第五章 針對元素交換法之改良以及探討
6.5 元素交換法於多重材料最佳化之應用
傳統拓樸最佳化之方法，大多使用固體等向性懲罰函數方法（solid isotropic material with penalization，SIMP）等方法（Bendsøe and Sigmund 1999）應用於材 料性質之內插，使連續之設計變數形成的材料性質趨近於0 與 1，相當於材料有與 無之分佈，再輔以各種最佳化方法，設定各有限元素網格之元素材料密度為設計 變數，並加以求解。因其實際求解之設計變數為連續而非離散型式，造成無法嚴 格區別各種材料之分配範圍，大多無法實做於兩種以上之多重材料拓樸最佳化問 題。
因此，在多重材料的拓樸最佳化問題上，至今相關的研究並不多，而對於拓 樸之結果也大多有其不完善性，且多為有限差分相關之方法，與一般工程界慣用 之有限元素形式分析有一定差異性，並且須考慮數值穩定性方面的考量，多會造 成過大之計算負荷；相較之下，結構最佳化演進法的應用在此方面具有極大之優
勢，由於其設計變數為離散分配，不具有連續性變數之材料區隔問題，且具有相 對較小演進次數，而先前已有部分相關應用的拓樸方法之研究（施宏璋 2008；徐 千泰 2009；呂其翰 2010），本節將對於元素交換法應用於多重材料上進行研究以 及探討。
在之前的研究中（呂其翰2010）於多重材料部分包括雙重材料，多重材料（三 種以上）。其中雙重材料在 5.3 節中以及 6.2 節中之由硬變軟以及由軟變硬之情況 下，運用改良型元素交換法獲得不錯的結果，且不需進行額外之設定。而在多重 材料部分，先前之研究皆只有運用ESO 方法進行設計，本研究將採用元素交換法 應用於多重材料配置上，並探討與比較先前研究之結果。
本研究將元素交換法中依照實心元素中硬變能較差者以及空心元素中硬變能 較好者進行交換，隨著收斂函數漸漸達到穩定。將以上概念由相當於兩種材料推 展至三種以及以上，即是將各階層元素依照勁度進行排序，最硬之元素為最高階，
依序往下排。而元素交換僅只在相鄰的兩階元素中發生，即若是有硬、中、軟三 種勁度之元素，硬元素只與中元素交換，中元素可和硬以及軟元素交換，軟元素 只與中元素交換。而交換規則延伸原本實心元素以及空心元素之規則，即硬元素 中硬變能表現較差之元素與中元素硬變能表現較好之元素交換，中元素硬變能表 現較差之元素與軟元素硬變能表現較好之元素交換，同樣隨著收斂函數漸漸達到 穩定，最後即得到所要之拓樸結果。而更多種材料以上之交換原則也依以上所示 類推。而再設定初始之元素交換參數如 MEE-max、MEE-min及M EE時，則採材料中數 量最少者之數量進行設定。
以下則提供一例題對於以上所提之交換原則進行一算例，其設計三種材料配 置以及四種材料配置，本節中之算例未加入隨機步驟僅觀察元素交換步驟之拓樸 結果。
97
（例題6-6）
此例題同例題4-2，其設計領域長 12 公尺，寬 6 公尺，參見圖 4.8。每個元素 為100 mm × 100 mm 之 Q4 平面應力元素，厚度為 0.01 mm，三種材料配置之材料 性質之楊氏模數E 為 200 GPa、100 GPa、0.1 GPa，四種材料配置之材料性質之楊 氏模數E 為 200 GPa、100 GPa、50 GPa、0.05 GPa，柏松比 ν 皆為 0.3，力量加載 稍微不同於例題4-2 為在下方中央 30 N，下方兩四分點位置 15 N，左側端為鉸支 承，右側端為輥支承。元素交換法之參數 MEE-max為 50（7%之目標體積比材料數 目最少之元素），MEE-min 為 2（0.3%之目標體積比材料數目最少之元素），M EE為 180（25%目標體積比材料數目最少之元素），Nmax為500 步，目標體積比之三種材 料由硬至軟為10%、20%、70%，目標體積比之四種材料由硬至軟為 10%、10%、
10%、70%，本例題並無加入隨機步驟也無體積比變化，初始設計領域如圖 6.17，
其材料由硬至軟為藍、綠、紅、灰。
由表6.5 比較文獻（Wang and Wang 2004）、先前研究（呂其翰 2010）以及元 素交換法之結果，可以看出元素交換法有不錯的表現；由圖6.18 可看出除了應變 能表現外，在材料集中上擁有比之前更佳之結果，幾乎沒有細微桿件並且同一材 料之區域也較大，在沒有進行針對集中化配置便能達到不錯的效果。
而材料集中問題，呂其翰（2010）便對此問題加以解決並得到不錯之結果，
本研究試圖利用平滑化效果，加大平滑化範圍，已觀察平滑化效應對於材料集中 的影響。在原先拓樸最佳化中雙重材料或是原先單一材料即有和無材料情況下，
平滑化可以將細微桿件合併為較大之桿件，此效果相當於將材料集中於一起。因 此，將平滑化範圍加大對於多重材料分佈上，應也會有類似效果，故觀察平滑化 對於材料集中之影響。
圖6.19 中級數即是平滑化影響範圍，1 級即是代表某元素之應變能計算包含 到離此元素差距一個元素以內之元素，也就是總共有九個元素進行加權。由圖中 可看到平滑化對於材料集中有一定的效果，但是要到級數非常高時才能較好的看
出材料集中效應，因此採用平滑化進行材料集中雖然方法較為簡單，但是相對的 效果也較不顯著。
