國立台中教育大學課程與教學研究所碩士論文
指導教授 ： 徐照麗 博士
數學擬題教學策略對學生數學概念
影響之行動研究
研究生 ：林峻志 撰
中華民國九十六年六月
謝辭
人生總是充滿意想不到的際遇，不管是令人高興，抑或是令人悲傷，都是構 成自己生命樂章的一部分。研究所生涯也是如此，記得在研一時的戒慎恐懼、研 二優遊於浩瀚知識、研三為了論文終日忙碌，有歡笑也有淚水。還好，有了你們 的陪伴，我才有這勇氣與毅力完成這段三年的研究生涯。 首先要感謝的是指導教授徐照麗教授，不論是在專業知識的指導上，或是做 人做事的態度上，都給我很大的啟示及良好的學習榜樣。每當我在論文上遇到困 難時，徐老師都會排除繁重的行政工作，非常有耐心地指導我，每每都讓我有「柳 暗花明又一村」的驚喜及收穫。也感謝論文口試委員謝寶梅所長，以及郭玉霞教 授、何慧群教授、任慶儀教授、楊銀興教授、呂錘卿教授、顏佩如教授、吳德邦 教授在研究所求學階段的指導，解答我的疑惑，時時為我注入知識的活泉。還要 感謝溫文儒雅的口試委員蔡文榮教授，百忙之中還不厭其煩的在論文上給予寶貴 意見。 感謝同窗三年的怡君、健慧、沛彤、秀燕、巧琳、岱樺、芝潔、雅勤，有了 你們的陪伴，寫再多的報告都不覺得累，因為我們總是互相加油打氣，用笑聲克 服了一切挑戰。課程所的學弟妹們，常常在我最需要協助時，給我幫助，真的很 感謝你們。還有我的班上所有可愛的小朋友們，你們的一切努力，都深刻地印記 在老師心裡，最令我感動的是你們不畏艱難，完成一件又一件的工作，那份勇氣 真是令我驕傲。另外所有曾經幫助過我的人，雖然無法一一列出你們的名字，但 感謝之意一切盡在不言中！ 也要感謝待我如子女般的張爸爸、張媽媽，以及乃云的鼓勵及加油，讓我有 源源不絕的活力不斷成長。最重要的是我的家人，爸爸、媽媽、櫻蕙、峻海，你 們是我最大的精神支柱，讓我無懼、無悔地勇敢面對所有的挑戰，永不退縮，謝 謝你們！i
數學擬題教學策略對學生數學概念影響之行動研究
摘要
本研究之目的乃在探討數學擬題教學策略之設計，及不同數學程度之學生在 數學擬題前後之幾何概念層次變化情形。研究者以本身任教之 34 位學生為研究 對象，進行三角形與四邊形幾何圖形性質教學之行動研究。本研究透過分析教科 書與能力指標，以淬取數學概念；並以學生擬題作品、上課對話記錄、學生訪談、 與教師反省札記等質性資料分析，平面幾何概念測驗試題之量化統計分析，來探 討學生在教學前後在幾何概念層次之變化。研究結果摘述如下： 一、在數學擬題教學策略之設計方面 （一）分析教科書內容，解讀能力指標，能提升教師專業。 （二）整合數學概念，可以降低學生認知負荷。 （三）不完全依賴教科書內容教學，改以數學概念為教學主軸。 （四）須留給學生思考的空間，讓學生主動學習。 （五）建立學生擬題作品展示空間，鼓勵同儕互動學習。 （六）同一單元之擬題次數，以兩次之效果最佳。 二、在數學擬題教學前後之幾何概念層次變化方面 （一）高數學學習成就學生之擬題表現優良，有助於概念理解層次的提升。 （二）中數學學習成就學生之擬題表現進步幅度大，且有效提升概念理解層次。 （三）低數學學習成就學生之擬題表現受限於表達能力不足，但概念理解之進 步幅度最大。 （四）數學擬題教學策略適用於各種程度學生之數學學習。 最後基於研究發現，本研究最後提出對學校行政單位、教師及後續研究的建 議。 關鍵詞：數學擬題、幾何概念層次、行動研究ii
The impact of the instructional strategy of the problem posing in mathematic on students’ mathematic conceptual change
Abstract
This study is to discuss the design of problem posin g in m athem atic and the change of student’s geom etric thinking level before and after the instruction. T he researcher has conducted an action research of geom etric triangle and quadrilateral units on the 34 students in the class. T he researcher has studied the change of student’s geom etric concept before and after the instruction by analyzin g textbook, com petence indicators, m athem atic concepts, students’ problem posing w ork, dialogues in classroom , interview w ith students, and teacher’s reflection journal qualitatively; also, by quantitative and statistic analysis of plane geom etric test. Conclusion of research is as follows:
1. Design of problem posing strategy
(1) To analyze textbook and interpret competence indicators can help upgrade teacher’s professional expertise.
(2) Integrate mathematic concepts and reduce student’s cognitive load. (3) Focus lecture not on textbook but on mathematic concept.
(4) Leave room to student to think.
(5) Establish student’s problem posing work display and encourage peer learning. (6) The frequency of problem posing per subject should be twice for the best result.
2. Change of geometric concept before and after problem posing
(1) Students with high achievement in mathematic are excellent in problem posing that helps upgrade conceptual understanding.
(2) Students with modest achievement in mathematic are with significant progress in problem posing and with conceptual understanding upgraded effectively.
(3) Students with less satisfactory achievement in mathematic are with limited expression in problem posing but with conceptual understanding upgraded substantially.
(4) Problem posing in mathematic strategy is applicable for the mathematic study of students in all levels.
iii
iv
數學擬題教學策略對學生數學概念影響之行動研究
第一章 緒論……….
第一節 研究動機………..
第二節 研究目的與問題………...
第三節 名詞釋義……….………..
第四節 研究範圍與限制……….……….
第二章 文獻探討……….………..
第一節 數學擬題……….….…….
第二節 回饋系統……….………….
第三章 研究方法……….………….
第一節 採用行動研究的原因……….
第二節 研究設計……….……….
第三節 研究現場與參與者……….
第四節 資料的收集與分析……….
第五節 效度……….…….
第六節 研究倫理………
第四章 研究結果與討論………..
第一節 教師淬取數學單元關鍵概念之歷程……….
第二節 概念形成教學歷程………
第三節 擬題之引導及成果討論………
第四節 數學擬題教學前後之成效差異分析………..
第五章 結論與建議………
第一節 結論………
第二節 建議………
參考文獻………..
中文部分……….
英文部分……….
附錄
附錄一 台中縣○○國小六年級數學領域教學設計方案………..……..
附錄二 訪談學生大綱……….
附錄三 幾何概念試題……….…….
1 1 5 6 7 9 9 21 24 24 26 33 35 39 41 42 42 48 56 111 116 116 121 123 123 128 130 136 137v
附錄四 研究同意書
……….…………
附錄五「吳―薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗」使用同意書
………
161 162
vi
表次
表 3-3-1 研究諮詢顧問簡介………..………..
表 3-4-1 van Hiele 幾何概念層次一測驗之試題分析表………..
表 3-4-2 van Hiele 幾何概念層次二測驗之試題分析表………..
表 3-4-3 van Hiele 幾何概念層次三測驗之試題分析表………..
表 3-4-4 資料編碼意義………..
表 4-1-1 課程概念分析………..
表 4-1-2 課程能力指標分析………
表 4-1-3 課程概念分析及歸納整合……….
表 4-3-1 同儕給予 S24 第一次擬題之建議………...
表 4-3-2 同儕給予 S33 第一次擬題之建議………...
表 4-3-3 同儕給予 S11 第一次擬題之建議………..
表 4-3-4 同儕給予 S19 第一次擬題之建議………
表 4-4-1 高分組學生前後測總分 t 檢定之統計分析………..
表 4-4-2 高分組學生各概念層次前後測分數 t 檢定之統計分析………..
表 4-4-3 中分組學生前後測總分 t 檢定之統計分析………..
表 4-4-4 中分組學生各概念層次前後測分數 t 檢定之統計分析……….
表 4-4-5 低分組學生前後測總分 t 檢定之統計分析………..
表 4-4-6 低分組學生各概念層次前後測分數 t 檢定之統計分析………..
