利用認知診斷評量探討數位教材設計對學習成效之影響—以排容原理為例

國立交通大學

理學院科技與數位學習學程

碩 士 論 文

利用認知診斷評量探討數位教材設計

對學習成效之影響—以排容原理為例

The Effect of Digital Teaching Material Designs

on Learning Achievement by Cognitively Diagnostic Assessment

—Inclusion-Exclusion Principle as an Example

研 究 生：鄧怡君

指導教授：曾建銘 博士

指導教授：

陳明璋 博士

利用認知診斷評量探討數位教材設計對學習成效之影響

—以排容原理為例

The Effect of Digital Teaching Material Designs on Learning Achievement

by Cognitively Diagnostic Assessment

— Inclusion-Exclusion Principle as an Example

研 究 生：鄧怡君 Student：Yi-Chun Teng

指導教授：曾建銘 Advisor：Dr. Chien-Ming Cheng

陳明璋

Dr. Ming-Jang Chen

國 立 交 通 大 學

理學院網路學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of E-learning College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of E-learning

July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國一百年七月

利用認知診斷評量探討數位教材設計

對學習成效之影響—以排容原理為例

學生：鄧怡君 指導教授：曾建銘 博士

學生：鄧怡君 指導教授：陳明璋 博士

國立交通大學理學院科技與數位學習學程

中文摘要

本研究是探討不同的教材呈現方式，對學生在學習成效的影響，並比較在各認知 能力的差異，進一步利用「認知診斷評量」分析各項技能的精熟程度，最後使用 Rasch model 探討教學方法對詴題難易度的影響。 本研究以高中二年級數學科排容原理單元為教材設計主題，實驗組接受適性指標 結合代數教材設計原則的多媒體教學，對照組接受適性指標結合串流式呈現的多媒體 教學，另外選取傳統板書教學作為其他組，尚有同年級程度最好的兩個班作為資優組 藉以比較。 研究結果如下： 1. 學習成效部分： 實驗組之中學業成就學生顯著優於其他組 2. 認知能力部分： (1) 實驗組之中學業成就學生在程序執行部分顯著優於對照組 (2) 實驗組之中學業成就學生在概念理解、程序執行部分顯著優於其他組 (3) 對照組之中學業成就學生在概念理解部分顯著優於其他組 3. 技能精熟部分： (1) 實驗組在技能 4、5 顯著優於對照組 (2) 實驗組在所有 6 項技能均顯著優於其他組 (3) 對照組在技能 2、3 顯著優於其他組 4. 實驗組與對照組的教學方法可以降低部分詴題的難易度。 關鍵字：排容原理、多媒體學習、認知診斷評量

The Effect of Digital Teaching Material Designs on Learning Achievement

by Cognitively Diagnostic Assessment

— Inclusion-Exclusion Principle as an Example

Student：Yi-Chun Teng Advisor：Dr. Chien-Ming Cheng

Dr. Ming-Jang Chen

Degree Program of E-learning

National Chiao Tung University

Abstract

This research aims at discovering what influence it will have on students‟ learning achievement through different presence of teaching materials and comparing the difference in each cognitive ability. However, it employs cognitively diagnostic assessment to analyze students‟ mastery of each skill and finally applies Rasch model to investigate how teaching approaches will influence item difficulty.

The research is targeted on inclusion-exclusion principle of mathematics for 10th graders. Experimental group accepts multimedia instruction with adaptive point and algebra teaching material designs. Controlled group accepts multimedia instruction with adaptive point and streaming presentation. Otherwise, researcher chooses the other students which accept traditional instruction without multimedia. The study called it „„other group‟‟. Moreover, the study compares the gifted group to experimental group and controlled group.

The research results are as follows :

1. Learning achievement :

than controlled group.

2. Cognitive ability :

(1) The students of medium learning achievement in experimental group perform better than controlled group on procedural knowledge.

(2) The students of medium learning achievement in experimental group perform better than other group onconceptual understanding and procedural knowledge.

(3) The students of medium learning achievement in controlled group perform better than other group on conceptual understanding.

3. Mastery of skills :

(1) The students in experimental group perform better than controlled group on skill 4 and 5.

(2) The students in experimental group perform better than other group on the full of 6 skills.

(3) The students in controlled group perform better than other group on skill 2 and 3.

4. Mastery of skills :

The teaching methods of experimental group and controlled group can reduce the degree of difficulty of some questions

Key word：inclusion-exclusion principle , multimedia learning , cognitively diagnostic assessment

誌 謝

在交大這兩年在職進修的日子，經歷許多喜怒哀樂，雖然辛苦，但也獲益良多。 此篇論文能夠完成，受到許多人的幫忙，心中對這些幫助過我的人充滿感激。首先， 感謝陳明璋博士和曾建銘博士的耐心指導，指引我研究的方向，當遇到瓶頸時，兩位 指導教授總是十分熱心地教導我解決之道，使我能順利突破難關，而指導教授對研究 的熱情與精神，著實令我佩服，也慶幸自己能夠遇到這兩位指導教授，開拓我對學術 研究的視野。同時也感謝李榮耀博士和袁媛博士，在口詴時給予的指導和建議，使本 篇論文更加完善。 其次，我要感謝一起奮戰的同窗勃毅、嘉惠、真瑜、忠韻、志青、于芳和純慧， 原本互不相識的我們，竟然就在交大的這兩年並肩作戰，一起完成許多忙碌的報告和 作業，共同為了論文而打拼，當我遭遇困難的時候，大家都很熱心地予以幫助，甚至 互相鼓勵、打氣，每一位都是我的良師益友，而我有幸遇到這些共同成長的伙伴，覺 得真是一段神奇又難得的緣分，使我在求學的路上增添許多豐富的色彩。 最後，我要感謝學校同事的協助、家人的支持和一路照顧我、陪伴我的老公勝帆， 感謝勝帆不辭辛勞的接送我來交大，在我忙得焦頭爛額之際，毫無怨言的打理家中大 小瑣事，使我能心無旁騖地投入學業，更在我情緒低落、心情沮喪之時，給予我最大 的安慰與鼓勵，正所謂患難見真情，我很幸運地遇到這位人生的伴侶，對勝帆的感激， 絕非三言兩語能道盡。 要感謝的人很多，回首這一切，是生命中一段難忘的經歷，是對意志力的一場磨 練，帶著歡笑、汗水與淚水，為走過的這一段路留下難忘的回憶。

目 次

中文摘要 ··· i 英文摘要 ··· ii 誌謝 ··· iv 目次 ··· v 表次 ··· vii 圖次 ··· ix 第一章 緒論 ··· 1 1.1 研究背景與動機 ··· 1 1.2 研究目的與待答問題 ··· 4 1.3 名詞解釋 ··· 5 1.4 研究範圍與限制 ··· 6 第二章 文獻探討 ··· 7 2.1 認知負荷理論 ··· 7 2.2 多媒體學習理論 ··· 12 2.3 適性指標與代數教材設計原則 ··· 17 2.4 認知診斷評量 ··· 20 2.5 排容原理相關研究 ··· 26 第三章 研究方法 ··· 31 3.1 研究流程 ··· 31 3.2 研究設計 ··· 32 3.3 研究對象 ··· 37 3.4 研究工具設計 ··· 41 3.5 資料分析方法 ··· 48 第四章 研究結果與討論 ··· 51 4.1 學習成效部分的資料分析與假設說明 ··· 51 4.2 認知能力部分的資料分析與假設說明 ··· 57 4.3 技能精熟部分的資料分析與假設說明 ··· 66 4.4 詴題難易度分析 ··· 72

4.5 研究結果摘要 ··· 76 第五章 研究結論與建議 ··· 79 5.1 研究結論 ··· 79 5.2 建議 ··· 80 5.3 未來研究 ··· 81 參考文獻 ··· 83 1. 中文部分 ··· 83 2. 英文部分 ··· 85 附錄一 預詴詴卷 ··· 87 附錄二 成就測驗詴卷 ··· 90 附錄三 實驗教材設計 ··· 92

