第二章 以蒙地卡羅模擬法對可轉債定價
第四節 改進的 LSM
國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
Path 3 90.409 Path 4 90.484 Path 5 98.129 Path 6 98.689 Path 7 90.484 Path 8 90.484 Path 9 103.651 Path 10 103.283
由於10 條路徑在𝑡!期的現金流量之平均為96.603，所以 LSM 法計算出本 可轉債理論起始價值為96.6 元。
第四節 改進的 LSM
本節中我們以信邦電子(3023)國內第三次無擔保可轉債為例，說明 LSM 的改進方式及對定價之估計結果。其起始股價為 21.75 元，轉換價格 為24.2 元，期間為三年期。根據信邦之股價歷史資料，可得到日股價報酬 率參數為-0.0003498892，日股價報酬標準差為 0.02298017；並設定營業日 為每年 250 天，共模擬 5000 條路徑。因為計算方法是由後往前，選取最 靠近到期日的轉換日以及贖回日作為觀察之對象，分別為第744 期以及第 724 期*。本節各圖中的y 軸為第 t+1 期現金流量，x 軸為第 t 期股價。
由於可轉債在金融商品到期日時若未被執行轉換、贖回或是賣回時，
會被發行公司依照發行條款還本(通常為票面金額)，因此當股價低於特定 的價位時，持有者均不會執行轉換，因為繼續持有至到期日的價值高過執
* 最後可執行轉換日及贖回日分別為到期日前10 天及前 40 天，再依照每年 250 天之比 例做調整。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
行轉換為股票得到的股票現值。
圖2.1 最後可轉換日股價對現金流量圖
首先觀察最後可轉換日之圖形分布，圖 2.1 中 y 軸為第 745 期現金流 量，x 軸為第 744 期股價，此時最低現金流量是 24.24068，並將圖 2.1(A) 的左下角放大呈現於 2.1(B)。對於圖 2.1 的資料若以兩次方的迴歸模式配 適 ， 得 到 估 計 的 條 件 期 望 值 為E[Y|x] = 0.002357𝑥!+ 0.586911 + 13.24666，其結果如圖 2.2(A)所示。由圖中觀察股價若落在 50 元至 120 元之間，則現金流量大於估計值；股價若大於120 元，則現金流量小於其 估計值。此種現象顯示以單一迴歸模式描述現金流量與股價之間的關係並 不恰當，這是因為部分路徑模擬出的股價較低，以致於在到期日時被還本，
則現金流量為還本金額，且因整條路徑的股價都偏低，在到期之前的各期 都無法被執行任一種選擇權，因而這些路徑向前回推而得到的各期現金流 量都相等，但各有不同之對應股價，因而在圖 2.2 中低股價的形成一條水 平線，且與其它路徑在同一期所衍生的現金流量分布大不相同。若對全部 的資料配適單一迴歸模式並據以預估繼續持有的價值，勢必因模式之不當
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
而產生不合理的估計，不但影響到當期選擇權的決策，也連帶影響了定價 的準確性。
圖 2.2 最後可轉換日全部路徑之兩次方迴歸配適圖
若利用此單一迴歸所得之條件期望值估計繼續持有價值，且一旦轉換 價值大於繼續持有價值則進行轉換，例如第 2134 條路徑，其轉換價值為 64.80475 元，而繼續持有價值為 61.25153 元，則採取轉換之行動。根據模 擬結果，在本時間點之下，5000 條路徑中有 736 條路徑會執行轉換。
由於第 744 期是最後可執行轉換日，因而所有 5000 條路徑都可能進 行轉換(包含自願轉換以及強迫轉換)，所以應將此時點所對應之 5000 個資 料點納入以配適迴歸線。接著，再探討是否應只對可執行贖回的部份或可 執行賣回的部份配適迴歸的問題；若有資料點同時符合幾種選擇權之執行 條件，則該資料點分別被納入其所符合之選擇權的各個資料集中，再對各 選擇權的資料集分別配適迴歸。以贖回的部份為例，觀察時點為最後可贖 回日(第 724 期)，圖 2.3(A)中橘色的點代表可執行贖回的路徑，雖然看起 來只佔少部分，但這些點其實非常密集且約佔全部資料的百分之四十，圖
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
2.3(B)則將這部份的點局部放大。
圖 2.3 最後可贖回日股價與現金流量—橘色部份為可執行贖回之路徑
圖 2.4 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回資料之迴歸配適結果
