第二章 文獻回顧
2.1 模式構建方式
2.1.4 集合涵蓋/分割模式
此類模式是套用集合涵蓋或集合分割之形式，將車輛排程問題以網路表示
限制式：
p 1
ir r p P r R
a x
∈ ∈
∑∑
≥ ∀ ∈i N (2-26)p
r p
r R
x k
=
∑
≤ p P∀ ∈ (2-27)p
x is binaryj (2-28) 模式中目標函數(2-25)為確定此集合分割形式之車輛排程後勤務總成本為 最小；限制式(2-26)為集合涵蓋限制式(covering constraints)，此限制式目的在限 制每一班次至少會被執行一次，亦即每一限制式i代表一班次，若勤務r包含班 次i，則air =1，反之則air =0，此外，若將限制式(2-26)改為等式，即形成集合 分割形式，則表示每一班次只將被執行一次；限制式(2-27)為各場站可執行之勤 務上限，亦可視為各場站可使用車輛數目之限制；而限制式(2-28)則確保每一場 站之勤務僅能被使用一次。
2.2 VSP 解決問題型態
針對以數學規劃方式來解決車輛排程問題之問題型態方面，曾有Bodin and Golden[6]、Bodin et al.[7]、與 Daduna and Paixão[10]相關學者進行整理與討論，
其車輛排程問題型態經彙整後可分為下列五項因素：
1.車輛閒置時間：
車輛排程問題的本質即是如何在最小成本考量下，找出最適合之班次銜接狀 況，因此，在將此問題轉為網路流量方式或集合涵蓋/分割方式構建模式時，首 先考量之問題點通常是：如何使得班次間銜接之空隙越少？此項問題點中之「空 隙」越少即是「車輛閒置時間」越小；Bodin and Golden[6]曾指出若在滿足班次 銜接之時間限制下(Tj−Dj > +Ti DH E S[ ,i j]，其中Ti為班次到站時間、Di為班次執 行時間、DH E S[ ,i j]為兩班次間之場站空駛時間)，車輛排程問題可轉變為一個具 有方向性且非循環性之網路(a directed acyclic network)；一般而言，國外文獻在 規劃班次銜接問題時，均將場站空駛之時間成本納入考量，而此項成本多轉入網 路的節線成本上，此問題可視為Dilworth decomposition problem[13]，此即為學
術上車輛排程問題之基本問題型態。
2.場站數量：
車 輛 排 程 問 題 基 本 上 可 分 為 單 一 場 站 與 多 場 站 兩 大 類 ，Lenstra and Rinnooy[25] 證 明 若 問 題 規 模 屬 於 單 一 場 站 之 VSP ， 其 問 題 求 解 時 間 將 為 polynomial time；而 Bertossi et al.[5]則證明若場站數大於 2 時，MDVSP 則成為 一NP-hard 問題，求解過程將變為困難且複雜許多，但 MDVSP 之規劃較能符合 國內多數業者之營運生態[35]、[39]。
3.車隊規模：
由於營運車輛之固定成本(fixed vehicle cost)遠高於營運成本(operational cost)，因此在構建車輛排程模式時均會包含最小使用車輛數[16]，故多數文獻中 車輛排程問題之數學模式均將此項因素納入考量，通常其做法於限制式中給定各 場站所能使用之車輛數目上限，而於目標式中加入最小車輛購置成本、折舊成本 或車輛使用成本(capital cost)之項目。此外，若此項因素為業者在進行車輛排程 時之主要目標，其車輛排程問題亦可稱為最小車隊規模問題(minimum fleet size problem)[5]，由於營運車輛之購置成本(或折舊成本)與維修成本均非常昂貴，故 此項因素將業者的投資規劃影響極大[1]。
4.車輛種類：
文獻中車輛排程問題對於車種之處理通常有兩種方式：第一種是依據各車型 所適合執行之班次，將原問題根據班次分類之方式，切割成最多與車型種類數目 相同之數個子問題分別進行求解[1]；另一種是在假設所有班次均適合所有車種 執行之情況下，給定各車種一組可執行班次數目(稱之為勤務)之上限值與下限值 ( t≤,∑∈ ijt ≤ t
i j N
b x b，其中bt與bt分別表第t種車型所能執行班次之上限值與下限值)，並 加入模式限制式中一併求解[6]。
