收斂停止條件

Step 1︰將初始設計領域離散（discretization）為有限元素網格。

Step 2︰設定原始材料分布，即對於每個有限元素網格設定其是否有材料存在 率最佳、挫屈載重（buckling load）最佳等，計算每個元素的表現

（element performance）或敏感度因子（sensitivity number）。

23

Step 6︰由（2.6）式計算出節點敏感度因子，再由（2.7）式配合步驟 3 所算 出之權重算出元素此步之敏感度因子，最後加以（2.9）式之穩定處理，

計算出最終估計之敏感度因子，並加以排序。

Step 7︰由步驟 6 之排序決定出本次迭代過程中的無效率元素，根據移除準則，

剔除對總體結構表現的貢獻較小者，並將對總體結構表現的貢獻較大 者填回。

Step 8︰重複步驟 4 至步驟 7 直到滿足停止條件或 （2.10）式之收斂條件，即 得到最佳的結構拓樸形狀。

2.4 結構最佳化演進法及雙向結構最佳化演進法之例題比較

本節比較兩個例題，分別比較 ESO 以及 BESO 方法的拓樸結果以及 BESO 方 法在不同初始領域設計下之結果。

（例題2-1）

此例題為參考文獻（Wang and Wang 2004）中的例題，其設計領域長 12 公尺，

寬6 公尺，參見圖 2.3，下方中點及四分點施加集中載重，大小為 P1 = 30 N，P2 = 15 N，材料性質為 E = 210 GPa，v = 0.3，厚度為 100 mm。此例題為平面應力問題，

採用ABAQUS 的平面應力元素 CPS8 模擬，將整體結構離散為大小相同的平面應 力元素，大小為100 mm^100 mm，目標體積移除率 RVtarget= 70%；選用 BESO 設 計參數篩選半徑r_min=300mm、容許誤差 τ=0.001 及考量收斂之步數 N=1。

圖 2.4(a)為使用原先 ESO 方法所得到之拓樸，由圖可見，桿件末端多有分叉 之情形產生，且於少數桿件中央會有小空洞產生，形狀較為複雜；而圖2.4(b)為使 用 BESO 方法之結果，較正常移除增加了六次的收斂迭代步，可見其結果各桿件 皆較為清晰且筆直，拓樸較為簡潔，少了許多較小的分叉桿件。而由於 BESO 方

法之桿件較為簡潔，於外圍拱形部分支撐處較少，因此相較於原ESO 所得之拓樸，

外構架之形狀便無法維持在拱的形狀，而趨近於三根筆直的桿件。

由於 BESO 方法使用一個圓型、較大範圍的篩選投影，因此，在實際應用上，

可視其為一種範圍較大、效果較佳的平滑化處理，並且有收斂步驟之處理，異於 原ESO 方法達停止條件即中斷的方法，可以調整合併部分分叉之小桿件，而得到 更加清晰的拓樸形狀。

（例題2-2）

此例題同例題2-1，其設計領域長 12 公尺，寬 6 公尺，參見圖 2.3，下方中點 及四分點施加集中載重，大小為P1 = 30 N，P2 = 15 N，材料性質為 E = 210 GPa，

ν = 0.3，厚度為 100 mm。此例題為平面應力問題，採用 ABAQUS 的平面應力元素 CPS8 模擬，將整體結構離散為大小相同的平面應力元素，大小為 100 mm^100 mm，

目標體積移除率RVtarget = 70%；選用 BESO 設計參數篩選半徑r_min= 300 mm、容許 誤差τ= 0.001 及考量收斂之步數 N = 1。

圖 2.5 為各種初始材料佈置以及最後拓樸所得之結果，由這些結果可以發現在 各種初始設計下，最後的拓樸都可以得到差異不大之結果，由此可見其解的穩定 性，而若於應用時能加以做出適當的初始設計，將能有效增加拓樸的計算效率。