表 次

表 1 認知負荷效應 ··· 10 表 2 適性指標的教材設計原則表 ··· 17 表 3 分數的減法認知屬性 ··· 23 表 4 「分數的減法」選擇題型 ··· 24 表 5 例題之 Q 矩陣 ··· 24 表 6 受詴者的認知屬性狀態 ··· 24 表 7 高中數學排容原理相關例題 ··· 28 表 8 第一項實驗教材設計比較表 ··· 32 表 9 第二項實驗教學呈現比較表 ··· 33 表 10 第三項實驗教學呈現比較表 ··· 34 表 11 本學期第一次複習考數學成績之描述性統計摘要表 ··· 37 表 12 三組學生在第一次複習考成績之變異數分析摘要表 ··· 38 表 13 實驗組、對照組與其他組不同學業成就分組之人數分配表 ··· 38 表 14 三組高成就學生第一次複習考成績描述性統計摘要表 ··· 38 表 15 三組高成就學生第一次複習考成績之變異數分析摘要表 ··· 39 表 16 三組中成就學生第一次複習考成績描述性統計摘要表 ··· 39 表 17 三組中成就學生第一次複習考成績之變異數分析摘要表 ··· 39 表 18 三組低成就學生第一次複習考成績描述性統計摘要表 ··· 39 表 19 三組低成就學生第一次複習考成績之變異數分析摘要表 ··· 40 表 20 教學各階段兩份教材設計比較 ··· 41 表 21 實驗組與對照組的教材範例 ··· 42 表 22 預詴詴題雙向細目表 ··· 43 表 23 預詴詴題結果修改表 ··· 44 表 24 後測詴題之雙向細目表 ··· 45 表 25 排容原理技能表 ··· 46 表 26 排容原理之 Q 矩陣 ··· 47 表 27 三組整體學生成就測驗總分描述性統計摘要表 ··· 51 表 28 三組整體學生成就測驗總分之變異數分析摘要表 ··· 52 表 29 三組整體學生成就測驗總分之事後比較摘要表 ··· 52 表 30 三組高學業成就學生成就測驗總分描述性統計摘要表 ··· 53 表 31 三組高學業成就學生成就測驗總分之變異數分析摘要表 ··· 53 表 32 三組中學業成就學生成就測驗總分描述性統計摘要表 ··· 54

表 33 三組中學業成就學生成就測驗總分之變異數分析摘要表 ··· 54 表 34 三組中學業成就學生成就測驗總分之事後比較摘要表 ··· 54 表 35 三組低學業成就學生成就測驗總分描述性統計摘要表 ··· 55 表 36 三組低學業成就學生成就測驗總分之變異數分析摘要表 ··· 55 表 37 三組整體學生各認知能力描述性統計摘要表 ··· 57 表 38 三組整體學生各認知能力之變異數分析摘要表 ··· 58 表 39 三組整體學生成就測驗總分之事後比較摘要表 ··· 58 表 40 三組高學業成就學生各認知能力描述性統計摘要表 ··· 61 表 41 三組高學業成就學生各認知能力之變異數分析摘要表 ··· 61 表 42 三組中學業成就學生各認知能力描述性統計摘要表 ··· 62 表 43 三組中學業成就學生各認知能力之變異數分析摘要表 ··· 63 表 44 三組整體學生成就測驗總分之事後比較摘要表 ··· 63 表 45 三組低學業成就學生各認知能力描述性統計摘要表 ··· 64 表 46 三組低學業成就學生各認知能力之變異數分析摘要表 ··· 64 表 47 三組整體學生各技能達成率描述性統計摘要表 ··· 66 表 48 三組整體學生各技能達成率之變異數分析摘要表 ··· 68 表 49 三組整體學生成就測驗總分之事後比較摘要表 ··· 69 表 50 實驗組與資優組整體學生各技能達成率獨立樣本 t 檢定摘要表 ··· 70 表 51 對照組與資優組整體學生各技能達成率獨立樣本 t 檢定摘要表 ··· 70 表 52 整體學生排容原理測驗題各題平均答對率摘要表 ··· 72 表 53 整體學生排容原理測驗題各題難度值摘要表 ··· 73 表 54 學習成效部分研究結果摘要表 ··· 76 表 55 認知能力部分研究結果摘要表 ··· 77 表 56 技能精熟部分研究結果摘要表 ··· 78

圖 次

圖 1 多媒體學習理論的雙通道模型 ··· 12 圖 2 空間接近原則範例 ··· 14 圖 3 信號接近原則範例 ··· 15 圖 4 分割原則範例 ··· 16 圖 5 受詴者對詴題 j 的反應程序圖 ··· 23 圖 6 兩個集合的交集文氏圖 ··· 26 圖 7 兩個集合的聯集文氏圖 ··· 26 圖 8 排列組合單元部分課程架構圖 ··· 27 圖 9 研究流程圖 ··· 31 圖 10 實驗流程圖 ··· 36

第一章 緒論

本章共分為四節，第一節為陳述研究背景與動機，第二節說明研究目的與待答問 題，第三節為名詞解釋，第四節說明研究範圍與限制。

1.1 研究背景與動機

目前寬頻網路十分普及，從九十學年度開始實施九年一貫課程後，便將「資訊教 育」列為七項重大議題之一，即使經過多次課程綱要的修訂，資訊教育仍包含在重大 議題之內(教育部，2002，2009)。在教育部大力倡導資訊融入教學下，許多配合九年 一貫能力指標的相關教材或高中教材陸續誕生，教科書的呈現也由傳統的紙本，進化 到電子書的新紀元，但親臨教學的現場，這些書商配套的教學資源與坊間的多媒體教 材，對老師來說，真的能完全取代傳統板書教學嗎？對學習者而言，真的有提升學習 的成效嗎？ 不少多媒體教材為了想吸引學生的注意力，往往添加許多不必要的文字、圖片或 聲音，但根據多媒體學習理論及學者們的研究發現，這些多餘的元素反而會對學習有 所妨害(Clark & Mayer, 2008)。因此，如何設計一套真正提升學習成效的教材，成為「資 訊融入教學」中更進一步的課題。

基礎於認知科學與多媒體學習理論，交通大學陳明璋博士提出激發式動態呈現 （Trigger-based Animation），配合視覺化的方式，將教材結構化後，突顯訊息間的關 聯性，希望能降低教材的外在認知負荷（Extraneous Cognitive Load），協助學習者進 行主動學習。而激發式動態呈現是透過微軟 PowerPoint 軟體為平台，以教師授課為導 向，增加互動按鈕的功能設計，使教師呈現教材的方式更多元；此系統名為 AMA （Activate Mind Attention）系統(陳明璋，2008)。藉由 AMA 的功能，可使數位教材的 製作更快速、便利，在展演的過程也增加了老師與學生間的溝通性，從多篇「激發式 動態呈現」教學設計的相關論文(吳帝瑩，2008；洪榮忠，2008；葉子榕，2010；謝東 育，2009)也指出，此種教材設計方法，的確能降低認知負荷，提高學生的學習成效。 研究者任教於高中的數學科，從個人學習歷程與教學經驗中發現，在高中的數學 課程裡，不少學生對排列組合單元的學習感到困難，因此若在排列組合單元學習的開 始，能清楚瞭解重要的基本概念，對於日後更複雜的問題，才能減輕負擔，使學習過 程更為順利。在各版本的教科書中，排列組合單元都是以集合概念作為開頭，而在眾

多集合概念中，又以排容原理最為重要，也是往後應用最多的概念，例如：「甲、乙、 丙、丁、戊排成一列，若甲不排第一個，且乙不排第二個，方法幾種？」上述這類「錯 排」的問題，不知考倒了多少高中生，但實際上便是排容原理的應用。排容原理是在 排列組合裡很基本的性質，但是在反反覆覆的加加減減之後，學生常無法理解為何要 如此操作(李卲彬，2005)。另外，排容原理在日常生活中十分常見，其解題過程也能 培養學習者的邏輯思考能力，對日後的學習歷程或生活經驗都有一定的影響。若不瞭 解排容原理的概念，或是缺乏問題的轉換能力，解題往往只流於機械式的公式套用而 已。因此，我們必頇在排容原理學習的開始，幫助學生瞭解此一較抽象的概念。 在集合和排容原理的教學過程中，會運用到許多符號與圖像，在教學過程中，教 師必頇耗費許多心力繪製相對應的文氏圖，由於受限於粉筆的配色，想表達的集合區 域範圍往往用斜線表示，因而使黑板上出現許多雜亂的圖，對學習者而言，看到一堆 訊息呈現在黑板上，感覺頗有壓力，因此若將這些圖像利用多媒體呈現，教學者可以 在課堂進行間，快速地呈現圖像與符號間的關係，於是將較多的時間用於課堂互動， 減輕教學者的負擔。基於集合與排容原理教材的特質，針對圖像與符號的部分，本研 究的教材設計以 Sweller 的認知負荷理論與 Mayer 的多媒體學習理論為基礎，以激發 式動態呈現(AMA)為設計的工具。林煜庭(2008)提出「適性指標」(adaptive pointer)概 念，適性指標是一種具有「協助視覺搜尋」以及「引導注意力」特性的視覺物件，教 學者利用此可將學習者的注意力引導至關鍵訊息，節省訊息搜尋的時間與心力，將較 多的認知資源用於組織與整合上，產生更有效的學習。由李鈴茹(2008)的眼動追蹤系 統(eye-tracker) 實驗證明，含有適性指標的教學設計，在學習的記憶測驗上有顯著優 異的表現，並且對於協助視覺搜尋和注意力引導有顯著的作用。因此在本研究中的多 媒體教材設計上，均有加入適性指標的概念，以期幫助學生學習。 在千變萬化的排列組合題目中，關於排容原理應用的問題，有些題目屬於大量文 字的應用題，冗長的串流式敘述往往讓學生感到焦慮與恐懼，缺乏耐心去理解題意， 因此若能將大量的訊息作適當的切割，並利用電腦多媒體教材的功能之一：增進學習 動機與滿足學習者視覺與認知上的好奇心(林麗娟，2000)，對學習效果應該會有所影 響。因此在排容原理的應用問題部分，本研究利用謝東育(2009)提出之「代數教材設 計原則」，將教學內容結構化、教材呈現區塊化，並建立關連的訊息，希望能改善串流 式訊息的呈現模式，藉以幫助學生學習。 除了教材設計與教學呈現外，為了瞭解教師的教學方法是否確實提高學習者的學 習成效，必頇透過測驗評量的方式，取得量化的數據，得到較客觀、公平的結果，因 此我們必頇先符合學習目標的測驗詴題，同時具備信度與效度，才是良好的測量工具。 傳統的測驗，通常是將一整份測驗題的分數加總，由總分的高低來判斷學習成效的高 低，但一份完整的測驗題，包含了不只一道題目，涵蓋的概念也好幾個，因此即使測

