指派網路模式

此類模式與前述網路流量模式類似，均是利用網路的表現方式以網路上節 點做為班次，將車輛排程問題以網路表示法轉變成車輛指派模式，使其在給定 固定班表情況下，找出最小成本所有班次之車輛指派方式。而此兩類模式最大 不同點在於指派網路模式是以類似二元圖(bipartite graph)方式進行數學模式構 建，亦即車輛排程問題在網路表現方式是先將所有代表班次的節點數增加變成 兩倍，使節點分為班次起始節點(source node)與班次結束節點(sink node)兩類，

而此兩類節點間可於滿足時間銜接限制之情況下產生節線，表示此兩班次可被 同一輛車執行，而場站節點亦如同班次節點一樣分為兩類，一為場站發車節點，

另一為場站回站節點；其節點上之班次資訊同樣包含：營運開始車站、營運結 束車站、營運開始時間以及班次營運時間等資訊，而各班次的營運成本在營運 總班次數為固定之情形下亦可省略。

指派網路模式可依據路網中不同的班次指派方式，分為純指派網路模式 (Assignment network formulation)與多重貨物指派網路模式(Multi-commodity assignment network formulation)兩類，其相關模式說明分述如下：

a.純指派網路模式(Assignment network formulation)[9]、[26]

在純指派網路模式中，可令N ={1,2,…, n }表所有班次數，p P∈ 為所有 場站，k^p為場站p可使用的車輛數目，則可定義出G^p =(S T^p, ^p,A^p∪A^*p)表 示 一 網 路 圖 ， 其 中 S^p=( ,s s₁^p ₂^p,...,s_n^p) 表 班 次 起 始 節 點(source node) ，

1 2

( , ,..., )^{p p}

p p

T = t t tn 表班次結束節點(sink node)，節點n p+ 表第p個場站；A表 路網中所有節線集合，A^p =｛

(

^{s tip, pj}

)

^:表班次可互相連結(compatible trips) 的節線集合｝，當i= j時表該勤務內僅有一班次i，亦表示車輛在執行班次i完

畢 後 即 返 回 場 站 ， 而

{ } { }

*^p / ^p ( , ) :_i^p _z^p , 1, 2,...,

A = A A ∪ s t i N z n∈ = + n+ n p+ ∪

{

^{( , )s tzp pj j N z n∈ , 1,= + n+2,...,n p+}

^}

；節線成本分為兩類：若^{( , )s tip jp ∈}

{

^{A A/ p}

}

時，節線成本c 則表示班次_ij i與班次 j間車輛閒置成本與車輛空駛成本(如果 此兩班次之營運站不同)之和，若( , )s t_i^p _j^p ∈A^*時，節線成本c 則表示車輛固_ij 定營運成本加上場站與班次i之車輛空駛成本(如果班次i之營運起站與車輛 發車場站不同)加上班次 j與場站之車輛空駛成本(如果班次 j之營運訖站與 車輛回站場站不同)之總和；其路網架構圖如圖 2.2 所示。

此外，由於純指派網路模式無法依靠單一的網路流量變數(x_ij^p∈ )X 使得 所有勤務之起站與訖站均為相同，必須另增加一輔助變數(y_ip∈Y)於限制式 中，如此方可確保所有求得勤務之起站與訖站均為同一，其數學模式如下所 示：

目標式：

Min

( , ) *

∈ ∈ ∪

∑ ∑

^{ij ijp}

p P i j A A

c x (2-6) 限制式：

∈ ( )

∑

^ijp = ^ip

j J i

x y ^{J i( )=}

{

^{j s t: ( , ) (i j ∈ A∪A*) /Ap}

}

^{, ∀ ∈p P , ∀ ∈i N} (2-7)

∈ ( )

∑

^ijp = ^jp

i I j

x y I j^{( )}=

{

i s t^{: ( , ) (}i j ∈ A∪A^{*) /}A^p

}

, ∀ ∈p P , ∀ ∈j N (2-8)

( , )∈ *

∑

^ijp ≤ ^p

i j A

x k ∀ ∈p P (2-9) 1

∈

∑

^ip =

p P

y ∀ ∈i N (2-10)

≥0

p

xij ( , ) (i j ∈ A∪A^*) /A^p,∀ ∈p P (2-11)

{ }

^0,1

ip∈

y ∀ ∈p P, ∀ ∈i N (2-12)

Ap

A* p

圖2.2 多場站車輛排程問題之純指派網路模式架構圖[本研究整理]

