兩段迴歸結合蒙地卡羅模擬對可轉債定價之研究 - 政大學術集成
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(2) 摘要 可轉換公司債兼具了選擇權以及債券的性質，價值又會受到股價之影 響，以傳統的方法定價十分不易。由於蒙地卡羅模擬能解決定價問題上狀 態變數或許為多維度及路徑相依的問題，Kind 與 Wilde 在 2004 年提出以 蒙地卡羅模擬對可轉債定價，且以最小平方迴歸法估計繼續持有價值，並 在僅考慮轉換及還本兩種選擇權及沒有違約風險之下，以數值範例呈現單 一迴歸模式無法適當估計繼續持有價值。然而，他們並未進行實證。本研. 政 治 大 件外，另加上信用評等的考量以將違約機率透過現金流量套入定價過程中， 立 究乃以民國 99 年台灣發行的可轉債為研究對象，除考慮發行時的合約條. ‧ 國. 學. 並分別以兩段迴歸及單一迴歸估計繼續持有價值以結合蒙地卡羅模擬，實 證結果顯示就可轉債之起始定價的偏差比而言，兩段迴歸得到的結果優於. ‧. 單一迴歸。惟在兩段迴歸之下，超過八成的可轉債其模擬價格依然高於市. y. Nat. n. al. er. io. sit. 場價格。實證結果也顯示價性(moneyness)及擔保狀況與定價的偏差有關。. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵字：可轉換公司債、定價、蒙地卡羅模擬、最小平方迴歸法、繼續持 有價值、兩段迴歸、定價偏差比、價性、擔保狀況. . i .
(3) Abstract Convertible bonds (CBs) possess features of both bonds and options, and their prices are affected by the underlying stocks, which make the pricing problem an uneasy task for traditional methods. Since Monte Carlo simulation can handle the problems of path-dependence and multivariate dimensions faced by pricing, Kind and Wilde (2004) suggested to price CBs via least-squares Monte Carlo simulations (LSM), which estimate the continuation values by least squares regression. They also demonstrated that a single regression line could not appropriately estimate the continuation value even only conversion and redemption were allowed and the CB was. 政 治 大. free of default. So the idea of piecewise regression was recommended to. 立. improve the estimation process. However, they didn’t apply piecewise. ‧ 國. 學. regression to real data. Therefore, piecewise regression together with Monte Carlo simulation were employed to investigate the pricing issue of Taiwan’s. ‧. CBs. CBs issued on 2010 were selected, besides reviewing the contents of. y. Nat. CB’s contracts, default risks based on credit ratings were taken into account to. sit. evaluate the discounted cash flows in the pricing procedure. Comparing the. er. io. estimated model prices of LSM with initial selling prices, the mispricing rates. n. a l and piecewise regression imodel v were obtained for of single regression model. n U further analysis. Result shows that thegmodified en c h i piecewise regression method. Ch. performs better in mispricing rate. However, similar to previous findings, 80% of the estimated model prices based on piecewise regressions are still higher than market prices. It also shows that moneyness and guaranteed condition will relate to mispricing rate.. Keyword: Convertible bonds, pricing, Monte Carlo simulation, Least-squares regression, continuation value, piecewise regression, mispricing rate, moneyness, guaranteed condition.. . ii .
(4) 目錄 表目錄 ........................................................................................................ iv 圖目錄 ......................................................................................................... v 第一章 緒論 ............................................................................................... 1 第一節 研究動機以及目的................................................................ 1 第二節 可轉換公司債簡介................................................................ 3 第三節 文獻回顧................................................................................ 6 第二章 以蒙地卡羅模擬法對可轉債定價 ............................................. 12 第一節 蒙地卡羅模擬法對美式選擇權之定價.............................. 12 第二節 最小平方蒙地卡羅模擬...................................................... 13. 政 治 大. 第三節 數值範例.............................................................................. 15 第四節 改進的 LSM ........................................................................ 21. 立. 第三章 實證研究 ..................................................................................... 29. ‧ 國. 學. 第一節 規範模型及設定參數.......................................................... 29 第二節 研究資料篩選...................................................................... 32. ‧. 第三節 結果分析.............................................................................. 35 第四章 結論與建議 ................................................................................. 50. n. al. er. io. sit. y. Nat. 參考文獻 ................................................................................................... 52. . Ch. engchi. iii . i n U. v.
(5) 表目錄 表 1.1 歷年上櫃轉(交)換公司債統計要覽 ....................................................... 2 表 1.2 一般可轉債之執行動作及決定方式 ..................................................... 5 表 2.1 各條模擬股價路徑表 ........................................................................... 16 表 2.2 各條路徑在到期日的現金流量及行動表 ........................................... 16 表 2.3 各條路徑在第t4期決策表 .................................................................... 17 表 2.4 各條路徑在第t3期決策表 .................................................................... 18 表 2.5 各條路徑在第t2期決策表 .................................................................... 18. 政 治 大. 表 2.6 各條路徑在第t1期決策表 .................................................................... 19 表 2.7 各條路徑全部時間行動表 ................................................................... 19. 立. 表 2.8 各條路徑最佳時點及行動表 ............................................................... 20. ‧ 國. 學. 表 2.9 各條路徑在t0期現金流量表 ................................................................ 20. ‧. 表 3.1 TCRI 平均一年期移轉機率矩陣 ......................................................... 31 表 3.2 台灣可轉債之執行動作及決定方式 ................................................... 32. y. Nat. 表 3.3 可轉債樣本之發行條件、TCRI 、發行總額及發行價格 ................ 33. sit. 表 3.4 平均股利、股價參數估計值、兩種模擬價格及定價偏差比 ........... 36. er. io. 表 3.5 定價偏差比依 LSM1 及 LSM2 之統計 .............................................. 39. n. al 表 3.6 定價偏差比依價性之統計 ................................................................... 41 iv n. Ch 表 3.7 定價偏差比依風險等級之統計 ........................................................... 43 i U engch. 表 3.8 定價偏差比依股價報酬率平均數之分析表 ....................................... 44 表 3.9 定價偏差比對股價波動度之統計 ....................................................... 45 表 3.10 定價偏差比對發行期間以及擔保狀況分析表 ................................. 46 表 3.11 定價偏差比的迴歸分析 ..................................................................... 48. . iv .
(6) 圖目錄 圖 2.1 最後可轉換日股價對現金流量圖 ....................................................... 22 圖 2.2 最後可轉換日全部路徑之兩次方迴歸配適圖 ................................... 23 圖 2.3 最後可贖回日股價與現金流量—橘色部份為可執行贖回之路徑 ... 24 圖 2.4 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回資料之迴歸配適結果 ... 24 圖 2.5 三種分段點所在位置 ........................................................................... 26 圖 2.6 可轉換路徑之分段迴歸 ....................................................................... 26 圖 2.7 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回之兩段迴歸配適結果 ... 27 圖 3.1 LSM1 及 LSM2 之定價偏差比 ............................................................ 39. 政 治 大. 圖 3.2 定價偏差比對價性 ............................................................................... 40 圖 3.3 定價偏差比與 TCRI 評等 .................................................................... 42. 立. 圖 3.4 定價偏差比與三個風險組之散佈圖 ................................................... 42. ‧ 國. 學. 圖 3.5 定價偏差比與股價報酬率平均數 ....................................................... 44 圖 3.6 定價偏差比與股價報酬率標準差 ....................................................... 45. ‧. 圖 3.7 定價偏差比與發行期間以及擔保狀況 ............................................... 46 圖 3.8 發行期間與擔保狀況分別對定價偏差比之交互作用 ....................... 47. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. v . i n U. v.
(7) 第一章 緒論. 第一節 研究動機以及目的 隨著社會投資風氣之日漸昌盛，市場上的金融商品不斷地推陳出新， 不論市值或交易值均日益擴大，雖然不少金融商品的標的資產仍然是以股 票或債券為主，但在契約內容及金融商品的結構上則日新月異，其中不乏 刻意使金融商品複雜化的結構，如：擔保債權憑證、股價指數成長連動債. 治 政 大 券等。為因應前述現象，金融商品的定價模型變得十分複雜，即使電腦運 立 ‧ 國. 學. 算已相當快速，可能仍需要耗費大量計算時間；除了定價之不易外，若定. 價過高或過低，雖然成就了投機者的套利空間，卻會降低穩健或保守投資. ‧. sit. Nat. 提出修正及改進的方向，以降低定價的偏誤。. y. 者的投資意願。因此，有必要對於現行之金融商品的定價方式進行檢討及. a. er. io. 可轉換公司債(簡稱可轉債)，雖然不算是新興的金融商品，但其同時. n. 具有債券和選擇權的特性，並以股票為其標的資產，在結構上較單純的股 iv l. n U engchi 票、債券或是選擇權複雜，所以可轉債的定價仍然值得探討，也引發了本. Ch. 論文的動機。 台灣的可轉債始於民國 79 年由遠東紡織率先發行，根據證券櫃檯買賣 中心之統計，由表 1.1 可知從民國 86 年至民國 93 年各項數據都快速成長， 96 年之外則開始呈現下降的趨勢。雖然無法確知下降的現象是否與定價偏 誤有關，但若是能讓可轉債的定價更加符合應有價值，除了可提昇投資者 的意願外，也使公司能在發行前正確評估發行可轉債價值，以避免定價偏 誤造成的的損失。 . 1 .