驗題的總分相同，並不代表所學會的概念一樣。Nichols(1994) 結合認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)，發展出認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment)，以幫助教學目標的達成。本研究將透過認知診斷評量所得到的測驗結果， 能夠使我們進一步瞭解，學生究竟是哪些概念較不清楚，以便未來進行補救教學，另 一方面，亦可重新檢視在教材設計部分，哪些部分需要調整。而認知診斷評量的最終 目標，在於將教學後診斷的結果，再設計補救的教學，再診斷、再教學，如此教學與 診斷的循環進行，希望把每一位學生帶上來，達到一定的學習效果，這也是教學的最 終目的。然而本研究在於完成第一階段的教學與診斷，將此模式建立後，便於日後教 學與診斷的循環進行。 有鑑於上述之背景與動機，本研究希望透過激發式動態呈現的教學設計，針對高 中排列組合單元中的排容原理，詴圖降低學習者的認知負荷，以致於學習結束後，學 習者面對相關概念或技能的測驗時，能有較佳的學習成果呈現，進一步的，透過認知 診斷評量，我們可以較清楚的診斷出，在數個關於排容原理的概念中，是哪些地方學 習成效良好，並針對學習成效不佳的概念，予以改善教學技巧，並在未來實施補救教 學，達到適性學習，期許能達到「師生雙贏」的境界。

1.2 研究目的與待答問題

基於上述的研究背景與動機，本研究設定高中數學第四冊 2-1「集合的基本計數」 為教學單元，當中以排容原理為教學重點，教材以多媒體設計原則為基礎，利用 PowerPoint 外掛 AMA 來設計，本研究的目的如下： 1. 探討不同的教材呈現方式對學生在學習成效的影響。 2. 比較不同的教材呈現方式對學生在認知能力的差異。 3. 利用「認知診斷評量」分析不同的教材呈現方式對學生在學習排容原理的技能精熟 程度。 4. 探討教學方法對排容原理詴題難易度的影響。 基於上述的研究目的，本研究欲探討的研究問題如下： 1. 學生在實施不同教材設計下，學習成效是否產生影響？ (1) 實驗組與對照組學生的學習成效是否有影響？ (2) 實驗組與對照組中不同學習成就學生的學習成效是否有影響？ (3) 實驗組與全校其他班級學生的學習成效是否有影響？ (4) 實驗組與全校其他班級中不同學習成就學生的學習成效是否有影響？ (5) 對照組與全校其他班級學生的學習成效是否有影響？ (6) 對照組與全校其他班級中不同學習成就學生的學習成效是否有影響？ 2. 學生在實施不同教材設計下，各認知能力的表現是否產生影響？ (1) 實驗組與對照組學生各認知能力的表現是否有影響？ (2) 實驗組與對照組中不同學習成就學生各認知能力的表現是否有影響？ (3) 實驗組與全校其他班級學生各認知能力的表現是否有影響？ (4) 實驗組與全校其他班級中不同學習成就學生各認知能力的表現是否有影響？ (5) 對照組與全校其他班級學生各認知能力的表現是否有影響？ (6) 對照組與全校其他班級中不同學習成就學生各認知能力的表現是否有影響？ 3. 學生在實施不同教材設計下，各概念或技能精熟程度是否產生影響？ (1) 實驗組與對照組學生各概念或技能精熟程度是否有影響？ (2) 實驗組與全校其他班級學生各概念或技能精熟程度是否有影響？ (3) 對照組與全校其他班級學生各概念或技能精熟程度是否有影響？ 4. 利用不同的教學方法，對學生詴題難易度是否產生影響？

1.3 名詞解釋

1. 認知診斷評量

將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)結合，發展新的診 斷評量方法，以幫助達成教學的目標。此種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量 (cognitively diagnostic assessment ,簡稱為 CDA)(Nichols, 1994) 。傳統測驗往往是將 一份測驗題的分數加總，藉以判斷學習者在團體中的排名，而認知診斷評量是以概 念作為診斷的目標，診斷學生對於某些概念是否精熟，因此在測驗的結果中，學生 在各項技能被分類成精熟(masters)或不精熟(non-masters)，可推估受詴者具備或缺 乏哪些認知屬性的知識，了解受詴者目前的學習狀況，進而針對受詴者的迷思概念 或學習盲點，進行進一步地補救教學，達到教學與評量的循環。 2. 數位教材設計 數位教材是以多媒體為呈現工具，配合教學目標所設計出的教學素材。本研究 所使用的教材，是利用 Microsoft PowerPoint 外掛 AMA(Activate Mind Attention)系 統，以多媒體學習理論、認知負荷理論為基礎，加入「適性指標設計原則(林煜庭， 2008)」與「代數教材設計原則(謝東育，2009)」，作為實驗組的教材設計。 3. 排容原理 排容原理又稱為容斥原理，在組合數學裏，其說明若 A1, ... , Am 為有限集合， 則 1 , ; , , ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m i i i j i j k i m i i j i j i j k i j k i i n A n A n A A n A A A n A A                      







其中n A( )表示 A 的集合元素個數。例如在兩個集合的情況時，我們可以透過將n A( ) 和n B( )相加，再減去其「交集」的元素個數，而得到其「聯集」的元素個數。

1.4 研究範圍與限制

1.4.1 研究範圍

1. 研究樣本 本研究受限於實驗學校、資源以及人力等因素，只選定某高中高二的班級為 研究對象，並非以隨機取樣的方式選擇研究對象。 2. 教學內容 本研究之教學內容是以排列組合中的排容原理為主題，探討高二學生的抽象 邏輯思考能力，範圍限定在最多三個因素的排容原理。

1.4.2 研究限制

1. 研究內容 本研究主要是探討不同的教材呈現方式對學生在數學學習成效的影響，而其 他科目的影響，並不包含在本研究當中。 2. 研究樣本數 本研究因人力、物力、時間等因素的限制，僅以某高中二年級的學生作為施 測母群體，所能抽取的有效樣本為 300 位，其中實驗組與對照組二班數各為 39 位，其它組為 153 人，資優組為 69 人，易有代表性不足及統計樣本不足之疑慮。 3. 研究對象之起始行為 本研究因考量前測詴題與後測詴題若類似甚至相同，會使受測者因前測而預 先學習，導致影響後測之結果，也就是避免混淆學習者的學習成效，是前測預先 學習抑或教學活動帶來的影響，故本研究採在校之複習考數學成績，作為起始行 為之依據，故與本研究教學內容的起始行為恐有誤差。 4. 補救教學 認知診斷評量旨在瞭解對個別的學習者而言，究竟是哪些概念或技能較薄 弱，進而針對個別差異進行補救教學，達到教學與評量相輔相成的循環機制，但 本研究礙於時間限制，並未完成補救教學的措施，若能繼續著手後續的補救教學， 將能使認知診斷評量的功能發揮得更好。 5. 研究推論 本研究歷經教學活動與後測，前後約兩堂課，產生的學習效果限定在基本的 排容原理，因此若要延伸研究結果於其他課程內容，則需再進行相關研究。