5.勤務長度(length of duty constraint)：
此項因素通常在營運車輛受限於某些班次排定之特殊性，業者需特別考量補 給油料或維修車輛之情形下，才會針對勤務之長度加以限制；文獻中對於此項因
素之處理多是將勤務規劃成為循環狀態(cycle)，亦即表示所規劃後之勤務必須滿 足其勤務長度(考量油料)或時間(考量速度)之限制[17]；此外 Ball[2]證明出勤務長 度限制問題(the path-length-constrained problem)為 NP-hard 問題。
2.3 VSP 求解演算法
Heurgon[19]利用集合分割模式之方式構建人員排程模式，並利用線性規劃 鬆弛法與分支定限法求解集合分割模式。Shepardson and Marstem[31]亦是利用集 合分割模式之方式構建人員排程模式，在模式求解部分則使用拉式鬆弛法 (Lagrangean relaxation method)並配合分支定限法進行求解求解集合分割問題。
Carraresi and Gallo[9]首先利用純指派網路模式之方式構建多場站車輛排程 模式，再以傳統的「先分群再排程」(Cluster first–Schedule second)、以及「先排 程再分群」(Schedule first–Cluster second)兩種啟發式解法，求解純指派模式之多 場站車輛排程問題。基本上「先分群再排程」方法是先將班次集合內之所有班次，
依據場站個數分為數個子問題，此時每個子問題即成為單一場站車輛排程問題，
再將每個子問題逐次求解後並彙整其結果，此結果即為原問題之近似最佳解。而
「先排程再分群」方法則是先將原問題放鬆為單一場站車輛排程問題，求解後產 生一組勤務解，之後將此勤務解與各場站節點，依據空駛成本最小化與滿足各場 站車輛限制此兩項原則，產生一個最小成本網路流動問題，求解後答案亦為原問 題之近似最佳解。
Carpaneto et al.[8]利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場站車輛排程模 式，並使用分支定限法直接對模式進行求解。
Mesquita and Paixão[26]利用純指派網路模式之方式構建多場站車輛排程模 式。為方便模式求解起見，作者先將確保所求得勤務開始起站與結束訖站均為同 一之輔助變數從模式中移除，再使用拉式鬆弛法(Lagrangean relaxation method) 之技巧將其於限制式鬆弛至目標式後利用次梯度法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)進行求解，最後則利用一啟發式解法進行調整，使求得 各個勤務中之開始起站與結束訖站均為同一。
Lammatsch[24]利用時空網路模式之方式構建多場站車輛排程模式，並使用
拉式鬆弛法暨次梯度法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)演 算法找出原模式之下限解，再配合一演算法對此下限解進行調整，使得各場站之 車輛使用數均能滿足其車輛容量限制。
Hoffman and Padberg[21]利用時空網路模式之方式構建航空公司人員排程模 式，並使用分支切面法(branch-and-cut method)進行模式求解。此方法可視為分支 定限法與切平面法(cutting plane method)之結合，由於單純使用切平面法之求解效 率不甚理想[22]，因此本篇研究採用線性規劃鬆弛法與自行發展之上限可行解演 算法，在配合分支定限法之架構下加入數個有效不等式(切平面法)，以加快問題 求解效率。作者先將原問題放鬆為線性規劃鬆弛問題後，再使用傳統之分支定限 法進行模式求解工作，並於利用每次分支端點子問題模式之係數矩陣轉化成為一 個路網圖，並利用該路網圖配合Clique 與 Odd Cycle 等技巧以產生數個有效不等 式，藉以緊縮(tightening)模式之可行解區域以便加速子問題之求解效率(可視為產 生一個新的分支點)，並再配合所發展上限可行解演算法，利用線性鬆弛所產生 之下限解與上限解逼近最佳解之方式，以找出最後原模式之近似最佳解。