(8) 可轉債因為在選擇權部分具有美式選擇權的特質，在固定期間內的任 一時間點皆可執行權利，且具有多種選擇權(轉換、買回、賣回)，若再考 慮信用風險、債息或股利等與價值相關之因素，則會使得定價十分不易， 以 致 傳 統 方 法 面 臨 適 用 性 的 挑 戰 ， 而 蒙 地 卡 羅 模 擬 法 (Monte Carlo Simulation Method)則被期待能解決這些因素產生的複雜情況，也已被眾多 學者用在可轉債之定價研究。本研究是從其中的最小平方蒙地卡羅法 (Least-Squares Monte Carlo Method, LSM)出發。LSM 是由 Longstaff and Schwartz(2001)所提出，最初是對美式選擇權做定價的方法，該方法利用最. 治 政 大 小平方法配適迴歸線，以估計繼續持有的價值，進而決定應有之決策，LSM 立 ‧ 國. 學. 已被用於可轉債的定價中。然而，處理可轉債定價的問題時，由於可轉債 同時具有債券及多種選擇權的性質，以致單一的迴歸線無法正確捕捉繼續. ‧. 持有價值的分布情況，本研究即在對單一迴歸的配適問題提出改進，藉由. y. sit er. io. 型的精準度。 . Nat. 分段或分群的概念，不但可得到更合適的迴歸模式，更可進而提升定價模. n. 表 1.1 a 歷年上櫃轉(交)換公司債統計要覽 iv l. . 年度. 成交量. 86. 215. 212.6. 87. 9,370. 88. n C h成交筆數 上櫃期數 U engchi. 成交值. 發行總額. 發行餘額. 65. 2. 9,000. 9,000. 10,402.5. 993. 7. 46,500. 39,366. 11,248. 12,124.8. 2,423. 11. 77,600. 61,141. 89. 149,259. 170,179.0. 28,918. 25. 360,200. 305,091. 90. 378,074. 458,469.7. 66,497. 54. 775,420. 661,356. 91. 694,552. 1,002,239.4. 129,248. 128. 1,220,880. 908,399. 92. 1,085,036. 1,282,232.9. 191,168. 219. 1,731,340. 1,132,372. 93. 1,977,021. 2,339,147.0. 255,921. 340. 2,457,255. 1,460,299. 94. 1,733,405. 1,907,905.1. 213,760. 315. 2,533,435. 1,550,300. 2 .
(9) 95. 2,104,205. 2,363,833.6. 249,861. 289. 2,894,450. 1,830,031. 96. 2,771,764. 3,133,748.1. 357,547. 276. 3,151,801. 2,102,795. 97. 2,214,063. 2,269,591.1. 310,186. 269. 3,124,019. 2,004,506. 98. 1,764,328. 1,892,161.1. 331,479. 208. 2,412,519. 1,574,846. 99. 1,693,147. 1,907,413.8. 340,076. 244. 2,272,808. 1,612,107. 100. 1,742,679. 1,915,992.4. 290,519. 228. 1,974,556. 1,238,127. 101. 1,393,498. 1,492,203.9. 256,989. 148. 1,100,200. 557,809. 資料來源：證券櫃檯買賣中心 註：成交量、成交值、發行總額、發行餘額之單位為十萬元。. 學. ‧ 國. 第二節. 治 政 大 可轉換公司債簡介 立. 可轉換公司債是由上市上櫃的公司所發行的一種債券，特點是在於可 將此債券轉換為該發行公司的普通股票。依照發行時所訂定之條款，在特. ‧. 定的許可期間之內，持有者可依照轉換價格將可轉換債券轉換為該公司的. y. Nat. er. io. sit. 普通股票，除轉換之外，持有者尚有賣回可轉債的權利，而發行公司則是 具有買回權或是強迫持有者將債券轉換等不同的選擇權，強迫轉換的定義. al. n. v i n Ch 是當發行公司執行買回的權利時，持有者不願意可轉債被買回，就需在固 engchi U 定期限內將可轉債進行轉換，強迫轉換需在發行公司執行買回的前提下才 會發生，發行公司可以技巧性地利用買回迫使持有者進行轉換，因此也可 視為選擇權的一種。 可轉債是一種可讓發行公司以及持有者互蒙其利的金融商品。從持有. 者的角度來說，雖然可轉債的票面利率會低於一般公司債，但若認為發行 公司的股票價格有上漲的空間，在股票價格高於轉換價格時，就可將可轉 債轉換為普通股，賺取其中的利益；反之，即便股票在市場上沒有達到預. . 3 .
(10) 期的良好表現，以致持有者未能全部轉換為股票，仍然可以在到期時由發 行公司依照發行條款償還本金(及補償利息)。此外，可轉債還附有持有者 賣回權利，於特定期間內可依約定以本金加上利息賣回。從發行公司的角 度而言，因為可轉債的票面利率低於一般公司債，甚至有零票面利率搭配 賣回權的情況，所以發行公司的利息支出負擔較輕，更因其具有保障投資 人的性質，較受投資人之青睞，有利於公司籌措到所需的資金。 由於可轉債兼具債券及選擇權的性質，除可轉換為股票外，也可被發 行公司買回及持有者賣回，在發行期間內未執行任何權利則為繼續持有。. 治 政 大 假定可轉債在第 T 期期滿，則第 t 期時(t=0,1,…⋯,T-1)，繼續持有的價值在 立 ‧ 國. 學. 決定最佳執行決策上扮演關鍵的角色。為說明繼續持有的價值與採取行動. 之關聯，本論文乃將 Ammann, Kind and Wilde(2008)的 Table 1 略作修改列. ‧. 於表 1.2‧．其中，𝑆! 代表在時間點 t 之標的資產股票價格；𝛾! 為時間點 t 之. sit. y. Nat. 下執行轉換比例，只要是執行轉換，且不論是否為強迫轉換，該時間點持. a. er. io. 有者執行轉換可獲得之價值皆為𝛾! 𝑆! ；而𝑃! 及𝐶! 分別代表時間點 t 之下賣. n. 回及買回之價格，一旦執行即可獲得對應之價格；𝑉 i v!!則是從時間點 t 繼續 l. n U engchi 持有至時間點 t+1 之價值，在本研究是以最小平方法估計之。轉換、賣回、. Ch. 買回之可執行期間，分別以Ω!"#$ 、Ω!"# 、Ω!"## 表示之，乃規範於契約中； 且理性判斷是否執行某行動，即僅在有利的情況下執行某選擇權，因而各 選擇權有其各自的執行限制條件。表 1.2 大略說明一般可轉債的持有者及 發行公司雙方的最佳執行決策所對應之各種行動、執行條件、執行時間的 限制，以及獲得價值；除繼續持有外，各種行動皆在兩種執行條件均符合 且時間點落在執行之限制期間內才會被執行，而條件二(且…⋯)則需在條件 一(若…⋯)已成立且在執行之限制期間內，才需被考慮。另外，某些買回權 . 4 .
(11) 利會有觸發機制(Trigger)，只要達到該條件就必然會執行。 表 1.2 一般可轉債之執行動作及決定方式 行動類型. 執行條件. 執行之限制期間. 獲得價值. 持有者賣回. 若 𝑃! > 𝑉!!. 𝑡 ∈ Ω!"#. 賣回價格. (Put). 且 𝑃! > 𝛾! 𝑆!. 𝑡 ∈ Ω!"# ∩ Ω!"#$. 𝑃!. 發行公司買回. 若𝑉!! > 𝐶!. 𝑡 ∈ Ω!"##. 買回價格. (Call). 且𝐶! ≥ 𝛾! 𝑆!. 𝑡 ∈ Ω!"## ∩ Ω!"#$. 𝐶!. 轉換. 若𝑟! 𝑆! > 𝑉!!. 𝑡 ∈ Ω!"#$. 比例×股價. (Conversion). 且𝑃! ≤ 𝛾! 𝑆!. 𝑡 ∈ Ω!"# ∩ Ω!"#$. 𝛾! 𝑆!. 政 治 𝑡 ∈ Ω大 且𝛾 𝑆 > 𝐶 𝑡∈Ω ∩Ω 立 若𝑉!! > 𝐶!. 強迫轉換 (Force conversion). ! !. 繼續持有. 比例×股價. !"##. !. !"#$. 𝛾! 𝑆!. !"##. -. 其他情況. -. ‧ 國. 學. (Continuation). ‧. 然而，表 1.2 介紹的是可轉債的一般執行條件，實務上則各國的可轉. sit. y. Nat. 債都有些許的不同。由於本論文是以台灣的可轉債為研究目標，接著將闡 述台灣可轉債的四個獨特性質。首先，可轉債中的持有者的賣回權乃偏向. er. io. n. 於歐式選擇權，因其可執行的時間限於幾個固定的時間點，通常為發行滿 a v. i l C n hengchi U 兩年或是三年等，但其他權利仍為美式選擇權；其次，買回價格與賣回價. 格幾乎相同，都是依照時間點做調整；再者，發行公司買回權之可執行條 件與歷史股價(通常為三十個營業日)有關，觸發機制則是僅剩少量(通常為 10%)的可轉債在外流通，然而，發行公司執行買回權之目的可能是為了強 迫持有者進行轉換(即強迫轉換)；第四，具有轉換價格的重設條款，或是 轉換價格的調整條款，除了反稀釋條款的價格調整之外，轉換價格的調整 或是重設基本上是一年一次，並且限定為向下調整，以避免發生轉換價格 過度高於股價，致使持有者長期無法執行轉換權利的現象。以上這些特性. . 5 .