而模式變數則依據節線屬性之不同而有不同的定義：

若( , )i j ∈A A/ ^p，則

若第 j個班次接著在第i班次之後，由第p場站派車執行 1,

0,

= ⎨⎧

⎩

p

xij

其他 若( , )i j ∈A ，則 ^*

若第p場站派車執行的勤務中，第 j班次為該勤務第一班 次、第i個班次為該勤務最後班次

1, 0,

= ⎨⎧

⎩

p

xij

其他

若 j N ，則 ∈

若i班次被指派到由第p場站的所屬車輛執行 1,

0,

= ⎨⎧

ip ⎩ y

其他

模式中目標函數(2-6)為確定此車輛排程問題之總成本為最小；限制式 (2-7)、(2-8)與(2-10)為確保每班次僅能被指派一次，且勤務中的所有班次均 由同一場站之車輛執行；限制式(2-9)為各場站可使用車輛數目之限制；限制 式(2-11)為限制每條節線僅能被使用一次；限制式(2-12)為確保勤務中班次場 站需相同之二元變數。

xijp αpi

βip

圖2.3 多場站車輛排程問題之多重貨物指派網路模式架構圖[本研究整理]

b. 多 重 貨 物 指 派 網 路 模 式 (Multi-commodity assignment network formulation)[12]、[17]、[18]

為改善純指派網路模式中，必須使用兩種變數才能使得勤務內營運車輛 的起站與訖站均為相同之狀況，Forbes et al. [12]提出了多重貨物指派網路模 式來解決此問題。如同純指派網路模式一樣，多重貨物指派網路模式仍是將 所有代表班次與場站的節點數增加變成兩倍，使節點分為班次起始節點

(source node)、班次結束節點(sink node)、場站發車節點與場站回站節點，而 此節點間均可在滿足時間銜接限制的情況下產生節線。但與純指派網路模式 不同的是，Forbes 為了滿足多重貨物網路之定義，將每條節線流量之上限與 下限均設定為一，亦即車輛僅能經過任一節線一次；此外，為有效解決勤務 內營運車輛的起站與訖站必須相同之問題，Forbes et al. [12]將路網分為「場 站至各個班次」、「班次間相互銜接」與「各個班次回到場站」三段分別描述，

因此模式中可定義出三個決策變數，分別是：α_pi表第i個班次為第p場站之 營運車輛所執行的首班班次、β_ip表第i個班次為第p場站之營運車輛所執行 的末班班次、x_ijp表第 j個班次緊接著在第i班次之後，可由第p場站派車執 行，此三個變數均為二元變數(其路網架構圖如圖 2.3 所示)，其他模式內相 關符號定義說明如下：a_pi表場站p至i班次營運起站之空駛成本(如果班次i

之營運起站與車輛發車場站不同)與車輛固定營運成本一半之和；b_ip表場站

p至i班次營運訖站之空駛成本(如果班次i之營運起站與車輛發車場站不同) 與車輛固定營運成本一半之和；c_ijp表班次i與班次 j間車輛空駛成本(如果此 兩班次之營運站不同)與班次i營運成本之和；r_p為指派模式中由場站回站節 點至場站發車節點的反向節線流量，可表示由場站p所派出之車輛總數；k^p

為場站p可使用的車輛數目；w_ip為一流量參數，其值為0 或 1，若其值為 1 時則表示班次i是由場站p負責執行，其值為0 則否；其數學模式如下所示：

目標式：

Min

, , , ,

α + β +

∑

^{pi pi}

∑

^{ip ip}

∑

^{ijp ijp}

p i p i i j p

a b c x (2-13)

限制式：

α 0

−

∑

=

p pi

i

r for all p (2-14) β − =0

∑

^{ip p}

i

r for all p (2-15) α^pi−

∑

^jip − ^ip =0

j

x w for all i p (2-16) , , β 0

− −

∑

=

ip pi ijp

j

w x for all i p , , (2-17)

p ≤ p

r k for all p (2-18)

=1

∑

^ip

p

w for all i (2-19) 模式中目標函數(2-13)為確定此多重貨物指派網路模式之總成本為最 小；限制式(2-14)、(2-15)、(2-16)與(2-17)為各種節點之流量守恆限制式、限 制式(2-14)為場站發車節點流量守恆限制、限制式(2-15)為場站回站節點流量 守恆限制、限制式(2-16)為班次起始節點流量守恆限制、限制式(2-17)為班次 結束節點流量守恆限制；限制式(2-18)為反向節線流量之上限限制，可視為 由場站p所派出之車輛總數上限限制；限制式(2-19)為班次內起始節點與結 束節點間流量上限與下限之限制，可確保各班次僅能被唯一場站之車輛所執 行，

在文檔中 汽車客運多場站車輛排程問題之研究 (頁 20-25)