報酬。 Sharpe ratio =. 其中E(R p )：投資組合預期報酬率. E�R p � − R f σp. R f ：無風險利率. σp ：投資組合的標準差. 夏普指數乃由諾貝爾獎得主夏普博士於 1960 年代提出，其做法是將股票或基金在某一期間的報酬減去在此期間的無風險證券的報酬，再除以該股票或基金在此期間的標準差。夏普指數所代表的意義為相對於無風險投資（例如投資國庫券），投資人所承擔每一單位風險，投資標的所創造的「超額報酬」。該指數愈高，表示投資組合每承受一單位風險所額外得到的報酬愈大。. 2.3.3 周轉率 Yen(2012)利用投資組合的周轉率來衡量投資組合的績效，其模型假設為： ∗ 給定資產i在時間t的最佳權重w � i,t ，且R i,t+1為資產i在時間t + 1之報酬，用過去 N. 天的最佳投資比例來預測 N+1 天的報酬如下：. 13.

(21) N. ∗ � oos,p,t+1 = � w R � i,t R i,t+1 i=1. 因而可以得到資產i在時間t和時間t + 1之周轉率如下： ∗ ∗ TOR i,t+1 = |w � i,t −w � i,t−1. �1 + R i,t � | � oos,p,t ) (1 + R. 投資組合在時間t + 1之周轉率為每個資產在時間t和時間t + 1之周轉率的和，如下：. N. TOR p,t+1 = � TOR i,t+1. 2.3.4 投資組合之淨報酬. i=1. Yen(2012)將投資的交易費考慮進來，提出用投資組合在時間t + 1. 時的樣本外投資組合淨報酬來評估投資組合績效，如下：. � net � R oos,p,t+1 = �1 − εTOR p,t+1 � × �1 + R oos,p,t+1 � − 1. 2.3.5 活躍資產的比例(PAC). 資產之間相類似的情況會影響投資組合的表現，因而提出在時間t時，有投資的資產個數佔全部資產的比例，利用這個指標來評估投資績效 Yen(2012)，如下：. ∗ 其中 S� t+ = �i：w � i,t > 0�. PACt =. �S� t+ ∪ S� t− � N. ∗ S� t− = �i：w � i,t < 0�. 但又怕投資人太過專注於某些特定的資產，因而給予一個處罰項，並提出 adjusted normalized Herfindahl-Hirschman Index(ANHHI)在時間t為 1 HHIt − � |St | ANHHIt = 1 1− � |St | 14.

(22) 其中 HHIt =. 2. �w � ∗i,t � ∑N ∗ 2 i=1 (∑N �w i=1 � i,t �). ∗ S� t = �i：w � i,t ≠ 0�. =. 2. �|w � ∗t |�2 � ∗t �� w. 2 1. 最後也定義一個在時間t 的shortsales-long ratio，投資組合中短部位佔長部位的比例，此指標可以幫助看活躍資產的比例。模型如下：. 2.3.6 Treynor 指標. SLR t =. ∗ ∑i∈S�−t |w | � i,t. ∗ ∑i∈S�+t |w � i,t |. Treynor(1965)藉由包含投資組合係數，來評估投資組合績效；Treynor 建議可用投資組合報酬相對於風險來衡量投資組合的績效，也就是每承擔一單位的系統風險所獲得的報酬。其所建立的評估指標如下所示：. 其中 R p ：投資組合報酬率. Tp =. Rp − Rf 𝛽𝑝. R f ：無風險利率. βp ：投資組合之 beta 係數. 2.3.7 Jensen 指標. Jensen(1968)將證券市場迴歸線加以修正，使其成為一績效評估指標，其模式如下所示： E�R pt − R ft � = Jp + βp × �R mt − R pt � + ε. 其中 R p ：投資組合報酬率 R f ：無風險利率. βp ：投資組合之 beta 係數. Jp ：投資組合 P 之 Jensen 指標 ε：誤差項. Jensen 透過多期的迴歸模式來求算Jp 值。Jp 為迴歸式的截距項，代表投資組合的. 績效，當Jp 愈大時代表投資組合的績效愈佳，反之則愈差。雖然 Jensen 與 Treynor 15.

(23) 一樣，都是直接利用 CAPM 推導出其評估績效的指標，但不同於 Treynor 及 Sharpe 指標的地方，在於JP 為一衡量絕對績效的觀念。. 2.4 效用函數要了解何謂效用函數，就要先知道什麼是效用，效用(utility)的名詞解釋為經濟主體從商品的消費上所獲得的主觀上的滿足程度，簡單來說就是當你買了一個東西，你所得到的滿足感，而經濟學者將此效用藉由數學分析表示，便是效用函數(utility function)。早期效用函數是商品越多效用越高，而財務上效用函數是財富越多效用越大。當投資人對有興趣的資產做投資組合時，投資人希望期望報酬 (expected return)越大越好，在此，我們將期望報酬視為效用(滿足感)，比較直觀的想法為期望得到的報酬愈多，滿足感就會愈大。學理上，效用函數常被用來衡量投資組合的綜合表現，目前，常見的效用函數如下：. 2.4.1 二次式效用函數效用函數最早是 Markowitz (1952)平均數-變異數模型找最佳資產配置，其中用變異數衡量風險衍生出二次式效用函數，模型如下： U(w) = w −. 1 2 w , a > 0, ∀𝑤 其中 w：財富 2a. 2.4.2 指數型效用函數. 不同條件考量下，最佳化效用函數時可得到常數絕對風險厭惡(CARA)所衍生的指數型效用函數，其假設絕對風險厭惡衡量指標為一個與財富( w )無關大於零的常數，模型如下： A(w) =. −U"(w) = a, a > 0 U ′ (w). U(w) = −e−aw , a > 0. 其中 A(w)：絕對風險厭惡衡量指標. 文中第四章模擬將會利用效用函數的一次微分和二次微分，進而計算出不同投資策略的絕對風險厭惡衡量指標 A(w)來比較投資策略的表現。 16.