(12) 會影響到各期繼續持有價值之計算以及各期之最佳執行行動。因此，對於 台灣的可轉債進行研究時，需將這些特性融入計算繼續持有價值的方法以 及考慮最佳執行行動中，方能反映這些特性對於可轉債價值的影響。 另外，因為台灣可轉債的發行條款中，多半將 call 的行為稱為〝贖回〞， 而在到期日時公司將可轉債從投資人手中買回的行為則稱為〝還本〞，本 研究中以下也將沿用這些名詞，以免混淆。. 第三節 文獻回顧. 治 政 大 在 Black and Scholes(1973)發表了選擇權的定價模型(Black-Scholes 立 ‧ 國. 學. Option Pricing Model，簡稱 B-S 模型)後，開啟了金融市場當中對於選擇權. 定價之廣泛探討，也成為日後各種選擇權定價公式的重要基礎。他們所提. ‧. 出的方法，是把影響選擇權價格的股價作為主要的研究對象，其中一個重. sit. y. Nat. 要假設為股價的變動會服從幾何布朗運動(geometric Brownian motion)，不. a. er. io. 過此公式除了上述的假設外，尚有其他幾項假設，其中包括了選擇權的種. n. 類必須為歐式選擇權。因此，雖然這個定價模型後續被推廣成許多更複雜 iv l. n U e nrainbow g c h i option)，但這些新奇選擇權的 的選擇權公式，例如彩虹選擇權(the. Ch. 內涵都侷限於歐式選擇權，B-S 模型卻一直無法良好地對美式選擇權進行 定價，也就發展出了其他類型的定價方式。Ammann et al.(2008)將可轉債 的定價模型分為三大部分，除了包含 B-S 模型在內的封閉公式解法(closed form solution method)外，又有樹狀結構法(lattice-based method)以及蒙地卡 羅法的發明。 蒙地卡羅法在 1949 年被 Metropolis and Ulam 發表之後，此方法就被 應用於各種不同的領域當中。隨著電腦的發明以及演進，可利用電腦模擬 . 6 .
(13) 來產生服從某種機率分配的隨機數，再利用統計的理論解決具有隨機性的 問題，這個方法也可以拿來對金融商品進行定價，就如同 B-S 定價模型中 所假設的，股票等標的資產的價格變動會服從幾何布朗運動或是其他機率 分配。 但在早期利用蒙地卡羅法拿來對美式選擇權做定價研究是受到質疑 的，因此，最開始對可轉債做定價大多是使用封閉公式解法或是樹狀結構 法，這兩種方法在同一年間，分別由 Ingersoll(1977a)以及 Brennan and Schwartz(1977)提出對於可轉債定價的理論模型。. 治 政 大用 封 閉 公 式 解 的 方 法 中 ， Ingersoll(1977a) 利 立. B-S 定 價 模 型 以 及. ‧ 國. 學. Merton(1973)的方法，找出了可轉債的最佳執行策略，這個方法為利用上 述之模型找出可轉債的一般式和限制式，一般式中就是從公司價值中拆解. ‧. 出可轉債對應的價值，再利用最適策略找出不同選擇權的限制情況作為限. sit. y. Nat. 制式，並從中求算出一般解為可轉債之價值，但此方法的限制式是將可轉. a. er. io. 債的選擇權定為歐式選擇權。Lewis(1991)則是更進一步地推展此方法，將. n. 可轉債的結構拆多重債務類型來進行定價，會這麼做的原因是因為可轉債 iv l. n U e c到 h i最 初 B-S 結 構 過 於 複 雜 。 但 封 閉 公 式 解n也g受. Ch. 模型中的限制，. Ingersoll(1977a)的研究就已經指出封閉公式解無法對考慮債息和股利等具 有利息的金融商品定價，並且因可轉債中具有美式選擇權的性質，封閉公 式解法對於提早履約(early-exercise)和路徑相依(path-dependent)的情況均 無法包含在內，所以並不能適切的對於可轉債做出合理的定價。 樹狀結構法廣泛地應用於可轉債的定價，Brennan and Schwartz 在 1977 年所提出的有限差分定價方法(finite difference method)，將原本選擇權定價 公式中的偏微分方程此改用差分法計算，也嘗試將債息以及股利納入可轉 . 7 .
(14) 債的定價模型中，之後還有 Tsiveriotis and Fernandes(1998)所提出的模型， 此模型則是將可轉債拆解成選擇權以及債券兩部分，或是稱為股權部位以 及現金部位，分別對兩部分做風險的評估，再利用差分法求解聯立方程式 對可轉債進行定價，此方法也被用於 MATLAB 程式當中對於可轉債的計 算 工 具 。 而 樹 狀 結 構 法 當 中 又 可 細 分 為 的 二 ( 多 ) 元 樹 法 (binomial /multinomial tree method) 、 有 限 差 分 法 以 及 有 限 元 素 法 (finite element method)，這些方法在變數個數較少，也就是維度較低的情況下的確可以解 決美式選擇權以及可轉債的定價問題，但仍然面臨到許多的困難，尤其在. 治 政 大 定價模型的變數個數增加時，例如股票價格、遠期利率、到期股利或違約 立 ‧ 國. 學. 機率等變數的時候，造成樹狀節點的數目是以十分快速地幾何級數成長， 在處理路徑相依的問題時變得相當棘手，導致定價過程變得十分耗時，因. ‧. 著可轉債定價問題時常需要加入許多的狀態變數情況之下，樹狀結構法也. sit. y. Nat. 不是非常適合用於可轉債的定價。. a. er. io. 雖然後續有了這許多修正和改進，使這兩種方法更加完備，但因為這. n. 兩個方法都有其限制性，所以後來蒙地卡羅法又再次被拿來嘗試解決美式 iv l. n U engchi 選擇權的問題，蒙地卡羅法對於處理路徑相依的問題可說是非常適當，它. Ch. 是一個由前往後模擬的情況，雖然也會因為狀態變數個數的增加而耗費更 多的計算時間，但兩者的關係是趨近於合理地線性關係，遠比樹狀結構來 的好，所以蒙地卡羅法可說是對於高維度(多個狀態變數)模型的最佳計算 方式，在 Grant, D., Vora, G. & Weeks, D. (1997)的論文中較詳細的說明。也 因著對於金融商品定價的精準度要求日益提昇之下，未來會放入定價模型 中的變數會越來越多，蒙地卡羅法所擁有的擴充性顯然是極大的優勢；但 在美式選擇權的定價上，傳統蒙地卡羅法也有應用上的困難，因其不能對 . 8 .
(15) 後期或是下期的情況做出預測，勢必就無法做出是否要提前履約的決策， 然而，後來的發展使得這問題已經獲得解決的方法。Kind(2005)的一篇論 文整理了現時較為人知的五種利用蒙地卡羅模擬方法來對美式選擇權進 行定價。迴歸法(Regression Approach)，利用迴歸的方式由後往前做歸納， 進而用配適迴歸線估計繼續持有價值的方法，在藉由繼續持有價值來判斷 是否執行選擇權；參數法(Parametric Approach)，是利用參數來制定執行規 則的方法，原則是找出能最大化執行價格的參數空間；分層法(Stratification Approach)，與迴歸法十分類似，也是由後往前做計算，只是在求算條件期. 治 政 大 望值作為繼續持有價格時，採用分層的方法計算平均數；模擬樹狀法 立 ‧ 國. 學. (Simulation Tree Approach)，與前面所提的多元樹類似，但是在節點分枝時 並不是用固定的機率來決定，而是從固定的機率分配中隨機獲得分枝機率，. ‧. 繼續持有的價值為各節點的價值平均，此方法雖然會造成計算時間快速膨. sit. y. Nat. 脹，但 Broadie and Glasserman(1997)卻提出此方法並不會因為執行策略而. a. er. io. 影響樹狀圖的發展，降低誤判產生的影響，並可以生成極佳的信賴區間，. n. 所以他們後續仍有提出增加計算效率的研究；隨機網膜法(Stochastic Mesh iv l. n U engchi Method)，雖然也與多元樹法類似，但在計算繼續持有價值時，會隨著該. Ch. 節點的權重做加權平均，並且不同於樹狀結構法，此方法在每個時間點的 節點數目是固定的常數，就不會衍生出太龐大的計算時間。 而在應用蒙地卡羅模擬定價中，最主要的就是迴歸法(Regression Approach)，Carrière(1996)提出用無母數的迴歸方法計算繼續持有價值，然 而，雖然並非首位提出此類型的方法，但 Longstaff and Schwartz(2001)的 最小平方迴歸法，因著將最小平方法的技巧結合在蒙地卡羅法之中，不但 可對美式選擇權進行定價，也適用於其他金融商品上，並且隨著模擬次數 . 9 .