6.6 小結
本章中將改良型元素交換法運用於大量2D 例題以及 3D 例題，於 2D 例題中 可以看出隨機步驟之影響對於拓樸結果並不保證是全部變好，但在相比於未加入 隨機步驟之結果其改善的效果仍是很有效果，在進行全滿領域以及全空領域下之 設計其結果達到不錯的一致性，而於3D 例子中發現不須加入隨機步驟即可以達到 極佳的一致性，因此在3D 情形下可以不加入隨機步驟以達到較高的計算效率，然 而運用此方法於3D 結構設計時，需要事先對拓樸結果有大概的概念才能預先設定 交換數目之倍數比以及對稱性等。
於支承最佳化中，此方法於兩支承可以達到如BESO 以及文獻之結果，但是 在四支承以上時結果卻不好，此方法運用於支承最佳化仍有探討的空間，而在加 入隨機步驟時，由於此種問題支承位置之敏感度高，因此效果極差。由此情況發 現隨機化在對於能量變化過於劇烈之系統中，並不適合加入。
最後本章將元素交換法推展，使其能夠對於三種材料或是更多種以上材料進 行配置，而其效果相比於使用ESO 之結果擁有差不多之應變能表現，但卻不會產 生過多的細微桿件，且其拓樸結果之材料配置比起ESO 方法更為集中，尚未運用 材料集中手段即已經達到不錯的效果。最後加入平滑化手段探討此方法於材料集 中之影響，雖然平滑化之效果不太顯著，但是方法簡便，在材料集中上擁有一定 的幫助。
99
表6.1 例題 6-2 之結果（應變能單位：kN-mm）
Initail Design Domain Full Empty 20% Volume Fraction Without
Random Shuffle
N：500 U：20.7393
N：463 U：20.8907
N：474 U：20.8914
With Random Shuffle
（Total Random）
N：454 U：20.4976
N：474 U：21.0634
N：500 U：20.6861
With Random Shuffle
（25% Keeping）
N：403 U：20.7746
N：263 U：21.0180
N：500 U：20.4790
表6.2 例題 6-3 之結果（應變能單位：kN-mm）
Initail Design Domain Full Empty 20% Volume Fraction Without
Random Shuffle
N：465 U：2.3870
N：500 U：2.3967
N：500 U：2.4103
With Random Shuffle
（Total Random）
N：478 U：2.3862
N：462 U：2.4222
N：242 U：2.4312
With Random Shuffle
（25% Keeping）
N：460 U：2.3942
N：263 U：2.4270
N：500 U：2.3967
表6.3（a） 例題 6-4 之結果（應變能單位：kN-mm）
Initail Design Domain Full Empty 20% Volume Fraction Without
Random Shuffle
N：330 U：13997
N：275 U：15586
N：500 U：15502
表6.3（b） 例題 6-4 體積比 40%之結果
Total Strain Energy 4841 kN-mm
Step 500
表6.4（a） 例題 6-5 兩支承之結果比較
U（10-4 N-mm）
Reference（Jang et al. 2009） 6.452
ESO 72.500 BESO 6.452 EEM（without random shuffle） 6.452
EEM（with random shuffle 1st） 124.174 EEM（with random shuffle 2nd） 14.114
表6.4（b） 例題 6-5 四支承之結果比較
U（10-5 N-mm）
Reference（Jang et al. 2009） 5.383
ESO 9.215 BESO 5.115 EEM（without random shuffle） 50.988
EEM（with random shuffle 1st） 10.763 EEM（with random shuffle 2nd） 38.749
101
表6.4（c） 例題 6-5 六支承之結果比較
U（10-5 N-mm）
Reference（Jang et al. 2009） 1.587
ESO 1.687 BESO 1.672 EEM（without random shuffle） 3.402
EEM（with random shuffle 1st） 2.799 EEM（with random shuffle 2nd） 2.392
表6.4（d） 例題 6-5 八支承之結果比較
U（10-5 N-mm）
Reference（Jang et al. 2009） 1.045
ESO 1.282 BESO 1.041 EEM（without random shuffle） 1.504
EEM（with random shuffle 1st） 1.269 EEM（with random shuffle 2nd） 2.262