34 37 37 38 39 43 45 47 65 75 81 105 111 111 112 112 113 1137
圖次
圖 2-1-1 近側發展區………..
圖 2-1-2 近側發展區的動態本質……….
圖 2-2-1 因果關聯鍵………..
圖 2-2-2 因果回饋環路之種類……….
圖 3-1-1 行動研究動態循環歷程圖………..
圖 3-2-1 研究架構……….
圖 3-2-2 數學擬題教學流程圖………
圖 4-1-1 淬取數學概念之流程………..
圖 4-1-2 課程能力指標分析流程………..
圖 4-2-1 教學流程………..
圖 4-2-2 S20 三角形課程理解………...
圖 4-2-3 S24 四邊形課程理解……….
圖 4-3-1 S06 第一次擬題………
圖 4-3-2 S06 第二次擬題……….. ……….
圖 4-3-3 S06 數學題目討論記錄單……….
圖 4-3-4 S06 第三次擬題……….. ……….
圖 4-3-5 S24 第一次擬題……….. ………
圖 4-3-6 S24 第二次擬題……….. ………
圖 4-3-7 S24 第三次擬題……….. ………
圖 4-3-8 S30 第一次擬題……….. ………
圖 4-3-9 S30 第二次擬題……….. ………
圖 4-3-10 S30 第三次擬題……….. ………..
圖 4-3-11 S33 第一次擬題……….. ………..
圖 4-3-12 S33 第二次擬題……….. ………
圖 4-3-13 S33 數學題目討論記錄單……….
圖 4-3-14 S33 第三次擬題……….. ………..
圖 4-3-15 S11 第一次擬題……….. ………
圖 4-3-16 S11 第二次擬題……….. ………..
圖 4-3-17 S11 第三次擬題……….. ………..
圖 4-3-18 S20 第一次擬題……….. ………..
14 14 22 23 25 26 28 42 46 48 51 54 58 60 61 62 64 65 67 69 70 72 74 76 77 78 80 82 84 868 圖 4-3-19 S20 第二次擬題
……….. ……….
圖 4-3-20 S20 第三次擬題……….. ……….
圖 4-3-21 S26 第一次擬題……….. ………..
圖 4-3-22 S26 第二次擬題……….. ………
圖 4-3-23 S26 數學題目討論記錄單……….
圖 4-3-24 S26 第三次擬題……….. ………..
圖 4-3-25 S10 第一次擬題……….. ………
圖 4-3-26 S10 第二次擬題……….. ………..
圖 4-3-27 S10 第三次擬題……….. ………
圖 4-3-28 S15 第一次擬題……….. ………..
圖 4-3-29 S15 第二次擬題……….. ………..
圖 4-3-30 S15 第三次擬題……….. ………..
圖 4-3-31 S19 第一次擬題……….. ………..
圖 4-3-32 S19 第二次擬題……….. ………..
圖 4-3-33 S19 第三次擬題……….. ………
87 89 91 92 93 94 96 97 98 100 101 102 104 106 1081
第一章 緒論
本章就數學的本質與學生學習之普遍現況，揭示數學教學與學習改變的重要 性，據以設定研究目的及研究問題；本研究中提到的主要名詞也會在本章加以解 釋，最後說明本研究之範圍與限制。第一節 研究動機
研究者從國民小學任教的經驗中發現，「數學」常是令學生感到困難的科目， 學生總是談到數學就避之惟恐不及！到底數學的本質是什麼呢？現在學生學習 方式存在著什麼樣的問題？有可以改善學生學習困擾的學習模式嗎？研究者在 教學生涯中，不斷地思索這些問題，希望能得到解答。 數學概念不是無中生有，也不是人類天生就有的，而是客觀世界的活動不斷 在人腦留下痕跡，逐漸發展出來的（李國偉，1985）。Vincent(2004)認為數學情 境無所不在，教師不能只偏重在單純數學概念上的探討，應該鼓勵學生以學到的 數學知識來解決生活問題，讓學生藉由動手實作的方式印證數學概念。由此可 知，數學教育不只要學生學會數學上的概念，將數學概念應用在生活中、加以驗 証亦是重要的，前者是數學課程中的「內部連結」，後者則是數學課程中的「外 部連結」。「內部連結」是指各主軸之間概念的關連；「外部連結」強調生活及其 他領域中對數學問題的察覺、轉化、解題、溝通與評析等能力。教師在數學的教 學過程中，可以透過引導、啟發或教導的方式，使學生能在具體的問題情境中， 順利地以數學知識為基礎，形成解決問題所需的新數學概念，並有策略地選擇正 確又有效率的解題程序。而且教師也要協助學生體驗生活情境與數學的連結過 程，培養學生能以數學的角度觀察周遭生活事物的習慣，以提高應用數學知識的 能力（教育部，2006）。2 數學是從生活情境發展而來，與我們的生活習習相關，但是國內大部分國小 數學教育還是偏向以教師講授式教學為主，課本設定好的題目為佈題，示範解題 技巧和解題歷程，以供學生模仿。在整個教學過程中，學生是處於被動接受數學 知識的情形（林文生，1996）。許多研究更指出，學生在解題時，常常著眼於題 目的表面數字，並未思考題目的深層意涵（翁嘉英，1988；陳美芳，1995；楊惠 如，2000）。學生以此學習方法，很容易掉入只學到片斷的抽象數學概念，無法 將數學概念應用在實際生活情境的學習困境中。長久下來，獨立且片斷的數學概 念無法有效進入學習者的長期記憶，學習成效將受遺忘的影響而大打折扣，更別 說會對數學產生學習興趣。根據教育部在 2005年 5月，對台灣地區抽樣 10346 位國民小學六年級學生進行的數學成就測驗（TASA-MA）調查報告顯示，未達 基礎水準的學生佔了 19.1﹪，其平均答對率僅為 35﹪，他們的數學學習存在著明 顯的障礙（台灣學生學習成就評量資料庫，2006）。研究者從教師的角度來看， 是否能找到或發展出有效的教學策略，能同時兼顧學生數學概念的學習以及數學 知識的應用呢？ 傳統的講述式數學教學，雖然比較快速，但是可能會造成學生沒有理解數學 觀念，逕自強記公式定理的情形，即使是建構取向的教學方式也有一些疑慮，在 實施小組討論時，程度較高的學生常常主導討論和發言，程度較低的學生難以參 與及獲得有效學習。而且當學生建構的數學知識有所偏差的時候，又無法獲得教 師有效的指正或回饋，學習將大打折扣（陳怡靖，2004）。 對於建構取向的數學教學方式的疑慮，陳怡靖（2004）提出美國數學教師協 會（National Council of Teachers of Mathematics, NCTM）所建議的數學寫作 （writing about mathematics）做為解決方案。NCTM 建議讓學生將數學上的觀察 和概念，以作文的方式寫成紀錄，以釐清學生在學習數學時的想法和概念，即為 數學寫作的作法。學生一方面記錄數學解題的思考過程，在小組討論時可以有討 論的內容和依據；另一方面，教師可以透過批改學生數學寫作的內容，了解學生
3 建構的概念是否有偏差，再決定下一步的教學策略。美國數學教師協會所建議的 數學寫作，可以彌補建構取向數學教學的疑慮，而數學擬題（problem posing） 是數學寫作中的一種形式，以學生的數學概念出發，自行擬出以自己生活經驗為 題材的數學題目。Silver(1994)也認為數學擬題可以改善學生數學學習的情形，如 果教師以引導學生探究數學概念的方式教學，學生的數學擬題程度以及對於數學 的學習態度都會有進步 學生在進行擬題時，必須先將數學概念消化、整理，再進行深度思考，形成 有意義的建構活動。Brown（1993）也認為學生在進行擬題寫作時，必須以數學 語言、數學符號的表徵方式，整合學生的生活經驗，覺察到並描述經驗和數學概 念之間的關係。就擬題教學方式來說，學生在擬題的過程中一方面主動理解數學 概念，一方面促使數學概念和生活情境結合，同時提供老師一種獨特的診斷工 具，從學生的寫作成果中，顯示出學生數學概念混淆不清的地方，了解學生對數 學概念的掌握度（徐照麗，2004）。 國內亦有數學擬題的相關研究（梁淑坤，1993，1994，1995，1997，1999； 徐文鈺，1996；林文生，1996；劉芳妃，1998；楊惠如，2000；周幸儀，2002； 陳佩琦，2003；莊美蘭，2003；康滋容，2005；吳進寶，2005；林慶宗，2005； 蕭景文，2005），研究結果指出學生進行數學擬題活動後，不但可以激發學習興 趣，將數學知識與日常生活相結合，並且可以提升學童對數學文字題語意結構的 掌握。 深入分析擬題的文獻可以發現，以往的研究對於擬題過程中，學生數學概念 變化的過程著墨並不多。也就是說擬題活動如何影響學生數學認知概念，及學生 在擬題活動的概念變化歷程，並沒有具體的研究成果。有些擬題的研究，將擬題 當作總結性評量，每個單元只進行一次擬題活動。若擬題活動被當作將學生隱而 不明的數學概念外顯化的方法，那麼老師發現學生在擬題時有迷思概念，如何導