(16) 的提昇，可以達到十分穩定的結果，所以此方法也成為蒙地卡羅法中十分 主流的一種定價方式，Kind and Wilde(2004)就利用了最小平方蒙地卡羅法 解決了可轉債定價中多重選擇權以及路徑相依的問題，現在對於可轉債的 定價研究也大量使用最小平方蒙地卡羅法。當然，其他的蒙地卡羅法也被 使用於可轉債的定價，參數法中 García(2003)提出兩階段的方式，分為最 佳化階段以及評價階段，可使蒙地卡羅法的誤差再降低，Ammann et al.(2008)將這種方法應用於可轉債的定價問題上。 定價本來就是為了實務上的需求，自然也有許多對市場上金融商品定. 治 政 大 價的實證研究，King(1986)就利用樹狀結構法加上隨機利率對於美國市場 立 ‧ 國. 學. 中的可轉債做了實證，用市場收盤價錢的月資料作為研究對象。 Buchan(1997,1998)則是對於日本以及美國的可轉債做了實證研究。比較特. ‧. 別的是，相較於其他實證研究只做特定的日期，可能只做發行日當天，或. sit. y. Nat. 是 利 用 月 資 料 ， 對 每 個 月 的 市 場 價 格 做 研 究 ， Ammann, Kind and. a. er. io. Wilde(2003)對法國可轉債市場是採用日資料做為研究對象，他們在 2008. n. 再次對美國的可轉債做了每日的實證研究，但在方法上分別採用了二元樹 iv l. n U e gchi 法以及最小平方蒙地卡羅法。另外nNyborg(1996)的論文指出在理論模型當. Ch. 中，都會採用理性的判斷，就是一定會選擇較有利的情況，然而在實際的 市場當中，未必只有這種單一的考量，所以理論價格勢必會與市場價格有 落差。 國內的對可轉債定價之研究，多以樹狀結構法和最小平方迴歸法為主， 如劉志清(2002)或洪舜欣(2006)研究信用評等或信用風險與定價的關係，林 政緯(2005)定義了溢價比例來探討與定價偏差的關係，張家福(2000)則是採 用了二維度的樹狀圖做研究，也不乏針對特定主題的研究，許芳銘(2004) . 10 .
(17) 則是探討若是一家公司在同時發行兩檔可轉債與價格之間的關係，高依暄 (2006)研究國內可轉債制度改變對定價的影響，張益堅(2004)則是針對一家 違約交割的公司加以討論。雖然國內之文獻多半有進行實證分析，但納入 討論的可轉債檔數相對較少，本研究選定民國 99 年所發行的可轉債，將 通過條件篩選過後的可轉債全數進行探討。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 11 . i n U. v.
(18) 第二章 以蒙地卡羅模擬法對可轉債定價 Kind and Wilde(2004)認為近年來蒙地卡羅模擬法在定價美式選擇權 上之演進，提供了改進可轉債定價方法的機會。本章先介紹如何以蒙地卡 羅模擬法對金融商品定價，再介紹最小平方蒙地卡羅模擬法，第三節則為 數值範例，第四節則提出對最小平方法的改進。. 第一節 蒙地卡羅模擬法對美式選擇權之定價. 治 政 大 Kind(2005)論述了蒙地卡羅模擬法對美式選擇權之定價表現，結論為 立 ‧ 國. 學. 對於創新結構愈來愈多樣化的金融商品之定價問題，蒙地卡羅模擬法因富 於彈性，最適合處理所面臨的挑戰。據此，先簡介如何以蒙地卡羅模擬法. ‧. 對金融商品定價。. sit. y. Nat. 金融商品的定價與其最佳終止時點(optimal stopping time)之期望價值. a. er. io. 至起始時點之折現值有關，假定金融商品之流通時間為0至T，𝜏 ∗ ∈ (0, 𝑇]為. n. 。此外， 最佳終止時點， 𝑋!∗ 為狀態變數(可為多變量)在最佳終止時點之表現 iv l. n U engchi ∗ 最佳終止時點之報酬或價值與𝑋! 有關，令其為ℎ(𝑋 ! , 𝜏 )，假定無風險利率. Ch. ∗. ∗. 為固定之下，金融商品之期初價值𝑉! 為ℎ(𝑋!∗ , 𝜏 ∗ )之折現到期初且在風險中 ∗. 立之測度下得到的期望值，亦即𝑉! = 𝐸[𝑒 !!! ℎ(𝑋!∗ , 𝜏 ∗ )]。蒙地卡羅模擬法 先依據狀態變數各自的機率分配產生出各期的模擬數值以得到整個流通 時間的樣本路徑，重覆此過程M次即可得到M條樣本路徑；其次，分別就 各路徑依該金融商品之報酬或價值公式找出最佳執行時間及所應採取之 行動，進而得到該路徑的價值或報酬；接著，在風險中立之下對各路徑之 價值進行折現以算出發行時的價值；最後，對M條路徑發行時的價值取平 . 12 .
(19) 均，即可估計出此金融商品在發行時之期初(t=0)價值，其公式如下: 𝑉! =. 1 𝑀. !. ∗. !!!. 𝑒 !!!! ℎ(𝑋! , 𝜏!∗ ). 其中， V! 為估計出的期初價值，M 為模擬的樣本路徑總數，r 為無風險利 率， 𝜏!∗ 為第 i 樣本路徑之最佳停止時間，𝑋! 為第 i 路徑狀態變數之價值， ℎ(𝑋! , 𝜏!∗ )為在第 i 路徑中最佳執行時間點之下的獲利。依據 Kind(2005)，估 計誤差(𝑉! − 𝑉! )之漸進分配為常態，亦即： 𝑉! − 𝑉! ~𝐴𝑁(0,. 𝜎! ) 𝑀. 政 治 大. 其中 M 為模擬路徑的次數，而𝜎! 則為報酬的標準差，可由各路徑之折現價. 立. 值或報酬估計出。. ‧ 國. 學. Kind(2005)並提到蒙地卡羅法的優點為: 由估計誤差之漸進表現，即使. ‧. 蒙地卡羅法需藉增加模擬次數而減少誤差，所需的計算時間仍然較二元樹. sit. y. Nat. 或多元樹、有限差分法為少；狀態變數的多寡不太會影響模擬過程的收斂 速度，且蒙地卡羅法對狀態變數之模擬產生相當有彈性，並不限定於幾何. er. io. n. 布朗運動；適合處理具有路徑相依特性的金融商品問題；對模式結構沒有 a v. i l C n hengchi U 特別限定，可被用於高維度或是結構複雜的模式上。 第二節 最小平方蒙地卡羅模擬. 由 Longstaff and Schwartz(2001) 提 出 以 最 小 平 方 蒙 地 卡 羅 法 (least-squares Monte Carlo, LSM)對美式選擇權進行定價。LSM是以蒙地卡 羅進行模擬再以最小平方法估計報酬或現金流量，其中最小平方法的功用 在於估計出未來各期的條件期望值(報酬或價值)的迴歸式，並且是從最後 一期開始逐期往前以最小平方法估計出給定狀態變數之下各期條件期望. . 13 .
(20) 值(報酬或價值)的迴歸式，而此一條件期望值可用以衡量繼續持有的報酬 或價值。Longstaff and Schwartz(2001)是從報酬的角度來討論，若繼續持有 的報酬低於執行選擇權所產生的報酬，則將執行選擇權所產生的報酬記為 現金流量(Cash Flow)，若未執行則現金流量為零。LSM對選擇權價值的估 計即由各期之現金流量折現，且在過程中可找出各路徑之最佳策略及其執 行時點。 不 論 Longstaff and Schwartz (2001) 對 於 美 式 選 擇 權 或 Kind and Wilde(2004)對於可轉債的研究中，皆指出在利用 LSM 進行定價時，對於. 治 政 大 資料分布的描述，兩次方的迴歸方程式即能得到十分準確且穩定的結果， 立 ‧ 國. 學. 增加迴歸方程式的次方數不會有長足的進步。因此，可假定各期的條件期. 望報酬與前一期的狀態變數間的關係為𝐸 𝑌 𝑋 = 𝛽! + 𝛽! 𝑋 + 𝛽! 𝑋 !。另外，. ‧. 當時間點越靠近到期日時，迴歸式對資料分布的描述是越準確的。. sit. y. Nat. 先由狀態變數在 t=0 的初始值模擬出狀態變數在 t=1,…,T 各期的數值，. a. er. io. 共得到 M 條路徑，從第 T 期開始，首先決定各條路徑在第 T 期時執行的. n. 選擇權，並以期帶來之報酬作為現金流量，再就其中挑出第 T-1 期(即最後 iv l. n U engchi 一期)執行選擇權報酬大於 0 的所有路徑，稱為價內(in-the-money)路徑，將. Ch. 這些路徑第 T 期的現金流量其折現至前一期(第 T-1 期)並表為 y，再將同樣 來自這些路徑的第 T-1 期之狀態變數值及其平方當做解釋變數 x 及 x2，即 可運用最小平方法求得迴歸係數之估計值，以及各價內路徑之繼續持有價 值𝑌 = 𝛽! + 𝛽! 𝑥 + 𝛽! 𝑥 ! 。接著就各價內路徑進行比較，若繼續持有價值大 過執行選擇權產生的價值，則在 T-1 期時繼續持有而不執行選擇權，反之 則執行選擇權；而在 T-1 期的決策的結果將影響 T-2 期的現金流量，在現 金流量的部份，若是該路徑被判定為不執行選擇權，則該路徑在這個時間 . 14 .
