汽車客運多場站車輛排程問題之研究

國 立 交 通 大 學

運 輸 科 技 與 管 理 學 系

博 士 論 文

汽車客運多場站車輛排程問題之研究

The Study of the Multiple-Depot Vehicle Scheduling Problem

of Intercity Bus Carriers

研 究 生：林至康

指導教授：王晉元 博士

汽車客運多場站車輛排程問題之研究

The Study of the Multiple-Depot Vehicle Scheduling Problem

of Intercity Bus Carriers

研 究 生：林至康 Student：Chih-Kang Lin

指導教授：王晉元 Advisor：Dr. Jin-Yuan Wang

國 立 交 通 大 學

運輸科技與管理學系

博士論文

A DISSERTATION

Submitted to Department of Transportation Technology and Management

College of Management

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

DOCTOR OF PHILOSOPHY

in

Transportation Technology and Management

February 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

汽車客運多場站車輛排程問題之研究

學生：林至康 指導教授：王晉元 博士 國立交通大學運輸科技與管理學系博士論文

摘 要

近年來臺灣地區受到私人運具過度成長與使用影響，大眾運輸之經營環境逐 漸惡化，因此在外部環境開闢客源不易之情形下，規劃良好營運車輛排程以降低 客運業者的內部成本支出，則被視為另一項可行辦法。但過去文獻中所提出多場 站車輛排程問題(Multiple-Depot Vehicle Scheduling Problem, MDVSP)數學模式多 存在不符實務之假設與限制，其相關假設與限制為：(1)各場站所配置營運車輛 數目上限為已知；(2)相關營運成本被簡化為單一型式目標函數；(3)車輛空駛之 處理並未提供足夠彈性；(4)勤務中車輛營運路線之轉換次數並未處理等四項假 設與限制，上述假設與限制雖使得MDVSP 於問題定式與模式求解較為容易，卻 限制此類模式於臺灣地區汽車客運實務應用上之實用性，因此如何增加客運業者 競爭力，並解決上述假設與限制對於處理實務問題時所造成之困難，產製出有效 率之車輛排程勤務規劃，實為一大挑戰。 有鑑於此，本研究以具有多場站營運特性之汽車客運業者為研究對象，改善 過去文獻中數學模式所建立假設與限制，構建符合臺灣地區汽車客運營運現況之 多場站車輛排程模式，並依據所提出多場站車輛排程模式之特性，提出一啟發式 解法—變數固定法(variable fixing heuristic)進行模式求解之工作。本研究並選取 具有多場站多路線營運特性之金門縣公共車船管理處為測試對象，其測試結果顯 示，本研究所構建之多場站車輛排程模式不僅可滿足臺灣地區汽車客運業者實際需 求，而所提出之變數固定啟發式解法於處理較大型之車輛排程問題時，亦極具效 率，顯示本研究之模式構建、參數特性證明、求解流程與測試結果等研究成果， 具有提供國內汽車客運業者與學術界之參考價值。

The Study of the Multiple-Depot Vehicle Scheduling

Problem of Intercity Bus Carriers

Student: Chih-Kang Lin Advisor: Dr. Jin-Yuan Wang Department of Transportation Technology and Management

National Chiao Tung University

ABSTRACT

The multiple-depot vehicle scheduling problem (MDVSP) address the work of assigning vehicle to serve a given set of time trips with the consideration of certain requirements representing the market rules. Extensive studies in the literature address the MDVSP, but because of the complexity of the problem, the findings made by those researches are still not enough to represent real world situations in Taiwan. Formulation for the MDVSP typically contains the following assumptions: (1) the size of fleet or maximum number of available vehicles at each depot is known already, (2) all trip serving costs are usually simplified as a single term in the objective function, which fails to reflect public transit operator concerns, (3) the applied deadheading strategy is static less flexibility, (4) without discussing of the difference of route change frequency in the problem. This study presents a new MDVSP model to address the above issues. A variable fixing heuristic algorithm based on the divide-and-conquer technique is also proposed to solve the MDVSP effectively. Computational tests are performed on the Kinmen Bus Administration (KBA) and results demonstrate that the proposed new model and the greedy heuristic algorithm for the MDVSP are effective in solving real world problems.

iii

誌 謝

論文得以順利完成，進而取得博士學位，首先要感謝我的指導教授王晉元老 師，老師多年來的教導與提攜，不僅在課業與研究上給予學生充分的指導，更在 日常生活中給予學生非常多的照顧，使學生受益良多，師恩浩蕩，在此謹致上最 深的敬意與謝意。 感謝論文口試暨審查委員中央大學顏上堯教授、暨南大學周榮昌教授、本校 韓復華教授、卓訓榮教授，於口試與審查期間撥冗細審，並給予寶貴意見與殷切 指正，使本論文更臻完備，在此致上學生由衷的感謝。其中特別感謝顏上堯老師， 謝謝老師在論文研究期間給予學生正確的學術研究觀念，並在學生面臨困惑抉擇 時，老師總是不吝提供意見並予以幫助，在此致由衷地表示謝忱；此外，亦感謝 中華大學的蘇昭銘老師與交通部運研所的王穆衡組長，對學生在課業上的指導與 幫助，謹致上由衷的謝意。 充實難忘的博士班生活即將劃下句點，在此特別感恩千佛山華德禪寺的住持 師父-如孟法師，由於您的開示、指點、照顧、幫忙與鼓勵，才能有今日順利畢 業的我，您的恩德與教誨，弟子必將銘記在心，永不敢忘。 在不算短的研究日子裡，感謝誌銘學長、慧潔學姐的打氣與支持，使得孤獨 的研究道路不致孤單，感謝實驗室內共同救火隊成員的宗成與紀舜，在關關難過 關關過的計畫考驗之下，豐富了原本枯燥的研究生活，而實驗室學弟峻凱、小松、 嘉龍、建名、思文的互相鼓勵與關心，亦使得研究生活變得多采多姿；此外，感 謝曹永恭叔叔的支持與照顧，使我在面臨瓶頸時，總能給予適時的指點與鼓勵。 最後感謝我摯愛的家人：給敬愛的父母，由於您們的支持與鼓勵，才使得本 論文能順利產生，並且完成博士學位；給兩位以言語無法形容的妹妹，你們的打 氣與鼓勵亦成就了本篇論文；給我最親愛的老婆-阿敏與可愛的女兒-涵涵，在我 求學過程中，老婆妳的鼓勵與支持，是我能堅持下去的力量，也感謝老婆辛苦的 打拼經濟與照顧女兒，讓我沒有後顧之憂，而女兒的可愛與聰穎，亦是我努力向 前的動力。未來我將繼續的往前邁進，希望能不辜負你們對我的期望。 林至康 謹誌 2009 年 3 月於新竹交大

目 錄

中文摘要... i 英文摘要... ii 誌謝... iii 目錄... iv 表目錄... vi 圖目錄... vii 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與目的 ...1 1.2 研究範圍與對象 ...5 1.3 研究方法與流程 ...5 第二章 文獻回顧... 8 2.1 模式構建方式 ...8 2.1.1 網路流量模式...9 2.1.2 指派網路模式... 11 2.1.3 時空網路模式...16 2.1.4 集合涵蓋/分割模式 ...18 2.2 解決問題型態 ...19 2.3 求解演算法 ...21 2.4 本章小結 ...24 第三章 多場站車輛排程模式之建立 ... 28 3.1 多場站車輛排程問題之特性 ...28 3.2 模式建立 ...29 3.3 參數分析 ...34 第四章 演算法之設計與求解 ... 37 4.1 變數固定演算法之特性 ...37 4.2 變數固定演算法之求解步驟 ...38 4.3 變數固定演算法之求解策略 ...41 第五章 實例測試與分析... 45 5.1 測試對象 ...45 5.2 測試結果分析 ...46 5.2.1 與金門縣車船處營運現況比較之分析...46 5.2.2 擴充現有測試資料之分析...48 5.3 目標函數中各項子成本之敏感度分析 ...51 5.3.1 營運車輛於場站內閒置成本之變化...51

v 5.3.2 車輛折舊成本之變化...53 5.3.3 勤務中路線轉換成本之變化...56 5.3.4 車輛空駛成本之變化...61 第六章 結論與建議... 64 6.1 結論 ...64 6.2 建議 ...66 參考文獻... 67 附錄... 70 簡歷... 75