(24) 2.4.3 對數型效用函數同樣的，最佳化效用函數時，由於不同的條件考量下也可得到常數相對風險厭惡(CRRA)所衍生的對數型效用函數，其假設相對風險厭惡衡量指標為一個與財富( w )無關大於零的常數，模型如下： R(w) = −. wU"(w) = r, r > 0 U ′ (w). w1−r. U(w) = � 1−r lnw. ,r ≠ 1. 其中 R(w)：相對風險厭惡衡量指標. ,r = 1. 以上幾種為常見的效用函數，而效用函數的特性一般視為非遞減且凹向下，也就是函數的一次微分大於零，二次微分小於零，本文第三章也會利用效用函數的特性來推導投資策略所對應的效用函數。. 17.

(25) 第三章. 研究方法. 大部分的投資人做投資組合時，皆是希望持有投資組合一段期間後，投資組合的期望報酬為最佳，因而本文採用平均報酬來衡量不同投資策略之投資組合的表現，再者，高報酬必定伴隨著高風險，因此，本文也將投資組合所承擔的風險納入考量，採用每承擔一單位風險的風險溢酬—夏普指數來衡量投資績效，最後將效用函數得到的絕對風險厭惡衡量指標 A(w)拿來衡量不同投資策略的風險厭惡態度，本研究也試圖發展出每個策略的效用函數，應用於將來對於不同投資人的風險態度，可以給予投資人一個較完善的投資建議。. 3.1 投資組合衡量指標 3.1.1 期望報酬當投資人持有投資組合時，無論期間多長，皆是希望該投資組合的期望報酬最大，因此本研究藉由模擬多種不同股市波動來產生不同的期末價值，利用期初與期末的資產總值計算簡單報酬(simple return)，重覆生成 100 次後，以這些簡單報酬的期望值視為投資人採用此策略在該持有期間的平均期望報酬。. 3.1.2 夏普指數本研究討論的投資組合為風險性資產與無風險性資產所構成，投資風險性資產應該具有高風險高報酬的特性，若只用平均報酬來衡量投資策略的表現可能不太公平，因為高報酬的資產風險一定也比較高，因此本研究也採用夏普指數來衡量投資策略的表現。. 3.1.3 絕對風險厭惡衡量指標文中有了每個策略的最佳資產配置後，即可繪製成效率前緣線，利用效率前緣就是效用函數的估計式，將效率前緣與策略的風險厭惡結合，將不同策略效率 18.

(26) 前緣線的一次微分與二次微分估計，得到之絕對風險厭惡衡量指標，拿來比較不同投資策略對於風險的態度。. 3.2 動態投資策略之效用函數 3.2.1 買進並持有策略假設投資標的為股票和債券兩種資產，其中先將債券視為無風險性資產，投資組合為買 2 股股票和 2 股債券，其中X為股票，Y為債券，P1為股市上漲機率，. P2為股市下跌機率，r1 為股市每天上漲的比例，r2 為股市每天下跌的比例，A和B分. 別為一開始投資在股票和債券的金額，無風險利率為0.01%，先考慮r1 = r2 = 0.5%，固定持有此投資組合 N 天，此持有期間投資組合的平均報酬(3.1)式和變. 異數(3.2)式，若投資組合為wX + (1 − w)Y，可以利用 Markowitz 的概念推導出最佳資產配置(3.3)式，詳細推導過程見附錄一，而其他兩種投資策略目前還沒有理論值，本文將利用第四章模擬方式來呈現。 A c(cN −1). E(PN ) = � � N Var(PN ) =. c−1. 4b. N(a−c2 ). [. B e(eN −1). +� � N. a�aN −1� a−1. −. (3.1). e−1. c2 (c2N −1) c2 −1. ]. (3.2). 其中 a = 1 + 0.01(P1 − P2 ) + 0.0052 (P1 + P2 ). b = X02 × 0.0052 [P1 + P2 − (P1 − P2 )2 ]. c = 1 + 0.005(P1 − P2 ) ， e = 1 + 0.0001. w=. X c(cN−1) Y0 e(eN −1) � 0� −� � N. c−1. N. 2kVar(X). 其中Var(X) =. e−1. X20 a�aN −1� N. [. a−1. −. (3.3) c2 (c2N −1) c2 −1. ]. 19.