(21) 點的獲利就等於零，也就是繼續持有的價值並不納入現金流量的計算。從 t=T-2, T-3,…,2 逐期往前的程序同第 T-1 期，亦即先挑選出價內之路徑，再 把這些路徑的現金流量折現為反應變數，以第 t 期的狀態模擬值及其平方 為解釋變數，估計出從第 t 期繼續持有至第 t+1 期的價值，再決定是否執 行選擇權，並依照採取之決策計算出第 t 期之現金流量，如此依序往前一 期繼續推演，計算第 t-1 期持有至第 t 期的價值，並做出決策，直到估計出 從第一期持有至第二期的價值為止。因而，可得到各路徑中可執行選擇權 的多時間點，再以各路徑中最早可執行選澤權的時點為最佳終止時點，對. 治 政 大 於沒有最佳終止時點的路徑則其現金流量為零，而將所對應之現金流量折 立 ‧ 國. 學. 現到第一期的價值，再就各路徑現金流量之折現值取平均，就可以計算出 發行時的價格。. ‧. 然而，LSM 用於可轉債定價時，需注意各種選擇權(轉換、賣回權、. sit. y. Nat. 贖回權)的可執行時期以及執行條件，原本在單一選擇權下以價內路徑配適. a. er. io. 迴歸線之概念，應予延伸為分別對轉換、賣回權、以及贖回權配適各自的. n. 迴歸線。也因為要處理轉換的問題，本研究乃採用價值作為現金流量，而 iv l. n U engchi 非選擇權執行的報酬，所以未執行的部份在到期時還能被公司還本，也就. Ch. 是公司將該債券用票面金額買回，仍然具有本金的價值，所以不會有現金 流量等於零的情形發生。. 第三節 數值範例 本節旨在以簡單之數值範例說明如何以 LSM 對可轉債進行定價，假 定可轉債為五年期，僅在各年結束時才可採取行動，故可令𝑡! = 𝑖而 i = 1,…,5，於𝑇 = 𝑡! = 5時到期。其中可執行轉換或贖回的時點為𝑡! 至𝑡! ，但 . 15 .
(22) 僅在t ! 可執行賣回，而到期日可執行轉換或是還本。假定可轉債之贖回價 格為 115 元，還本價格為 100 元，賣回價格為 96 元，轉換率為 1，其起始 股價為 100 元，年利率為 0.02，年報酬波動率為 0.4。在本節中僅對與轉 換有關的路徑作為求取迴歸係數的依據，進而決定繼續持有的價值，並不 另外求贖回或是賣回的迴歸係數。 表 2.1 各條模擬股價路徑表 𝑡!. 𝑡!. 𝑡!. 𝑡!. 𝑡! = 𝑇. Path 1. 100. 102.189. 102.780. 94.027. 94.674. 83.498. Path 2. 100. 102.281. 111.870. 114.090. 116.517. Path 3. 100. 97.008. 治111.281 政 84.814 81.250 大. 84.457. 84.347. Path 4. 100. 98.537. 102.675. 97.956. 98.854. 91.357. Path 5. 100. 100.111. 103.993. 112.037. 116.702. 119.325. Path 6. 100. 100.683. 93.2168. 95.861. 98.050. 93.274. Path 7. 100. 97.021. 93.909. 94.485. Path 8. 100. 84.419. 76.570. 66.915. Path 9. 100. 105.745. 105.662. 113.875. Path 10. 100. io. 109.435. 109.014. n. al. Ch. 89.331. 77.7063. 69.363. y. 90.522. sit. er. Nat. 110.560. ‧. ‧ 國. 立. 學. 𝑡!. n U engchi. iv. 116.087. 118.056. 112.941. 114.146. 由於在到期日時只能執行還本或是轉換，而還本價格為 100 元，因而股價 若低於 100 元則可轉債會被公司以 100 元還本，不然則會被轉換為公司股 票，如下表 2.2： 表 2.2 各條路徑在到期日的現金流量及行動表. . 行動. 𝑡! 現金流量. Path 1. 還本. 100. Path 2. 轉換. 116.517. Path 3. 還本. 100. Path 4. 還本. 100 16 .
(23) Path 5. 轉換. 119.325. Path 6. 還本. 100. Path 7. 還本. 100. Path 8. 還本. 100. Path 9. 轉換. 118.056. Path 10. 轉換. 114.146. 以 T 期之現金流量折現為 y，𝑡! 期股價為 x，做二次方迴歸。 得到𝐸 𝑌 𝑥 = 0.02507626𝑥 ! − 4.40813053𝑥 + 292.17933534 . 政 治 大. 作為預測繼續持有價值，可以找出各路徑之行動決策，如下表 2.3：. 立. 表 2.3 各條路徑在第𝑡! 期決策表 至𝑡! 價值. 𝑡! 獲利. 𝑡! 現金流量 (註). 94.674. 99.607. 繼續持有. Path 2. 114.090. 115.661. 贖回. Path 3. 84.457. 98.750. 繼續持有. Path 4. 98.854. 101.466. 繼續持有. Path 5. 116.702. Path 6. 98.050. Path 7. 90.522. 98.627. 繼續持有. -. 98.0199. Path 8. 77.706. 101.057. 繼續持有. -. 98.0199. Path 9. 116.087. 118.386. 轉換. 116.087. 116.0873. Path 10. 112.941. 114.185. 繼續持有. --. 111.8856. 115. 115. -. 98.0199. -. 98.0199. er. io. 98.0199. sit. Path 1. Nat. -. y. 行動. ‧. ‧ 國. 𝑡! 繼續持有. 學. 𝑡! 股價. n. a l119.265 v 116.702 轉換 i n Ch e n g繼續持有 101.040 chi U. 116.7022 98.0199. 註：若繼續持有，則現金流量為後一期現金流量折現一期，其計算公式為： 𝐶𝐹!(!) = 𝐶𝐹!(!!!) ×exp {−0.02}. 再以𝑡! 期之現金流量折現為 y，𝑡! 期股價為 x，做二次迴歸。 . 17 .
(24) 得到𝐸 𝑌 𝑥 = 0.02191021𝑥 ! − 3.56869621𝑥 + 239.88572229 需注意第𝑡! 期可以執行賣回，各路徑之行動決策如下表 2.4： 表 2.4 各條路徑在第𝑡! 期決策表 𝑡! 股價. 𝑡! 繼續持有. 行動. 𝑡! 獲利. 𝑡! 現金流量. 至𝑡! 價值 Path 1. 94.027. 98.042. 繼續持有. -. 96.079. Path 2. 111.281. 114.081. 繼續持有. -. 112.723. Path 3. 81.250. 94.571. 賣回. 96. 96. Path 4. 97.956. 100.547. 繼續持有. -. 96.079. Path 5. 112.037. 115. 115. Path 6. 95.861. -. 96.079. Path 7. 94.485. -. 96.079. Path 8. 66.915. 99.192. 繼續持有. -. 96.079. Path 9. 113.875. 117.622. 贖回. 115. 115. Path 10. 109.014. 111.230. 繼續持有. ‧. 109.670. 贖回 政 治 99.127 繼續持有大 立98.299 繼續持有. 學. ‧ 國. 115.083. Nat. sit. y. -. a. er. io. 以𝑡! 期之現金流量折現為 y，𝑡! 期股價為 x，做二次迴歸。. n. iv l ! − 4.66351266 𝑥 +n292.10235747 得到𝐸 𝑌 𝑥 = 0.02752151𝑥. Ch. engchi U. 可以找出各路徑之行動決策如下表 2.5：. 表 2.5 各條路徑在第𝑡! 期決策表 𝑡! 股價. t2 繼續持有. 行動. 𝑡! 獲利. 𝑡! 現金流量. 至𝑡! 價值. . Path 1. 102.780. 103.517. 繼續持有. -. 94.176. Path 2. 111.870. 114.823. 繼續持有. -. 110.491. Path 3. 84.814. 94.545. 繼續持有. -. 94.099. Path 4. 102.675. 103.412. 繼續持有. -. 94.176. Path 5. 103.993. 104.762. 繼續持有. -. 112.723. Path 6. 93.217. 96.529. 繼續持有. -. 94.176. 18 .