4 正學生的概念將是教學重點。因此如何妥善運用數學擬題，設計一個有效、可行 的教學策略，對於學生的學習有所助益，乃為本研究的動機之一。 此外，由國小實際教學現場中可以發現，每位學生的學習步調與理解速度不 盡相同，數學程度高的學生能舉一反三，數學概念一學就會；可是數學程度低的 學生必須循循善誘，不斷引導才能理解。在台灣注重成績表象的教育環境中，理 解能力較弱的學生往往跟不上學校課程進度而落後。如果教師改以擬題活動的方 式提高學生學習的主動性，允許不同程度的學生將自己的學習進度展現出來，透 過社會互動的方式修正學生的數學概念，則可探討擬題活動對不同數學程度學生 的學習是否能有所幫助，此為本研究動機之二。
5
第二節 研究目的與問題
基於以上之研究動機，本研究之研究目的和研究問題列舉如下： 一、探討數學擬題教學策略之設計 （一）教師如何淬取數學單元之關鍵概念？ （二）在教學過程中，教師如何將數學概念呈現給學生？ （三）教師如何利用擬題成果來引導學生互動？ （四）教師在進行擬題教學策略時，面臨什麼困難以及採取何種因應方式？ 二、探討數學擬題教學策略之成效 （一）進行數學擬題教學策略前後，對於高數學學習成就之學生數學概念有何影 響？ （二）進行數學擬題教學策略前後，對於中數學學習成就之學生數學概念有何影 響？ （三）進行數學擬題教學策略前後，對於低數學學習成就之學生數學概念有何影 響？6
第三節 名詞釋義
壹、數學擬題（problem posing） 數學擬題是數學寫作活動的一種。本研究中的數學擬題是指學生將自己的數 學知識和生活經驗中的情境、人物、事件、數字與圖形等建立關係並組織起來， 以數學題目的方式呈現出來，並且用自己對數學概念的理解方式，來解答該數學 問題。 貮、數學概念發展 學生在學習新的數學概念時，對於概念的掌握，概念與生活經驗的結合，以 及應用概念解決問題，稱之為數學概念發展。本研究指的數學概念發展，是學生 對數學概念理解及應用的歷程。 參、回饋機轉 本研究的回饋機轉，是從系統動力學（system dynamics）中，回饋系統 (feedback system)的概念而來。在系統內的元素與元素之間、元素與整體間的變 化，都會對彼此造成影響。系統在運作過程中，透過動態基模調適（accommodation） 與類化（assimilation）來維持其穩定性，這些不斷的回饋、調適、類化的循環， 稱之為回饋機轉。 肆、鷹架理論（scaffolding） 鷹架理論是由經驗豐富者引導經驗較少者，以提升經驗較少者的能力。本研 究的鷹架是指教師對學生學習過程中的引導，以及學生同儕之間的互動影響歷 程。7
第四節 研究範圍與限制
壹、研究範圍 本研究乃在探究國民小學教師透過運用數學擬題的教學策略，在進行教學活 動的過程中，教師與學生以及學生與學生之互動學習的歷程。研究者和研究諮詢 顧問共同商討數學擬題教學策略，再依學生的數學概念發展情形以及所面臨的問 題，研擬出教學策略以增進學生在數學學習之成效。本研究在九十五學年度上學 期，以研究者所任教的班級為研究場域，進行三角形與四邊形幾何性質之單元設 計與教學，最後提出本行動研究之歷程、結果與發現。 貮、研究限制 一、學科領域 本研究基於一般行動研究訴求的改善教學現場之目的，以研究者任教之數學 領域為範圍，不擴及其他領域之教學。在研究過程中，因考慮到需要的人力、物 力、時間與學校課程進度等限制，故僅選取數學領域中的三角形與四邊形之幾何 性質為研究範圍。 二、研究對象 本研究以不影響研究對象的學習權益之考量下，以國民小學排課之現況為前 提，只以研究者任教班級之國民小學 34 位六年級學生為研究對象，並不包含其 他班級的學生。 三、研究結果與應用 配合本研究上的資源考量，故在研究範圍和研究對象上有其限制。因此在研 究結果的應用上，受到當時的教學情境與研究對象獨特性的影響，若要推論在其8
第二章 文獻探討
本章第一節先探討數學擬題的定義、理論基礎、擬題的方式以及擬題資料的 分析。第二節介紹系統動力學中的系統概念及回饋機轉，及回饋系統對本研究的 啟示。第一節 數學擬題
壹、數學擬題的定義 「數學寫作」近來在數學教育上被廣泛討論，而「數學擬題」就是數學寫作 之一。 國內研究數學擬題的學者梁淑坤（1994）指出，所謂數學擬題就是「自己想 出一個數學題目來」。在擬題的過程中，擬題者會基於自己的數學知識和生活經 驗，把情境、人物、事件、數字與圖形等建立關係，並組織起來，擬出一個數學 題目。Silver（1994）指出擬題是學生由既有經驗或情境中創造出新的問題，或 是由給定的題目中創造出新的題目。Stovanova & Ellerton（1996）則認為數學擬 題是學生依據自己所習得的數學概念為基礎，建構及創造出有意義的數學題目。 由以上學者對數學擬題的定義，可以得知數學擬題是以增進學生在數學上的 學習為目的，依據自己既有的數學概念為基礎，結合生活經驗，建構出屬於個人 的、獨一無二的數學題目。教師可以藉由學生所擬出的題目，檢視學生數學概念 之完整性與正確性，使學生潛在的數學概念外顯化，作為教師在教學上的參考。 貮、數學擬題的方式 數學擬題的方式雖然有許多種，但是主要精神都是要讓學生熟悉數學概念， 將概念應用在新情境中，進而強化學生的數學概念學習。以下就是各學者所提出的擬題方法簡單介紹： 一、坪田耕三的擬題方法 日本小學教師坪田耕三在 1987 年於其著作「生動的算術」中，提出擬題的 七種方法（引自梁淑坤，1994）： （一）模仿法或類題法：學習某問題後，擬出和此題同樣式的題目。 （二）算式法：提出一個公式，再擬出適用此公式的問題。 （三）原理法：給與四則運算法則或通分等原理，讓學生擬出符合此運算法則或 原理的題目。 （四）訂正法：教師在題目中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件， 或故意呈現矛盾之處，在學生進行訂正後，擬出一個完整的題目。 （五）實驗法：先進行實驗或是具體東西的操作，再以此現象為根基，讓學生進 行擬題。 （六）自由法：以開放自由的題材，讓學生擬出自由型式的問題。 （七）題材法：學生依據給定的主題來擬題。 二、Silver（1994）將擬題的方式分成二種： （一）從已知的題目中，經過改編後再產生新的數學題目。 （二）學生由既有經驗或情境中創造出新的題目。
（一）結構（structured）的情境：學生可以利用現有的題目加以改變，擬出新的 題目。 （二）半結構（semi-structured）的情境：學生利用先前學習過的數學知識、技 巧、概念以及關係連結，完成一個完整結構的問題。 （三）自由（free）的情境：讓學生在自然情境下自由發揮。 以上學者對數學擬題提出的眾多類型，各有其特色。因為本研究是以國民小 學數學學習領域中幾何概念的學習為主，而擬題的目的是將學生學到的數學幾何 概念外顯化，所以本研究擬採用 Stovanova & Ellerton 提出的半結構
（semi-structured）的情境類型，即限定學生以學習過的數學概念或技巧為基礎， 擬出數學題目，使教師或學生同儕能觀察其概念學習情形。
參、數學擬題的理論基礎
