第四章 研究結果與討論
第三節 擬題之引導及成果討論
因為本研究設定之教學單元，是較抽象的幾何性質，較不易應用在實際情 形，所以 S17 在開始擬題時，需要多花一些時間思考如何將概念與生活結合，這 與莊美蘭（2003）「學生較容易進行具體單元概念擬題」的研究結果相似。
貮、擬題成果與討論
以下依擬題成果優良及概念變化顯著，且值得進一步深入探討的學生，高、
中、低學習成就組別，共挑選十位具有代表性的個案學生，探討學生在三次擬題 中的互動及概念變化歷程。
一、高學習成就組學生之擬題成果與討論
研究者在高學習成就組中，茲列舉 S06、S24、S30、S33 四位個案學生在擬 題過程中的成果及概念發展。
【個案 S06】
S06 第一次擬題
個案學生 S06 在第一次擬題時，採用了社會課本最近學習到的「埃及金字塔」
為主題，設計了如圖 4-3-1 的題目。
圖 4-3-1 S06 第一次擬題
第一題中，S06 假設金字塔的設計圖是「長方形」，並寫了四個長方形的性 質，但是故意寫了幾個錯誤的性質，以檢測讀者對於長方形性質概念是否正確。
在解題的作答上，S06 以左右對照的方式寫出正確的作答，這樣的作答方式能將 抽象的四邊形概念清楚呈現，於是研究者給予一個優良獎章獎勵。
第二題以體積為概念主軸，要求算出四角錐的金字塔和宮殿的體積，在解題 時 S06 以底面積乘以高再除以二的方式計算金字塔體積，宮殿的體積則是當成四 角柱計算。在解題的答案中，我們可以看到學生的概念有錯誤之處，即學生在題 目上認為錐體的金字塔和宮殿，其體積是柱體的一半，但事實上錐體的體積大約 是柱體的三分之一。由於國小沒有教到錐體體積的計算，而且本單元的概念重點 是以四邊形的性質為重點，所以研究者就沒有在這方面深入探討體積的計算問
題。
S06 第二次擬題
S06 在第一次教師、同儕互動的回饋之後，第二次擬題就改進了前一次擬題 的缺點，加入更多的圖形分析，並捨去面積或體積的概念命題，聚焦在應用形體 性質的擬題（圖 4-3-2）。
圖 4-3-2 S06 第二次擬題
在第一題中，S06 想嘗試運用「對角線」的性質出題，並延用第一次擬題中，
改正錯誤的題型。但是在敘寫題目時，沒有說明貼膠帶的規則，造成題意不清，
讀者無法作答的缺點。
在第二題中 S06 採納了 S24 的回饋建議，增加圖形數量，並分析其性質。
研究者知道 S06 已經能掌握各種形體性質，於是在評語上鼓勵更進一步比較各種 形體性質之間的差異，也就是能力指標暫行綱要 S-3-3「從一類形體的特性中，
指出那些性質也適用於另一類形體」的要求。就第二次擬題成果來看，因為第一 題的題意不清楚，第二題只有簡單列出各種圖形的性質，而不是完整寫出所有性 質，尚有進步空間，於是研究者不給予優良獎章，希望 S06在下一次擬題能表現 更好。
S06 完成第二次擬題，觀摩到其他同學的作品後，在「數學題目討論記錄單」
記錄下自己的心得，並構思題目，完成第三次題目的初稿（圖 4-3-3）
圖 4-3-3 S06 數學題目討論記錄單
S06 第三次擬題
經過前二次的擬題，S06 更能掌握這個單元的概念重點，並在第三次擬題充 分表現其數學概念（圖 4-2-4）。
圖 4-3-4 S06 第三次擬題
從第三次擬題中，不但可以發現 S06 能將各種四邊形、三角形的性質完整條 列出來，還能分析、比較各種形狀之間的關係，例如「平行四邊形與其他四邊形 的包含關係」、「三角形內角和與四邊形內角和的關係」，充分運用別人給予的鷹 架回饋，修正自己前二次的擬題缺點，於是研究者給予兩個優良獎章鼓勵。
由 S06 的三次擬題成果可以知道，數學擬題教學策略不但可以讓學生主動學
習，還能藉由來自老師、同儕的鷹架支持，在一次又一次的擬題回饋機轉中，建 構出更高的概念思考層次。
【個案 S24】
S24 第一次擬題
S24 在進行第一次擬題時，沒有掌握到這個單元的學習重點，反而以面積或 體積的概念設計題目（圖 4-3-5）。
圖 4-3-5 S24 第一次擬題
當學生的擬題內容偏離單元主題時，代表學生無法掌握數學概念擬題，將數 學概念應用在新的情境中。基於這個原因，研究者不給予 S24 第一次擬題作品優 良獎章，並給予「錐體的體積算法有誤」、「應探討性質」兩個學習鷹架建議。以 下為其他同儕在「數學題目討論記錄單」上針對 S24 的題目進行建議（表 4-3-1）：
表 4-3-1 同儕給予 S24 第一次擬題之建議
給予建議之同儕 建議內容
S19 屋頂如果是梯形的柱體，應該要畫清楚。
S25 圖形雖然清楚明瞭，但是沒有融合上課學到的性質，如果融合 性質，那就更棒了。
S33 能結合生活中的東西很棒，但是要注意性質是這個單元重點。
S24 第二次擬題
S24 在教師及同儕的學習鷹架之後，針對第一次擬題的缺點予以修正，完成 第二次擬題（圖 4-3-6）。
