改良型元素交換法於 3D 之例題比較

使用改良型元素交換法進行3D 結構之設計時。需要針對結構之對稱性在初期 設定好，三維空間之對稱情況可同時有對 XY 平面、XZ 平面、YZ 平面，也可同 時對任意兩平面對稱等情形。由於元素交換法是採個數變化來進行交換，隨著收 斂函數決定每步需交換之數目，因此在進行一開始的設計時，對於對稱性之結構 便需要先設定好交換數目是2、4 或 8 之倍數，而隨機步驟也必須先設定好對稱面 使隨機交換能夠和對稱面之鏡射元素一起進行交換。因此於3D 結構設計時必須先 大致對最後的拓樸結果有初步的概念才能夠設定對稱性。而在過於複雜的力學行 為之結構時，初期的設定會變得較麻煩。

以下提供三個例題，探討改良型元素交換法於3D 結構進行拓樸最佳化設計之 結果，並比較無隨機步驟加入、隨機步驟加入，隨機步驟加入又分為全部元素加 入隨機交換以及上節中所提到保留實心元素於應變能表現較好之 25%元素以及空 心元素中應變能表現較差之25%元素，其餘元素加入隨機交換。

（例題6-2）

此例題其設計領域長32 釐米，寬 16 釐米，高 16 釐米，參見圖 6.5（a）。每 個元素為每邊長1 mm 之 B8 實體元素，楊氏模數 E 為 200 GPa，柏松比 ν 為 0.3，

力量加載於下方XZ 平面上九點，中央點力量為 10 kN，其餘八點力量為 5 kN，其 力量加載方式如圖6.5（b）。下方四角為輥支承。元素交換法之參數 MEE-max為128

（7.8%之目標體積比元素），MEE-min為 4（0.24%之目標體積比元素），M _EE為 410

（25%目標體積比元素），Nmax為500 步，目標體積比為 20%，對稱性設定為對 XY 平面以及YZ 平面，每步之元素交換數目為 4 的倍數。分別有三種不同初始領域，

包括全滿領域、全空領域以及固定體積比之領域（即體積比為20％之初始領域），

初始領域參考圖6.6。比較在 3D 情況時，無隨機步驟、全部元素加入隨機以及保 留25％元素，其餘加入隨機之結果。結果如圖 6.7。

（例題6-3）

此例題其設計領域長32 釐米，寬 16 釐米，高 16 釐米，參見圖 6.8。每個元 素為每邊長1 mm 之 B8 實體元素，楊氏模數 E 為 200 GPa，柏松比 ν 為 0.3，力量 加載在X 軸遠端處 YZ 平面之中心 10 kN。X 軸近端處之 YZ 平面為固定端。元素 交換法之參數 MEE-max為 128（7.8%之目標體積比元素），MEE-min為 4（0.24%之目 標體積比元素），M _EE為410（25%目標體積比元素），Nmax為500 步，目標體積比 為20%，對稱性設定為對 XY 平面以及 XZ 平面，每步之元素交換數目為 4 的倍數。

分別有三種不同初始領域，包括全滿領域、全空領域以及固定體積比之領域（即 體積比為 20％之初始領域），初始領域參考圖 6.9。比較在 3D 情況時，無隨機步 驟、全部元素加入隨機以及保留25％元素，其餘加入隨機之結果。結果如圖 6.10。

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（例題6-4）

此例題其設計領域長32 釐米，寬 16 釐米，高 16 釐米，參見圖 6.11（a）。每 個元素為每邊長1 mm 之 B8 實體元素，楊氏模數 E 為 200 GPa，柏松比 ν 為 0.3，

力量加載在 X 軸遠端處 YZ 平面模擬一剪力流形式，越往外側之剪力越大，其力 量加載示意如圖 6.11（b），剪力加載之平面之元素皆設定為不可移除，即是皆為 實心元素。X 軸近端處之 YZ 平面為固定端。元素交換法之參數 MEE-max為128（7.8%

之目標體積比元素），MEE-min為 4（0.24%之目標體積比元素），M _EE為 410（25%

目標體積比元素），Nmax為500 步，目標體積比為 20%，此結構無法找到對稱面因 此不加入隨機步驟，每步之元素交換數目為4 的倍數。分別有三種不同初始領域，

包括全滿領域、全空領域以及固定體積比之領域（即體積比為20％之初始領域），

初始領域皆包括不可移除元素，初始領域參考圖6.12。比較在 3D 情況時於無隨機 步驟下之結果如圖 6.13。在力學上剪力流形式應該是將材料部置於最外側，如箱 型梁一般。在此例題中，由於目標體積比僅為 20%，因此材料並不足於配置在全 部的外圍部分。在圖6.14 中，將此例題之目標體積比設定於 40%時，可以發現整 體拓樸結果便成為箱型梁一樣的結果。

由以上3D 情況下之例題，可以看出有無加入隨機對於結果影響並不大，由表 6.2 以及表 6.3 中比較應變能，幾乎所有的結果皆很相近，單純只用元素交換即可 達到非常好的一致性。其應是因為3D 之結構設計領域比原先 2D 多了一個維度可 以提供元素布置，使較好的配置位置容量較高，因此實心元素較不會配置於不好 的位置因而影響後續的最佳化設計。因此於3D 的情況之下，由於自由度提高，進 行最佳化設計時耗時較久，因此可以將隨機步驟取消以增進效率。而如例題 6-4 中之結構，3D 結構之對稱性質比 2D 將更加複雜，因此隨機步驟在較複雜的結構 形式時將會較難使用。