數學擬題的理論基礎源自於建構主義的學習理論、Vygotsky 的最近發展區 （Zone of Proximal Development，ZPD），以及後人依 Vygotsky 的 ZPD 衍生出的 鷹架理論（scaffolding）。
一、建構主義學習理論
建構主義（constructivism）並不是單一的理論，而是包含不同取向的理論派 別。在眾多的建構主義取向中，有的將焦點放在個體「內在」層面，思考個體是 如何獲得知識，其中以 Von Glasersfeld 的「根本建構主義」(radical constructivism) 為代表。有的建構主義則注重個體「外在」層面，從社會、歷史、文化的角度說 明人類如何得到知識，其中以 Vygotsky 的「社會建構主義」（social constructivism）
為代表（潘世尊，2003）。
（一）根本建構主義
根本建構主義的探討重點是「一種達到認識的途徑」（an approach to
knowing）或「一種認識的理論」（a theory of knowing）（Von Glasersfeld,1995）。 根本建構主義認為知識具有以下特質（潘世尊，2003）： 1.知識僅存在於認知主體的心中：對於個體而言，外在的訊息僅只是符號，並不 具任何意義。只有個體經感官接觸訊息，在腦海中組織後，知識才被建構出來。 2.能存活的知識只是暫時性的解釋：因為知識是主觀的，所以現有的知識也有被 修改的可能。 3.個體所建構的主觀知識是獨一無二的：個體基於原有的知識基礎對新的經驗做 詮釋，因此即使有相同的感官經驗，不同的個體建構出來的知識也不可能相同。 4.知識是適應環境的工具：當學習者面臨新的環境時，會以既有的知識基礎同化 與調適新的經驗。 由上述文獻分析可以知道，根本建構主義的教學目標，是要協助學生發展適 應環境的知識，故教師在進行數學教學時，應該將數學概念與學生生活經驗相結 合。教師在教學的過程中，教師要扮演學生學習的協助者，要不斷與學生互動， 引導學生主動思考，以舊知識為基礎來調適、同化新的數學概念，以進行有意義 的學習。 （二）社會建構主義 以 Vygotsky 為代表的社會建構主義，注重文化與社會的角色。他認為社會 文化是影響智力發展最主要因素，不同的文化背景下成長的兒童，其認知內容會
有所不同。除了社會文化背景之外，人際之間的互動也是形成個體認知的重要因 素。透過成人與兒童之間的社會互動，能協助兒童建構知識（吳慧珠、李長燦，
2003）。兒童在與他人互動中獲得他人指導的機會，學習解決問題的技巧，最後
再以自我指導的方式強化新習得的知識(Vygotsky, 1978)。
除了 Vygotsky 之外，Piaget 的理論主張也有類似社會建構主義的概念。Piaget 認為兒童的思考方式和成人不同，兒童的認知發展須透過與環境的互動，產生同 化和調適，改變原有的認知結構（吳慧珠、李長燦，2003）。因此 Piaget 認為同 儕間的互動有助於形成認知衝突，提升認知層次。 由上述文獻分析可知，學生透過與同儕、成人之間的互動，可以營造出認知 失調的學習情境，協助個體主動建構知識。所以教師在進行數學的教學活動時， 應讓學生之間有充分討論的空間，教師也要適時的與學生互動、對話，產生有意 義的學習，扮演學生學習輔助者的角色。
二、近側發展區（Zone of Proximal Development, ZPD）
「近側發展區」在國內還有「最佳發展區」、「最近發展區」等譯名，指的是 兒童在自己獨立解決問題，與他人的協助下解決問題之潛在差距（Vygotsky,
1978）。也就是說兒童在獨立解決問題上所能達到的實際表現（real level of
development），與在成人或同儕的協助下能達到潛在發展層次（potential level of
development），兩者之間的距離就是近側發展區（谷瑞勉譯，1999）。兒童接受
的協助可以是行為的引導，如教師將不同幾何立體圖形的積木，鼓勵學生分類； 也可能是言語上的互動，如大人或同儕對解題的暗示、引導學生重新界定問題。 Vygotsky 認為兒童的行為發展藉由不同程度的協助，可能發生於近側發展區的範 圍之內，如圖 2-1-1。
圖 2-1-1 近側發展區 資料來源：吳慧珠、李長燦（2003） 近側發展區會隨著兒童獲得較高的思考和知識水準而不斷改變，每次改變， 兒童會變得更有學習能力，故近側發展區的本質是動態的。例如某一工作可能昨 天兒童還需要他人的協助才能完成，今天他就可能有獨立完成的能力了，如圖 2-1-2（吳慧珠、李長燦，2003）。 圖 2-1-2 近側發展區的動態本質 資料來源：吳慧珠、李長燦（2003）
最近發展區
ZPD（1）
接受協助之表現水準 獨立之表現水準 工 作 的難度 時間最近發展區
ZPD（2）
接受協助之表現水準 獨立之表現水準最近發展區
ZPD
接受協助之表現水準 獨立之表現水準 工 作 的難度三、鷹架理論（scaffolding）
Vygotsky 提出的「近側發展區」，為「鷹架理論」提供了初步的概念雛型，
但是 Vygotsky 本人並沒有直接使用「鷹架」一詞。後來的學者 Wood, Bruner & Ross （1976）才以 Vygotsky 的「近側發展區」概念為基礎，提出「鷹架理論」。所謂 「鷹架」是一種持續性的動態過程，教師提供學生支持，協助學生達到近側發展 區的潛在發展區。過程中由經驗豐富者引導經驗較少者，以逐漸提升學習的複雜 度，並導向正確的答案和學習內容(Judithann, 1993)。旁人所提供的「鷹架」，可 以是任何工具或教學策略，例如引導、示範、教學錄影帶或師生對話等（沈中偉， 1994）。 教師以學生學習的協助者角色介入，鷹架支持的程度則依學生的學習狀況而 有動態調整，當學生的能力增進時，鷹架支持的數量隨之遞減（劉錫麒，1980）。 教師提供暫時性的鷹架，當學生完成學習，即應撤除鷹架，使學習者搭建起自我 輔助鷹架（張菀珍，1997）。因為近側發展區有動態發展的特性，所以能力高者 給予能力低者的學習鷹架也應動態調整，不斷加深加廣。 故教師在進行數學擬題教學時，應該依據學生擬題、解題的情況，了解學生 的認知發展水準，診斷學生學習需求，提供學生適當的學習鷹架。在數學擬題策 略中，若藉由學生獨立擬題、他人提供學習鷹架互動、再次擬題等數次循環，不 但能顯示學生的認知發展水準，也可以展現思考歷程的軌跡記錄，亦即學生近側 發展區的動態發展。
肆、數學擬題之相關研究 國內外都有學者進行數學擬題研究，以下就針對國內外實證研究做簡要整理 及歸納。 一、國外研究 English(1997)以五年級和七年級學生為研究對象，針對不同數學能力的學生 在擬題方面的表現進行研究。結果發現，擬題能力強的學生，其計算能力並不強， 但是在特殊題目的解題上表現優良，其所擬出來的題目具有複雜性，創造思考能 力很豐富。因此 English 認為要多鼓勵學生擬題，以提昇學生的解題能力和興趣。 Cai(2003)利用數學擬題及解題方式，研究新加坡的四、五、六年級小學學生 之數學思考，結果顯示學生大部分都能選擇適當的解題策略以及解題方法。他分 析各年級學生的表現後發現，四年級學生和五年級學生之間的數學思考程度有較 明顯的差異，五年級學生和六年級學生反而較無差異。 Whitin(2004)利用數學擬題的方式教導小學四年級的學生學習長方形的周長 與面積概念，研究結果發現學生在使用數學擬題策略後，能幫助學生以具體的圖 形及生活化的例子來理解抽象的概念，也讓教師觀察到學生的思考方式及面臨的 困難。 二、國內研究 徐文鈺（1996）以104位國小五年級學生為研究對象，將學生分成合作擬題 組、個別擬題組及控制組等三組。各組學生接受為期六週，每週二次、每次約四 十分鐘的分數課程教學。研究結果顯示，合作擬題組在複雜的「部份/整體」概 念的表徵轉換能力、分數解題能力、分數擬題能力的流暢性、精緻性、獨特性， 效果均優於其他二組。合作擬題組的擬題能力之變通性優於控制組，但是與個別