表 目 錄

表2-1 解決車輛排程問題型態彙整表... 25 表5-1 金門縣車船處營運現況比較結果彙整表... 47 表5-2 六個情境問題之測試結果彙整表... 49 表5-3 營運車輛於場站內閒置成本之敏感度分析結果彙整表... 52 表5-4 啟發解於α 值敏感度分析之平均間距與運算時間表 ... 53 表5-5 車輛折舊成本之敏感度分析結果彙整表... 54 表5-6 啟發解於c 值敏感度分析之平均間距與運算時間表... 56 表5-7 勤務中路線轉換成本之敏感度分析結果彙整表... 57 表5-8 啟發解於λ 值敏感度分析之平均間距與運算時間表... 58 表5-9 車輛空駛成本之敏感度分析結果彙整表... 60 表5-10 啟發解於ω 值敏感度分析之平均間距與運算時間表... 61 表5-11 啟發解於本次測試所有測試結果之平均間距與運算時間表... 63

vii

圖 目 錄

圖1.1 臺灣地區汽車客運(intercity bus)旅客運輸成長率折線圖 ... 1 圖1.2 研究流程圖... 7 圖2.1 多場站車輛排程問題之網路流量模式架構圖... 10 圖2.2 多場站車輛排程問題之純指派網路模式架構圖... 13 圖2.3 多場站車輛排程問題之多重貨物指派網路模式架構圖... 14 圖2.4 多場站車輛排程問題之時空網路模式架構圖... 17 圖3.1 多場站營運車輛排程示意圖... 29 圖3.2 車輛執行營運班次可能發生空駛種類示意圖... 32 圖3.3 修正前後流量守恆限制式之決策變數個數示意圖... 34 圖4.1 變數固定演算法之求解流程圖... 40 圖4.2 求解策略二之求解流程圖(陰影部分為修改部分) ... 42 圖4.3 求解策略三之求解流程圖(陰影部分為修改部分) ... 44 圖5.1 班次個數與網路規模之變化趨勢圖... 50 圖5.2 班次個數與最佳解間距之變化趨勢圖... 50 圖5.3α 值與最佳解總成本間距之變化趨勢圖... 53 圖5.4c 值與最佳解間距之變化趨勢圖... 56 圖5.5λ 值與最佳解間距之變化趨勢圖... 58 圖5.6ω 值與最佳解間距之變化趨勢圖... 59

第一章 緒論

1.1 研究動機與目的 近年來臺灣地區受到私人運具過度成長與使用影響，大眾運輸之經營環境逐 漸惡化，根據國內公路客運旅客運輸成長率統計資料顯示(如圖 1.1)，過去十多 年間旅客成長多呈現負成長之趨勢，此種經營困境不僅使得客運業者虧損連連， 更造成國內大眾運輸營運情形持續衰退。因此在外部環境開闢客源不易之情形 下，降低客運業者內部成本支出則成為另一項可行辦法。 圖1.1 臺灣地區汽車客運(intercity bus)旅客運輸成長率折線圖[37] 一般而言，客運業者之營運排程規劃(transit scheduling)可包含下列四項基本 流程[38]： 1. 路線規劃與設計(design of routes)：客運路線規劃與設計過程[42]首先應考慮路 網筆直性(directness of network)、路網密集度(connection of network)、路網彎 繞度(circuit of network)、路線服務範圍(area coverage)、路網服務效率(service efficiency of network)…等路網特性，之後再依據所調查出的起迄服務運量、平 均旅行時間、平均旅行成本、運輸走廊旅次時間等資訊，配合所需路線型態、 路線間轉運考量、車站位置等實務考量，最後產生營運路線。

2. 時刻表制訂(creation of timetables)：此部分規劃包含營運班距(headway)制訂與 時刻表制訂等兩項主要作業；在營運班距制訂方面，乃是依據既定路線、車 輛種類及運量需求下，配合車隊規模、車輛運能、路線行駛時間、路線需求 分佈與尖離峰時間分佈等資訊，計算出適當的營運班距，以兼顧營運成本及 旅客需求；而在時刻表制訂方面，則是考量業者人力資源與配合相關政策法 規後，對前述所計算出各時段之營運班距進行細部調整，調整後之各路線發 車時刻表即可視為各路線之運量需求。

3. 營運車輛排程規劃(scheduling vehicles to trips)：此部分規劃通常是依據前述所 制訂出之時刻表，再配合客運公司的營運特性(場站數量、車隊型態與數量限 制、及特殊營運需求等)，規劃出可以滿足時刻表需求之班次銜接組合(亦即勤 務組合)與最小車隊規模。 4. 司機員指派(assignment of drivers)：此部分規劃通常依據營運車輛排程之結 果，配合現有司機員之資源、客運公司輪班輪休之規定與現行法令之限制， 規劃出可滿足相關規定與兼顧營運效率之司機員指派勤務。 其中路線規劃設計與時刻表制訂之規劃成果均屬於長期(long-term planning) 規劃之範疇，若欲在短期內進行符合客運公司效益之調整與修正，則有其困難 度，因此對於客運業者而言，營運車輛排程規劃與司機員指派之規劃在短期內較 易掌握且易收到成效。另就營運成本而言，營運成本的使用仍是客運業者最關注 之問題，基本上營運成本包含場站設施、營運車輛等固定成本與營運支出、員工 薪資等變動成本兩大項，其中由於營運車輛購入動輒耗資好幾百萬，且購入後之 折舊成本與後續營運時車輛之維運成本亦為業者成本支出大宗，故可得知車輛安 排配置之良窳不僅直接影響業者成本項支出，更為營運班次能否有效率執行之重 要依據；亦即良好車輛排程不僅可大幅降低業者購車固定成本與車輛維修變動成 本之支出，更可使得後續司機員之排班規劃更有效率。 在學術研究方面，自從Dantzig[11]提出以數學規劃方式解決固定時刻表之最 小車隊問題起，車輛排程問題(vehicle scheduling problem, VSP)在國際上早已被廣 泛討論。但過去文獻中所提出有關 VSP 之數學模式，多因實務上之需求過於複 雜而較難納入模式、或簡化部分實務需求後再納入模式考量[1]。經本研究彙整

後發現，過去文獻中所提關於 VSP 之數學模式多存在部分假設與限制，這些假 設與限制雖使得 VSP 在問題定式與模式求解上較為容易，卻也限制了此類模式 於臺灣地區汽車客運實務應用上之實用性。其相關假設與限制，彙整說明如下： 1.各場站所配置營運車輛數目之上限為已知； 客運公司決策者最困擾的問題之一，即是如何配置適當的營運車輛於各場 站，以往文獻中所提出的數學模式([9]、[3]、[16]、[23])，對於各場站所配置營 運車輛之上限數均設為已知，此限制由數學角度觀察可得知，若於模式中各場站 營運車輛之上限設定過大時，此限制式於模式求解時將無太大效用，若各場站營 運車輛之上限設定過小時，則可能造成問題無可行解之情況發生；再從規劃角度 檢視，提出此項限制的學者認為場站車輛數目之決定，乃屬於場站長期規劃時之 範疇，此階段僅應將長期規劃之結果納入模式限制即可，但從臺灣地區客運營運 實務面而言，時刻表內班次數目與發車時刻資訊，常因地方民代的請託、地區性 的特殊需求(學校上課、廟會盛事、觀光活動…等)、補貼款項不足等原因而進行 調整，且調整頻率頗為頻繁，若此時仍將長期規劃之結果納入模式限制，將有可 能產生前述所提此限制無效用或無可行解之情況發生；另就營運實務而言，若於 單一場站中配置過多車輛數，除會造成車輛閒置成本增加外，亦會壓縮其他場站 合理配置之車輛數目，若於單一場站中營運車輛配置過少時，則會造成無法執行 該場站之所有班次，因此若將各場站所配置之營運車輛數目上限設為已知，將會 造成客運公司決策者於營運決策上之困擾。 2.相關營運成本被簡化為單一型式目標函數； 過去文獻對於車輛營運成本之處理，均將數學模式的目標函數定為固定成本 (有時包含使用車輛數)與營運時變動成本兩項之總和，亦即表示在處理車輛營運 排程時，須將所有相關成本合併成此兩項成本後，其數學模式方可發揮效用；就 數學觀點而言，如此方式處理並無不妥，但實務上除不同客運的營運者對於各項 營運成本之重視程度不盡相同外，將繁瑣的營運成本簡化合併為單一型式之目標 函數，對營運者亦是高難度的挑戰，因此將相關營運成本被簡化為單一型式目標 函數，則會造成數學模式於實務上使用之不便。