第二章 文獻探討

本章共分為三節，第一節為認知負荷理論，第二節為多媒體學習理論，第三節為 適性指標與代數教材設計原則，第四節為認知診斷評量，第五節為排容原理相關研究。

2.1 認知負荷理論

認知負荷理論是由 Sweller 在 1988 年所提出，他認為學習認知的過程中，要先經 過工作記憶區 (working memory) 的注意、組織、整合的處理後，才能將知識或技能 存入長期記憶區 (long-term memory) 。而在學習的過程中，一些與學習無關的訊息， 將會分散學習者的注意力，佔用工作記憶區的容量，使認知負荷增加，影響學習效果。

2.1.1 認知負荷理論的基本假設

Sweller 提出四個認知負荷理論對認知架構(cognitive architecture)的基本假設 (Mousavi, Low, & Sweller, 1995; Sweller, Van Merrienboer, & Paas, 1998)，分述如下： 1. 工作記憶的容量有限 人類的工作記憶的容量是有限的，只能平均儲存約 7±2 個元素（element），但是 真正能進行操作處理的，只有 2～3 個單位（Sweller,1998），且工作記憶運作或保留的 時間極短，若未經複誦 (rehearsal) ，大約 20 秒隨即消失。若是待處理的訊息內在關 連性很強，元素間具有高度的互動性，需要互相參照才能了解，則工作記憶區的資源 將耗費更多，產生更大的認知負荷，導致學習上的困難(郭璟諭, 2003)。因此，教材的 設計若能作適當的切割、分段，使大量的訊息透過區塊化的呈現，避免工作記憶區超 載，則學習效果會更佳。 2. 長期記憶的容量無限 人類的長期記憶區猶如一座龐大的資料庫，其儲存的訊息都是經過處理，有組織 的知識基模 (schema) ，基模愈大，能儲存的知識量便愈多；當之後進行新的學習活 動時，學習者擁有愈大的基模，能愈迅速地在資料庫中找尋因應之道，完成新的學習 任務；相反的，若學習者擁有的基模較少，便無法善加利用長期記憶區的資源，只能 透過工作記憶區中的推理幫助理解，其承受的認知負荷相對增加，因此，專家 (expert) 學習的速度往往比新手 (novice) 快得多，承受的認知負荷自然較少。

3. 知識與技能以基模的型態儲存於長期記憶中 學習所得知識概念或技能會以基模的形式進行編碼，並儲存於長期記憶中，基模 可以將多個訊息組合成一個複雜的單位，如此便能減少工作記憶的容量，作為日後面 臨新的學習時的資料庫。 4. 基模運作自動化 (schema automation) 是基模建構的重要過程 人類處理訊息的模式有兩種，一種是透過意識 (conscious) 處理，一種是透過自 動化 (automatic) 處理。透過意識處理會占用許多工作記憶的空間，而自動化的處理 不太需要意識的控制，因此占用極少的記憶空間。當我們學習一項新的事物時，一開 始是透過意識的處理方式，經過不斷的練習與操作，則可形成自動化的處理，構成基 模。當基模的運作自動化後，便能節省工作記憶的空間，使我們能將較多的認知資源 花在處理較深入的問題。 綜合上述的基本假定，工作記憶在運作過程中，需從長期記憶中檢索提取既有相 關的知識基模，進行整合以解決問題。因此，若無法從長期記憶中有效、快速提取相 關既有知識基模處理新訊息，可能會消耗過多的工作記憶之認知資源，將產生不同類 型的認知負荷。

2.1.2 認知負荷的類型

Sweller (1998) 把認知負荷分為三種主要型式，分述如下： 1. 內在認知負荷（Intrinsic Cognitive Load）

內在認知負荷來自於教材的特性（內在元素間的關聯程度）與學習者本身的程度 （先備知識），以及兩者間交互作用的影響。 所謂教材的特性指的是教材本身的難易度，若教材本身是困難的，學習者便需要 在工作記憶區中處理關聯性高的元素 (elements) ，造成較高的內在認知負荷而阻礙學 習；反之，若教材本身是簡單的，學習者便不需在工作記憶區中處理關聯性高的元素， 即可對元素有所理解，故其內在認知負荷較低。 除了教材特性外，學習者本身的專門知能及先備知識也是影響內在認知負荷的因 素。對於擁有完整的先備知識或與教材相關的基模的學習者而言，當訊息進入工作記 憶區中，可以透過自動化的處理，迅速地將基模進行整合，大幅降低工作記憶中認知 資源的消耗，降低內在認知負荷；反之，學習者若不具備相關先備知識，則所有訊息 必頇在工作記憶區中單獨處理，造成更大的認知負荷。而內在認知負荷不易由教學設 計來降低，而是仰賴學習者本身基模的建立與自動化處理來降低。

2. 外在認知負荷（Extraneous Cognitive Load）

外在認知負荷來自於教材呈現的方式，與學習者的基模建構和自動化無關，也就 是因教材設計和內容編排方式或教學活動，對學習者造成的負荷，此種認知負荷是額 外增加的，因此可以藉由教材設計來降低認知負荷。透過多媒體學習理論的教材設計 原則，可以改善教材的呈現方式，幫助學習者降低外在認知負荷。

3. 有效認知負荷 (Effective Cognitive Load)

此種負荷來自於教材設計者提供額外訊息或教學活動，協助學習者對學習內容建 構基模與自動化時所產生的認知負荷。例如：教師在講解完一道數學例題後，提供概 念相同的習題請學生練習。看似增加了學生的負荷，但學生在演練的同時，便是幫助 其建構相關的基模與促進自動化，此種負荷並未干擾學習，反而使其更專注於所要習 得的知識內容上，因此有效認知負荷是有助於學習的。 當以上三種認知負荷的總和超過工作記憶可以處理的最大極限時，學習將會是無 效的。因此在教學設計中必頇特別注意，使認知負荷不會超載(overloading) 。

2.2.3 認知負荷效應

Sweller 等人歸納認知負荷理論在各學科領域的研究結果，提出七項的教學設計原 則(Sweller, et al., 1998)；最近(Sweller, 2010)擴充成十四項教學設計原則，提供教材設 計者和教學者作為準則，希望能引導學習者做快速而有效的學習。其教學設計原則所 產生的效應（effect）如表 1： 表 1 認知負荷效應 認知負荷效應 效應內容 1. 開放目的效應 （Goal-free effect） 讓學習者在沒有具體的目標下，盡可能的表達自 己思考過程中的步驟或結論。 2. 工作示例效應

（Worked example effect）

新手（novices）在學習程序性知識時，先給予完 整的解題步驟，使其能研讀與參考。

3. 完成問題效應

（Problem completion effect）

先給定目標，提供學習者部分的解決方法，剩下 的部分要求學習者繼續完成。 4. 分散注意力效應 （Split-attention effect） 若將教材中有關連的文字或圖像分開，則會使學 習者分散注意力。 5. 重複效應 （Redundancy effect） 「圖像＋口語」優於「圖像＋口語＋文字」的效 果，多碼同時展演反而增加外在認知負荷。 6. 專業知識反轉效應

（Expertise reversal effect）

對於新手有用的教學設計或技術，對專家不見得 有效，可能會適得其反。

7. 引導漸減效應

（Guidance fading effect）

隨者學習者專業知識的增長，給予的引導必頇漸 漸減少，以免產生專家知識反轉效應。

8. 獨立互動元素效應

(Isolated-interacting elements effect）

若教材包含許多高交互作用的元素，需先將一部 份的互動元素獨立處理，之後再進行整合。 9. 整體－模組效應 （Molar-modular effect） 將複雜的解決方案分解成數個小步驟，再依照給 定的程序解決，完成整體的任務。 10. 變化效應 （Variability effect） 提供不同狀態或情境的題目讓學習者練習，促使 基模發展，強化學習轉化的能力。 11. 交互作用元素效應

（Element interactivity effect）

若教材的元素交互作用低，其內在認知負荷就 低；而教材的元素交互作用高，其內在認知負荷 就高。 12. 形式效應 （Modality effect） 「圖像＋口語」的展演效果優於「圖像＋文字」。 13. 想像效應 （Imagination effect） 在學習者具備相關知識的前提下，要求其想像一 個過程或概念會優於研讀同樣過程或概念的表 現。 14. 自我解釋效應 （Self-explanation effect） 要求學習者嘗詴去解釋一個新的過程或概念，藉 以引導認知資源去處理有關的互動元素。

資料來源：Sweller (2010). Element interactivity and intrinsic, extraneous, and germane cognitive load. Educational psychology review, 22(2), 123-138.