擬題組並沒有差異。在分數概念的學習效果上，三組並無顯著差異。 劉芳妃（1998）以國中一年級學生為研究對象，探討學生學習合作擬題時的 情意層面和擬題能力。其擬題做法是教師先講解例題後，再由學生小組合作擬 題。研究結果顯示，小組合作擬題活動可供學生數學概念的溝通機會，並培養學 生的批判能力。 莊美蘭（2003）的研究目的在探討適合進行擬題活動的數學課程單元，以及 合作擬題和個別擬題的差異。以國中一年級的學生為研究對象，每一個單元主題 進行一次擬題，共七次擬題。前面四次擬題係採用合作擬題方式，後面三個單元 係採用個別擬題方式。教師先將重要概念列在擬題單上，並請學生依此概念擬 題。結果發現，較容易進行擬題教學活動的單元有負數、體積、容積與容量等較 具體的單元。合作擬題的優點是可以透過同儕的互動，提供討論機會，促進小組 的學習。個別擬題則可以激發個人擬題的創意與實力，發現自己在數學概念的錯 誤。 吳進寶（2005）以國小五年級的學生為研究對象。其擬題做法是先呈現給學 生一道數學題目，老師引導學生針對解題方式進行討論，再請學生依據給定的題 目做改寫。教師在閱讀學生的擬題成果後，挑選改變題目結構、題目不合邏輯或 數字有疑問的題目，引導學生討論並寫下心得。研究結果發現學生大多能完成擬 題，學習興趣很高。 三、文獻分析發現 從國內外學者研究結果歸納，發現數學擬題的主要成果有三：1.學生可以利 用擬題的方式增進數學概念之理解，2.提供學生將抽象概念具體化的實作機會， 3.增加學習興趣及同儕數學溝通的機會。但是在既有的數學擬題文獻中，無法得 知學生在擬題過程中概念變化的情形。若利用擬題能將學生概念外顯化的特點，
針對一個概念進行多次的擬題，觀察學生在每一次擬題過程中的改變情形，應更 能說明擬題教學對學生概念發展變化的影響。
伍、擬題資料的分析
荷蘭數學教育學家 P. M. van Hiele 與 D. van Hiele-Geldof 夫婦，根據完形心 理學的結構論及 Piaget 的認知理論，在 1957 年提出學童的幾何概念發展模式（van Hiele, 1986）。van Hiele 的幾何概念發展模式理論經過 1986 年的修訂及眾多學者 的研究，已成為後人在幾何教學上重要的參考依據。由於本研究的數學概念是以 幾何單元學習為研究範圍，因此研究者以此理論作為本研究的評量之依據。 van Hiele 夫婦認為兒童的幾何思考發展有一定的發展層次，經由教師或引 導者適當的引導，兒童可以由較低的思考層次，逐步提升到較高的思考層次（薛 建成，2003）。以下就以 van Hiele 在 1986 年的用法及名詞分項敍述（引自吳德 邦，2004）： 一、層次一：視覺的層次（visual） 幾何思考概念屬於這個層次的兒童，需藉著視覺觀察各種具體事物，以各種 實體物的外形輪廓來辨認圖形，而不是由圖形的性質來分析。例如：由從前生活 經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形， 像太陽的形狀為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形。因 此，在這個層次中兒童的思考推理受視覺外觀的影響很大，只要圖形外表特徵差 異稍大時，就不會將長方形看成正方形，或是將橢圓形看成圓形。 此層次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之異 同。他們可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真 實意義。教師可以多提供各種機會，讓兒童透過實際的操作，使其視覺感官進行
圖形的分類、描繪、著色、堆積與造形等活動，來獲得幾何圖形的正確概念。學 生能根據實體物操弄識別圖形（shape）（例：正方形、三角形），和其他幾何構 形要素（configurations）（例：線、角）。 二、層次二：描述的層次（descriptive） 這個層次的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成 圖形的性質與構成要素（頂點、邊、角），但是還不能解釋性質間的關係。因此， 兒童能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等；三角形有三個 邊，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平 行四邊形、長方形之間有何關係，兒童不一定能夠知道當正方形與長方形這兩個 圖形邊長不相等時，面積可能相等。此層次的兒童尚無法經由推理，理解其道理 何在。 三、層次三：理論的層次（theoretical） 這個層次的兒童不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠 進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關係的非形式推理），並根 據圖形的性質，形成抽象的定義及各圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的 兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為 90時， 這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等於其相對兩內角的和， n 邊形的內角和為 180×（n-2）。這層次的兒童開始建構不同類型圖形之間的關 係，譬如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形之間的關係。學生使用公式表示 和使用定義，整理先前發現的性質。 四、層次四：形式邏輯的層次（formal logic） 這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠
知道證明的方法不只一種。換句話說，學生不必靠記憶公式來證明幾何問題。此 外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透 過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。這個層次的兒童可以知道菱形也是長 方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。
五、層次五：邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）
這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的公設體系中 建立定理，同時也能夠了解抽象的幾何概念。例如能分析或比較歐氏幾何和非歐 幾何（non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統。在此層次的學生，能學習 不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。 據專家學者研究指出，國小學童之幾何思考層次分布大多局限於前三層次 （吳德邦，2003）。所以國小學生在前三個幾何概念思考層次的分布情形，以及 其層次改變的歷程，就是本研究欲觀察的重點。
第二節 回饋系統
由於現代社會事務日益龐雜，若要作出正確的決策，必須仰賴一套有效的資 訊回饋系統（information feedback system），而系統動力學（system dynamics）即 為此需求提供一個解決方案。
壹、系統動力學的概念