圖 4-3-6 S24 第二次擬題
S24 在第二次擬題時，利用「建築設計圖」的主題，設計一個題組。在第一
S24 第三次擬題
S24 採納 S25 歸納圖形性質的建議，於第三次擬題時，應用在擬題作品中（圖 4-2-7）。
圖 4-3-7 S24 第三次擬題
S24 不但保留了第二次擬題時，以連線對照法比較兩個圖形性質之異同，並 且在第三次擬題時，進行平行四邊形與長方形圖形的比較，還加入了等腰三角形 與正三角形圖形的分析，使擬題範圍包含整個單元的概念。除了概念範圍加大，
擬題時應用的概念層次也有提升。例如在等腰三角形與正三角形的題目分析中，
得到「大邊對大角，小邊對小角」、「任意兩邊和大於第三邊」兩個重要性質；在 平行四邊形與長方形的題目中，發現長方形擁有平行四邊形所有的性質，並且還
多出了四角直角的性質，因而得到「長方形也是屬於平行四邊形的一種」的結論。
對於 S24 第三次擬題，能充分應用所學概念進行擬題的表現，研究者給予最高榮 譽三個優良獎章的鼓勵。
由 S24 的三次擬題成果，可以觀察到個案學生 S24 從一開始不知道如何掌 握單元概念擬題，無法將形體的性質運用在實際情境，到第二次擬題時的修正，
最後再藉由同儕的互動鷹架及回饋機轉，建構出更完整的數學概念認知。研究者 自我省思後發現，以往研究者在教學時，常會將數學概念歸納好，直接讓學生理 解及記憶，但是這樣卻會剝奪學生自主思考的機會及動手發現概念、印證概念的 驚喜。只要教師肯讓學生自己動手做、動腦想，並對於學生的盲點迷思加以引導、
促使學生同儕互動對話，學生得到的收穫會比我們想像的更多。
【個案 S30】
S30 第一次擬題
S30 第一次擬題時，跟 S24 第一次擬題的情形很類似，雖然很細心地安排了 相框面積和大樓表面積兩個主題，但是卻沒有掌握好這單元的學習重點，沒有表 現出對形體性質概念的理解（圖 4-3-8）。
圖 4-3-8 S30 第一次擬題
因為 S30 擬題方向偏離概念主軸，故研究者給 S30 的鷹架是「這個單元應 探討形體的性質」，提醒 S30 重新審視本單元的概念內容，並且不給優良獎章，
希望 S30 在下一次擬題時改進。在課堂上其他同學也給了 S30 一些建議：
S30 第二次擬題
S30 在第二次擬題時，修正了概念失焦的問題，設計了一個擁有兩個子題的 題組（圖 4-3-9）。
圖 4-3-9 S30 第二次擬題
師：請大家來看看 S30的題目有什麼問題！（投影機呈現題目）
S03:跟 S24一樣都沒有講到重點，只是在算面積!
S11:對！像剛剛講的啊！應該要出三角形或者四邊形的性質。
S17:好像很多人都有這樣的問題哦！ （課 070327）
S30 想到以螞蟻國王為擬題主題，第一個子題畫出了螞蟻們所走過的路線 圖，路線圖中剛好形成兩個等腰三角形及一個直角三角形。題目要求讀者辨認圖 形名稱，並且分析這兩種三角形各具有什麼性質。第二個子題則設計了各式各樣 形狀的麵包，再寫出這些形狀具備的性質。
班上學生的第二次擬題，很少學生能像 S30 同時應用到三角形與四邊形的性 質，大多數學生只提到其中一種，故研究者給 S30 兩個優良獎章的肯定，並寫下 兩個評語。第一個評語是讚揚 S30 的擬題同時包含三角形與四邊形的性質，希望 建立其他同學模仿學習的榜樣；第二個是希望 S30 在「列出」各種圖形性質之外，
還能「比較」幾種圖形異同之處，提升幾何概念思考層次。在同儕互動方面，S26 也在數學題目討論記錄單上提出「可以加入比較形體的性質」的回饋建議。
S30 第三次擬題
在第三次擬題時，S30 設計了擁有兩個子題的題組（圖 4-3-10）。
圖 4-3-10 S30 第三次擬題
S30 受到教師鷹架及同儕鷹架的影響，在第三次擬題時表現得更好。S30 在 第一個子題將菱形、長方形、箏形三種圖形進行「比較」，分析三者圖形性質的 差異之處以及相同之處，再從三個圖形之中，挑選出一個形狀作為蛋糕的設計 圖。美中不足的是，在題目中並沒有說明清楚蛋糕設計圖要具備哪些性質條件，
題意並不完整。
在第二個子題中，S30 發現三角形和四邊形之間存在著某種關係，於是利用
正三角形、等腰直角三角形及鈍角三角形，兩兩組合成各種四邊形。在實際動手 操作的過程中，S30 發現兩個等腰直角三角形可以組合成一個正方形；兩個正三 角形可以組合成一個菱形；兩個鈍角三角形可以組合成一個箏形。但是最後也出 現與第一子題相同的問題，沒有提到為什麼要選用正方形來當作蛋糕底盤，造成 題意不清的缺憾。
因為 S30 在第三次擬題時，除了能單獨列出各圖形的性質之外，還能將不同 形狀的圖形分析比較，更能探索出三角形與四邊形之間的關係，將概念理解層次
因為 S30 在第三次擬題時，除了能單獨列出各圖形的性質之外，還能將不同 形狀的圖形分析比較，更能探索出三角形與四邊形之間的關係，將概念理解層次