3.對於車輛空駛之處理並未提供足夠彈性； 過去文獻對於車輛空駛於數學模式中之處理，均未詳加描述，此即表示文獻 中數學模式之形成，多是建立在一個事先處理的網路上(pre-determined network) [28]，如果使用者可接受車輛空駛狀況之產生，則必須先將相關的節線放入此網 路，若無法接受車輛空駛狀況，則必須先將相關節線移除，如此數學模式方可操 作，此種處理方式就數學觀點上亦無不妥，但實務上此法卻侷限了使用者對於車 輛空駛情況在車輛排程營運策略上之運用，因此若數學模式於車輛空駛能提供足 夠之彈性，將有助於使用者對於車輛排程營運策略之掌握。 4.對於勤務中車輛營運路線之轉換次數並未處理； 就車輛排程觀點而言，車輛營運路線之轉換次數對於車輛配置與執行班次的 結果似乎並無關連，但實務上客運公司若想順利將此車輛排程結果應用於班次執 行上時，則該客運公司所有司機員必須熟悉全部營運之路線才行，如此除將耗費 公司極大的人事訓練成本外，亦會造成決策者對於車輛排程應用之困擾。過去文 獻對於多場站車輛排程之數學模式構建，均是建立在全體司機員熟悉所有營運路 線之假設上，若數學模式能考量車輛營運路線之轉換次數，將可更增加車輛排程 結果之應用性。 因此，如何增加客運業者競爭力，並解決上述假設與限制對於處理實務問題 時所造成之困難，產製出有效率之車輛排程勤務規劃，實為一大挑戰。基於上述 分析，本研究之研究目的可歸納如下：

1. 針 對 多 場 站 車 輛 排 程 問 題 (Multiple-Depot Vehicle Scheduling Problem, MDVSP)，在固定時刻表(fixed-timetable)情況下，處理過去文獻中數學模式所 建立之假設與限制，以找出滿足所有營運班次有效率被執行之車輛排程方 式，並利用數學規劃之方法，構建符合臺灣地區汽車客運營運現況之多場站 車輛排程模式。

2. 依據所提出多場站車輛排程模式之特性，提出一啟發式解法—變數固定法 (variable fixing heuristic)，進行模式求解之工作。

象，以驗證本研究所提出多場站車輛排程模式與求解演算法之完整性與實用 性。測試內容除進行現況比較分析外，另將擴充現有測試資料，以測試演算 法於中、大型問題之求解效率；此外並將針對目標函數中各項子成本分別進 行敏感度分析，以增加決策者對於車輛排程時各項成本變化之掌握。 1.2 研究範圍與對象 依據游文松[41]針對臺灣地區汽車客運營運流程調查分析得知，目前客運業 者對於固定時刻表下之班次營運規劃作業大多採用車輛與人員共同排班方式，亦 所謂人車合一之排班方式進行勤務規劃，此法最大優點是可將車輛與人員共同規 劃之結果，作為駕駛指定車輛初級保養之依據。但廖椿煜[44]針對當年臺汽國光 號車種班次規劃研究得知，利用人車合一方式所規劃之結果，平均較人車分離方 式所規劃結果每車每天少 1.08 班次，究其原因在於人車合一情況下，營運車輛 安排將會受限於司機員每日的工作時數，在規劃結果上必會損失一些最佳性，由 此可知先進行車輛排程規劃，再將所規劃出結果作為人員安排依據之兩階段規劃 考量，較能提升班次排定之效率與降低班次執行之營運成本；此結論亦反應出車 輛排程結果之重要性。 有鑑於此，本研究之研究範圍界定為：在人車分離之考量下，規劃出時刻表 中所有營運班次均可被效率執行之車輛排程方式；而本研究之研究對象則為具有 固定時刻表營運特性之汽車客運營運業者。 1.3 研究方法與流程 本研究係利用數學規劃方式，在時刻表固定情況下，考量實務上之營運特 性，以最小車輛營運成本為目標，構建出符合臺灣地區汽車客運營運現況之多場 站車輛排程模式。由於 MDVSP 屬於 NP-Hard 問題[5]，為增加模式求解效率、 減少求解時間，本研究將配合模式特性，提出一有效率之啟發式解法—變數固定 法(variable fixing heuristic)進行模式求解工作，此啟發式解法可視為貪婪式啟發 式(greedy algorithm)解法之一種，其觀念為先將 MDVSP 依據場站個數切割成數 個單一場站車輛排程問題(Single-Depot Vehicle Scheduling Problem, SDVSP)之集 合，並依據演算法中所設計的選擇程序(selection procedure)選擇首先求解之 SDVSP 模式。在求解此 SDVSP 模式後，固定部分變數，使其問題規模縮小後，

持續逐步求解集合中剩餘SDVSP 模式，直至所有 SDVSP 模式均求解完畢為止； 最後彙整其相關結果，即可求得最小成本下之車輛勤務規劃組合。 本研究流程如圖1.2 所示，首先界定多場站車輛排程問題之範圍，繼而蒐集 及回顧國內外相關文獻；其次，配合實務上車輛排程之考量因素，構建出符合臺 灣地區汽車客運營運之多場站車輛排程模式，並發展一有效率之貪婪式求解演算 法，而後本研究將以具有多場站多路線營運型態之金門縣公共車船管理處做為實 例測試對象。最後根據測試之結果，提出結論與建議。

問題界定

文獻蒐集與回顧

MDVSP之問題定式

發展模式求解演算法

(變數固定法)

實例測試分析

☉現況比較分析

☉擴充測試資料分析

☉參數敏感度分析

結論與建議

圖1.2 研究流程圖

第二章 文獻回顧

由於車輛排程問題一直是運輸系統中重要的研究課題之一，亦有相當多的研 究成果已發表於國際期刊上，因此本章文獻回顧部分將從2.1 節模式構建方式、 2.2 節 VSP 解決問題型態與 2.3 節求解演算法進行回顧與介紹，最後 2.4 節本章 小結則針對前述文獻回顧部分，進行相關結論與分析。 2.1 模式構建方式 在多場站車輛排程問題中，除實務作業與學術研究之慣稱名詞有不一的情形 外，若干不同的運輸業者，對於相同作業內容，其所慣用之名稱亦有所不同；為 避免誤解，本研究將研究過程中所用之相關名詞定義如下： 1.場站(depot)：負責營運車輛停車管理與保養維修之車站，且為其所屬車輛執行 發車與收車之動作；在成本降低與管理便利之考量下，運輸業者通常規定營運 車輛於每日營運完畢後須返回該車所屬場站，亦即所屬於各場站之營運車輛， 其發車與收車場站須為相同。 2.營運站(terminal)：僅負責查核營運車輛準點情況之車站；一般而言，營運站除 提供乘客購票與乘車服務外，另一項工作即為查核營運車輛到站離站之準點狀 況。 3.班次(trip)：車輛由營運站(或場站)出發，經特定路線行駛至另一營運站(或場站) 即稱為一個班次。 4.班次行駛時間(trip time)：完成一個班次之所需行駛時間，此時間為客運業者事 先所規劃排定。 5.時刻表(timetable)：包含所有班次起始時間與結束時間之班次規劃彙整表。 6.行車基本勤務(duty)：或稱為勤務表、仕業、運行表、工作表等，於本研究統 稱行車基本勤務，簡稱勤務。係為時刻表中符合時間接續之可行班次集合，可 由單一車輛執行完畢。 7.空駛班次(deadhead trip)：即表示行車基本勤務內兩連續班次無法於同一車站接

續執行，必須將車輛空車行駛至下一營運站後，才可繼續執行班次，則空車行 駛於兩站間之班次，稱為空駛班次。

依據過去文獻得知，MDVSP 數學模式之構建方式多以 1.網路流量模式 (Network flow formulation)；2.指派網路模式(Assignment network formulation)；3. 時 空 網 路 模 式(Time-space network formulation)以 4.集合分割/ 涵蓋模式(Set partitioning/ covering formulation)等四類模式構建而成，現分述如下：

2.1.1 網路流量模式(Network flow formulation)[3]、[4]

