第四章 元素交換法之研究及探討
4.3 元素交換法
4.3.7 EEM 方法之例題探討及比較
（4.9）
上式之 Ece為當前步數時之總應變能，Epe為上一步時之總應變能。當變化量小於 萬分之一時即判定拓樸達到穩定，此時之拓樸圖形即為結果。
4.3.7 EEM 方法之例題探討及比較
由以上所介紹之元素交換法，其中提到此方法於一開始即先設定好目標體積 比之元素，因此不同之初始領域應該皆可以設定。本節提供兩個例題比較在不同 初始設計領域下之結果以及和BESO 方法（呂其翰 2010）進行對照。
（例題4-1）
此例題為 160 mm × 100 mm 之設計領域離散為有限元素網格，其結構如圖 4.6，
每個元素為5 mm × 5 mm 之 Q4 平面應力元素，厚度為 1 mm，材料性質之楊氏模 數E 為 200 GPa，柏松比 ν 為 0.3，力量加載在右側下方 10 kN，左側邊為固定端。
元素交換法之參數MEE-max為20（6.25%之目標體積比元素），MEE-min為2（0.625%
之目標體積比元素），Nmax為1000 步。本利題設計三中不同初始領域並比較此三 種情況在體積比50％下於不同初始領域下之結果。
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由圖4.7 可以看出在不同初始領域下可以得出一致性的結果，因此元素交換法 可以針對不同的初始設計領域下進行最佳化設計，但是由於隨機步驟的關係，最 後之拓樸形狀常會有游離的元素於圖形中出現。
（例題4-2）
此例題為參考文獻（Wang and Wang 2004）中的例題，其設計領域長 12 公尺，
寬6 公尺，參見圖 4.8。每個元素為 100 mm × 100 mm 之 Q4 平面應力元素，厚度 為100 mm，材料性質之楊氏模數 E 為 210 GPa，柏松比 ν 為 0.3，力量加載在下方 中央30 kN，下方兩四分點位置 15 kN，左側端為鉸支承，右側端為輥支承。元素 交換法之參數MEE-max為150（7%之目標體積比元素），MEE-min為6（0.3%之目標體 積比元素），Nmax為500 步。針對目標體積比 30％時不同初始設計領域和 BESO 方 法之比較，而由於結構之對稱性因此本例題將隨機步驟取消。
由圖4.9 可以比較 EEM 方法於不同的初始設計領域下之結果與 BESO 方法之 結果擁有差不多之結果。而由於結構對稱性問題，因此本利題中並不加入隨機交 換之步驟，在不加入隨機化之部分時，元素交換法之解也擁有不錯的穩定性。同 時也稍微提高了效率以及不會產生游離之元素於圖形中。
而運用此方法得出之拓樸圖形也能夠達到 BESO 方法桿件清晰之效果，而不 會產生在例題2-1 中 ESO 方法產生許多分歧的桿件之拓樸圖形。
4.4 小結
本章介紹了元素交換法之參數設定以及相關方法與流程，本方法概念簡單，
操作容易。利用簡單之概念將有限元素網格中之實心元素以及空心元素依照應變
能進行交換，並在其中加入隨機交換之步驟，使得結果有機會跳脫區域最佳解而 達到全域最佳解。
而在不加入隨機化步驟直接進行拓樸最佳化設計，本方法也能夠擁有很好的 適應性，其最終之拓樸形狀也可以達到桿件清晰化不會產生如ESO 方法中分岐之 桿件。
但是運用此方法也有若干缺點，首先為此方法須在一開始即設定好目標體積 比元素，不如ESO 可以從全領域進行設計，更不能如 BESO 可以從任意體積比之 初始領域進行。再則，其中由於隨機化步驟，在針對有對稱性之結構形式便無法 運作此步驟，故此些缺點便限制此方法的彈性。
以上所敘之缺點將於第五章中進行改進並提出一改良型之元素交換法，使其 能夠更具有彈性及更加具有適應性。
圖圖4.1 元素交交換法之基
圖
基本結構示意
4.2 元素交
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意圖（a）交
交換步驟收斂
交換前之結
斂函數示意
結構；（b）交
意圖
交換後之結結構
圖44.3 棋盤化效
圖4.5
效應示意圖
圖4.4 平滑
5 平滑化元
圖（箭頭所指
滑化處理權
元素示意圖
指處即為棋
權重示意圖
（黃仲偉2
棋盤化之區域
003）
域）
Initial Deesign Domai
圖4.7
圖4.6 例題
in
例題2-1 不
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例題4-1 之結
Top
不同初始領
結構示意圖
pology Res
領域下之拓樸 ult
樸結果
U（kN-11.09
10.95
11.08 mm）
929
531
888
Initial Design
圖
n Domain
圖4.9 EEM 方
圖4.8 例題
Topolog
方法以及B
例題4-2 之結
gy Result（E
BESO 方法
結構示意圖
EEM） T
法在不同初始
Topology Re
始設計之比
esult（BES
比較
O）
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