(27) 第四章. 模擬與實證. 本章節先採用模擬的方式，模擬投資人在不同景氣的市場下，持有投資組合短期、中期和長期，採用不同投資策略，投資組合的績效表現。之後再以一筆台灣金融市場的真實資料，來驗證第一節的模擬結果。並且針對本研究的結果給予投資人一個初步的投資建議。. 4.1 模擬研究 4.1.1 資料生成本文想要探討投資人在不同的景氣情況下，討論持有投資組合期間長短不同，採用不同的投資策略，投資組合的表現，以及投資策略的最佳資產配置。投資人在做投資組合時，加入無風險性資產會讓投資組合做得更好，本文是討論風險性資產(股票)和無風險性資產(債劵)構成的投資組合，考慮 N 個風險性資產和一個無風險性資產，不同景氣狀況下，股票報酬服從的分配不同，模型假設如下: rs ~N(μ = 0.01, σ = 0.02). 景氣好. 當 N=1，� rs ~N(μ = 0.0042, σ = 0.012) 景氣平當 N=2，. rs ~N(μ = 0.002, σ = 0.008) 景氣差. rs1 ~N(μ = 0.01, σ = 0.02). 景氣好. 其中rs 為股票的報酬. rs2 ~N(μ = 0.012, σ = 0.021). �rs1 ~N(μ = 0.0042, σ = 0.012) 景氣平 �rs2 ~N(μ = 0.004, σ = 0.011) rs1 ~N(μ = 0.002, σ = 0.008) 景氣差. 景氣好景氣平. rs2 ~N(μ = 0.0025, σ = 0.009) 景氣差. 其中rs1 、rs2 分別為股票 1 和股票 2 的報酬. 模型參數的假設是參考實際資料後所做，本文認為股市景氣好時，每年報酬率可達約 12%；景氣持平則每年約 5%；即使景氣差則還是比定存一年約 1.2%多，假設景氣差每年約 2.4%，標準差則依據實際資料的變異與高風險高報酬所做之假設，以上生成的報酬皆假設為月資料，且假設無風險利率rf 為0.001，當 N=1 時， 20.

(28) 本文將討論投資組合為一個風險性資產和一個無風險性資產，資產配置分為 (0.01,0.99)、(0.1,0.9)、(0.2,0.8)、…、(0.9,0.1)和(0.99,0.01)等 11 種投資組合；當 N=2 時，投資組合為兩個風險性資產和一個無風險性資產，資產配置為 (0.1,0.1,0.8)、(0.1,0.2,0.7)、…、(0.8,0.1,0.1)等 36 種投資組合，一次抽一組報酬，由於投資組合中資產間相關性呈現越大的負相關，其投資組合之風險越分散，因而假設rs1 和rs2 相關係數為−0.8，投資標的為股票和債券兩種，本文先將債券視為無風險性資產，並且將市場景氣情形分為景氣好、持平、差和混合，其中景氣. 混合的目的是真實投資市場不可能是單一一種景氣情形，應該為景氣好壞的混合，本文參考文獻和 NBER 網站上的建議，將景氣混合假設為市場好、持平和差的比例為 2:1:1，在每種不同的景氣狀況下討論不同投資策略的投資表現以及最佳資產配置。此外，投資人皆是用過去的資料來預測未來，本文也採用這樣的方式來探討投資組合的表現，並且與傳統 Markowitz 的投資方法作比較，由於傳統投資策略對於風險容忍度較小，與本文投資策略作比較時較失公平性，因而將前述的投資比例再細分，當 N=1 時，討論一個風險性資產和一個無風險性資產，投資比例為(0.01,0.99)、(0.02,0.98)、…、(0.99,0.01)共 99 種投資組合；當 N=2 時，討論兩個風險性資產和一個無風險性資產，投資比例為 (0.01,0.01,0.98) 、 (0.01,0.02,0.97)、…、(0.98,0.01,0.01)共 4851 種投資組合，在每種不同的景氣狀況下討論不同投資策略的表現。以下模擬結果的圖和表格中，將買進並持有策略計作 BAH；固定比例策略計作 CONSTM；固定比例投資組合保險策略計作 CPPI；傳統 Markowitz 方法則用不同風險忍受度 L 來表示。. 4.1.2 投資策略的比較-平均報酬當投資人只考慮期望報酬下，N=1 時，考慮一個風險性資產和一個無風險性資產，在未來景氣看好的情況，由圖 4.1.2.1 可以看到無論是持有期間多長：半年、一年、五年或七年以上，投資人採用固定比例投資組合保險策略所得到的平 21.