表6.5 例題 6-6 之結果與比較
3 Materials
Reference（Wang and Wang 2004） U ：31 N-mm ESO（Hard to Soft Material） U ：20.5236 N-mm ESO（Soft Material Desided） U ：20.6785 N-mm ESO（Hard Material Desided） U ：23.2974 N-mm Element Exchange Method U ：20.6910 N-mm
4 Materials
Reference（Wang and Wang 2004） U ：35 N-mm ESO（Hard to Soft Material） U ：22.6162 N-mm ESO（Soft Material Desided） U ：22.8638 N-mm ESO（Hard Material Desided） U ：31.2610 N-mm Element Exchange Method U ：21.8606 N-mm
表6.6 例題 6-6 平滑化對於材料集中之結果 3 Materials
Smoothing Order Total Strain Energy 1st U ：20.6910 N-mm 5th U ：19.9964 N-mm 9th U ：22.3050 N-mm 15th U ：23.4685 N-mm 25th U ：25.3633 N-mm
4 Materials
Smoothing Order Total Strain Energy 1st U ：21.8606 N-mm 5th U ：22.8519 N-mm 9th U ：25.1197 N-mm 15th U ：28.2417 N-mm 25th U ：31.4990 N-mm
U：k
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
圖6.1 例題 6
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.1
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
1（續）例題
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.1
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
1（續）例題
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.1
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
1（續）例題
U：k
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
圖6.2 例題 6
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.2
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
2（續）例題
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.2
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
2（續）例題
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.2
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
2（續）例題
U：k
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.3 例
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
例題6-1 力量
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.3（續）
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result m Shuffle 5
gy Result m Shuffle 6
）例題6-1
（w
Initail Desi
Topolog without Ran
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
Topolog with Random
圖6.3（續）
ign Domain
gy Result ndom Shuffl
gy Result m Shuffle 1
gy Result m Shuffle 2
gy Result m Shuffle 3
gy Result m Shuffle 4
gy Result
gy Result