Forbes et al.[12]首先利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場站車輛排程 模 式 ， 並 利 用 轉 換 技 巧 將 多 重 貨 物 指 派 網 路 模 式 轉 變 為 半 指 派 模 式 (quasi-assignment formulation, QAP)，由於 QAP 模式是一個純網路流動問題(pure network flow problem)，因此首先對 QAP 模式進行求解，所求得的解即為原多重 貨物指派網路模式之下限解，之後以此解做為原多重貨物指派網路模式之起始 解，再配合對偶單體法(dual simplex algorithm)對原多重貨物指派網路模式進行求 解，若求得之解整數解時，此解即為多場站車輛排程模式之最佳解，若此解非為 整數解，則續用分支定限法進行求解，直至產生整數最佳解為止。
Ribeiro and Soumis[30]則利用集合分割模式之方式構建多場站車輛排程模 式，並利用變數產生法(column generation methods)先將主問題之二元變數線性規 劃問題鬆弛為線性規劃模式後，利用單體法(simplex method)求解現有變數之最佳 解，並獲得每組勤務所對應之對偶變數；之而後利用最短路徑問題(shortest path problem)做為子問題求解之依據，以找出對主問題目標值有貢獻之變數，並加入 模式中重新求解，直至無法產生新的變數為止，而此時求得之解，即為原問題之
近似最佳解。
Beasley and Cao[4]利用網路流量模式之方式構建一單場站人員排程模式，再 使 用 拉 式 鬆 弛 法 暨 次 梯 度 法(Lagrangean relaxation method with subgradient methods)之演算法架構進行求解，由於此模式是屬於單場站模式，構模後決策變 數較多場站模式為少，因此作者除將「任一班次僅能被執行一次」之限制式鬆弛 之目標式外，另將變數需為二元變數限制式放鬆為整數限制式，之後利用k 條最 短路路徑方式並配合次梯度法先找出問題之下限解，再依據樹狀搜尋法找出原問 題最佳解。
Haghani and Banihashemi[17]除利用多重貨物指派網路模式之方式構建多場 站車輛排程模式外，並於模式中加入勤務時間限制之考量(MDVS problem with route time, MDVSRTC)，在模式求解方面，作者先採用 Forbes[12]之求解方法找 出不含勤務時間限制之模式之最佳解，此解即為 MDVSRTC 之下限解，再利用 限制式加入法，將違反勤務時間之勤務變數組合加入至模式中重新求解，直至所 有勤務均滿足勤務時間為止，此解即為 MDVSRTC 之最佳解。作者另在限制式 加入法之架構下，提出兩個啟發式解法，以加快模式求解時間。
Gintner et al.[16]利用時空網路模式之方式構建構建多場站多車種車輛排程 模式，作者有鑑於以時空網路模式之方式做為車輛排程模式將會產生大量的車輛 空駛節線(deadhead arc)變數，因此提出 latest-first-matches 節線替代法，以同場站 時間軸節線之車輛閒置節線(waiting arc)，替代可能產生的車輛空駛節線，因此 經過此項轉換後，原二元變數線性規劃模式則變成具有二元變數與整數變數之混 合整數規劃問題(mixed integer programming, MIP)；於求解演算法方面，文中提
Gintner et al.[16]利用時空網路模式之方式構建構建多場站多車種車輛排程 模式，作者有鑑於以時空網路模式之方式做為車輛排程模式將會產生大量的車輛 空駛節線(deadhead arc)變數，因此提出 latest-first-matches 節線替代法，以同場站 時間軸節線之車輛閒置節線(waiting arc)，替代可能產生的車輛空駛節線，因此 經過此項轉換後，原二元變數線性規劃模式則變成具有二元變數與整數變數之混 合整數規劃問題(mixed integer programming, MIP)；於求解演算法方面，文中提