在認知負荷效應中，本研究教材設計主要的應用為工作示例效應（Worked example effect）、分散注意力效應（Split-attention effect）、獨立互動元素效應(Isolated-interacting elements effect）、整體－模組效應（Molar-modular effect）與交互作用元素效應（Element interactivity effect），原因分述如下： (1) 工作示例效應： 在排容原理的應用問題講解時，先示範如何將問題的文字敘述轉換成符號與文 氏圖，展演完整的解題步驟後，學生才有整體的概念，當進行相關應用問題的測驗 時，才易於順利解題。 (2) 分散注意力效應： 研究者在教材設計時，盡量排除與主要教學內容無關的圖像與文字，使畫面上 的訊息盡量簡潔，避免學習者分心，尤其是實驗組的教材，在訊息安排上，盡量將 相關的訊息對齊、接近，使學習者能輕易搜尋到講解的訊息，避免在視覺搜尋的過 程分散注意力。 (3) 獨立互動元素效應、整體－模組效應、交互作用元素效應： 在排容原理概念介紹時，三個集合的排容原理對學習者而言較為複雜，屬於高 交互作用的元素，因此在實驗組的教材設計上，先將文氏圖各區塊編號，並分別統 計各區塊計算的次數，避免重複或缺漏計算，如此計數的動作，是由學習者抽象的 心裡圖像，轉換成具體表格的呈現，待確定每區域都恰好計算一次時，便能確定排 容原理加加減減的過程完畢。換言之，當教材元素的交互作用降低時，便能降低內 在認知負荷。

2.2 多媒體學習理論

2.2.1 多媒體學習理論的基本假設

所謂的多媒體學習（multimedia learning），是利用文字(words)與圖像(pictures)交 互使用的學習方式，其中文字包含了視覺上的印刷文字（printed words）與聽覺上的 口述文字（spoken words）；圖像包含了靜態的插圖（illustrations）、圖片（graphics）、 照片（photos）、地圖（maps），以及動態的動畫（animation）和錄影（video）等(Mayer, 2005)。

Mayer 與多位學者提出多媒體學習的認知理論(Mayer, 2005)，說明多媒體學習時， 人類的認知系統如何分配與處理多媒體訊息。多媒體學習的認知理論有三個重要的認 知假設：「雙通道假設」（Dual-Channel Assumption）、「有限容量假設」（Limited-Capacity Assumption）和「主動處理假設」（Active-Processing Assumption），分別說明如下： 1. 雙通道 (Dual channels) 人類在處理訊息時有兩種，分別是聽覺通道 (auditory/verbal channel)和視覺通道 (visual/pictorial channel)，當訊息以聲音的形式出現，耳朵會將訊息接收至聽覺通道； 若訊息以印刷文字或圖像的形式呈現，眼睛會將訊息接收至聽覺通道；學習者可以將 兩個管道接收到的訊息相互轉換。如圖 1 圖 1 多媒體學習理論的雙通道模型

資料來源：修改自 Mayer (2009). Multimedia Learning (2nd ed.). New York: Cambridge University Press.

2. 有限容量 (Limited capacity)

人類在每一個通道所能夠同時處理的訊息量是有限的(Clark & Mayer, 2008)。因此 若有訊息大量湧入時，適度的切割、分段與控制訊息量，使學習者進行較有效的學習， 便是設計多媒體教材時的重點。 聲音 圖像 語言形式 圖像形式 整合 聽覺 視覺 聲音 圖像 先備知識 形成新知識 文字 圖像 長期記憶區 工作記憶區 感官記憶 呈現方式 外界訊息 選擇 組織 印刷文字

3. 主動處理 (Active processing)

一個主動處理訊息的歷程包含「選擇相關訊息」、「組織已選擇的訊息」及「將新 訊息與先備知識整合」三階段(Clark & Mayer, 2008)，藉以形成一個新的知識，進入長 期記憶區（Long-term memory）。

2.2.2 多媒體設計原則

Mayer 和多位學者經過多實驗研究，提出十二個多媒體學習的設計原則(Mayer, 2009)，可作為教材設計的重要參考，分別敘述如下： 1. 多媒體原則 (Multimedia Principle) 多媒體原則指的是學習者從「文字加圖像」學習的效果比「單獨從文字」學習的 效果好。因為當文字與圖像同時呈現時，學習者有機會去建構語文與圖像的心智模式 及兩者之間的關連。從多媒體學習的認知理論觀點而言，語文管道和圖像管道屬於不 同的知識表徵系統，具有不同刺激的效果，同時呈現具有互補的效果，不能互相取代。 2. 形式原則 (Modality Principle) 形式原則指的是「動畫搭配口述文字」的效果比「動畫搭配印刷文字」效果好。 因為動畫和印刷文字都屬於視覺的訊息，若同時經由視覺通道進入工作記憶區中，兩 種訊息會彼此競爭視覺通道中的認知資源，而聽覺通道的資源卻沒有使用；反之，若 口述文字經由聽覺通道、而動畫經由視覺通道，兩者便可達成平衡。 3. 重複原則 (Redundancy Principle) 重複原則指的是「動畫搭配口述文字」的效果優於「動畫同時搭配口述文字與印 刷文字」。當動畫與印刷文字同時呈現時，在工作記憶區容量有限的情況下，兩種視覺 的訊息會造成視覺通道的超載。若文字以口述方式呈現，聽覺訊息能分配至聽覺通道 接收，則視覺通道的負荷便會減少，更多的認知資源可用於建立動畫與相對應文字之 間的連結，亦即減少選擇的心力，而能將更多心利用於有效的組織和整合訊息上。在 本研究的教學實驗中，教師對教材內容不作過多的詮釋，以引導方式說明畫面上的訊 息。 4. 連貫原則 (Coherence Principle) 若能排除與主要學習目標無關的訊息或資料 (material)時，會有較佳的學習效果。 因此在教學設計中加入不相關的文字、插圖、音樂或聲音時，反而對學習有所妨害。 Mayer(2008)認為「少就是多（less is more）」。

5. 空間接近原則 (Spatial Contiguity Principle) 空間接近原則指的是當相關的文字和圖像訊息，在空間上接近地呈現時，能產生 較好的學習效果。當學習者在接收視覺訊息時，若文字說明與圖像在空間上的距離太 遠，學習者必頇使用較多的認知資源 (mental resources) 進行視覺搜尋，而在工作記憶 區容量有限的情況下，較不可能同時將文字與圖像訊息容納於工作記憶中。因此在教 材設計中上，應注意到相關文字、圖像的配置，尤其是高度複雜的畫面，應盡可能的 將相關訊息接近，以減少認知資源的耗費，進而提高學習效果。在本研究中的教材部 分，有不少較長敘述的數學文字型應用問題，如圖 2，因此將與題意對應的符號用表 格的方式排在同一列，方便學生左右搜尋、比對相關訊息，容易建立訊息的關聯性。 圖 2 空間接近原則範例

6. 時間接近原則 (Temporal Contiguity Principle)

時間接近原則指的是相關的文字和圖像同時呈現時，比間隔時間出現的效果好。 當文字和圖形整合呈現時，學習者能將整合的訊息在工作記憶中暫存，結合視覺表徵 與聽覺表徵的關聯性。 7. 個人化原則 (Personalization Principle) 個人化原則指的是在教學時採用對話式 (conversational style) 的效果優於形式化 (formal style) 。教學過程中對話式用語盡量使用第一、二人稱，避免使用第三人稱， 並增加與學習者的對話。

8. 信號原則 (Signaling Principle) 信號原則指的是教材中若含有可強調教材內容組織結構與重點的「提示」 (cues) ，學習效果較好。因為適當的提示可引導學習者的注意力，使其將注意力投注 在重要的訊息上，避免學習者的注意力被轉移至不相關或不重要的訊息，而造成認知 資源不必要的浪費。信號原則常用的方式為「突顯標題」 (heading) 與「強調關鍵訊 息」 (key information)(Mayer, 2005)；實際的呈現手法包括了標題、粗體、斜體、底線、 放大、顏色、反白、箭號……等，如圖 3，標題部分用較大的自與粗體突顯，聯集與 交集比較之相異處用紅色粗體凸顯。 圖 3 信號原則範例 9. 分割原則 (Segmentation Principle) 分割原則指的是當教材被分割成數個小「片段」，並且能讓學習者自己控制片段的 呈現，效果會優於連續播放的方式。因為當教材被分割成數個小片段時，學習者擁有 較充裕的時間及能力，從每一個片段中選擇文字及影像，並加以組織及整合後，再進 入下一片段。如圖 4，針對文字敘述較長的應用問題，可將每一個句子分開，建立訊 息的獨立性，教師在講述過程中可以突破循序的藩籬，由淺入深的講解，避免串流式 冗長的敘述，在解題列式時，可減少搜尋訊息所耗費的心力。