此類模式是利用網路表示之方式，將車輛排程問題以網路表示法轉變成網路 流量模式，期使在給定固定班表情況下，找出最小成本下所有班次之車輛指派方 式，使得所有班次能在滿足各場站車輛數上限之情況下，以最少的車輛數目執行 完畢。模式中是以網路的節點做為班次，而兩節點間之連接節線則表示此兩班次 可被同一輛車執行，通常節線之產生必須滿足班次間銜接之限制條件，亦即前一 班次發車時間加上該班次營運時間必須小於後一班次發車時間後，此兩節點班次 間之節線才會產生，也因如此，車輛排程問題受到時間軸之影響，故網路中所有 節線均具有其方向性，亦即所有產生的勤務均屬於非循環性(acyclic)，每個勤務 在網路中均不會產生迴圈(no cycle)；在節點上的班次資訊通常包含：營運開始車 站、營運結束車站、營運開始時間以及班次營運時間等資訊，而各班次的營運成 本在營運總班次數為固定之情形下亦可省略。 此類模式相關符號定義說明如下：模式中令N ={1,2,…, n }表所有班次數， p P∈ 為所有場站，_kp_{為場站p可使用的車輛數目，則可定義出G}p _=(Vp_,Ap_)表示 一網路圖，其中節點n p+ 表第p個場站，I屬於N N× 子集合，表示所有可互相 連結的班次子集合，而_Vp=_N∪

{

_{n p}+

}

_，Ap_{= ∪I}

(

_{{n k+ ×} N}

)

_∪

(

_{N×{n k+ }}

)

_；此外 節線成本可分為兩類：c 表示車輛執行班次_ij i與班次j間之車輛閒置成本，c_{n p j+ ,} 則表示車輛購置成本或車輛使用成本，因此模式中決策變數可定義為：x_ijp表第j 個班次緊接著在第i班次之後，可由第p場站派車執行(其路網架構如圖 2.1 所 示)。其數學模式如下所示：

圖2.1 多場站車輛排程問題之網路流量模式架構圖[3] 目標式： Min _, ( , ) p p p ij ij n p j p P i j A p P j N c x cx ₊ ∈ ∈ ∈ ∈ +

∑ ∑

∑ ∑

(2-1) 限制式： 1 ∈ ∈ =

∑ ∑

p p ij p P j V x ∀ ∈i N (2-2) 0 ∈ ∈ − =

∑

∑

p p p p ij ji i V i V x x ∀ ∈p P ∀ ∈_{j V (2-3)} p , p p n p j j N x₊ k ∈ ≤

∑

∀ ∈p P (2-4)

{ }

0,1 p ij x ∈ ∀ ∈p P ( , )∀ _{i j} ∈_{A (2-5)} p

模式中目標函數(2-1)為確定此車輛排程問題之總成本(車輛於場站閒置時

間加上車輛購置/使用成本)為最小；限制式(2-2)確保每班次僅被執行一次；限

制式(2-3)為流量守恆限制式；限制式(2-4)為各場站可使用車輛數目之限制，而

限制式(2-5)則確保每個節線僅被使用一次。

2.1.2 指派網路模式(Assignment network formulation)

此類模式與前述網路流量模式類似，均是利用網路的表現方式以網路上節 點做為班次，將車輛排程問題以網路表示法轉變成車輛指派模式，使其在給定 固定班表情況下，找出最小成本所有班次之車輛指派方式。而此兩類模式最大 不同點在於指派網路模式是以類似二元圖(bipartite graph)方式進行數學模式構 建，亦即車輛排程問題在網路表現方式是先將所有代表班次的節點數增加變成 兩倍，使節點分為班次起始節點(source node)與班次結束節點(sink node)兩類， 而此兩類節點間可於滿足時間銜接限制之情況下產生節線，表示此兩班次可被 同一輛車執行，而場站節點亦如同班次節點一樣分為兩類，一為場站發車節點， 另一為場站回站節點；其節點上之班次資訊同樣包含：營運開始車站、營運結 束車站、營運開始時間以及班次營運時間等資訊，而各班次的營運成本在營運 總班次數為固定之情形下亦可省略。 指派網路模式可依據路網中不同的班次指派方式，分為純指派網路模式 (Assignment network formulation)與多重貨物指派網路模式(Multi-commodity assignment network formulation)兩類，其相關模式說明分述如下：

a.純指派網路模式(Assignment network formulation)[9]、[26]

在純指派網路模式中，可令N ={1,2,…, n }表所有班次數，p P∈ 為所有 場站，_kp_{為場站p可使用的車輛數目，則可定義出G}p _{=(S T}p_, p_,Ap_∪A*p_)表 示 一 網 路 圖 ， 其 中 Sp=( ,s s₁p ₂p,...,s_np) 表 班 次 起 始 節 點(source node) ， 1 2 ( , ,..., )p p p p n T = t t t 表班次結束節點(sink node)，節點n p+ 表第p個場站；A表 路網中所有節線集合，Ap =｛

(

s t_ip, p_j

)

:表班次可互相連結(compatible trips) 的節線集合｝，當i= j時表該勤務內僅有一班次i，亦表示車輛在執行班次i完 畢 後 即 返 回 場 站 ， 而

{

}

{

}

*p _/ p _{( , ) :}p p _{, 1, 2,...,} i z A = A A ∪ s t i N z n∈ = + n+ n p+ ∪

{

( , )s t_zp p_j j N z n∈ , 1,= + n+2,...,n p+

}

；節線成本分為兩類：若( , )s t_ip _jp ∈

{

A A/ p

}

時，節線成本c 則表示班次_ij i與班次 j間車輛閒置成本與車輛空駛成本(如果 此兩班次之營運站不同)之和，若_{( , )}p p _∈ * i j s t A 時，節線成本c 則表示車輛固_ij 定營運成本加上場站與班次i之車輛空駛成本(如果班次i之營運起站與車輛 發車場站不同)加上班次 j與場站之車輛空駛成本(如果班次 j之營運訖站與 車輛回站場站不同)之總和；其路網架構圖如圖 2.2 所示。 此外，由於純指派網路模式無法依靠單一的網路流量變數( p ij x ∈ )X 使得 所有勤務之起站與訖站均為相同，必須另增加一輔助變數(yip∈Y)於限制式 中，如此方可確保所有求得勤務之起站與訖站均為同一，其數學模式如下所 示： 目標式： Min * ( , ) ∈ ∈ ∪

∑ ∑

p ij ij p P i j A A c x (2-6) 限制式： ( ) ∈ =

∑

p ij ip j J i x y _{( )}

{

_{: ( , ) (} *_{) /} p

}

i j J i = j s t ∈ A∪A A , ∀ ∈p P , ∀ ∈i N (2-7) ( ) ∈ =

∑

p ij jp i I j x y _{( )}

{

_{: ( , ) (} *_{) /} p

}

i j I j = i s t ∈ A∪A A , ∀ ∈p P , ∀ ∈j N (2-8) * ( , )∈ ≤

∑

p ij p i j A x k ∀ ∈p P (2-9) 1 ∈ =

∑

ip p P y ∀ ∈i N (2-10) 0 ≥ p ij x _{( , ) (i j ∈ A∪A}*_{) /A}p_{,∀ ∈p P (2-11)}

{ }

0,1 ∈ ip y ∀ ∈p P, ∀ ∈i N (2-12)

p A * p A 圖2.2 多場站車輛排程問題之純指派網路模式架構圖[本研究整理] 而模式變數則依據節線屬性之不同而有不同的定義： 若( , )_{i j ∈A A}/ p_，則 若第 j個班次接著在第i班次之後，由第p場站派車執行 1, 0, ⎧ = ⎨ ⎩ p ij x 其他 若( , )i j ∈A ，則* 若第p場站派車執行的勤務中，第 j班次為該勤務第一班 次、第i個班次為該勤務最後班次 1, 0, ⎧ = ⎨ ⎩ p ij x 其他