(29) 均期望報酬會比固定比例策略和買進並持有策略高。當股市上漲機率大過下跌機率時，固定比例策略會在股市上漲時賣掉股票，而買進並持有策略是維持原本的股數，固定比例投資組合保險策略則會不斷的買進股票，因而相對於固定比例策略，買進並持有和固定比例投資組合保險策略所持有的股數較多，且隨著股價一直攀升，投資組合的總價值會一直上升。對於投資人採用不同的投資策略，最佳的資產配置比例也不同，可以從附錄二的表 1 中了解無論是何種投資策略，在只考量期望報酬下，無論是哪個持有期間，投資人皆會傾向於將全部的資金投資於股票上，由於股票的報酬較無風險利率大，在不考量風險只考慮報酬最大化的情況下，投資人將資產配置放置在股票上可獲得較大的期望報酬。同樣的，若市場景氣狀況持平或景氣差，由圖 4.1.2.2 和圖 4.1.2.3 可以看到，若投資人只考慮報酬的情況下，投資人採用固定比例投資組合保險策略會得到較大的期望報酬，投資人不但投資較高比例在股票上，且景氣差時，投資人會在股市下跌時賣掉股票來買債券，相對地，固定比例策略會在低點的時候不斷的買進股票，因而股市持續下跌時，固定比例投資組合保險策略的表現較固定比例和買進並持有策略好。再由圖 4.1.2.4 看到，在本文假設的混合型市場下，固定比例投資組合保險策略所得到的期望報酬還是較另外兩個策略大，在本文的假設中，股市有一半的機率是上漲，平均而言整體市場景氣還算不錯，因而只考慮期望報酬下，固定比例投資組合保險策略表現較好。圖 4.1.2.1 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣好. 景氣好 2.50 平均報酬. 2.00 1.50. BAH. 1.00. CONSTM. 0.50. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 持有期間單位(月) 22. 80. 100.

(30) (註：BAH 為買進並持有策略 CONSTM 為固定比例策略 CPPI 為固定比例投資組合保險策略). 圖 4.1.2.2 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣持平. 景氣持平 0.60 平均報酬. 0.50 0.40 0.30. BAH. 0.20. CONSTM. 0.10. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.2.3 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣差. 平均報酬. 景氣差 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00. BAH CONSTM CPPI(m=2) 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.2.4 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣混合. 景氣混合 1.20. 平均報酬. 1.00 0.80 0.60. BAH. 0.40. CONSTM. 0.20. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 持有期間單位(月). 23. 80. 100.

(31) 當 N=2 時，無論是景氣好、持平、差或是混合時，由圖 4.1.2.5、圖 4.1.2.6、圖 4.1.2.7 和圖 4.1.2.8 可以看到，不管持有期間多長，在只考慮期望報酬下，固定比例投資組合保險策略的表現較固定比例策略和買進並持有策略好。再者，由表 2 可以發現，景氣好時，股票 2 的平均報酬較股票 1 大，投資人會將較大的投資比例放置股票 2 中，反之，由表 4 看到景氣持平時，股票 1 比股票 2 大，因而投資比例會與景氣好時相反。圖 4.1.2.5 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣好. 景氣好 3.50 3.00 平均報酬. 2.50 2.00. BAH. 1.50. CONSTM. 1.00. CPPI(m=2). 0.50 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.2.6 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣持平. 景氣持平 0.60. 平均報酬. 0.50 0.40 0.30. BAH. 0.20. CONSTM CPPI(m=2). 0.10 0.00 0. 20. 40. 60. 持有期間單位(月). 24. 80. 100.

(32) 圖 4.1.2.7 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣差. 景氣差 0.30. 平均報酬. 0.25 0.20 0.15. BAH. 0.10. CONSTM. 0.05. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.2.8 各個策略不同持有期間的平均報酬-景氣混合. 平均報酬. 景氣混合 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00. BAH CONSTM CPPI(m=2) 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 4.1.3 投資策略的比較-夏普指數投資者建構投資組合時，鮮少不考慮風險，所謂高風險高報酬，承擔風險才能得到額外的報酬，因而考慮期望報酬下也加入風險的考量，本研究採用夏普指數來衡量投資策略每承擔一單位風險所能額外得到的報酬，由於 N=1 和 N=2 的結果相似，文中以 N=1 為例，而 N=2 的結果於附錄中。由圖 4.1.3.1、圖 4.1.3.2、圖 4.1.3.3 和圖 4.1.3.4 和附錄二中表 9、11、13 和 15 可以看到，投資組合考慮風險後，無論持有期間為何，固定比例策略的夏普指數較大。若投資人採用固定比例策略，假設股票在 3000 點買進(低點)，相較於固定比例投資組合保險策略在 7000 點買進(高點)，固定比例策略在未來股市上漲的空間較大，怎麼賣都賺錢， 25.

(33) 而固定比例投資組合保險策略要等到股市漲到上萬點，不知要等多久，因而要賺比較難。因此，固定比例是相對較保守的投資策略，承擔的風險較低且期望報酬又有一定的保障，相較於固定比例投資組合保險策略，用夏普指數來衡量投資表現，保守的做法會勝出。由表 9 和表 10 可以看到，短期持有投資組合時，最佳配置會放在股票上，隨著持有期間變長，資產配置會慢慢往債券移動，而固定比例策略相對保守，因而資產配置往債券移動的速度較快。若投資人較保守，則會建議使用固定比例策略，並且很早就會建議他去定存；固定比例投資組合保險策略則是較適合積極型的投資人，若是對資產配置改變較不積極的投資人則建議採用買進並持有策略。圖 4.1.3.1 各個策略不同持有期間的夏普指數-景氣好. 景氣好 5.00. 夏普指數. 4.00 3.00. BAH. 2.00. CONSTM. 1.00. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.3.2 各個策略不同持有期間的夏普指數-景氣持平. 景氣持平 3.50. 夏普指數. 3.00 2.50 2.00. BAH. 1.50 1.00. CONSTM. 0.50. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 持有期間單位(月) 26. 80. 100.