圖 4 分割原則範例 10. 事先訓練原則 (Pre-training Principle) 事先訓練原則指的是學習者若能在學習前，事先知道主要概念的名字和特徵，學 習效果較佳。例如在應用問題中，要確定學生了解題目的專有名詞，如「且」、「或」、 「至少」等；以及使用語法的一般性，情境要是學生所熟悉的。 11. 聲音原則(Voice Principle) 聲音原則指的是講述的聲音對學習者而言，採用「人聲」的方式優於「機器音」 的方式。 12. 圖像原則 (Image Principle) 圖像原則指的是當螢幕上有出現演講者的圖像時，不見得會得到較好的學習效 果。因為學習者可能會分散注意力到演講者的圖像，而浪費部分認知資源。 基於多媒體學習理論的基本假設與教材設計原則，學習者在短時間之內只能處理 有限的訊息，並且主動處理有感覺的訊息，因此在教材展演的過程中，必頇將大量的 訊息作切割、分段處理，達到空間接近與分割原則，以免因訊息量過大而耗費太多認 知資源於視覺搜尋上，並且要利用信號原則，快速引導學習者的注意力到主要傳達之 訊息上。而本研究實驗組的教材設計，便是應用空間接近與分割原則，改善應用問題 串流式的敘述，以幫助學習者進行更有效的學習。

2.3 適性指標與代數教材設計原則

2.3.1 適性指標的定義

適性指標是(林煜庭，2008)針對 AMA (Activate Mind Attention)系統特性所提出的 一種視覺物件，具有「協助視覺搜尋」以及「引導注意力」的特點。

其中 AMA 系統是由交通大學陳明璋教授策劃研發，以微軟的「PowerPoint 簡報 軟體」為平台，改善原簡報軟體在數學教材製作上之不足，使數學教材的設計更為方 便(邱建偉，2005)。陳明璋教授更進一步基於認知科學與多媒體學習理論，提出激發 式動態呈現 (Trigger-based Animation, TA )，配合視覺化 (visualization) 的方式降低教 材的外在認知負荷，協助學習者進行更有意義的學習。 而林煜庭提出的適性指標，演講者在使用過程中能彈性地操控此物件，透過觸發 來改變物件的視覺特徵，例如改變顏色、改變大小、改變形狀或是移動位置，藉以吸 引學習者的注意力，引導學習者進行視覺搜尋，達到更有效的學習。

2.3.2 適性指標教材設計原則

林煜庭(2008)將適性指標的相關設計原理彙整成七個原則，整理如下表 2： 表 2 適性指標的教材設計原則表 原則 說明 標 示 原 始 位置原則 1.滑鼠啟動點應在目標物位置 2.直接與目標位置相同，或是能指出目標物的所在位置 3.相同的物件在不同頁面出現時位置要相同（頁間定位） 特 徵 獨 立 原則 1.盡量用單一特徵設計 2 待搜尋物與干擾物的彈性指標特徵不同 3.避免使用前一個用來標示干擾物的特徵來標示目標物 通道原則 1.教材設計時，對於畫面上的顏色應避免超過五種 2.當色彩使用過量，需標示目標物時，應採用不同類型特徵 群化原則 為區分干擾物與目標物： 1.目標物群化：建立目標之間的關聯性 2.干擾物群化：將干擾物整群忽略，協助目標搜尋 明 度 差 異 原則 干擾物與目標物的明度差異越大，突顯效果越好 引導原則 1.利用知覺由下而上的激發注意力、由上而下的抑制干擾物 2.將學習者的視覺避開不相干的刺激，以特徵搜尋的方式找目標 觸發原則 適性指標必頇要有動態視覺特徵以便激發注意力 資料來源：整理自林煜庭(2008)適性指標：多媒體學習中一種基於視覺認知理論的引導方式。

經過實驗證實，適性指標的教材設計原則與「視覺認知理論」、「類比遷移」 （analogical transfer）、「基模理論」（schema theory）及「認知負荷理論」預期的結果 一致，發現多媒體教材具有適當設計的適性指標會比沒有適性指標提供更好的學習效 果，並突顯結構化關聯（schematic relations），協助基模的形成(林煜庭，2008) 。另 外，李鈴茹(2008)也證實，在有適性指標的教學設計，無論解說的方式為何，都有助 於提升學習過程的記憶表現，並減少視覺搜尋的時間，提高對適性指標區的注意力分 佈，擁有有較多的視覺處理。

2.3.3 代數教材設計原則

在本研究的教學內容中，部分排容原理應用問題的文字敘述較長，尤其是牽涉到 三個集合的排容原理，串流式的敘述往往使學習者感到視覺上壓力，因而影響學習的 意願與成效，因此若能將訊息適當的結構化，並將串流訊息切割，作分段、區塊化的 呈現，便能改善串流式呈現在視覺上的缺點。因此本研究在教材設計上，欲使用謝東 育(2009) 提出之「代數教材設計原則」以補足多媒體學習理論的不足。其四大原則分 述如下： 1. 教學內容結構化 結構化是指先分析教材內容，依其概念或性質作適當的分段切割。代數教材內容 往往是繁瑣而冗長，且缺乏視覺情境概念，例如：解方程式的過程、應用問題的文字 敘述。因此，教材設計者必頇針對授課內容進行結構性分析，將大量的訊息依主題或 概念予以分段切割，統整歸納出教學順序，如此能減少工作記憶的負荷，此與 Mayer (2009)提出的分割原則(Segmenting Principle)類似。 2. 教材呈現區塊化 區塊化的概念是將已完成段落切割的訊息，打破由上而下的循序藩籬，由教材設 計者依講解需求自行安排訊息的所在位置(謝東育，2009)。運用適性指標所設計的教 材，在注意力的引導上有顯著效果，但在代數領域，算式展演若過長，易使學習者無 法掌握主要的解題概念。因此藉由區塊化，可以將冗長的解題過程分成數個大區塊， 每個區塊均有所屬的子目標，若各項子目標分別達成後，串連起來便是達成整體目標， 如此對教師引導、講解，及學習者對訊息的選取、組織、整合都有所幫助。

3. 建立訊息關聯 代數運算的關鍵在於式子間的推演關係，建立訊息間的關聯，操作的方法有下述 兩種： (1) 對齊： 將算式中將相關的元素上下對齊，使學習者易於上下對照搜尋，觀察元素間的變 化，減少不必要的搜尋，避免增生認知負荷。 (2) 二維圖像關係： 當教材結構化、區塊化後，由於區塊間未必是單一方向連貫式的排列，因此可利 用曲線、線段搭配適性指標，串連區塊間的關連性。 4. 口語簡化解說 教師講解時應避免缺乏想像的代數符號及專業術語，若將所有算式中元素逐一唸 出，效果反而不好。因此，搭配適性指標並口語描述適性指標的特徵（如：請看這個 紅色的箭頭），明確引導學習者注意力聚焦在講解的訊息上，減少學生不必要的訊息轉

換。此原則與 Mayer (2009) 提出個人化原則 (Personalization Principle) 有相似之處。

經實驗證實，代數教材設計原則結合圖像化運用在教學設計上，對需進行補救教 學的學生，其學習成效有顯著差異，並有效地降低認知負荷(葉子榕，2010)。而本研 究的對象，以兩個實驗組的學生而言，是屬於「社會組」的學生，其大部分學生對數 學較不感興趣，相對在數學上的學業表現較不佳，因此在本研究的實驗設計上，實驗 組在介紹排容原理概念時，會強化聯集文氏圖間「排除」與「容納」的過程，促使學 生對其基模的建立及自動化的過程，待遇到排容原理的應用問題時，輔助的文氏圖將 成為解題時的幫手。