若 j N ，則 ∈ 若i班次被指派到由第p場站的所屬車輛執行 1, 0, ⎧ = ⎨ ⎩ ip y 其他 模式中目標函數(2-6)為確定此車輛排程問題之總成本為最小；限制式 (2-7)、(2-8)與(2-10)為確保每班次僅能被指派一次，且勤務中的所有班次均 由同一場站之車輛執行；限制式(2-9)為各場站可使用車輛數目之限制；限制 式(2-11)為限制每條節線僅能被使用一次；限制式(2-12)為確保勤務中班次場 站需相同之二元變數。 ijp x αpi βip 圖2.3 多場站車輛排程問題之多重貨物指派網路模式架構圖[本研究整理] b. 多 重 貨 物 指 派 網 路 模 式 (Multi-commodity assignment network

formulation)[12]、[17]、[18]

為改善純指派網路模式中，必須使用兩種變數才能使得勤務內營運車輛 的起站與訖站均為相同之狀況，Forbes et al. [12]提出了多重貨物指派網路模 式來解決此問題。如同純指派網路模式一樣，多重貨物指派網路模式仍是將 所有代表班次與場站的節點數增加變成兩倍，使節點分為班次起始節點

(source node)、班次結束節點(sink node)、場站發車節點與場站回站節點，而 此節點間均可在滿足時間銜接限制的情況下產生節線。但與純指派網路模式 不同的是，Forbes 為了滿足多重貨物網路之定義，將每條節線流量之上限與 下限均設定為一，亦即車輛僅能經過任一節線一次；此外，為有效解決勤務 內營運車輛的起站與訖站必須相同之問題，Forbes et al. [12]將路網分為「場 站至各個班次」、「班次間相互銜接」與「各個班次回到場站」三段分別描述， 因此模式中可定義出三個決策變數，分別是：α_pi表第i個班次為第p場站之 營運車輛所執行的首班班次、βip表第i個班次為第p場站之營運車輛所執行 的末班班次、xijp表第 j個班次緊接著在第i班次之後，可由第p場站派車執 行，此三個變數均為二元變數(其路網架構圖如圖 2.3 所示)，其他模式內相 關符號定義說明如下：api表場站p至i班次營運起站之空駛成本(如果班次i 之營運起站與車輛發車場站不同)與車輛固定營運成本一半之和；bip表場站 p至i班次營運訖站之空駛成本(如果班次i之營運起站與車輛發車場站不同) 與車輛固定營運成本一半之和；cijp表班次i與班次 j間車輛空駛成本(如果此 兩班次之營運站不同)與班次i營運成本之和；rp為指派模式中由場站回站節 點至場站發車節點的反向節線流量，可表示由場站p所派出之車輛總數；_kp 為場站p可使用的車輛數目；w_ip為一流量參數，其值為0 或 1，若其值為 1 時則表示班次i是由場站p負責執行，其值為0 則否；其數學模式如下所示： 目標式： Min , , , , α + β +

∑

pi pi

∑

ip ip

∑

ijp ijp p i p i i j p a b c x (2-13) 限制式： 0 α −

∑

= p pi i r for all p (2-14) 0 β − =

∑

ip p i r for all p (2-15) 0 α_pi−

∑

_jip − _ip = j x w for all i p (2-16) , , 0 β − −

∑

= ip pi ijp j w x for all i p , , (2-17)

≤ p p r k for all p (2-18) 1 =

∑

ip p w for all i (2-19) 模式中目標函數(2-13)為確定此多重貨物指派網路模式之總成本為最 小；限制式(2-14)、(2-15)、(2-16)與(2-17)為各種節點之流量守恆限制式、限 制式(2-14)為場站發車節點流量守恆限制、限制式(2-15)為場站回站節點流量 守恆限制、限制式(2-16)為班次起始節點流量守恆限制、限制式(2-17)為班次 結束節點流量守恆限制；限制式(2-18)為反向節線流量之上限限制，可視為 由場站p所派出之車輛總數上限限制；限制式(2-19)為班次內起始節點與結 束節點間流量上限與下限之限制，可確保各班次僅能被唯一場站之車輛所執 行，

2.1.3 時空網路模式(Time-space network formulation)[24]、[16]、[23]

基本上時空網路模式亦是利用網路表示方式，將車輛排程問題以網路表示 法轉變成網路流量模式，在給定固定班表情況下，找出最小成本所有班次之車 輛組合，使得所有班次能在滿足各場站車輛數上限之限制下全數執行完畢；但 與前述指派網路模式跟網路流量模式最大差異在於：此類模式是以網路的節線 做為班次，而以各班次之班次發車時間／發車營運站與班次結束時間／回站營 運站做為網路中之節點。一般而言，車輛排程問題在時空網路圖的表現上，在 節點方面有場站節點與時刻節點(time-space index)兩類，場站節點分為起站節點 與訖站節點，其目的在方便計算勤務起迄時間、工作時間與控制發車數目等； 時刻節點亦分為起始節點與結束節點，通常用以表示各種節線之起始與結束； 而在節線方面通常包含：班次起始與結束節線(start/end arc)、班次節線(trip arc)、車輛閒置節線(waiting arc)、車輛空駛節線(deadhead arc)與循環節線 (periodic arc)等五種節線，於各場站首班班次發車時刻節點與起站節點之連結節 線，定義為班次起始節線，而各場站末班班次結束時刻節點與訖站節點之連結 節線，定義為班次結束節線；為連結實際營運班次的起迄場站(或營運站)而產 生之節線，則定義為班次節線；表示營運車輛於某一場站之停等閒置狀況，用 連續兩時刻節點所連結成之節線定義為車輛閒置節線；若前一班次之結束場站 與欲銜接班次之發車站不同，為表示車輛空駛於場站間之節線則定義為車輛空

駛節線；最後於迄點節點連接至起點節點之節線，可定義為循環節線，其目的 表示此一場站所需之營運車輛總數，亦即表示此循環節線流量等於該場站所需 之營運車輛數目；其路網架構如圖2.4 所示。 圖2.4 多場站車輛排程問題之時空網路模式架構圖[本研究整理] 此類模式相關符號定義說明如下：模式中令p P∈ 表所有場站，_kp_為場站p 可使用的車輛數目，則可定義出_Gp=(_Vp,_Ap)_{表示一網路圖，其中SF}p_表所有班 次起始與結束節線集合，T表所有班次節線集合，D表所有空駛節線集合，_Wp 表所有車輛閒置節線集合，則_Ap =_SFp ∪ ∪ ∪_{D T W}p_{；另令S表所有節線起始時} 間之集合，F表所有節線結束時間之集合，則_Vp = ∪ ∪_{P S F；因此節線成本} p ij c 會依據節線集合之不同而有其差異，若( , )_{i j} ∈_SFp_，則 p ij c 表場站p至i時刻節點 空駛成本(如果班次( , )i j 營運起站與車輛發車場站不同)與車輛固定營運成本之 和，若( , )_{i j} ∈_Wp_{， 則} p ij c 表車輛於場站 p 內時刻i 至時刻 j 之閒置成本，若 ( , )i j ∈D，則 p = ij ij c c 表前一班次至後一班次之車輛空駛成本(如果此兩班次之營 運站不同)，故模式中決策變數可定義為： p ij x 表節線( , )i j 由第p場站所派出之車 輛所執行；其數學模式如下所示：

目標式： Min ( , ) ( , ) ( , ) ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

p p p p p p ij ij ij ij ij ij p P i j W p P i j D p P i j SF c x c x c x (2-20) 限制式： ( , ) ( , ) 0 ∈ ∈ − =

∑

∑

p p p p ij li i j A l i A x x ∀ ∈p P , ∀ ∈_{i V}p _(2-21) 1 ∈ =

∑

p ij p P x ( , )∀_{i j} ∈_Ap _(2-22) ( , )∈ ≤

∑

p p p ij i j SF x k ∀ ∈p P (2-23)

{ }

0,1 p ij x ∈ ∀ ∈p P , ( , )∀_{i j} ∈_Ap _(2-24) 模式中目標函數(2-20)為確定此車輛排程問題之總成本(車輛於場站閒置時 間＋車輛固定成本＋車輛空駛成本)為最小；限制式(2-21)為流量守恆限制式； 限制式(2-22)為確保每種節線僅被執行一次；限制式(2-23)為各場站可使用車輛 數目之限制，而限制式(2-24)則限制 p ij x 為二元變數。

