排容原理相關研究

排容原理(The Principle of Inclusion and Exclusion)是個容易使用的計數方法，最早 是以篩選方法（Sieve Method）或交叉分類法則（Principle of Cross Classification）等 不同的名稱出現，而現今所闡述與使用的排容原理是由英國數學家Sylvester

(1814-1897) 所建立。但在早期排容原理這一種計數技巧並未獲得重視，一直到由 Whitworth 所撰寫的「選擇與機會(Choice and Chance)」這本大眾書籍問世後，才使得 數學家開始注意到排容原理的用途，也因為排容原理簡單明瞭， 所以在其他領域更是

n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(B∩C)－n(A∩C) ＋n(A∩B∩C) (3) 針對m個集合 A1 , A2 , … , Am :

2.5.2 排容原理教材地位分析

排列與組合是學習統計學與機率論的基礎，重點在研究一些問題的計數方法。根 據研究者在學習與教學的經驗，甚至從許多資深教師的分享中發現：有些學生的數學 在高一學得不錯，但在高二學排列組合時卻顯得很吃力；也有些學生在高一學得不太 理想，但在此單元卻茅塞頓開，進步神速。可見不少學生對排列組合單元的學習感到 困難，因此若在排列組合單元學習的開始，能清楚瞭解重要的基本概念，對於日後更 複雜的問題，才能減輕負擔，使學習過程更為順利。

根據民國九十四年一月教育部所修正發佈的普通高級中學數學課程暫行綱要，排 容原理安排在第四冊第二章「排列與組合」，其中的第一節。而「集合元素的計數」

教材內容是由集合的概念出發，包含集合的表示法、元素與集合的關係、子集合的概 念、交集、聯集、差集孙集、補集、空集合……等數學符號與對應的文氏圖，接著介 紹集合元素的個數，進一步引入該小節的精髓—「排容原理」。

在高中數學排列組合單元中，部分的課程架構如圖 8：

圖 8 排列組合單元部分課程架構圖

資料來源：修改自翰林版普通高級中學數學第四冊教師手冊(余文卿, 2011)

集合 集合元素的計數

排容原理

加法原理

直線排列

機率與統計 乘法原理

組 合

環狀排列 不盡相異物

的直線排列

已 習 教 材 本 單 元 教 材 未習教材

排容原理相關的應用問題很多，從基本的計數問題，延伸到排列、組合甚至是機

研究顯示，當應用問題需要使用排容原理時，學生的錯誤率明顯增高，且關於三 個集合的排容原理錯誤率又更高(莊淑貞，2007) 。分析學生的錯誤類型，包括了未弄 清題意及未熟練基本計數概念，即學生解題時，對於排容原理的觀念不夠清楚，誤用 其計數方法，忽略了使用具體的文氏圖來表示題意間的關係，因而造成計數錯誤。

基於排容原理的教材地位與學生的錯誤原因，本研究的教材內容將以從集合的基 本概念出發，再介紹兩個集合的排容原理及應用問題，最後介紹三個集合的排容原理 及相關應用問題，希望透過數位教材設計，提高學生的學習動機，並結合適性指標與 代數教材設計原則，增加文字、符號與圖像表徵間的連結與轉換能力，使學生日後在 遇到排容原理相關問題時，能夠更順利將其迎刃而解。