(25) Path 7. 93.909. 96.866. 繼續持有. -. 94.176. Path 8. 76.570. 96.375. 繼續持有. -. 94.176. Path 9. 105.662. 106.609. 繼續持有. -. 112.723. Path 10. 109.435. 111.350. 繼續持有. -. 107.498. 最後以𝑡! 期之現金流量折現為 y，𝑡! 期股價為 x，做二次方迴歸。 得到𝐸 𝑌 𝑥 = 0.02630785𝑥 ! − 4.40123876𝑥 + 276.91235531 可以找出各路徑之行動決策如下表 2.6 表： 行動 政 治 大 至𝑡 價值 立. 𝑡! 股價. 𝑡! 繼續持有. 𝑡! 獲利. 𝑡! 現金流量. 102.189. 102.189. 102.281. 102.281. -. 92.236. -. 92.312. y. 表 2.6 各條路徑在第𝑡! 期決策表. !. 101.877. 轉換. Path 2. 102.281. 101.966. 轉換. Path 3. 97.008. 97.528. 繼續持有. Path 4. 98.537. 98.665. 繼續持有. ‧. Path 5. 100.111. 99.963. 轉換. 100.111. 100.111. Path 6. 100.683. 100.467. 轉換. 100.683. 100.683. Path 7. 97.021. -. 92.312. Path 8. 84.419. -. 92.312. Path 9. 105.745. Path 10. 110.560. io. sit. Nat. er. ‧ 國. 102.189. 學. Path 1. n. a l97.538 繼續持有 i v n Ch U 92.849 繼續持有 engchi 105.678. 轉換. 105.745. 105.745. 111.886. 繼續持有. -. 105.370. 可統計出各路徑在個時間之行動表： 表 2.7 各條路徑全部時間行動表. . 𝑡! 行動. 𝑡! 行動. 𝑡! 行動. 𝑡! 行動. 𝑡! = 𝑇行動. Path 1. 轉換. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 還本. Path 2. 轉換. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 轉換. Path 3. 繼續持有. 繼續持有. 賣回. 賣回. 還本. 19 .
(26) Path 4. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 還本. Path 5. 轉換. 繼續持有. 贖回. 贖回. 轉換. Path 6. 轉換. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 還本. Path 7. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 還本. Path 8. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 還本. Path 9. 轉換. 繼續持有. 贖回. 贖回. 轉換. Path 10. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 繼續持有. 轉換. 在「較早執行過選擇權則之後不能再執行」的原則下，各路徑最佳執行時. 政 治 大 表 2.8 立各條路徑最佳時點及行動表. 間點以及行動為下表 2.8：. 𝑡! 行動. 𝑡! = 𝑇行動. -. -. -. -. 轉換. -. -. Path 2. 轉換. -. -. Path 3. -. -. 賣回. -. -. -. -. -. 還本. -. -. -. -. -. -. -. -. -. 還本. -. -. 還本. Nat. Path 1. Path 5. 轉換. Path 6. 轉換. Path 7. -. Path 8. -. -. Path 9. 轉換. -. -. -. -. Path 10. -. -. -. -. 轉換. C- h. e n g c h- i. sit er. n. al. y. -. io. Path 4. i n U. v. 最後將各路徑期之現金流量折現至𝑡! 期，得到下表： 表 2.9 各條路徑在𝑡! 期現金流量表 𝑡! 現金流量. . 𝑡! 行動. ‧. ‧ 國. 𝑡! 行動. 學. 𝑡! 行動. Path 1. 100.166. Path 2. 100.256 20 .
(27) Path 3. 90.409. Path 4. 90.484. Path 5. 98.129. Path 6. 98.689. Path 7. 90.484. Path 8. 90.484. Path 9. 103.651. Path 10. 103.283. 政 治 大 可轉債理論起始價值為立 96.6 元。. 由於 10 條路徑在𝑡! 期的現金流量之平均為 96.603，所以 LSM 法計算出本. ‧ 國. 學. 第四節 改進的 LSM. ‧. 本節中我們以信邦電子(3023)國內第三次無擔保可轉債為例，說明. y. Nat. io. sit. LSM 的改進方式及對定價之估計結果。其起始股價為 21.75 元，轉換價格. er. 為 24.2 元，期間為三年期。根據信邦之股價歷史資料，可得到日股價報酬. al. n. v i n 率參數為-0.0003498892，日股價報酬標準差為 0.02298017；並設定營業日 Ch engchi U 為每年 250 天，共模擬 5000 條路徑。因為計算方法是由後往前，選取最. 靠近到期日的轉換日以及贖回日作為觀察之對象，分別為第 744 期以及第 724 期*。本節各圖中的 y 軸為第 t+1 期現金流量，x 軸為第 t 期股價。 由於可轉債在金融商品到期日時若未被執行轉換、贖回或是賣回時， 會被發行公司依照發行條款還本(通常為票面金額)，因此當股價低於特定 的價位時，持有者均不會執行轉換，因為繼續持有至到期日的價值高過執 最後可執行轉換日及贖回日分別為到期日前 10 天及前 40 天，再依照每年 250 天之比 例做調整。 * . . 21 .
(28) 行轉換為股票得到的股票現值。. 學. ‧ 國. . 政 治 大 圖 2.1 最後可轉換日股價對現金流量圖 立 首先觀察最後可轉換日之圖形分布，圖 2.1 中 y 軸為第 745 期現金流. ‧. 量，x 軸為第 744 期股價，此時最低現金流量是 24.24068，並將圖 2.1(A). sit. y. Nat. 的左下角放大呈現於 2.1(B)。對於圖 2.1 的資料若以兩次方的迴歸模式配. io. al. er. 適 ， 得 到 估 計 的 條 件 期 望 值 為 E[Y|x] = 0.002357𝑥 ! + 0.586911 +. n. 13.24666，其結果如圖 2.2(A)所示。由圖中觀察股價若落在 50 元至 120. i n U. C. v. h e n g c h i 120 元，則現金流量小於其 元之間，則現金流量大於估計值；股價若大於 估計值。此種現象顯示以單一迴歸模式描述現金流量與股價之間的關係並 不恰當，這是因為部分路徑模擬出的股價較低，以致於在到期日時被還本， 則現金流量為還本金額，且因整條路徑的股價都偏低，在到期之前的各期 都無法被執行任一種選擇權，因而這些路徑向前回推而得到的各期現金流 量都相等，但各有不同之對應股價，因而在圖 2.2 中低股價的形成一條水 平線，且與其它路徑在同一期所衍生的現金流量分布大不相同。若對全部 的資料配適單一迴歸模式並據以預估繼續持有的價值，勢必因模式之不當. . 22 .
(29) 而產生不合理的估計，不但影響到當期選擇權的決策，也連帶影響了定價 的準確性。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 2.2 最後可轉換日全部路徑之兩次方迴歸配適圖. 若利用此單一迴歸所得之條件期望值估計繼續持有價值，且一旦轉換. sit. y. Nat. 價值大於繼續持有價值則進行轉換，例如第 2134 條路徑，其轉換價值為. a. er. io. 64.80475 元，而繼續持有價值為 61.25153 元，則採取轉換之行動。根據模. n. 擬結果，在本時間點之下，5000 條路徑中有 736 條路徑會執行轉換。 iv l. n U engchi 由於第 744 期是最後可執行轉換日，因而所有 5000 條路徑都可能進. Ch. 行轉換(包含自願轉換以及強迫轉換)，所以應將此時點所對應之 5000 個資 料點納入以配適迴歸線。接著，再探討是否應只對可執行贖回的部份或可 執行賣回的部份配適迴歸的問題；若有資料點同時符合幾種選擇權之執行 條件，則該資料點分別被納入其所符合之選擇權的各個資料集中，再對各 選擇權的資料集分別配適迴歸。以贖回的部份為例，觀察時點為最後可贖 回日(第 724 期)，圖 2.3(A)中橘色的點代表可執行贖回的路徑，雖然看起 來只佔少部分，但這些點其實非常密集且約佔全部資料的百分之四十，圖 . 23 .
(30) 2.3(B)則將這部份的點局部放大。. 學 ‧. ‧ 國. . 政 治 大 圖 2.3 最後可贖回日股價與現金流量—橘色部份為可執行贖回之路徑 立. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2.4 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回資料之迴歸配適結果. 就可執行贖回的部份而言，圖 2.4(A)中的紅線是由全部資料所配適出 的迴歸線，除了股價極低的部份，幾乎所有的點都在迴歸線的下方，圖 2.4(B) 的紅線則為只用可執行贖回的資料點所配適出的迴歸線；兩相比較，考慮 將可執行贖回的部份分割出來另外配適迴歸線，其方程式為E[𝑌! |𝑋! ] =. . 24 .