2.1.4 集合涵蓋/分割模式(Set covering /partitioning formulation)[19]、[30]、[31] 此類模式是套用集合涵蓋或集合分割之形式，將車輛排程問題以網路表示 法轉變成集合涵蓋或集合分割模式。此類模式與前三類模式最大不同在於決策 變數之定義，一般而言，在車輛排程問題的集合涵蓋/分割問題上，變數 p r x 表示 每一個可使營運車輛執行的勤務(即班次之組合)，若一個由場站p所執行之車 輛勤務被選到時，則 p r x 為 1，否則為 0；模式中相關符號定義說明如下：模式 中N ={1,2,…, n }表所有班次數，r R∈ 表所有勤務之集合，p P∈ 為所有場站，_kp 為場站p可使用的車輛數目，而c 表示執行第_rp j個勤務所需花費之成本；故求 解此問題即在於選取一組變數的集合，使其集合內之變數能夠包含所有的班 次，以獲得最小成本之車輛勤務表。其模式形式如下所示： 目標式： Min p p r r p P r R c x ∈ ∈

∑∑

(2-25)

限制式： 1 p ir r p P r R a x ∈ ∈ ≥

∑∑

∀ ∈i N (2-26) p r p r R x k = ≤

∑

p P∀ ∈ (2-27) p j x is binary (2-28) 模式中目標函數(2-25)為確定此集合分割形式之車輛排程後勤務總成本為 最小；限制式(2-26)為集合涵蓋限制式(covering constraints)，此限制式目的在限 制每一班次至少會被執行一次，亦即每一限制式i代表一班次，若勤務r包含班 次i，則a_ir =1，反之則a_ir =0，此外，若將限制式(2-26)改為等式，即形成集合 分割形式，則表示每一班次只將被執行一次；限制式(2-27)為各場站可執行之勤 務上限，亦可視為各場站可使用車輛數目之限制；而限制式(2-28)則確保每一場 站之勤務僅能被使用一次。 2.2 VSP 解決問題型態 針對以數學規劃方式來解決車輛排程問題之問題型態方面，曾有Bodin and Golden[6]、Bodin et al.[7]、與 Daduna and Paixão[10]相關學者進行整理與討論， 其車輛排程問題型態經彙整後可分為下列五項因素：

1.車輛閒置時間：

車輛排程問題的本質即是如何在最小成本考量下，找出最適合之班次銜接狀 況，因此，在將此問題轉為網路流量方式或集合涵蓋/分割方式構建模式時，首 先考量之問題點通常是：如何使得班次間銜接之空隙越少？此項問題點中之「空 隙」越少即是「車輛閒置時間」越小；Bodin and Golden[6]曾指出若在滿足班次 銜接之時間限制下(Tj−Dj > +Ti DH E S[ ,i j]，其中Ti為班次到站時間、Di為班次執

行時間、DH E S[ ,_{i j}]為兩班次間之場站空駛時間)，車輛排程問題可轉變為一個具 有方向性且非循環性之網路(a directed acyclic network)；一般而言，國外文獻在 規劃班次銜接問題時，均將場站空駛之時間成本納入考量，而此項成本多轉入網 路的節線成本上，此問題可視為Dilworth decomposition problem[13]，此即為學

術上車輛排程問題之基本問題型態。 2.場站數量：

車 輛 排 程 問 題 基 本 上 可 分 為 單 一 場 站 與 多 場 站 兩 大 類 ，Lenstra and Rinnooy[25] 證 明 若 問 題 規 模 屬 於 單 一 場 站 之 VSP ， 其 問 題 求 解 時 間 將 為 polynomial time；而 Bertossi et al.[5]則證明若場站數大於 2 時，MDVSP 則成為 一NP-hard 問題，求解過程將變為困難且複雜許多，但 MDVSP 之規劃較能符合 國內多數業者之營運生態[35]、[39]。

3.車隊規模：

由於營運車輛之固定成本(fixed vehicle cost)遠高於營運成本(operational cost)，因此在構建車輛排程模式時均會包含最小使用車輛數[16]，故多數文獻中 車輛排程問題之數學模式均將此項因素納入考量，通常其做法於限制式中給定各 場站所能使用之車輛數目上限，而於目標式中加入最小車輛購置成本、折舊成本 或車輛使用成本(capital cost)之項目。此外，若此項因素為業者在進行車輛排程 時之主要目標，其車輛排程問題亦可稱為最小車隊規模問題(minimum fleet size problem)[5]，由於營運車輛之購置成本(或折舊成本)與維修成本均非常昂貴，故 此項因素將業者的投資規劃影響極大[1]。 4.車輛種類： 文獻中車輛排程問題對於車種之處理通常有兩種方式：第一種是依據各車型 所適合執行之班次，將原問題根據班次分類之方式，切割成最多與車型種類數目 相同之數個子問題分別進行求解[1]；另一種是在假設所有班次均適合所有車種 執行之情況下，給定各車種一組可執行班次數目(稱之為勤務)之上限值與下限值 ( ,∈ ≤ ∑ ≤ t t t ij i j N b x b，其中bt與bt分別表第t種車型所能執行班次之上限值與下限值)，並 加入模式限制式中一併求解[6]。

5.勤務長度(length of duty constraint)：

此項因素通常在營運車輛受限於某些班次排定之特殊性，業者需特別考量補 給油料或維修車輛之情形下，才會針對勤務之長度加以限制；文獻中對於此項因

素之處理多是將勤務規劃成為循環狀態(cycle)，亦即表示所規劃後之勤務必須滿 足其勤務長度(考量油料)或時間(考量速度)之限制[17]；此外 Ball[2]證明出勤務長 度限制問題(the path-length-constrained problem)為 NP-hard 問題。

2.3 VSP 求解演算法

Heurgon[19]利用集合分割模式之方式構建人員排程模式，並利用線性規劃 鬆弛法與分支定限法求解集合分割模式。Shepardson and Marstem[31]亦是利用集 合分割模式之方式構建人員排程模式，在模式求解部分則使用拉式鬆弛法 (Lagrangean relaxation method)並配合分支定限法進行求解求解集合分割問題。

Carraresi and Gallo[9]首先利用純指派網路模式之方式構建多場站車輛排程 模式，再以傳統的「先分群再排程」(Cluster first–Schedule second)、以及「先排 程再分群」(Schedule first–Cluster second)兩種啟發式解法，求解純指派模式之多 場站車輛排程問題。基本上「先分群再排程」方法是先將班次集合內之所有班次， 依據場站個數分為數個子問題，此時每個子問題即成為單一場站車輛排程問題， 再將每個子問題逐次求解後並彙整其結果，此結果即為原問題之近似最佳解。而 「先排程再分群」方法則是先將原問題放鬆為單一場站車輛排程問題，求解後產 生一組勤務解，之後將此勤務解與各場站節點，依據空駛成本最小化與滿足各場 站車輛限制此兩項原則，產生一個最小成本網路流動問題，求解後答案亦為原問 題之近似最佳解。 Carpaneto et al.[8]利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場站車輛排程模 式，並使用分支定限法直接對模式進行求解。

Mesquita and Paixão[26]利用純指派網路模式之方式構建多場站車輛排程模 式。為方便模式求解起見，作者先將確保所求得勤務開始起站與結束訖站均為同 一之輔助變數從模式中移除，再使用拉式鬆弛法(Lagrangean relaxation method) 之技巧將其於限制式鬆弛至目標式後利用次梯度法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)進行求解，最後則利用一啟發式解法進行調整，使求得 各個勤務中之開始起站與結束訖站均為同一。

拉式鬆弛法暨次梯度法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)演 算法找出原模式之下限解，再配合一演算法對此下限解進行調整，使得各場站之 車輛使用數均能滿足其車輛容量限制。

Hoffman and Padberg[21]利用時空網路模式之方式構建航空公司人員排程模 式，並使用分支切面法(branch-and-cut method)進行模式求解。此方法可視為分支 定限法與切平面法(cutting plane method)之結合，由於單純使用切平面法之求解效 率不甚理想[22]，因此本篇研究採用線性規劃鬆弛法與自行發展之上限可行解演 算法，在配合分支定限法之架構下加入數個有效不等式(切平面法)，以加快問題 求解效率。作者先將原問題放鬆為線性規劃鬆弛問題後，再使用傳統之分支定限 法進行模式求解工作，並於利用每次分支端點子問題模式之係數矩陣轉化成為一 個路網圖，並利用該路網圖配合Clique 與 Odd Cycle 等技巧以產生數個有效不等 式，藉以緊縮(tightening)模式之可行解區域以便加速子問題之求解效率(可視為產 生一個新的分支點)，並再配合所發展上限可行解演算法，利用線性鬆弛所產生 之下限解與上限解逼近最佳解之方式，以找出最後原模式之近似最佳解。