就可執行贖回的部份而言，圖 2.4(A)中的紅線是由全部資料所配適出 的迴歸線，除了股價極低的部份，幾乎所有的點都在迴歸線的下方，圖2.4(B) 的紅線則為只用可執行贖回的資料點所配適出的迴歸線；兩相比較，考慮 將可執行贖回的部份分割出來另外配適迴歸線，其方程式為E[𝑌!|𝑋!] =
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
0.00644𝑥!− 0.20619x + 25.71410。然而，由圖 2.4(B)可以發現，即使單 獨對可執行贖回的部份計進行配適，仍然會有不等變異的現象，需進一步 對迴歸模式再加以改進。本論文採用Kind and Wilde(2004)在只考慮轉換資 料 的 情 況 下 ， 以 還 本 價 格 折 現 值 做 為 分 段 點 的 分 段 迴 歸(Piecewise Regression)，並且對可執行贖回及可執行賣回的部份分別配適分段迴歸模 式。
然而，欲配適分段迴歸模式需先決定分段點(break point)。以下考慮的 三個分段點都與還本的折現值有關。在令u 為到期日還本價值折現至當期 的價值，第一個分段點是大於u 的現金流量中所對應之最低股價，即圖 2.5 中的bp1(break point 1)；第二個分段點是現金流量為 u 之下所對應之最高 股價，在圖2.5 中表示為 bp2；第三個分段點即為 u，圖 2.5 中表示為 bp3。
經嘗試後，因bp1 的值有時會偏低，造成分段後的迴歸線仍然不符合資料 的變異情況，bp2 雖然在許多情況下都能做出良好的分段，但有跟 bp1 同 樣的缺點，兩者都會因資料分布而改變，有時會產生過度偏離，以致於無 法將資料做出良好的分割，相較於前面兩者，就如同Kind and Wilde(2004) 所提出的，以bp3 作為分段點是較為合適的，不會因資料分布產生偏高或 偏低的情形。接著，以bp3 作為分段點，分別對大於分段點以及小於分段 點的部分各自配適迴歸線，再將兩個區域內的點分別帶入各自配適出來的 迴歸線，即可估計出各點繼續持有的價值。
就可執行轉換的全部資料而言，以 bp3 為分段點配適出兩條對於繼續 持有價值的方程式，並繪製於圖 2.6，圖中之垂直虛線即 bp3 之對應值；
小 於 分 段 點 之 估 計 方 程 式 為 E[𝑌!|𝑥!] = −0.00057𝑥!+ 0.99901x − 0.13034，而大於分段點所配適出的估計方程式為E[𝑌!|𝑥!] = 0.00152𝑥!−
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
0.03919x + 24.34761。在 5000 條路徑中，執行轉換的有 809 條，其中大 於分段點有775 條，小於分段點有 34 條。
圖2.5 三種分段點所在位置
下列各圖中將會用垂直虛線為標示分段點bp3 的基準線。
圖2.6 可轉換路徑之分段迴歸
再者，分別對可執行贖回或是賣回的部份採用兩段迴歸方式進行配適，
且使用同樣的分段點選取方法，再利用得到的估計迴歸線進行執行選擇權
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
與否的決策。若將資料分段後再配適迴歸線，可以看出不論是轉換(圖 2.6) 或是贖回的部份(圖 2.7B)都較原本用全部的點配適一條迴歸線來的佳，圖 2.7 左右也比較了利用全部資料進行配適以及用可執行贖回部分進行配適 的差別，雖然在靠近分段點兩端會有無法銜接的情況，且迴歸線跟資料分 布仍然有些差距，但依舊勝於只用一單條迴歸線的情況，因此，本研究就 以此兩段迴歸的方法對於可轉債繼續持有的價值做估計。若是從數值的角 度探討，使用單一迴歸線之理論價格為 31.28 元，而改用分段迴歸的理論 價格為26.18 元，與市場價格 24.2 元較為接近，且變異數也降低。
圖 2.7 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回之兩段迴歸配適結果
不過，因為可執行贖回或賣回之路徑數較少，對資料做分段迴歸時，
需考慮到各段內的樣本數是否差異過大，就可執行贖回權的部份而言，若 符合的資料數較少且左右兩段內的資料數極不平衡，由於通常是右段的點 數少但現金流量較分散，以致仍會出現右段的迴歸配適值與實際值差異大 的現象。因而，當右段的資料量在可執行贖回權的資料中所佔的比例不到 百分之十時，就不再分段而對全部可執行贖回的資料配適單一的迴歸線。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University
至於賣回的部份也可做類似之考量。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
Na tiona
l Ch engchi University