(34) 圖 4.1.3.3 各個策略不同持有期間的夏普指數-景氣差. 景氣差 2.00. 夏普指數. 1.50 BAH. 1.00. CONSTM. 0.50. CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 圖 4.1.3.4 各個策略不同持有期間的夏普指數-景氣混合. 夏普指數. 景氣混合 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00. BAH CONSTM CPPI(m=2) 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 4.1.4 投資策略之效用函數分析與比較效用函數的彎曲程度與絕對風險厭惡衡量指標 A(w)有關，利用最佳資產配置可以建構出效率前緣，而效率前緣就是效用函數的估計，我們可以用效用函數的一次微分和二次微分計算出絕對風險厭惡衡量指標 A(w)，圖 4.1.4.1 為傳統效率前緣的圖形，以數學的角度來說，找三點來計算兩點之間的斜率為一次微分，斜率之間的變化為二次微分，而這三點找的越接近估計越好，越遠估計越差，模擬值與理論值落差越大。. 27.

(35) 圖 4.1.4.1 傳統效率前緣. 本文實際的作法是為了想抓整個效用函數曲率的變化，在此我們希望找三點可以涵蓋整個範圍，圖 4.1.4.2 以持有 30 期固定比例策略之效率前緣為例，我可能找到圖中用粉紫色圈出的三個點來計算一次微分和二次微分，進而得到風險厭惡衡量指標 A(w)，此衡量指標數值越大則表示效用函數彎曲程度越強，投資人風險厭惡越大，而各個策略不同持有期間的效率前緣圖形置於附錄二。由表 4.1.4.1、表 4.1.4.2、表 4.1.4.3 和表 4.1.4.4 看到當景氣好或持平時，大多是採用固定比例策略的投資人風險厭惡較大，由於固定比例是在低點時買進風險性資產圖 4.1.4.2 持有 30 期固定比例策略之效率前緣. 平均報酬. 持有30期 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00. 0.0673064 , 0.0482783 , 0.1244368 0.1130573 CONSTM. 0.0007978 , 0.0314739 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 標準差. 28. 0.08. 0.10.

(36) ，高點時賣掉風險性資產，是個相對保守的投資策略，因而風險厭惡較大，導致風險性資產投資比例較低，且由資產配置上可對照附錄二的表 9 與表 10，考慮風險下景氣好的表格，以表 4.1.4.1 和表 4.1.4.2 中 N=1 固定比例策略持有 60 期和 N=2 固定比例策略持有 90 期為例，風險厭惡大則投資風險性資產的比例確實比較小。同樣的，景氣持平時，以固定比例策略持有 60 期為例，可對照附錄二表 11 考慮風險下景氣持平的表格，風險厭惡指標大，投資風險性資產比例低。表 4.1.4.1. N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣好. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.24988. 0.33550. 0.19278. 0.30369. 0.09579. CONSTM. 0.26241. 0.35475. 0.24095. 0.36530. 0.31621. CPPI. 0.25262. 0.30959. 0.23462. 0.33991. 0.20212. 表 4.1.4.2. N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣好. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.65807. 0.54364. 0.61526. 0.66499. 0.35652. CONSTM. 0.66781. 0.56301. 0.54014. 0.67020. 0.39545. CPPI. 0.65915. 0.54229. 0.57057. 0.66756. 0.34088. 表 4.1.4.3. N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣持平. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.04117. 0.07679. 0.65128. 0.23068. 0.38059. CONSTM. 0.04867. 0.09116. 0.65060. 0.27247. 0.41810. CPPI. 0.04561. 0.07959. 0.66228. 0.22818. 0.34517. 表 4.1.4.4. N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣持平. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.57619. 0.09366. 0.63968. 0.16404. -2.15148. CONSTM. 0.57766. 0.45160. 0.61108. 0.29875. 0.27931. CPPI. 0.57918. 0.11718. 0.61001. -0.16076. 0.35396. 而當市場景氣不佳時，由表 4.1.4.5 和表 4.1.4.6 看到固定比例投資組合保險策略的風險厭惡較大，此策略是在高點買進和低點賣出風險性資產，當景氣差時，投資人採用固定比例投資組合保險策略會不斷地賣掉風險性資產，趕快獲利了結，因而風險厭惡較大，且投資風險性資產的比例則較小。. 29.