(31) 0.00644𝑥 ! − 0.20619x + 25.71410。然而，由圖 2.4(B)可以發現，即使單. 獨對可執行贖回的部份計進行配適，仍然會有不等變異的現象，需進一步 對迴歸模式再加以改進。本論文採用 Kind and Wilde(2004)在只考慮轉換資 料 的 情 況 下 ， 以 還 本 價 格 折 現 值 做 為 分 段 點 的 分 段 迴 歸 (Piecewise Regression)，並且對可執行贖回及可執行賣回的部份分別配適分段迴歸模 式。 然而，欲配適分段迴歸模式需先決定分段點(break point)。以下考慮的 三個分段點都與還本的折現值有關。在令 u 為到期日還本價值折現至當期. 治 政 大 的價值，第一個分段點是大於 u 的現金流量中所對應之最低股價，即圖 2.5 立 ‧ 國. 學. 中的 bp1(break point 1)；第二個分段點是現金流量為 u 之下所對應之最高. 股價，在圖 2.5 中表示為 bp2；第三個分段點即為 u，圖 2.5 中表示為 bp3。. ‧. 經嘗試後，因 bp1 的值有時會偏低，造成分段後的迴歸線仍然不符合資料. sit. y. Nat. 的變異情況，bp2 雖然在許多情況下都能做出良好的分段，但有跟 bp1 同. a. er. io. 樣的缺點，兩者都會因資料分布而改變，有時會產生過度偏離，以致於無. n. 法將資料做出良好的分割，相較於前面兩者，就如同 i v Kind and Wilde(2004) l. n U engchi 所提出的，以 bp3 作為分段點是較為合適的，不會因資料分布產生偏高或. Ch. 偏低的情形。接著，以 bp3 作為分段點，分別對大於分段點以及小於分段 點的部分各自配適迴歸線，再將兩個區域內的點分別帶入各自配適出來的 迴歸線，即可估計出各點繼續持有的價值。 就可執行轉換的全部資料而言，以 bp3 為分段點配適出兩條對於繼續 持有價值的方程式，並繪製於圖 2.6，圖中之垂直虛線即 bp3 之對應值； 小 於 分 段 點 之 估 計 方 程 式 為 E[𝑌! |𝑥! ] = −0.00057𝑥 ! + 0.99901x − 0.13034，而大於分段點所配適出的估計方程式為E[𝑌! |𝑥! ] = 0.00152𝑥 ! − . 25 .
(32) 0.03919x + 24.34761。在 5000 條路徑中，執行轉換的有 809 條，其中大 於分段點有 775 條，小於分段點有 34 條。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學 ‧. 圖 2.5 三種分段點所在位置. 下列各圖中將會用垂直虛線為標示分段點 bp3 的基準線。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2.6 可轉換路徑之分段迴歸 . 再者，分別對可執行贖回或是賣回的部份採用兩段迴歸方式進行配適， 且使用同樣的分段點選取方法，再利用得到的估計迴歸線進行執行選擇權 . 26 .
(33) 與否的決策。若將資料分段後再配適迴歸線，可以看出不論是轉換(圖 2.6) 或是贖回的部份(圖 2.7B)都較原本用全部的點配適一條迴歸線來的佳，圖 2.7 左右也比較了利用全部資料進行配適以及用可執行贖回部分進行配適 的差別，雖然在靠近分段點兩端會有無法銜接的情況，且迴歸線跟資料分 布仍然有些差距，但依舊勝於只用一單條迴歸線的情況，因此，本研究就 以此兩段迴歸的方法對於可轉債繼續持有的價值做估計。若是從數值的角 度探討，使用單一迴歸線之理論價格為 31.28 元，而改用分段迴歸的理論 價格為 26.18 元，與市場價格 24.2 元較為接近，且變異數也降低。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2.7 全部資料與可執行贖回資料對可執行贖回之兩段迴歸配適結果 . 不過，因為可執行贖回或賣回之路徑數較少，對資料做分段迴歸時， 需考慮到各段內的樣本數是否差異過大，就可執行贖回權的部份而言，若 符合的資料數較少且左右兩段內的資料數極不平衡，由於通常是右段的點 數少但現金流量較分散，以致仍會出現右段的迴歸配適值與實際值差異大 的現象。因而，當右段的資料量在可執行贖回權的資料中所佔的比例不到 百分之十時，就不再分段而對全部可執行贖回的資料配適單一的迴歸線。. . 27 .
(34) 至於賣回的部份也可做類似之考量。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. . Ch. engchi. 28 . i n U. v.
(35) 第三章 實證研究 在第二章提出對 LSM 的改進方向後，本章將介紹台灣的可轉債發行價 格的模擬計算流程及實證結果，並以 R 軟體執行模擬和計算。首先說明定 價模型及其各項因子，可供實證研究的各檔可轉債之挑選原則，並利用歷 史資料估計出各項因子所需的參數。最後，由模型所求出之理論發行價與 實際發行價的做比較分析，探討各項模型中的各項因子對於定價誤差所造 成之影響。. 政 治 大. 立. 第一節 規範模型及設定參數. ‧ 國. 學. 以LSM對個別可轉債進行定價時，因股價為狀態變數，需先以蒙地卡. ‧. 羅法模擬出股價在可轉債發行期間之表現。至於股價變動的隨機過程，本. sit. y. Nat. 論文採用的是幾何布朗運動(Geometric Brownian Motion)，第i期之股價(Si). al. er. io. 與前一期股價(Si-1)的關係式為:. n. 𝜎!! v 𝑆! = 𝑆!!! exp C𝜇! − 𝑑𝑡 + 𝜎! 𝑑𝑧 n, 𝑖i = 1, … , 𝑇 U h 2. engchi. 其中 µs 為股價之平均報酬率，σs 為股價報酬率之波動，Z 為標準常態隨機 變數；由於將以營業日為時間的單位，所以 dt=1。為便於操作，設定每年 營業日為 250 天；因而，3 年期的轉債 T=750，5 年期可轉債 T=1250。。 此外，在取得發行日之起始股價 S0 後，再從可轉債發行前股價的 n 期歷史 資料(wi)中估計出 µs 及 σs， 𝜇! = 𝜇 =. ! !!! 𝑤!. 𝑛. ,. 𝜎! =. 1 𝑛−1. ! !!!. (𝑤! − 𝜇)!. 在產生 T 個標準常態之亂數之後，即可模擬出 T 期的股價而得到一條完整 . 29 .
(36) 的模擬路徑。重覆上述過程 M 次即得到 M 條路徑。在實證研究中，對於 每檔可轉債之股價均模擬出 30000 條路徑，即 M=30000。 至於對現金流量的折現，我們採用 Kind and Wilde(2004)考慮有風險之 下折現現金流量的方法， 𝑌 = (1 − 𝑃!,! )×𝐶𝐹×exp (−𝑟𝑡) 其中 Y 為折現後現金流量，t 為時間間隔因取交易日故為 1，𝑃!,! 為信用評 等為 k 且可轉債已發行 j 年的日違約機率。 本研究採用台灣經濟新報(TEJ)資料庫中的 TCRI 信用評等來推估可轉. 治 政 大 債發行公司的違約機率，並以程羿(2012)估算的〝2000-2012 年 TCRI 平均 立 ‧ 國. 學. 一年移轉矩陣〞為基礎。該矩陣之每列代表原有評等於次年仍維持之或移 轉為其它評等的估計機率，並包含雖有原始評等但之後無資料所佔的比例。. ‧. 由於本論文只挑選有 TCRI 評等的公司，所以先把各列中無資料的比例予. sit. y. Nat. 以扣除後，再調整各列中每一評等的機率以使每列總和為 1.00，四捨五入. a. er. io. 後如表 3.1 所示，並以此調整後的矩陣為可轉債發行第一年的移轉矩陣，. n. 進而計算出各評等在發行第一年至第五年間可能的違約機率。值得注意的 iv l. n U engchi 是，考慮違約機率是為了計算發行公司違約造成可轉債持有者有所損失的. Ch. 風險，但若投資的是有擔保可轉債，持有者就不用承擔投資損失的風險， 因而在模擬的過程中設定有擔保可轉債之違約機率為零。 此外，雖然在發行期間信用評等可能會被調整，但在實際模擬進行定 價時，僅考慮發行可轉債當年的信用評等，因為移轉矩陣中已容許之後評 等改變的可能性。對大部分的無擔保可轉債而言，若在終止流通前，公司 又發行了有擔保之可轉債或認股權時，則無擔保可轉債具有與有擔保債券 相同的債權與擔保物權，亦即其擔保情況從無擔保變成有擔保，然因無法 . 30 .