系統動力學又可稱為工業動態學（industrial dynamics），這是一門新興的科 學，是由美國麻省理工學院（Massachusetts Institute of Technology, MIT）工業管 理學院（School of Industrial Management）的 Jay W. Forrester 教授，於 1956 年在 福特基金會及史隆基金會的贊助下，開始研究應用情報回饋概念在企業系統的管 理（謝長宏，1980）。 系統動力學注重系統內部各元素之間的互動回饋與修正關係。若能掌握元素 之間的回饋現象，了解變化的趨勢，將系統實際運作結構呈現在具體的模式上， 就可以作出正確的決策，改善整體系統的運作情形。系統動力學在許多學者的努 力之下，不斷地在系統動力學的基礎上，發展出包括「系統思考」、「學習型組織」 等理論，並廣泛應用在工學、商業管理領域，但是在國內將系統動力學的概念運 用在教育情境中則尚未普及。 貮、回饋機轉
系統動力學利用「因果回饋環路」（causal feedback loop）來描述回饋結構 （feedback structure）（李婉怡、張簡玲娟，2002）。在一個封閉的系統中，回饋 系統能將系統中各種狀況轉為情報，再依據情報作決策，決策控制了實際行動， 行動又改變系統的狀況。
陶在樸（1999）認為「因果關聯」（causalrelationship）及「因果回饋環路」 （causalfeedbackloop）是構成系統動態學的核心基礎。因為所有事件間的關係都 不外乎「如果怎樣便怎樣」這種邏輯關係，於是透過這種因果關聯便可確定模式 的結構性框架。最後，因果關聯是交叉的，從這些交叉的環路中，人們可以找到 影響系統行為的主要環路，因此可以非常方便地處理非線性系統。 一、因果關聯（causalrelationship） 因果關聯是構成系統動態學的基礎，其意義是以邏輯性的科學方法來確認系 統的問題，將複雜化的問題做較簡單的系統化表示，藉著因果關聯來探討系統內 之問題。一般以箭頭的方式表示兩個系統變數間的關係，稱為因果鍵(causal link)。如圖 2-2-1，兩個系統變數各為 A與 B，當 A變數有所變化時，B變數也 會跟著產生變化，因此可用因果鍵將 A、B兩變數關聯在一起。而當 A增加，B 也隨之增加；或是當 A減少，B跟著減少時，A與 B兩變數呈同方向變動時， 稱為正性因果鍵（positivecausallink）。反之，當 A增加，B隨之減少；或是當 A 減少，B卻增加，A與 B兩變數呈反方向變動時，則稱為負性因果鍵（negativecausal link）。 圖 2-2-1因果關聯鍵 二、因果回饋環路（causalfeedbackloop） 所謂的回饋環路是由兩個或兩個以上具有因果關聯的變數，以因果鍵彼此連 接而形成之封閉環路結構。如圖 2-2-2顯示，左邊為正性因果回饋環路，右邊為 負性因果回饋環路。其正負性判斷準則為當 A增加，B增加，C減少，再回到 A 時卻是增加，經過整個因果回饋環路的影響，最後導致 A 變數再增加，則稱為
A
+
B
A
-
B
A
B
因果關聯鍵 正性因果鍵 負性因果鍵正性因果回饋環路。相反地，當 A變數增加時，經過整個因果回饋環路的影響， 最後導致 A 變數減少，則稱為負性因果回饋環路。一個系統因果回饋環路如果 是負性因果回饋環路，則系統最後會達到平衡；若是系統因果回饋環路為正性， 則系統會不斷持續自我增強。 正性因果回饋環路 負性因果回饋環路 圖 2-2-2因果回饋環路之種類 參、回饋系統對本研究的啟示 回饋系統注重元素之間的互動分析，以掌握整體系統運作，與本研究欲利用 數學擬題教學策略，將學生的數學概念外顯化，使教師了解學生的學習情形，並 得以研擬下一個教學步驟，以增進學生數學學習成效之精神相符合。所以本研究 採用系統動力學中，以回饋機轉的概念來設計數學擬題教學策略。研究者將教學 情境中的教師的教學方式、學生數學概念學習成效，以及師生互動等，視為一個 個元素，利用牽一髮而動全身的特性，改善數學教學情境。 A B C + + -A B C + + +
第三章 研究方法
本研究是採取單一群組個案研究設計，探討教師建構數學擬題教學策略的歷 程，以及實施擬題教學後不同數學程度學生之學習成效。本章共分六節，分別說 明採用行動研究的原因、研究設計、研究現場與參與者、資料的收集與分析、效 度，以及研究倫理。第一節 採用行動研究的原因
教師在學校進行教學的過程中，難免會遇到一些困難，有些困難來自課程的 規劃，有些可能來自於學生的學習情形不佳。當教師們發揮專業，思考問題的解 決方案時，也就是行動研究開始的契機！本研究採用行動研究係基於以下考量： 壹、以尋求有效的數學教學模式為目的 研究者身為國民小學教師，有感於九年一貫課程改革後，社會各界對數學教 育的不安與質疑。研究者私下探訪教育界同仁後，發現大家對於教育部公佈的數 學領域能力指標認識不多，依能力指標規劃教學內容者更為少數！在此情形下， 容易造成教師對於課程內容範圍與課本品質判斷失焦，常見的結果就是教師依據 課本照本宣科，直接要求學生模仿課本解題方式。因此，本研究的研究目的之一 乃在尋求一套有效的數學擬題教學策略，試驗不同的教學模式，以提升自我專業 效能，解決教學上面臨的困難，符合行動研究以改善社會情境中行動品質的精神 （Elliott, 1991），故本研究採取行動研究設計。 貮、改善學生數學學習情形為目的 本研究設計是以數學擬題方式將學生內隱的數學概念外顯化。為了修正學生可能出現錯誤或不清楚的數學概念，本研究必需以數個「學生擬題-修正概念」 迴圈，將學生概念發展歷程外顯化，使老師或學生同儕能針對學習者的弱點予以 補強。而行動研究的本質是一種動態循環研究歷程，Lewin 更指出行動研究是一 種規劃、行動、觀察、反省、再規劃的動態循環歷程（吳明隆，2001）（圖 3-1-1）。 圖 3-1-1 行動研究動態循環歷程圖 資料來源：吳明隆（2001） 由圖 3-1-1 可以發現，行動研究強調的是規劃和行動之間的動態歷程。研究 注重事先的規劃、實施的過程中產生了什麼結果、所產生的何種結果回饋給研究 參與者、研究參與者再依據結果修正原先的規劃並進行實作、產生的回饋結果又 再度修正規劃，直到問題獲得解決，因此本研究適合採取行動研究設計。 規劃 行動 觀察 重新規劃 反省
第二節 研究設計
本研究係採用單一群組個案設計，以質性分析為主、量化分析為輔的行動研 究。研究設計中的自變項是教師的教學策略，依變項是學生數學概念的發展、學 生擬題的成果，以及師生之間、學生之間互動討論的內容。 本研究之架構可分成「數學擬題教學策略設計階段」與「實施數學擬題教學」 二階段，如圖 3-2-1。 圖 3-2-1 研究架構 壹、數學擬題教學策略設計階段 一、淬取數學關鍵概念 研究者以南一版本第十一冊教科書，第三單元「形體的性質」單元進行內容 研究，找出單元內容中包含哪些數學概念。單元內容的範圍不只侷限在某一教科 專 業 對 話 數學擬題教學策略設計 鷹架學習概念 實施數學擬題教學 （ 三次循環 ） 回饋概念 閱讀數學課本 淬取數學概念 解讀能力指標 數學擬題教學策略 學生互動 學生擬題 教師提供數學概念學習鷹架書版本，而是對照教育部頒定的「國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要」， 仔細解讀分年細目能力指標，了解學生應該具備哪些先備知識，現在該學會哪些 數學概念。教師對數學課程的概念有了縱向瞭解後，經過分析、淬取出的數學概 念就是教師教學時呈現給學生的主軸概念。 二、教學流程設計 教師釐清學生應該學會哪些能力或概念後，依據教師教學專業，思考教學流 程，包括對教科書單元內容的補充、以何種教學方法呈現數學概念給學生、如何 引導學生思考問題等，並預設學生學習後的數學能力程度。 有了初步的教學構想後，再將教學流程，以教案的形式簡要地記錄下來（附 錄一）。本研究將教案定位於教師上課的備忘錄，希望教師應該發揮教師專業判 斷，視學生實際學習情形彈性調整教學，而不是照教案依樣畫葫蘆地教學。 貮、實施數學擬題教學 一、數學擬題教學流程 教學中，教師呈現數學概念鷹架（teacher scaffolding，TS）之後，學生即擁 有某種程度的數學概念（conception，C）。因為學生的數學概念是隱而不見的， 所以教師必須引導學生，將學到的數學概念和生活經驗結合，進行擬題及解題 （problem posing and solving，P），讓學生的數學概念外顯化。以上流程為「數 學擬題教學策略」的第一次迴圈（loop）。