(37) 表 4.1.4.5. N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣差. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. -0.02813. 0.35860. 0.42725. 0.44298. 0.26729. CONSTM. -0.02806. 0.36290. 0.42828. 0.45294. 0.27663. CPPI. -0.01734. 0.36914. 0.43731. 0.45046. 0.43334. 表 4.1.4.6. N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣差. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.43164. 0.31691. 0.59636. 0.29387. 0.34213. CONSTM. 0.43499. 0.34498. 0.59021. 0.29452. 0.35043. CPPI. 0.42912. 0.32356. 0.58564. 0.34463. 0.46063. 當市場景氣混合時結論不一定，表 4.1.4.7 為一個風險性資產和一個無風險性資產的投資組合構成的，在本文的假設下，景氣好的機率占一半，積極投資人採用固定比例投資組合保險策略得到的報酬和風險相對較大，效用前緣彎曲的程度也較大，因而風險厭惡衡量指標較大。表 4.1.4.8 為兩個風險性資產和一個無風險性資產，模擬結果可能由於短期景氣混合的情況較不穩定，樣本數少混合比例較不穩，得到的結果也較不一定，而長期平均而言，景氣混合比例較穩定，景氣好的比例又占多數，則在景氣好時，固定比例策略的風險厭惡較大。表 4.1.4.7. N=1 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣混合. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.52095. 0.52411. 0.50231. 0.59531. 0.50187. CONSTM. 0.52077. 0.52669. 0.50848. 0.58444. 0.50130. CPPI. 0.52857. 0.54062. 0.50302. 0.64254. 0.54857. 表 4.1.4.8. N=2 不同持有期間不同投資策略的絕對風險厭惡值-景氣混合. 投資策略. 6期. 12 期. 30 期. 60 期. 90 期. BAH. 0.48362. 0.17820. 0.08039. 0.21433. 0.13576. CONSTM. 0.47569. 0.21596. 0.11364. 0.28841. 0.19357. CPPI. 0.47703. 0.16662. 0.13301. 0.01123. 0.16276. 30.

(38) 4.1.5 用過去資料預測未來投資組合的表現投資人在做投資時，往往都是用過去的資料來預測未來，本文也採用這樣的作法來比較不同投資策略的表現。模擬做法為若投資人想要觀察持有半年投資組合的表現，則先生成半年的資料視為過去的資料，以過去資料找到最佳資產配置後，再以此比例持有未來半年，以此類推。討論不同持有期間，投資策略的表現，由於投資組合為風險性資產和無風險性資產構成，且不同風險厭惡程度的投資人採用的投資策略也不同，因而本研究採用夏普指數來衡量投資人採用不同投資策略，風險性資產額外承擔每一單位風險所得到的風險溢酬，夏普指數越大則表示風險溢酬越大，投資組合表現越好。投資策略本身有不同的風險厭惡態度，固定比例策略為股市下跌就買進股票和上漲就賣出，固定比例投資組合保險策略則相反，買進並持有策略為買進後就不去更動投資組合，與傳統 Markowitz(1952)投資組合的差異為 Markowitz 是在一定風險忍受程度(L)下找投資報酬最大的最佳資產配置，由於另外三種投資策略於 4.1.3 節提到，策略本身對於風險就有一定的厭惡程度，為了和傳統 Markowitz 投資策略做比較，本研究的三種投資策略是在所有可能的投資比例中找報酬最大的最佳資產配置。在不同景氣情況下討論文中三種投資策略和 Markowitz 不同風險忍受程度投資策略，用夏普指數來比較投資組合的表現。以 N=1 為例，由圖 4.1.5.1 知道景氣好時，固定比例策略的夏普指數較大，此結果是與前面敘述中相同，也可以由表 18 知道不管持有期間多長，投資人採用固定比例策略是可以獲得較大的夏普指數，固定比例策略透過股票買賣的進出，可以即時反映市場的波動，承擔的風險較小，報酬又有一定的保障，因而夏普指數會較大。由圖 4.1.5.2 與附錄二中表 19，當景氣持平，結果也跟景氣好時相同，投資人採用固定比例策略的夏普指數表現較佳，但有時投資人採用 Markowitz 在一定風險忍受程度 L 較小時，投資風險性資產的比例低，又有一定的報酬，用夏普指數比較時，傳統 Markowitz 的做法可能會勝出。. 31.

(39) 圖 4.1.5.1 景氣好 N=1 用過去資料預測未來之各個策略的夏普指數. 景氣好-N=1 3.00. 夏普指數. 2.50 Marko(L=0.00001). 2.00. Marko(L=0.00005). 1.50. Marko(L=0.0001). 1.00. BAH. 0.50. CONSTM CPPI(m=2). 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. 持有期間單位(月). 由圖 4.1.5.3 與附錄二中表 20，當景氣差時，投資人採用固定比例策略可獲得較大的夏普指數，有時採用 Markowitz 在一定風險忍受程度 L 較小時，投資組合的表現也可能較好，由於股市下跌的機率較大，因而保守的投資策略與風險忍受小之策略，投資風險性資產比例小，股市下跌時，投資組合損失較小，投資組合總值較大承擔的風險又較低，因而夏普指數會較大。固定比例在股市跌時買進，股市一旦上漲期望報酬會較大，這樣夏普指數較大是可能發生的。由圖 4.1.5.4 與附錄二中表 21，當市場景氣為混合時，大部分投資人採用固定比例策略的夏普指數較大，基於本文對於市場混合的假設下，景氣好的機率占一半，因而固定比例策略會在景氣好時賣掉風險性資產來買進無風險性資產，投資組合承擔的風險較小，期望報酬又有一定的保障，因此可以獲得較高的夏普指數。而投資人採用 Markowitz 在一定風險忍受程度 L 較小時，投資人要承擔的風險也較小，因而夏普指數可能較大。而短期持有投資組合時，股市的不確定性相對較小，投資組合的調整可能不太重要，因而買進並持有策略的夏普指數可能較大。N=2 的結果於附錄二中。. 32.