2.4 認知診斷評量

2.4.1 認知診斷評量的定義

在教學的領域裡，教學後的評量是不可或缺的，透過教學評量的結果，可以瞭解 學生的起點行為、作為改進教學的參考、確保教學目標的達成及評定學生的學習成果 (余民寧, 2003)。藉由教學評量診斷學生的學習，其提供的回饋，可作為修正教學目標、 進行補教教學的依據，因此教學評量引導著教學的發展，要不斷改進並科學地運用評 量，才能提升教學與學習的成效。 檢視多元評量的實施，並沒有達到「診斷學習成效」的目標，探究其中的原因， 可能是目前多元評量所隱含的測驗與評量理論，並未結合目前認知心理學與教學心理 學的研究成果(涂金堂, 2003)。目前的教育評量在標準測驗理論(standard test theory)中 關於人類能力的觀點，無法配合認知心理學與教育心理學的快速發展，因此面臨了一 個可能危及基礎的危機(Mislevy, 1993)。 傳統評量主要是根據「邏輯分類」與「內容細目」來進行評量設計，但這些評量 設計缺乏對該領域知識結構與歷程的詳細描述(Nichols, 1994)。傳統測驗的編製常根據 Bloom等人提出的六個認知教學目標：知識、理解、應用、分析、綜合與評鑑(Bloom & Krathwohl, 1956)，然而這種方式的評量結果，往往是一些測驗分數，反映出學生答對 與答錯的題數，瞭解該生在團體中的排名，似乎比較強調統計技術，而較忽略所欲評 量的能力或特質，是否具有心理學上的意義(Anastasi, 1967) 。但若只有總分的高低， 並無法由總分看出學生是否精熟某種技能，倘若測驗結果能提供對各項技能的精熟程 度，可以幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵義，以及哪一類的的學習可以增進 學習成效(Sheehan, 1997)。 若要使評量發揮「診斷學習歷程」的功能，可以將教育評量結合認知心理學學 (cognitive psychology)，因為認知心理學可以幫助瞭解測量背後所表徵的理論建構，並 針對教學與學習歷程，提供更多的診斷和有用的訊息(余民寧，1995)。 Nichols(1994)提倡將認知科學(cognitive science)與心理計量學(psychometrics)結 合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。Nichols 將這種新的診斷評量 方法，稱為認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment,簡稱為CDA)。

一份教材往往包含了數個概念與技能，在本研究中，為了想進一步瞭解學生對排 容原理各項技能的精熟程度，藉以診斷學生學習情況，並檢視教材或教學方法是否需 要修正，因此採用認知診斷測驗作為評量依據。

2.4.2 認知診斷評量的模型

認知診斷評量主要在探討學生的潛在知識結構與其作答反應過程的關係，因此開 發認知診斷模型(cognitive diagnostic models, CDMs)與測驗分析就顯得相當重要。 CDMs 是種可判斷受詴者優勢與劣勢的心理計量學模式，透過其提供的測驗結果，可 以有效測量學生的學習和進步(de la Torre, 2009a)。因此在過去幾年中許多的認知診斷 模型迅速發展與開發，並應用於認知診斷上。(王文卿，2010)指出，只有建構出能融 合不同認知變量的模型，並且模型中的參數能夠被很準確的估計出來，才能對各個認 知變量進行量化的分析，進而了解受詴者的認知結構。 在使用認知診斷評量模式時，首先要依據測驗的目的，選擇符合該知識領域的重 要元素，訂為欲評量詴題的概念。接下來要將概念組合成詴題，每道詴題至少必頇包 含一個概念。在詴題的編製過程中，並不是任意將數個概念組合成詴題，必頇考量認 知屬性的相似程度與難易程度，並經過適當的整合與編制。詴題與概念的關係，大多 數的認知診斷模型，藉由關聯矩陣(incidence matrix) 來表示每個詴題所需要具備的概 念，(Tatsuoka, 1995)。關聯矩陣通常又稱為「Q矩陣」（Q-matrix）。施測者藉由受詴 者的詴題反應組型及Q矩陣之測驗結果，可推估受詴者具備或缺乏哪些認知屬性的知 識，了解受詴者目前的學習狀況，進而針對受詴者的迷思概念或學習盲點，進行進一 步地補救教學，達到教學與評量的循環。 認知診斷評量模型是以概念作為診斷的目標，診斷學生對於某些概念是否精熟， 因此在測驗的結果中，學生在各項技能被分類成精熟(masters)或不精熟(non-masters)， 也就是認知診斷評量通常是二元的。對一個評估診斷K個技能的測驗，認知診斷評量 模型會給予每位受詴者一個二元精熟分數(binary mastery scores)向量，以

) ,..., , (1 2 k   表示。例如K=3，則一個受詴者其(1,0,1) 表示他精熟第1跟第3個 技能，而對第2個技能不夠精熟。既然K個技能都可以對應到精熟與不精熟，則會有2K 個可能的反應組型。下列為當K=3時，所有可能的8種反應組型。 (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) 由於每位受詴者得到的反應組型不同，教師可針對個人的反應組型進行個別化的 補救教學，甚至對於能力較佳者，提供更進階的教材或自學的方向。 而Q矩陣便可視為技能影響詴題的對照表(Tatsuoka, 1995)，若一份測驗題有K個技 能及J個詴題，則對應的Q矩陣大小為 J K ，其中q_jk 1代表要解決詴題 j ，是否需具 備認知屬性 k ，公式定義如下：

1 0 jk j k q    第 個詴題需要第 個技能 其他 (1) 其中， j1 J , k1 K 從上可知，每一個詴題恰為Q矩陣中的一列，舉例來說，我們假設Q矩陣如下： 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Q              表示第一題需要技能1及3，而第二題只需要技能4，第三題需要技能1、3及4，依 此類推。Q矩陣通常是由學科專家(subject matter experts, SMEs)所建立。

2.4.3 DINA 模式

根據國外研究者統計，目前至少有十四種認知診斷模型被開發並應用於認知診斷 上，其中最具代表為Junker和Sijtsma (2001)提出之（Deterministic Input, Noisy “And” Gate model），因其模式較簡單且較易於解釋，僅涉及粗心（slip）和猜測（guess）兩 參數的影響，且近年來，又有許多學者投入此模型的探索與應用，使DINA模式被推廣。

DINA模式是許多認知診斷與評估方法的基礎(Doignon & Falmagne, 1999)。DINA 模式是由Junker和Sijtsma(2001)所創立的，適用於對二元計分項目測驗進行認知診斷。 模式假設具備解該題目所需之認知屬性時，即能答對該題，但詴題答對的機率，會受 到粗心（slip）及猜測（guess）兩個參數的影響，DINA的模式表示如下 ) ( ) 1 ( ) , , | 1 (X_ij  s g  s_j g_j1 P_{j i} P  ij ij  (2) 其中





    K k Q ik Q k ik ij jk jk 1 1 :    ，代表詴題所需具備的認知屬性是否完全具備，_ik代表 受詴者 i 是否具備認知屬性 k，Q_jk表示認知屬性 k 與詴題 j 是否有相關，而兩個參數 的定義如下 ) 1 | 0 (    _{ij ij} j P X s  (3) ) 0 | 1 (    ij ij j P X g  其中 ij X ：第 i 個受詴者在第 j 個詴題的反應組型。 j s ：受詴者具有回答第 j 個詴題所需的認知屬性，但卻因粗心答錯該題的機率。 j g ：受詴者不具有回答第 j 個詴題所需的認知屬性，但卻因猜對該題的機率。 ik  ：代表第 i 個受詴者在第 k 個認知屬性的有無，具備該屬性其值為 1，無則為 0， jk Q ：受詴者答對第 j 個詴題是否需要第 k 個認知屬性，

如需要該屬性其值為 1，無則為 0。 ij  ：代表受詴者是否具有答對第 j 個詴題所需的所有技能。若全部具備，則其值為 1， 反之，受詴者至少缺少 1 個答對第 j 個詴題所需的技能，其值為 0。 從上面的式子可知，DINA模式將學生分為兩種，一種是掌握所有該題需具備的認 知屬性，另一種則是受詴者至少缺乏一個必頇的認知屬性。倘若少了一個解題所需的 認知屬性，回答出正確答案的機率將大幅降低，即使答對也歸納於猜測的機率。 DINA 模式的圖形表示如下圖 5，就像圖中表示的能力反應組型_ij是受詴者技能 {_ik}和詴題{Q_jk}的方程式，如果_ij1，則受詴者答對第 j 題的機率就是1s_j，如 果_ij 0則答對機率為g_j。 1 2 ( , , , ) i i i ik      q_j (q_j1 , q_j2 , , q_jk) ij  0 1 j g 1s_j ij Y 圖 5 受詴者對詴題 j 的反應程序圖(de la Torre, 2009b) 以 de la Torre (2009)中的範例說明 DINA 模式的計算方法： 表 3 為分數的減法的認知屬性，表 4 為測驗學生是否具備這些認知屬性而設計的題 目， 表 5 為例題之 Q 矩陣。由表 5 可知，解此題目需具備認知屬性 1~3。 表 3 分數的減法認知屬性 認知屬性 敘述 1 從整數部分借 1 2 基本分數減法 3 化簡 4 將整數與分數部分分開 5 將整數變成分數