2.5 小結

本章介紹了結構最佳化演進法的移除準則和演進流程，包括能量、張力和壓 力移除準則，簡單依照使用材料的特性選用不同的移除準則可得到一個適當的拓 樸結果，作為後續結構設計之參考（張容慈2008）。並對其方法加以探討，ESO 法 具有步驟簡單、計算效率佳、拓樸形式易區別等優點，但由於方法中僅有移除之

25

過程，無法克服邊界變動等能量分布改變較大之問題，具有一定需要加以克服、

改進之空間。

針對 ESO 方法之缺陷本章另外介紹了一個可雙向操作，能夠移除以及填入之 結構最佳化方法，改進現有方法僅能移除的缺點，並在最終步時以收斂的方式得 到更佳的拓樸，在其結果的部分，由於篩選方案的作用，可以得到較清晰簡潔的 拓樸形狀；在開始的時候，亦可以使用不同的初始設計領域，也能得到結果。

27

表2.1 例題 2-1 使用 BESO 及 ESO 之拓樸結果 Topology Optimization

Method ESO BESO

U（total strain energy） 150.9 N-m 149.6 N-m

σ

圖2

圖2.

2.4（a） 例

4（b） 例

圖2.3 例

例題2-1 使用

例題2-1 使用

例題2-1 結構

用ESO 方法

用BESO 方

構示意圖

法之拓樸（

方法之拓樸

呂其翰20

（呂其翰20 10）

010）

Case

No. 1

No. 2

No. 3

No. 4

圖

In

2.5 例題 2

itail Design

2-2 不同初始

31

n Domain

始設計及最最終拓樸（呂

Topology

呂其翰201

Result

0）

33

第三章 加入隨機化之最佳化方法

3.1 前言

在進行最佳化時，並非皆能夠找到全域最佳解，常會找到區域最佳解 （Arora 1989）。因此若是加入隨機化步驟，希望當進入區域最佳解時，能夠因為隨機使得 當時的解能夠重新有機會再度找到全域最佳解。在許多的最佳化方法中，如基因 演算法（Genetic Algorithm，GA）、模擬退火法（Simulated Annealing Method，SA）、

蟻群最佳化演算法（Ant Colony Optimization，ACO）等，皆擁有隨機之特性能夠 使求得的解達到全域最佳解。而這些具有隨機特性之方法也有部分運用於拓樸最 佳化中，其目的也是希望拓樸圖形也能夠趨於全域最佳。在本研究中，使用兩種 具由隨機化之拓樸最佳化方法，即是結合基因演算法之結構最佳化演進法以及元 素交換法。藉由此兩方法探討隨機化於拓樸最佳化中之影響。

本章將先大略介紹數種含隨機化之最佳化方法，再來介紹結合基因演算法之 結構最佳化演進法，並對其方法流程以及概念進行闡述，研究此方法並比較其拓 樸結果。最後將介紹本研究之主軸：元素交換法，將其大致概念說明以方便接續 下章。

3.2 加入隨機化之最佳化方法介紹

本節將大略介紹三種演算法（Evolutionary Computation）包括：基因演算法、

模擬退火法以及蟻群最佳化演算法。說明這幾種演算法之原理及其求解之概念。

此些演算法多基於自然界之現象，並將此些現象利用數學模型加以歸納而成。即 是所謂仿生演算法。

3.2.1 基因演算法

基因演算法首先於1975年被Holland所提出，模擬自然界生物之演化，經過物 競天擇下，而演化到最後之解。

Holland 本來在研究細胞自動機 (cellular automata)，他在探討自然與人工系統 間的動態適應調整問題時奠定了發展 GA 的雛型(Holland 1975)。GA 是以進化論 為基礎，模擬生物界的 “適者生存，不適者淘汰” 的生存演化法則，每一物種在生 存環境中會彼此相互競爭，只有適應性強的物種才得以存活與繁衍，這種自然淘 汰機制會逐漸發展出來最優秀的品種。Holland 認為自然界的演化是發生在生物染 色體的基因中，每一種生物的特徵係來自於該種生物上一代的基因排列，演化是 指每一代間的基因所發生的變化情形。所謂適者生存是指這一代的基因排列優於 上一代的基因排列而產生比上一代更能適應環境生存的世代。因此 GA 是強調基 因型的轉變，將問題的可能解答經過編碼成為基因型式，利用遺傳運算子演化來 找到最佳解。這些遺傳運算子是模擬生物界的演化程序，包括有複製（reproduction）、