當教師藉由學生的擬題及解題，發現學生的迷思概念後，再引導學生針對同 學擬出的題目當中的矛盾或觀念錯誤之處，或是優良的題目來互相討論，本研究 將此歷程視為同儕鷹架（student scaffolding，SS）。教師在學生討論的過程之中， 適時針對其討論內容不足之處，進行補充或概念釐清，乃是教師鷹架（TS）。學
生在同儕鷹架、教師鷹架運作之後，再以擬題及解題的方式（P）呈現出自己理 解的數學概念，這是第二次迴圈。 原則上，在每一迴圈中，因為學生的數學概念（C）不斷地被診斷、修正， 概念會更加清楚、具體化；學生的擬題及解題（P）因為概念的釐清會越來越完 整；教師給學生（TS）或學生之間對話的同儕鷹架（SS）比重則依次遞減，整 個系統是不斷偱環的回饋環路，最終會達到理想的目標境界。但是因為考量到學 生其他學習的權益及時間上的限制，課程不可能無止盡地不斷循環，所以本研究 配合教學單元，以每週擬題一次為原則，進行三次迴圈循環，整個數學擬題教學 流程如圖 3-2-2。 圖 3-2-2 數學擬題教學流程圖 二、數學擬題教學的問題與因應策略 研究者在進行正式研究之前，已經進行過三個學期的前導研究。研究者整理 出在前導研究階段遇到的問題以及因應策略，作為正式研究時的參考，以下將研 學生數學概念：C 學生擬題及解題：P 教師提供學習鷹架：TS 學生提供學習鷹架：SS TS1 C1 P1 SS1 + + + TS2 C2 P2 SS2 TS3 C3 P3 SS3 -+ + + -+ + + 前 測 後 測
究者在進行擬題教學時，面臨的問題整理分成二大類，分別是教師引導學生擬題 之問題及學生擬題之問題。 （一）教師引導學生擬題之問題 研究者在兩年多前，並不知道什麼是「數學擬題」，更不清楚要如何利用擬 題教學協助學生學習數學。但是見到小芬（化名）老師在實施數學擬題後，學生 對數學學習充滿期待及熱情，決定也想試試將擬題帶入自己的班上，並邀請小芬 老師擔任研究諮詢顧問，給予研究者建議及指導。 在實施的過程中，研究者遇到之問題及因應策略如下： 1、學生擬題成果的引導 學生剛接觸擬題時，由於運用數學概念擬題的能力不高，擬出來的題目，不 是概念層次不高，就是容易偏離所學的數學概念。 研究者在尋找如何引導學生擬題成果的方法時，先與有擬題教學經驗的小芬 老師討論。 若是學生在擬題時，呈現概念錯誤的情形，研究者會在擬題單上寫出有問題 的地方，要求學生針對不了解的概念再確認及訂正。除了直接在題目上給予回饋 之外，研究者將學生擬題作品張貼在班級後面的公布欄，提供學生互相觀摩的機 小芬老師:你可以先看看學生擬題時，概念是不是我們這個單元學的概 念。如果不是的話，在批改的時候就可以提醒學生這個單元 是什麼，請他不要離題。 研究者：嗯，如果是學生擬題的時候，只能擬出概念層次不高的題目， 要怎麼引導他們，才能像你的學生那樣，擬出這麼有深度的 題目呢？ 小芬老師：其實我也沒有特別引導他們什麼，但是我有把他們的題目 展示出來，小朋友都會去看，去模仿，時間一久自然就會進 步。 （訪 060104）
會。三個學期下來，學生出現擬題概念層次不高，或是偏離數學概念的情形就漸 漸減少。 2、學生擬題動機的維持 研究者剛開始實施數學擬題時，學生都興趣高昂，下課都會聚在教室後面的 公布欄，好奇地想知道其他同學擬了什麼題目。但是時間一久，學生的好奇心漸 漸消失，學生就減少觀摩其他同儕作品的動機，失去同儕鷹架的效果。再過一段 時間，學生連擬題的態度都變得馬虎，草草交差了事。 研究者在參考小芬老師的學生擬題成果時，發現小芬老師有對不同程度的擬 題作品，會蓋上數量不一的優良獎章。於是研究者根據小芬老師的做法，考量到 自己班上的實際情形後，著手規劃評分規準及獎勵制度。 研究者構想的擬題作品評分規準是彈性，可視學生實際擬題情形調整。根據 研究者觀察，自從有了優良獎章的評分制度後，學生們會在意自己的獎章數量是 不是有比上次擬題進步。除了自我內在求進步的動機之外，同儕之間也會互相比 擬題開始實施三週後，我發現學生在擬題時缺乏動機。我想了很 久，決定導入評分機制，依「概念層次」、「題目與生活結合程度」、「解 題方式」、「題目包含的概念數目」等項目，作綜合性的評分，以下為 評分標準： 三個章：代表各方面表現都很傑出，題目足以成為大家模仿。 二個章：應用概念擬題的能力優秀，雖然概念層次較三個章低一點， 但也可以是其他同學學習的對象， 一個章：只要有用心，能將學到的數學概念運用到題目上，一般學生 大多都可以達到。 沒有章：將擬題視為一項「交差了事」的作業，抄襲既有題目，或是 隨便寫一寫，應該改進。 獎勵的標準是，單次的擬題如果有三個章的，就可以兌換「榮譽 卡」一張，如果得到的是二個章或是一個章的，累積滿四個章之後， 就可以兌換「榮譽卡」一張。 （札 060110）
較、激勵，學生的擬題動機也因此得以提升及維持。 3、擬題的次數 研究者在剛始接觸數學擬題時，因為對於學生的擬題成果引導不熟悉，所以 每單元只讓學生擬題一次。研究者在幾次擬題之後發現，學生往往發現自己的缺 點，或是看到別人優秀擬題作品時，沒有再一次擬題的機會，無法有效修正錯誤 概念或是維持擬題動機。 研究者也曾嘗試進行一個單元兩次的擬題，讓學生有再一次進步的機會。根 據研究者的觀察發現，學生在完成第一次擬題之後，會想去觀摩其他同學的作 品，激勵自己的內在學習動機，並在第二次擬題時，呈現較第一次擬題成果更好 的表現。因此擬題次數應該在一次以上，學生的學習效果會較顯著。 （二）學生擬題之問題探討 1、學生對擬題不了解，不知從何開始 研究者在剛開始實施數學擬題時，學生對「什麼是數學擬題」、「要擬什麼題 目」都沒有具體的概念。於是研究者解釋數學擬題的意義，讓學生清楚數學擬題 的意義及目的。 當學生了解擬題的意義之後，都很有興趣地想動手試試，可是卻不知道如何 動筆擬題。研究者規劃三個引導學生擬題能力的階段，第一階段先鼓勵學生找一 個課本或習作上的題目參考，模仿既有題目的結構，並在自己能力範圍之內作改 寫。學生大約練習兩次到三次後，就能掌握擬題的要訣。接下來第二階段就指定 要做數學擬題之前，我先跟學生說明數學擬題的意義。我的說明是「數 學擬題就是應用自己學過的概念，出一題或幾題數學題目」。學生們在 了解什麼是數學擬題之後，都表示想試一試的意願。（札 060722）
一個數學概念，要求學生應用指定的概念擬題，這是要學生練習理解概念、應用 概念擬題的能力。根據研究者的經驗，學生在這個階段需要的時間，依個別學生 學習速度的不同有很大差異，但是大部分的學生需要八到十次的練習，才能達到 掌握概念擬題的能力。第三階段則是開放學生依單元概念自由擬題，研究者鼓勵 學生擬出能包含所學單元的所有概念。學生在這個階段，會藉由自我探索及同儕 互動，漸漸發展出應用所有單元概念擬題之能力。班上多數學生在三個學期的擬 題經驗之後，都能達到第三階段，具備整合單元概念擬題的能力。 二、抽象概念擬題不易 若學生遇到概念較抽象，日常生活中不易使用到的數學概念，常會在擬題時 偏離概念主軸，轉以學過的類似概念進行擬題。這與莊美蘭（2003）指出學生較 容易進行具體單元概念擬題的研究結果相似。 研究者在遇到這種情形時，就會在擬題單上直接提醒學生本單元的主題概 念，並在上課時與全班學生進行討論，一起找出可行的擬題方向。此外，學生還 可利用公布欄展示作品的機會，觀摩其他同學的作品。大部分學生都可以利用再 次擬題的機會，觀摩同儕的作品，修正擬題方向，達到理解概念、正確應用概念 擬題的目的。 三、避免直接抄襲既有題目 根據研究者觀察發現，學生在缺乏擬題動機時，會有直接抄襲課本、習作或 參考書上既有題目的投機情形。若學生在擬題時，不以自己的數學概念為基礎擬 題，無法達到呈現自我數學概念的目的，則失去擬題的意義。當學生出現直接抄 襲題目，交差了事的消極心態時，教師應該再次說明數學擬題的意義，讓學生了 解實施擬題是為了幫助學生解決學習盲點，並多給予學生正向的鼓勵，提升擬題 動機，就能減少直接抄襲題目的現象。
第三節 研究現場與參與者