表 4 「分數的減法」選擇題型   12 7 12 4 2 A: 12 3 2 B: 4 1 2 C: 12 9 1 D: 4 3 1 表 5 例題之 Q 矩陣 屬性 詴題 K1 K2 K3 K4 K5 Item1 1 1 1 0 0 假設給定詴題參數s₁0.2、g₁0.2，而今有三名受詴者，其所具備的認知屬性如 表 6所示： 表 6 受詴者的認知屬性狀態 屬性 受詴者 K1 K2 K3 K4 K5 學生 1 1 1 1 1 0 學生 2 0 1 0 0 1 學生 3 0 1 1 1 1 由表 6可知：學生 1 具備解題所需的三個認知屬性，因此其₁₁1，學生 2 及學 生 3 都有缺少一個以上的認知屬性，因此其₂₁₃₁0，則三位受詴者的答對機率分 別計算如下： 11 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ( 1| , , ) (1 ) (1 0.2) (0.2) 1 0.2 0.8 P Y   s g  s  g        21 1 21 0 1 0 21 2 1 1 1 1 ( 1| , , ) (1 ) (1 0.2) (0.2) 0.2 P Y   s g  s  g      31 1 31 0 1 0 31 3 1 1 1 1 ( 1| , , ) (1 ) (1 0.2) (0.2) 0.2 P Y   s g  s  g      學生 1 具備解題所需的三個認知屬性，因此答對機率最高，學生 2 及學生 3 都有 缺少一個以上的認知屬性，因此在 DINA 模式下認為若答對，是屬於猜測的機率。

de la Torre (2009)對 DINA 的估計是採用 EM 演算法，程式碼是使用 Ox(Doornik, 2003)程式編寫的，該程式 5.1 之後的版本提供了可以編寫程式碼及執行環境的 OxEdit 編輯器，使用上更為便利。程式執行後提供了 G-DINA 的參數估計與標準誤還有認知 屬性的後驗分配及受詴者的分類情形。

綜合上述，DINA 模式是一個非常簡單且很好解釋的模式，因為它每個詴題，僅 包含粗心及猜測兩參數，且具有良好的模式適配度(de la Torre & Douglas, 2004)，也因 此被應用在測驗的許多方面。相關的研究近年來也與日俱增。de la Torre 和 Douglas (2004)探討了 DINA 與 Linear logistic model(LLM)模式的比較，利用 Markov chain Monte Carlo(MCMC)來進行參數估計，研究結果顯示 DINA 的參數估計精準度相較之 下比較穩定；Henson 和 Douglas (2005)提出 Kullback-Leibler Information (KL)在 DINA 下進行測驗編制； de la Torre (2009)更詳述了 DINA 參數估計的方法，如 joint maximum likelihood estimation 及 marginalized maximum likelihood estimation 等，降低 MCMC 參 數估計的時間； de la Torre(2009)針對選擇題型，提出 multiple-choice DINA 的模式， 詴圖從選項中獲得更多的診斷訊息，達到更精準的估計。

本研究的認知診斷評量是採用 DINA 模型，根據受詴者的認知屬性狀態，來判斷 受詴者在數個技能中，何者較為精熟，又何者較不精熟。

2.5 排容原理相關研究

2.5.1 何謂排容原理

在組合數學的領域中，常需討論有關集合元素個數的問題，而通常犯錯的原因往 往是重複計數，因此需再進一步討論所有可能重複的情況，這時「排容原理」便是一 個有效的方法，他可以解決多個非互斥集合間交集(intersection)與聯集(union)的計數問 題，輕易地將重複計數的困擾排除；所謂「排」是排斥之意，也就是將重複計數的部 分扣掉，「容」則是容納之意，意即將未計算到的不足之數補上，藉以計算所求集合 的元素個數。

排容原理(The Principle of Inclusion and Exclusion)是個容易使用的計數方法，最早 是以篩選方法（Sieve Method）或交叉分類法則（Principle of Cross Classification）等 不同的名稱出現，而現今所闡述與使用的排容原理是由英國數學家Sylvester

(1814-1897) 所建立。但在早期排容原理這一種計數技巧並未獲得重視，一直到由 Whitworth 所撰寫的「選擇與機會(Choice and Chance)」這本大眾書籍問世後，才使得 數學家開始注意到排容原理的用途，也因為排容原理簡單明瞭， 所以在其他領域更是 被廣泛的應用 (張福春 & 洪偉誠，2009) 。 若n(A)表示有限集合A的元素個數，A∪B表示A與B兩集合的聯集，A∩B表示A 與B兩集合的交集，則排容原理以數學式表達如下： (1) 針對兩個集合 A、B： n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B) (2) 針對三個集合 A、B、C： n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(B∩C)－n(A∩C) ＋n(A∩B∩C) (3) 針對m個集合 A1 , A2 , … , Am : 1 , ; , , ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m i i i j i j k i m i i j i j i j k i j k i i n A n A n A A n A A A n A A                      







為使排容原理抽象的代數式能有更具體的表達方式，常用表達集合抽象概念的文 氏圖(Venn diagram)來詮釋。如圖 6的斜線區域表示A∩B，圖 7的斜線區域表示A∪B。

2.5.2 排容原理教材地位分析

排列與組合是學習統計學與機率論的基礎，重點在研究一些問題的計數方法。根 據研究者在學習與教學的經驗，甚至從許多資深教師的分享中發現：有些學生的數學 在高一學得不錯，但在高二學排列組合時卻顯得很吃力；也有些學生在高一學得不太 理想，但在此單元卻茅塞頓開，進步神速。可見不少學生對排列組合單元的學習感到 困難，因此若在排列組合單元學習的開始，能清楚瞭解重要的基本概念，對於日後更 複雜的問題，才能減輕負擔，使學習過程更為順利。 根據民國九十四年一月教育部所修正發佈的普通高級中學數學課程暫行綱要，排 容原理安排在第四冊第二章「排列與組合」，其中的第一節。而「集合元素的計數」 教材內容是由集合的概念出發，包含集合的表示法、元素與集合的關係、子集合的概 念、交集、聯集、差集孙集、補集、空集合……等數學符號與對應的文氏圖，接著介 紹集合元素的個數，進一步引入該小節的精髓—「排容原理」。 在高中數學排列組合單元中，部分的課程架構如圖 8： 圖 8 排列組合單元部分課程架構圖 資料來源：修改自翰林版普通高級中學數學第四冊教師手冊(余文卿, 2011) 集合 集合元素的計數 排容原理 加法原理 直線排列 機率與統計 乘法原理 組 合 環狀排列 不盡相異物 的直線排列 已 習 教 材 本 單 元 教 材 未習教材

排容原理相關的應用問題很多，從基本的計數問題，延伸到排列、組合甚至是機 率。排容原理是一個融合在諸多題型的思考模式與解題技巧，許多看似複雜的題目， 其解題方法卻因排容原理而多元且巧妙精彩，但往往也因思考方式有時並非從題意的 正面思考，必頇加入排容原理概念的巧思，因此該類詴題的答對率常常偏低。列舉幾 個高中數學常見的問題如下表 7： 表 7 高中數學排容原理相關例題 題 目 題 型 1. 某班調查學生選修「第二外語」的情形，已知選修過日語、法語及西 班牙語者分別有 20、10 及 5 人，且其中選修過日語及法語者有 6 人； 選修過法語及西班牙語者有 3 人；選修過日語及西班牙語者有 3 人， 而恰有 1 人曾選修過上述三種外語，詴問班上同學至少選修過一種「第 二外語」的人數為何？ 集合的計數 2. 甲、乙、丙、丁、戊五個人排成一列，若甲不排第一個，乙不排中間， 且丙不排最後，則方法幾種？ 直線排列的 錯排 3. 五對夫婦在耶誕派對一起跳舞，若每位先生皆不是與自己的太太跳 舞，則方法幾種？ 4. 「a a b b c c」六個字母排成一列，若同字母不得相鄰，則方法幾種？ 不盡相異物 的排列 5. 如右圖，由 C 到 D 走捷徑，(只能往→或↑)， 若必經過 P 或 Q 點，則方法幾種？ 6. 五本不同的書全分給三個人，若每人至少拿一本，則分法有幾種？ 重複排列 資料來源：修改自龍騰版普通高級中學數學第四冊(許志農，2010)及翰林高中互動式教學講 義數學（四）(黃惟魯，2011) 有些排容原理的問題並不困難（如表之第1題），但由於題目敘述過長而導致學生 在看題意時，看了後一句就已忘了前一句，無法同時記住許多條件，因為每看一句就 得思考這句話的意思，以致於工作記憶運作得十分忙碌，如此外在認知負荷過重，而 無餘力思考彼此間的關係(張景媛，1994)。因此在此類敘述較長的應用問題，若能將 問題透過適當的切割，減少視覺搜索的時間，便將較多的認知資源用於理解題意，並 將文字轉換成符號表徵或文氏圖。