交配（crossover）與突變（mutation）。交配是 GA 的主要運算子，而突變是次要 的。於生物界實際的演化過程需要經過數百千或數萬年之久，可是使用計算機執 行 GA 程式只需要數秒鐘就可以完成。

基因演算法的做法是：最初隨機產生規模為 N 的第 0 代群體，評估每一個 個體後得到適應值。每一次根據適應值挑選兩個個體當做雙親，適應值較高者被 挑選的機會多於適應值較低者，因此高適應值的個體有多次的機會繁衍於後代。

雙親根據交配機率決定是否要交配產生子代還是只是複製自己，交配後的子代再 根據突變機率決定是否做突變，而交配機率大於突變機率。因此交配是主要的演 化運算，而突變是次要的，演化後產生的子代或原來的雙親共同組成下一代的群 體。（林豐澤 2005）經由持續的交配及突變步驟，其群體所代表的解會漸漸趨進 收斂，最後所得到之解就是所要的答案。

35

3.2.2 模擬退火法

模擬退火法首先於1983 年被 Kirkpatrick et al.提出，其為模擬固體退火降溫的 過程。退火為一個熱處理程序以獲得物質的低能量狀態，此程序包含兩步驟，首 先先將物質加熱至溶解狀態的最高溫，然後緩慢的降低溫度，直到物質的分子排 列為基礎狀態（ground state）。所謂基礎狀態，是指分子的排列具高度結構化的架 構，意即系統能量最低，因此模擬退火法便是利用物質結晶過程和最佳化程序之 間的類似性所發展出來的演算法。

加熱物體時，固體分子不斷運動，並隨溫度升高而偏離平衡位置，當溫度升 高到熔解溫度後，固體的規則性便被破壞進而轉變為液體，此過程稱為熔解

（fusion）。冷卻時，液體粒子運動減弱，隨溫度降低而漸漸至結晶溫溫度時，便 凝固為固體，此過程稱為退火（annealing）。退火過程要緩慢進行，為了使系統在 每個溫度下都達到平衡狀態，最終才到固體的基態，退火過程中，系統能量也隨 溫度而趨於最小值。冷卻若急速降溫會引起淬火效應，則固體只能冷凝為非均勻 的近穩態，系統之能量將不會達最小。

模擬退火法將求解過程看成類似固體的退火過程，採用Metropolis 接受準則，

來跳離區域最佳解，並訂定降溫程序（annealing schedule）控制過程，使演算法能 得到最佳解（林裕顥 2001）。

3.2.3 蟻群最佳化演算法

蟻群最佳化演算法首先於1991 年被 Colorni et al.提出，是一種用來在圖中尋 找最佳化路徑的機率型方法，其靈感來源於螞蟻在尋找食物過程中發現路徑的行 為。現實中螞蟻並沒有記憶路徑的能力，但是仍然能夠找尋到食物。而在找到食 物後，過些許時間，整群螞蟻也皆能沿著大致的路徑將食物運送回蟻巢。螞蟻運 用分泌費洛蒙進行交流，類似一種氣味，若是其中一個螞蟻發現了食物，它就會

在回家的路上留下一路的氣味，其他的螞蟻就會沿著這條路線去找食物，並不斷

在回家的路上留下一路的氣味，其他的螞蟻就會沿著這條路線去找食物，並不斷

在文檔中 加入隨機化之拓樸最佳化方法之研究及應用 (頁 40-0)