壹、研究現場 一、研究學校 進行研究的是一所台灣中部的都會型學校，班級數一百多班，學生三千多 人，學校成立至今已超過六十年，是一所歷史悠久的大型學校。學區家長大多從 事服務業和工業，社經地位頗高，多數家長對孩子的學習成果極為關心，許多學 生都有參加課後補習的經驗，學生也嚮往良好的學習成績。 二、研究班級 參與研究的班級是六年級的其中一班，目前由研究者擔任該班的導師，學生 人數男生 17 人，女生 17 人，共 34 人。全校學生在四年級升上五年級時，曾經 重新隨機編班，班上學生高、中、低數學程度皆有。 根據研究者觀察，有許多學生在算數學題目時，不喜歡理解題目的意思，沒 有耐心仔細分析題目變項之間的關係。以致於遇到文字很多的應用題，或者是需 要結合數個概念來解題時，就無法解題了。研究者從學生五年級開始，就不斷引 導學生進行數學擬題，所以學生已有三個學期的數學擬題經驗。 研究者依研究需要，根據各個學生五年級至六年級上學期的數學成績平均 數，依成績之高低分成高分組、中間組、與低分組等三組，各組人數為 11、11、 12 人，以比較不同數學程度的學生在數學擬題教學之下，其數學概念的變化情 形。貮、研究人員 一、研究者的背景和角色 研究者畢業於師範學院初等教育學系，並具備有四年的國民小學教學年資。 研究者曾在就讀師範學院時，修習過「數學科教材教法」，歷經數年的教學後， 深感所學不足，於是進入台中教育大學課程與教學研究所進修，希望藉由研究所 進修的機會，再度精進自己對課程與教學的專業知識，並解決教學現場中面臨到 的困難。 由於研究者就是研究班級的導師，並任教該班的數學領域，在本研究中，既 是研究者，也是觀察者。 二、研究諮詢顧問的背景和角色 本研究除了研究者、學生及指導教授之外，還有邀請一位國小現職教師與一 位國中現職教師擔任研究諮詢顧問（表 3-3-1）。在研究歷程中，研究諮詢顧問與 研究者共同釐清在研究過程中知識與思考的盲點，提升研究的內在效度。 表 3-3-1 研究諮詢顧問簡介 參與人員 （化名） 重要相關經歷 參與角色及工作 參與時機 小芬老師 國小六年級導師，具數學 擬題教學經驗四年 課程設計諮詢與 教學策略討論 1.數學擬題實務經驗分享 2.資料分析諮詢 小陳老師 國中數學教師，畢業於教 育大學博士班 課程設計諮詢與 教學策略討論 1.擬題教學策略設計諮詢 2.資料分析諮詢
第四節 資料的收集與分析
壹、資料收集的方法 本研究資料收集的方式包括上課記錄、教師反省札記、學生訪談、文件分析， 及平面幾何概念測驗。詳細介紹如下： 一、上課記錄 在課堂中，研究者以錄音的方式，記錄老師和學生、學生和學生之間的討論 對話內容，課堂結束後，馬上作成該節的上課記錄。上課記錄以表格方式呈現， 每頁的左邊預留空白欄位，用以書寫備註以及編碼之用。 二、教師反省札記 研究者進行完每堂課後，立即省思上課情形，找出學生學習上的困難，檢討 教學活動，撰寫成「教師反省札記」。如果在研究期間有突發的想法或決定，也 可以記錄在教師反省札記中。 三、學生訪談 研究的過程中，為了得到學生行為背後的主要想法、態度和意見，故對數學 擬題內容較生動、題型較特殊或是需要深入了解的學生進行半結構性的訪談，訪 談大綱如附錄二。訪談的時間以該節課結束的下課十分鐘為原則，以錄音的方式 記錄下訪談內容，事後研究者再進行逐字稿的轉譯，以確保資料的詳實可信程度。 四、文件分析 文件分析又分成下列幾種文件來源： （一）教師文件： 1.南一版數學第十一冊教科書、習作、教師手冊。2.數學能力指標。 3.教師自行設計的數學課程教案。 4.教師對學生數學擬題作業單的回饋或評語。 （二）學生文件： 1.學生的課堂討論記錄。 2.學生數學擬題作品。 五、平面幾何概念測驗試題 研究者使用「平面幾何概念測驗」試題，分別在課程實施前進行前測、課程 實施後進行後測，比較學生在學習前後，數學幾何概念層次變化之情形。 貮、研究工具 研究者依據課程範圍及 van Hiele 的幾何理論，引用吳德邦所發展之「吳― 薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗」試題為基礎，刪除圓形概念部分，保留三角 形、四邊形試題，完成「平面幾何概念測驗」如附錄三。此份測驗卷之原始信度 為 0.944702，效度則經由學者專家多次審核，具有專家效度（薛建成，2003）。 但為配合課程內容，經研究者刪除圓形試題後，以 cronbach’s α計算試題信度， 信度係數為 0.77，各概念層次試題分布情形如表 3-4-1、表 3-4-2、表 3-4-3。
表 3-4-1 van Hiele 幾何概念層次一測驗之試題分析表 題號 評量目標 1 圖形的基本特性（開放與封閉圖形的判別） 4 圖形的基本特性（凹凸圖形的判別） 7 圖形的基本特性（直線與曲線圖形的判別） 10 圖形的基本特性（旋轉圖形的判別） 13 圖形的基本特性（大小圖形的判別） 16 圖形的基本特性（鈍角特大圖形的判別） 18 圖形的基本特性（寬圖形與窄圖形的判別） 20 圖形的基本特性（圖形外圍邊線粗細的判別） 三 角 形 23 圖形的基本特性（填滿圖形與中空圖形的判別） 2 圖形的基本特性（開放與封閉圖形的判別） 5 圖形的基本特性（凹凸圖形的判別） 8 圖形的基本特性（直線與曲線圖形的判別） 11 圖形的基本特性（旋轉圖形的判別） 14 圖形的基本特性（大小圖形的判別） 17 圖形的基本特性（鈍角特大圖形的判別） 19 圖形的基本特性（寬圖形與窄圖形的判別） 21 圖形的基本特性（圖形外圍邊線粗細的判別） 四 邊 形 24 圖形的基本特性（填滿圖形與中空圖形的判別） 表 3-4-2 van Hiele 幾何概念層次二測驗之試題分析表 題號 評量目標 26 三角形的基本性質（頂點） 29 三角形的基本性質（邊） 32 三角形內角和的概念 35 直角三角形的基本性質 38 等腰三角形的基本性質 41 正三角形的基本性質 三 角 形 44 三角形角度的特性（正、等腰、直角） 27 四邊形的基本性質（頂點） 30 四邊形的基本性質（邊） 33 四邊形內角和的概念 36 正方形的基本性質 39 長方形的基本性質 42 四邊形對角線的性質 四 邊 形 45 四邊形角度的特性
表 3-4-3 van Hiele 幾何概念層次三測驗之試題分析表 題號 評量目標 46 正三角形的特性 49 等腰三角形的特性 52 直角三角形的特性 55 等腰直角三角形的特性 57 正三角形和等腰三角形的關係 61 等腰三角形與直角三角形的關係 64 二個直角三角形間的關係 三 角 形 67 鈍角三角形與銳角三角形的關係 47 正方形與長方形的關係 50 長方形與平行四邊形的關係 53 平行四邊形與梯形的關係 56 正方形與菱形的關係 59 菱形與箏形的關係 62 正方形四個等邊三個直角的辦認 65 由對角線來判別四邊形的形狀 四 邊 形 68 由正方形裁剪成最大長方形的周長 參、資料分析 本研究為了探討數學擬題教學策略設計與學生概念變化歷程，採用質性分析 方式，分析教師的教學策略設計、學生擬題的成果、學生的互動討論內容。至於 學生在單元教學前已經具備了哪些數學概念，學習後增加了多少數學概念，則以 「平面幾何概念測驗」進行前測、後測之量化分析，以具體呈現學生在數學概念 各層次有哪些改變。 （一）質性資料分析 1.資料的編碼 將收集到的資料，依研究目的來選擇合適有用的資料，表 3-4-4為本研究各 項資料的編碼意義。
表 3-4-4 資料編碼意義 2 編碼資料的內容分析 （1）編碼資料的選取： 反覆閱讀編碼資料，依據研究目的及研究問題，選出適切的資料。 （2）編碼資料的歸類與詮釋 將性質類似、意義相近的資料歸類成同一類目。在同一類目中，依資料的內 容進行詮釋及分析。 （二）量化資料分析 將所有學生平面幾何概念測驗試題上之前測、後測成績，以 SPSS 統計軟體 t 檢定，分析高、中、低各組學生在教學前後，各數學概念層次之變化是否有達 顯著差異。 編碼 意義 S1 學生代號 SS 全體學生 課 070323 2007 年 3 月 23 日之上課記錄 札 070323 2007 年 3 月 23 日之教師反省札記 訪 070323 2007 年 3 月 23 日之訪談資料 師文 教師文件