(40) 圖 4.1.5.2 景氣持平 N=1 用過去資料預測未來之各個策略的夏普指數. 景氣持平-N=1. 夏普指數. 2.50 2.00. Marko(L=0.00001). 1.50. Marko(L=0.00005). 1.00. Marko(L=0.0001). 0.50. BAH CONSTM. 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. CPPI(m=2). 持有期間單位(月). 圖 4.1.5.3 景氣差 N=1 用過去資料預測未來之各個策略的夏普指數. 景氣差-N=1 1.20 夏普指數. 1.00. Marko(L=0.00001). 0.80. Marko(L=0.00005). 0.60. Marko(L=0.0001). 0.40. BAH. 0.20. CONSTM. 0.00 0. 20. 40. 60. 80. 100. CPPI(m=2). 持有期間單位(月). 圖 4.1.5.4 景氣混合 N=1 用過去資料預測未來之各個策略的夏普指數. 景氣混合-N=1 3.00. 夏普指數. 2.50. Marko(L=0.00001). 2.00. Marko(L=0.00005). 1.50. Marko(L=0.0001). 1.00. BAH. 0.50. CONSTM. 0.00 0. 20. 40. 60. 持有期間單位(月). 33. 80. 100. CPPI(m=2).

(41) 4.2 實證分析 4.2.1 資料來源與研究設計本文採用一筆實際的資料來驗證模擬的結果，資料蒐集台積電和長榮航空的月平均收盤價以計算月報酬以及台灣政府 10 年期公債每日殖利率(報酬率)年化資料，將政府公債資料轉成月資料，期間為 2005/1/1~2010/3/31，共 6 年多的資料。先採用過去一年的資料找出最佳的資產配置，再用此投資組合投資未來 1 年、2 年、4 年等，比較投資人採用不同投資策略投資組合期末的期望報酬。. 4.2.2 實證結果圖 4.2.2.1 為本實證投資組合中三個投資標的，這段期間的平均月報酬圖形，本研究蒐集的資料涵蓋金融風暴期間，討論不同投資策略的表現。由表 4.2.2.1 知道這段期間長榮航空的期望報酬介於-0.185～0.308；台積電的期望報酬介於 -0.148～0.112；政府公債的期望報酬介於 0.0011～0.0022，台積電這六年的平均月報酬為 0.0052；政府公債平均月報酬為 0.0017；長榮航空為-0.0031 且變異是較台積電大，原由 2008 年 7 月每週兩岸包機的服務啟動後，長榮航空因為兩岸三通的協議增加直飛大陸地區的航班。而 2007 到 2008 年間，由於燃油價格狂飆 34%，長榮航空在 2007 年就損失了 6,120 萬美元。2008 年 8 月，因為燃料成本暴增，長榮航空公佈第二季度虧損超過 500 億(引用自維基百科)。選取一間電子業和一間航空業主要是為了降低投資標的間的相關性，若投資組合間的相關性越低則投資組合的風險越分散，表 4.2.2.2 可以知道台積電與長榮航空的相關係數為 0.294，再者，我們可以由偏態與峰度的值知道真實的股票市場報酬並不符合常態，而這個也是與本文第四章模擬分析的假設上最大的不同點。我們可以利用過去一年的資料計算出各個投資標的之統計量後，如表 4.2.2.3，可以看到過去一年長榮航空的平均月報酬為負值，因而最佳資產配置投資人會放置較低的比例，再以這些資料來決定一個最佳的資產配置比例，以此投資比例持有未來的 1 年、 2 年和 4 年，其中投資比例為(0.01,0.01,0.98)、(0.01,0.02,0.97)、…、(0.98,0.01,0.01) 34.

(42) 共 4851 種投資組合，表 4.2.2.4 可以看到投資人採用 Markowitz 在一定風險忍受程度 L 為 0.0001 下最佳投資組合為(0.16,0.01,0.83)，以此投資比例持有未來 1 年、 2 年和 4 年可獲得較大的報酬，由於過去一年的資料顯示長榮航空的平均報酬為負值，因而最佳的投資比例為 0.01，幾乎不投資此標的，也可以看到隨著風險忍受程度 L 變大，最佳配置在股票上的比例就會增加，政府十年期公債的比例就會與台積電的投資比例相互抵換，若只看本文中主要的三個投資策略，則投資人採用固定比例策略可獲得較大的報酬。圖 4.2.2.1 三個投資標的六年間之平均月報酬. 2005/1/1~2010/3/31 0.40 0.30 平均月報酬. 0.20 台積電. 0.10. 長榮航空. 0.00. 政府公債十年期. -0.10 -0.20 -0.30. 表 4.2.2.1 各個投資標的之統計量. 台積電長榮航空政府公債十年期. 個數. 最小值. 最大值. 平均數. 標準差. 統計量. 統計量. 統計量. 統計量. 統計量. -.147617 .111523 -.184670 .308357 .001146 .002235. .005243 -.003069 .001661. .057473 .091106 .000318. 62 62 62. 35. 偏態. 峰度. 統計量標準誤統計量標準誤 -.320 .741 .056. .304 .304 .304. .181 1.128 -1.145. .599 .599 .599.