Forbes et al.[12]首先利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場站車輛排程 模 式 ， 並 利 用 轉 換 技 巧 將 多 重 貨 物 指 派 網 路 模 式 轉 變 為 半 指 派 模 式 (quasi-assignment formulation, QAP)，由於 QAP 模式是一個純網路流動問題(pure network flow problem)，因此首先對 QAP 模式進行求解，所求得的解即為原多重 貨物指派網路模式之下限解，之後以此解做為原多重貨物指派網路模式之起始 解，再配合對偶單體法(dual simplex algorithm)對原多重貨物指派網路模式進行求 解，若求得之解整數解時，此解即為多場站車輛排程模式之最佳解，若此解非為 整數解，則續用分支定限法進行求解，直至產生整數最佳解為止。

Ribeiro and Soumis[30]則利用集合分割模式之方式構建多場站車輛排程模 式，並利用變數產生法(column generation methods)先將主問題之二元變數線性規 劃問題鬆弛為線性規劃模式後，利用單體法(simplex method)求解現有變數之最佳 解，並獲得每組勤務所對應之對偶變數；之而後利用最短路徑問題(shortest path problem)做為子問題求解之依據，以找出對主問題目標值有貢獻之變數，並加入 模式中重新求解，直至無法產生新的變數為止，而此時求得之解，即為原問題之

近似最佳解。

Beasley and Cao[4]利用網路流量模式之方式構建一單場站人員排程模式，再 使 用 拉 式 鬆 弛 法 暨 次 梯 度 法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)之演算法架構進行求解，由於此模式是屬於單場站模式，構模後決策變 數較多場站模式為少，因此作者除將「任一班次僅能被執行一次」之限制式鬆弛 之目標式外，另將變數需為二元變數限制式放鬆為整數限制式，之後利用k 條最 短路路徑方式並配合次梯度法先找出問題之下限解，再依據樹狀搜尋法找出原問 題最佳解。

Haghani and Banihashemi[17]除利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場 站車輛排程模式外，並於模式中加入勤務時間限制之考量(MDVS problem with route time, MDVSRTC)，在模式求解方面，作者先採用 Forbes[12]之求解方法找 出不含勤務時間限制之模式之最佳解，此解即為 MDVSRTC 之下限解，再利用 限制式加入法，將違反勤務時間之勤務變數組合加入至模式中重新求解，直至所 有勤務均滿足勤務時間為止，此解即為 MDVSRTC 之最佳解。作者另在限制式 加入法之架構下，提出兩個啟發式解法，以加快模式求解時間。 Gintner et al.[16]利用時空網路模式之方式構建構建多場站多車種車輛排程 模式，作者有鑑於以時空網路模式之方式做為車輛排程模式將會產生大量的車輛 空駛節線(deadhead arc)變數，因此提出 latest-first-matches 節線替代法，以同場站 時間軸節線之車輛閒置節線(waiting arc)，替代可能產生的車輛空駛節線，因此 經過此項轉換後，原二元變數線性規劃模式則變成具有二元變數與整數變數之混 合整數規劃問題(mixed integer programming, MIP)；於求解演算法方面，文中提 出 fix-and-optimize 之啟發式解法進行模式求解，此法是先將多場站之車輛排程 問題依據場站個數簡化為數個單場站問題，並分別使用求解套裝軟體(CPLEX 8.0) 進行 MIP 模式求解後，再針對車輛閒置節線變數為整數變數之問題，採用班次 先進先出(first-in-first-out)與班次後進先出(last-in-first-out)兩種分解策略對各單 場站之最佳解進行勤務分解(decomposition of the aggregated flows)，以確定所有 變數之變數值非一即零，之後再將求解各單場站結果中出現相同勤務之變數均固 定設為1 後，再重複進行求解，直至所有班次均出現在求解結果中為止。

Kliewer et al.[23]亦是利用時空網路模式之方式構建構建多場站多車種車輛 排程模式，其模式內之空駛節線(deadhead arc)變數替代方式與混合整數規劃問題 之處理方式均與Gintner et al.[16]相同，其差異在於本篇研究於求解演算法上是 直接使用求解套裝軟體(CPLEX 8.0)進行 MIP 模式之求解，因此模式之求解結果 即為原問題之最佳解。此外，作者亦比較 CPLEX 求解軟體之三種參數設定 (Network、Dual 與 Barrier)的求解效率。 2.4 本章小結 1.模式構建方式方面 在歸納相關文獻後可得知，各類MDVSP 模式之構建方式均有其特點，以集 合涵蓋/分割模式而言，此種模式可清楚展現求解後各個勤務內之班次間銜接狀 況，但在班次總數為n且場站個數為p之假設情況下，模式的可能候選勤務個數 將高達近2p n+ 個(亦即模式內之決策變數個數最多可達2p n+ 個)，這對於候選勤務之 產生與決定將不易處理；在時空網路模式方面，此種模式對於班次在各場站間之 銜接情況可以清楚展現，但在空駛節線與車輛閒置節線間之產生方面則不易表 現，必須額外進行處理；而網路流量模式則較容易表現上述時空網路模式不易處 理之情況，但對於班次在各場站間之空駛時間成本則需建立一「各站距離矩陣」 或「各站時間矩陣」另行表示，由此可知此兩種模式構建方式在優缺點的表現上 是呈現互補狀態，至於在模式中決策變數個數部分，此二模式在完全性網路 (complete network)之決策變數個數差異不大；最後，在指派網路模式方面，此種 模式可清楚呈現所有班次間於網路圖形中之指派狀況，但此種方式之最大缺點則 是須將所有的節點數乘以兩倍，不僅使得網路中之問題規模遽增，更造成節線(決 策變數)數量之增加，因此，在班次個數相同之車輛排程問題中，指派網路模式 所產生之決策變數個數通常較網路流量模式與時空網路模式為多。 此外，由過去文獻中亦可發現，文獻中所提出的各種MDVSP 之模式，均包 含「各場站所配置營運車輛數目之上限為已知」與「相關營運成本被簡化為單一 型式目標函數」等假設與限制條件，誠如前述章節所言，如此之假設與限制雖使 得MDVSP 在問題定式與模式求解上較為容易，卻也限制了此模式於實務應用上 之實用性。

表2-1 解決車輛排程問題型態彙整表 考慮因素 作者 閒置 時間 場站 數量 固定車 隊規模 車輛 種類 班次長 度限制 *空駛 成本 勤務中路線轉 換次數最少 Bodin ＆ Golden (1983) ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ ☉

Carraresi & Gallo

(1983) ☉ ☉ ☉ ☉

Mesquita & Paixão

(1990) ☉ ☉ ☉ ☉

Ribeiro & Soumis

(1994) ☉ ☉ ☉ ☉ Forbes et al. (1994) ☉ ☉ ☉ ☉ Haghani & Bamihashemi (2002) ☉ ☉ ☉ ☉ Gintner et al. (2005) ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ Kliewer et al. (2006) ☉ ☉ ☉ ☉ ☉ *：車輛空駛成本併入節線成本中考量。[本研究整理] 2.解決車輛排程問題型態方面 茲歸納文獻中車輛排程問題解決問題型態如表2-1 所示，由表中可得知於過 去文獻所考量之最小車輛閒置時間與多場站兩因素已成為車輛排程問題之基本 考量；在固定車輛規模方面，臺灣地區客運業者時刻表之變動頻率頗為頻繁，因 此由模式來決定業者之最適車隊規模（最小車輛數）較能滿足業者需求，本研究 將於模式中放鬆此項限制；在車輛種類限制方面，由於在營運班次規劃階段已將 各車種容量對於旅客需求之滿足狀況納入考量，因此實務上常採用依據根據班次 分類方式，將原問題切割成最多與車型種類數目相同之數個子問題分別進行求解 [1]，故本研究於模式中僅考量單一車種之問題特性；至於在班次長度限制方面， 由於國內營運班次均屬於相對短程班次，亦即在營運車輛油箱加滿情況下，均能 至少執行完畢一個營運班次，因此本研究將不考慮此項限制。 此外由過去文獻中可發現，過去文獻均並未處理「勤務中車輛營運路線之轉 換次數」之限制，此項限制肇因於：如所規劃之勤務能盡量屬於同一路線（或同 一路線群）時，則可減少路線變更時所需花費之車輛調整時間，甚至可降低司機 員訓練成本，故本研究會將此因素考慮於模式中。 最後，觀察過去文獻所提出的各種MDVSP 模式，可發現除時空網路模式因 其模式特性已將空駛節線表現於路網內，其餘模式對於車輛空駛之處理，均未提

供足夠之彈性，亦即此類模式是建立在一個事先預想的網路上[28]，對於所可能 產生各場站(或營運站)間之空駛班次，已先將其空駛成本合併在車輛營運成本 中，如此不僅降低模式之彈性，更增加模式反應實務問題之困難度，因此本研究 將於模式目標式中考量此項因素，使得所提出之MDVSP 模式，對於空駛節線成 本之權衡取捨更具彈性。 3.求解演算法方面 在歸納相關文獻後可得知，文獻中利用集合分割模式之方式來構建多場站車 輛排程模式者，於求解演算法方面多是採用變數產生法，此法優點在於當問題規 模變大、變數個數激增時，變數產生法可於子問題中先產生足夠數量之起始變數 以供主問題求解使用，並可利用求解所得資訊，修改問題之參數，再於子問題中 產生新增變數增加至原始問題變數集合中，重新求解，直至變數無法改善目前解 為止；但此法是將原問題放鬆為線性規劃問題求解後，利用損失成本(reduced costs)判斷新產生之變數可否加入原始問題變數集合，因此對於原本是整數規劃 的MDVSP 而言，利用該演算法所找出的最佳可行解，多數存在一個問題本質上 之間距(integrality gap)；此外利用此方式所可能產生的勤務個數非常龐大，如何 找出合適的勤務進行判斷，亦為此類演算法之考驗。 文獻中利用指派網路模式方式構建多場站車輛排程模式者，均是將 VSP 問 題轉為網路上的指派問題(the assignment problem)進行求解，因此該模式才會配 合傳統的指派問題模式之定義，將所有代表班次的節點數增加變成兩倍，使節點 分為班次起始節點(source node)與班次結束節點(sink node)兩類。此方法在求解 SDVSP 能產生非常好的效果，因為將 VSP 問題轉為網路上的指派問題後，此問 題可視為最小流量成本問題(minimum cost flow problem)之特例，因此可利用許多 已發表的求解最小流量成本問題之演算法(例如網路單體法)，針對 SDVSP 進行 求解；但由於MDVSP 已經被證明是一 NP-hard 問題[5]，因此利用指派網路模式 方式所構建的MDVSP 模式，在沒有任何演算法可以直接有效率進行求解的情況 下，在面對指派網路模式所形成的龐大網路結構，其求解過程將變為困難且複雜 許多。 而另外利用網路流量模式方式與時空網路模式方式來構建多場站車輛排程

模式者，則多是採用拉式鬆弛法(Lagrangian relaxation method)配合自行研發啟發 式解法、分支定限法(branch-and-bound algorithm)或分支切面法(branch-and-cut algorithm)等演算法進行求解工作。一般而言，此類求解演算法多是在求解品質 與求解時間兩衡量指標上進行權衡取捨，亦即若較強調求解時間者，則多採用拉 式鬆弛法(對極小化問題而言，可產生品質較佳之下限解)配合所發展上限解演算 法逼近最佳解，只要上限可行解與下限不可行解之誤差在可接受範圍內，即完成 求解步驟；若是較強調求解品質時，則多採用線性鬆弛(LP relaxation)，配合分支 定限法或分支切面法進行求解。一般而言，採用拉式鬆弛法進行求解較可快速的 找出可接受的可行解，但其解多數仍存在對偶間距(duality gap)的問題；而利用 分支定限法或分支切面法雖可產生較佳的可行解(或者最佳解)，但所耗費的時間 亦為較多，因此如何找到良好的分支方式、問題之上(下)限與有效率的切面，是 為此類演算法之考驗。 綜合上述分析，本研究針對客運業者於實務應用上之實用性、便利性與快速 性考量下，擬以網路表現方式較簡單、產生決策變數個數較少之網路流量模式之 方式，進行MDVSP 之模式構建，並將涵蓋最小車輛閒置時間、最小車隊規模、 最少勤務中更換路線次數與最小空駛成本等因素，提出符合臺灣地區客運業者營 運現狀之多場站車輛排程模式，並應用切割與征服(divide-and-conquer)之技巧， 提出一啟發式解法—變數固定演算法(variable fixing heuristic)做為模式求解之基 礎，期能幫助客運業者針對實際之營運狀況，規劃出符合經濟效益之車輛勤務組 合。

第三章 多場站車輛排程模式之建立

3.1 多場站車輛排程問題之特性 一般而言，臺灣地區汽車客運營運方式多具有時刻表固定之特性，亦即表示 所有營運班次均由客運業者事先規劃出其發車場站與時間、及到站場站與時間， 營運車輛僅需依時刻表內容按時發車執行班次即可，故多場站車輛排程問題之特 性可歸納如下： 1.共有N個班次必須於規定營運時間D 分鐘(通常為一天 24 小時)內執行完畢； 2.每一班次ti均包含班次開始車站s 、結束車站i ei、起始時間τi、營運時間ιi與營 運成本oci等資訊，且每一班次僅能被一輛營運車輛執行一次； 3.若兩班次ti與tj滿足時間限制τj ≥ + +τ ι ξi i ij（ξij表班次ti結束車站與tj起始車站 不同時之空駛班次時間），則表示營運車輛於執行ti完畢後，可接續執行班次tj； 4.對任意兩班次ti與tj而言，若此兩班次均由同一營運車輛執行時，則表示班次ti 與t_j位於同一勤務中； 5.對所有營運車輛而言，每輛車必須於每日營運完畢後返回其所屬場站，但可允 許場站至營運站間空駛班次之情況發生(業者均盡量避免空駛班次之產生，以免 造成營運成本之增加)； 6.必須由最少車輛數與最低營運成本執行完畢所有的班次。 針對上述特性可得知，汽車客運之MDVSP 是屬於一種結合時間性(temporal) 與空間性(spatial)之最小化車輛成本排程問題，可用圖 3.1 簡單表示之。圖中可看 出車輛一可執行班次二、班次四、班次五、…、至班次N等班次組合，車輛二可 執行班次三、班次四、…、至班次N−1等班次組合，各個班次組合稱為勤務， 於此圖中兩個勤務之第一班次發車場站與最後一班次結束場站均為相同，即表示 勤務中並無場站至營運站間之空駛班次產生，故此圖可表現出所有車輛執行勤務 時之場站空間位置特性；此問題另一項重要特性為：因受限於時間軸之特性，所 有勤務內之班次組合均屬於非循環性(acyclic)，亦即各個勤務將不會產生迴圈(no

cycle)情況；此外對於所產生之任何可行勤務解而言，其所有班次之營運成本 1 =

∑

N i i oc 均為定值，故於模式構建時此項成本可忽略不計。。 圖3.1 多場站營運車輛排程示意圖 3.2 模式建立 依據3.1 節所描述多場站車輛排程問題之特性，本研究將針對問題進行以下 的 定 義 ： 令 N={1,2,…, n }表 所 有 班 次 數 ， p P∈ 為 所 有 場 站 ， 則 可 定 義 出 ( , ) = p p p G V A 為一時空網路圖，其中n N∈ 表路網中之班次節點，而節點n p+ 則表 第 p 個 場 站 ； 另 令 I ⊆ ×N N 表 所 有 可 互 相 連 結 的 班 次 子 集 合 ， 故 可 得

{

}

= ∪ + p V N n p ，_Ap = ∪_I

(

{_{n p}+ }×_N

)

_∪

(

_{N× +{n p}}

)

_{，此外，節線成本由車輛閒置} 時間(此類成本與場站p之所在無關)、車輛於預估使用年限中各期折舊成本、勤 務中營運路線轉換成本與車輛空駛成本等四項組成。故決策變數可定義為：x_ijp為 二元變數在網路節線上之流量(binary flow)，其中( , )i j ∈Ap與p P∈ ，因此決策變 數對於多場站車輛排程問題之定義如下：若x_ijp =1，則表示第 j個班次緊接著在 第i班次之後，可由第p場站所執行；若x_ijp =0，則否。