(43) 表 4.2.2.2 投資標的台積電與長榮航空之相關性. 台積電. 台積電. 長榮航空. 1. .294*. Pearson 相關顯著性 (雙尾). .020. 個數長榮航空. 62. 62 *. Pearson 相關. .294. 顯著性 (雙尾). .020. 個數. 1. 62. 62. *. 在顯著水準為0.05 時 (雙尾)，相關顯著。. 表 4.2.2.3 各個投資標的前一年的統計量台積電前 1 年平均報酬. 長榮前 1 年平均報酬. 公債前 1 年平均報酬. 0.0243498 台積電前 1 年變異數. -0.0242359 長榮前 1 年變異數. 0.0017057 公債前 1 年變異數. 0.0035790 0.0036713 相關係數=0.0019207. 0.0000000. 表 4.2.2.4 各個投資標的未來的報酬策略. 最佳比例. 1 年後報酬. L=0.0001. (0.16,0.01,0.83). 0.0129828. 0.0330310. 0.0638196. L=0.0005. (0.37,0.01,0.62). 0.0089561. 0.0207139. 0.0436803. L=0.001. (0.52,0.01,0.47). 0.0060798. 0.0119159. 0.0292950. BAH. (0.98,0.01,0.01). -0.0027407. -0.0150645. -0.0148198. CONSTM. (0.98,0.01,0.01). -0.0024635. -0.0141564. -0.0123180. CPPI(m=2). (0.98,0.01,0.01). -0.0165466. -0.0407361. -0.0807852. 36. 2 年後報酬. 4 年後報酬.

(44) 第五章. 結論. 5.1 結論傳統的文章大多是在期望報酬與風險的考量下來比較投資策略的表現，財務理論中是用效用函數的觀點來衡量，且效用函數的彎曲程度表示投資人對於風險厭惡的態度，本研究是在兩種皆考量下將兩者結合一起比較，希望藉由本研究的結果給予投資人一個整體且完善的投資建議。整體市場景氣變動混合下，長期平均而言，較保守的固定比例策略之風險厭惡較大，投資風險性資產的比例相對較小。當市場景氣好或持平時，固定比例策略的風險厭惡較大；當景氣差時，採用固定比例投資組合保險策略的投資人風險厭惡較大。採用固定比例策略的投資人較保守，投資風險性資產比例較低，承擔的風險較小但又有一定報酬的保障，加入風險的考量下，保守的做法會勝出。因而較保守的投資人會建議使用固定比例策略，較積極的投資人會建議採用固定比例投資組合保險策略，對於資產配置改變較不積極的人會建議買進並持有策略。雖然本研究之假設對照於真實市場有些許的瑕疵，但大致上本文的結果給予投資人的是一個大方向的投資建議。. 5.2 未來研究方向由於時間的關係，本研究在固定比例策略和投資組合保險策略上沒有給予理論值，再者，由實證分析部分可以知道真實股市的報酬大多不為常態，而本文模擬研究報酬皆假設常態，這些部分可以在未來研究上做調整，例如股價報酬大部分認為有厚尾的現象，因而可以建立符合厚尾分佈的模型，例如 T 分佈，或是可以用混合常態來更貼近真實市場的多峰狀態，進而讓本研究之結果更符合實際市場真實的情況。. 37.

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(47) 附錄一買進並持有策略之效用函數推導假設投資組合為買 2 股股票和 2 股債券，模型假設如下: A：一開始投資在股票的金額 B：一開始投資在債券的金額 P1：股市上漲機率 P2：股市下跌機率 r1 ：股市上漲比例 r2 ：股市下跌比例 rf ：無風險利率為0.01% Xi ：第 i 天的股票價值 Yi ：第 i 天的債券價值 Pi：第 i 天的投資組合總值 Pn = 2Xn + 2Yn 第 n 天的投資組合總值 A = 2X0 Xn−1. B = 2Y0 P0 = 2X0 + 2Y0. P1. P2. 1 − P1 − P2. Xn−1 (1 + 0.005) Xn−1 (1 − 0.005). Yn−1. P1. P2. 1 − P1 − P2. Xn−1. Yn−1 (1 + 0.0001) Yn−1 (1 + 0.0001) Yn−1 (1 + 0.0001). 先考慮r1 = r2 = 0.5%，且債券為無風險性資產固定持有投資組合一段時間(N 天)，投資組合平均期望報酬和風險為(1)和(2)式 E(Pn ) = E(2Xn + 2Yn ) = 2E(Xn ) + 2E(Yn ). E(Xn ) = EE(Xn |Xn−1) = E[P1 Xn−1 (1 + 0.005) + P2 Xn−1 (1 − 0.005) + (1 − P1 − P2 )Xn−1 ] = E[Xn−1 + 0.005Xn−1 (P1 − P2 )] = E(Xn−1 ) + 0.005(P1 − P2 )E(Xn−1 ) = E(Xn−1 )�1 + 0.005(P1 − P2 )� =⋯ = E(Xn−n )[1 + 0.005(P1 − P2 )]n = X0 [1 + 0.005(P1 − P2 )]n E(Yn ) = Y0 (1 + 0.0001)n. E(Pn ) = 2E(Xn ) + 2E(Yn ) = 2X0 [1 + 0.005(P1 − P2 )]n + 2Y0 (1 + 0.0001)n = A[1 + 0.005(P1 − P2 )]n + B(1 + 0.0001)n 40.