(37) 預測這種情況發生的可能性，故在模擬定價的過程中不予考慮。 表 3.1 TCRI 平均一年期移轉機率矩陣 TCRI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D. 1 0.9210 0.0030 0 0 0 0 0 0 0 0. 2 0.0790 0.8473 0.0353 0.0011 0 0 0 0 0 0. 3 0 0.1175 0.8301 0.0308 0.0010 0 0 0 0.0009 0. 註：D 表示違約(Default). 4 0 0.0250 0.1190 0.8494 0.0679 0.0038 0.0012 0.0004 0 0. 5 0 0.0071 0.0121 0.0946 0.7864 0.0808 0.0106 0.0012 0.0010 0. 6 0 0 0.0017 0.0190 0.1203 0.7748 0.1375 0.0274 0.0094 0. 7 0 0 0 0.0038 0.0199 0.1135 0.6836 0.1476 0.0334 0. 8 0 0 0 0 0.0029 0.0203 0.1153 0.6660 0.1032 0. 9 0 0 0.0017 0 0.0005 0.0026 0.0262 0.1056 0.7567 0. D 0 0 0 0.0013 0.0012 0.0041 0.0256 0.0518 0.0955 1. 政 治 大. 台灣市場的可轉債都具有轉換價格的重設以及調整，在本研究中的可. 立. 轉債都為可調整，少部分可重設。可轉債轉換價格的調整有幾種不同的原. ‧ 國. 學. 因，若是為了因應反稀釋，則因無法預測反稀釋情形的發生，所以在定價. ‧. 過程中並不考慮，除了平均股價太低做的向下重設之外，也可能依據該公. sit. y. Nat. 司當年度發放的現金股利而在除息基準日向下調整做轉換價格。本論文以. er. io. 可轉債發行前之五年的平均現金股利為依據，並假定各可轉債均以六月三. n. a 十日為除息基準日。因為現金股利佔除息基準日股價的比率需高於 1.5%才 iv. l C n U h engchi 會進行轉換價格調整，所以在模擬時，對於現金股利的平均比率低於 1.5% 的公司，設定其為不調整轉換價格；若是現金股利的平均比率在 1.5%~3% 間，但標準差大於 2%時，因無法確認其是否會進行轉換價格調整，所以. 就秉除在我們的研究之外，其餘的公司則是依現金股利的平均比率，每年 調整其轉換價格。 以下三種情況同樣因無法預測，所以在定價時也不予考慮。一、可轉 債在市面流通之比例低於 10%時，發行公司得將剩下的可轉債全部贖回， 二、執行轉換後不論是否可領取當年度之現金股利，皆不計算該股利價值，. . 31 .
(38) 三、股票股利、無償配股除權基準日及現金股息除息基準日前三日為轉換 凍結期，不能執行轉換。 為因應台灣的發行公司在繼續持有價值高於贖回價格時並不會嚴格執 行立刻贖回的動作，贖回條件就只考慮連續數天(通常為 30 個營業日)的收 盤股價超過轉換價格的 30%以上；而賣回權通常給予持有者一個月的考量 期間，所以設定此期間的股價小於轉換價才可能執行；自願性的轉換以及 強迫性的轉換合併為轉換，並且只考慮執行期間的限制。此外，轉換率𝛾! 在 台灣市場中設定為 1。因此，依據台灣可轉債市場的特性，修訂一般可轉. 持有者賣回. 學. 行動類型. 執行條件. 執行之限制期間. 獲得價值. 若 𝑃! > 𝑉!!. 𝑡 ∈ Ω!"# ∩ Ω!"#$. 賣回價格𝑃!. ‧. ‧ 國. 治 政 大 債之的執行決策表(表 1.2)為表 3.2。 立 表 3.2 台灣可轉債之執行動作及決定方式 且 𝑃! > min (𝑆!!! ). y. sit. 若𝑉!! > 𝐶!. al. 𝑡 ∈ Ω!"## ∩ Ω!"#$. n. 且𝑆!!! ≥ 0.3(𝐶𝑜𝑛!!! ). Ch. i=1,…,30 轉換 繼續持有. 若𝐶𝑜𝑛! >. 𝑉!!. 贖回價格𝐶!. er. io. 發行公司贖回. Nat. i=1,…,30. engchi. 其他情況. i n U. v. 𝑡 ∈ Ω!"#$. 轉換價格𝐶𝑜𝑛!. -. -. 第二節 研究資料篩選 本論文的研究對象為民國 99 年發行的三年期或五年期可轉換公司債， 挑選條件為: 一、公司的股票在 94 年以前已上市(櫃): 藉由股價的歷史資料估計出幾何 布朗運動模式中的參數後，即可模擬出發行後至到期日的股價，而為 . 32 .
(39) 了避免股價的歷史期間太短以致估計誤差大，所以挑選發行前已有五 年以上股價歷史資料的公司； 二、從可轉債發行至今，該公司的股票未被終止上市(櫃)，例如: 被合併 或是破產等情況； 三、公司發放穩定的現金股利：避免因股利波動過大，而影響轉換價格的 調整； 四、台灣經濟新報(TEJ)資料庫中有該公司的信用風險指標 TCRI。. 治 政 大 另外，慶豐富(9935)於民國 99 年 5 月 3 號同時發行了兩檔可轉債，除 立 ‧ 國. 學. 發行總額及擔保銀行不同外，其它條款完全相同，則視為只有一檔可轉債， 因為模擬所需之參數值及定價過程之設定都相同；但元山(6275)發行了一. ‧. 檔五年無擔保以及一檔三年有擔保的可轉債，因具有不同發行條件設定，. sit. y. Nat. 這兩檔就被分開探討。在經過上述的條件篩選之後，得到 70 檔可轉債，. al. n. 表 3.3 所示。. er. io. 其發行日期、TCRI、提供的擔保狀態、到期年、發行總額及發行價格，如. i n U. Ch. v. e n g c h i 、發行總額及發行價格 表 3.3 可轉債樣本之發行條件、TCRI 公司名稱 代碼 發行日期 TCRI 擔保 到期年 發行總額* 發行價格 恩德 1528 2010/7/26 6 無 5 3 14.7 中電 1611 2010/6/4 5 無 5 12 23.49 榮星 1617 2010/9/8 7 有 5 4 11.8 合世 1781 2010/2/8 8 有 3 1 15 南港 2101 2010/1/22 6 有 5 15 48.42 友訊 2332 2010/1/12 4 無 5 2 37.5 佳能 2374 2010/2/6 3 無 5 15 60 台光電 2383 2010/6/22 5 無 5 4 28.5 立隆電 2472 2010/8/31 6 有 3 3 26 強茂 2481 2010/6/30 6 無 3 5 31.1 一詮 2486 2010/5/6 5 無 5 22 56.5 瑞軒 2489 2010/1/4 4 無 5 40 37.5 東貝 2499 2010/9/28 5 無 5 15 51 全坤建 2509 2010/5/3 5 有 3 10 28.8 . 33 .
(40) 2010/6/24 5 有 2010/8/18 5 無 2010/5/25 5 無 2010/6/23 4 無 2010/9/27 6 無 2010/1/11 4 無 2010/6/29 6 有 2010/7/28 7 有 2010/2/2 6 有 2010/10/1 5 無 2010/8/12 6 無 2010/4/16 6 無 2010/8/5 7 有 2010/6/7 7 無 2010/9/9 6 有 2010/9/6 5 無 2010/1/26 6 有 2010/11/25 7 有 2010/6/17 5 無 2010/8/6 5 無 2010/1/8 4 無 2010/9/3 4 無 2010/10/21 9 有 2010/1/14 6 無 2010/10/14 5 無 2010/4/12 8 無 2010/2/9 6 無 2010/4/21 6 無 2010/2/10 5 無 2010/6/22 5 無 al 2010/10/22 6 有 Ch e8 n g c有h i 2010/3/1 2010/9/27 3 無 2010/8/9 4 無 2010/7/8 6 無 2010/11/1 7 有 2010/1/5 8 有 2010/6/25 7 有 2010/3/25 5 無 2010/10/28 7 無 2010/10/29 7 有 2010/7/6 8 有 2010/11/17 5 無 2010/2/10 5 無 2010/8/10 4 無 2010/5/11 6 有 2010/6/8 6 無 2010/4/20 6 有. 5 5 3 7 3 8 2 1 3 10 3 5 3 2 2 3 6 5 5 6 7 10 7 4.5 2.5 2 2.5 4 2 10 3 3 6 8 5 3 0.8 2 10 1.52 1.98 3.5 4 1.3 18 2.5 3 8. er. sit. y. ‧. n. 34 . 學. ‧ 國. 立. 3 5 3 5 5 3 5 3 3 5 3 5 3 3 5 5 3 3 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 3 5 v i 3 n U3 5 5 5 3 5 3 5 5 3 3 3 5 5 3 5 5. 政 治 大. io. . 2520 3003 3023 3026 3027 3042 3047 3202 3217 3260 3299 4306 4527 4722 4903 4909 5009 5213 5351 5388 5392 5469 5505 5608 6108 6127 6133 6150 6164 6168 6170 6177 6191 6206 6207 6215 6217 6226 6257 6275 6275 6287 8039 8050 8070 8091 8103 8112. Nat. 冠德 健和興 信邦 禾伸堂 盛達 晶技 訊舟 樺晟 優群科 威剛 帛漢 炎洲 方土霖 國精化 聯光通 新復興 榮剛 亞昕國際 鈺創 中磊 應華 瀚宇博 和旺 四維航 競國 九豪 金橋 撼訊 華興 宏齊 統振 達麗 精成科 飛捷 雷科 和椿 中探針 光鼎 矽格 元山 元山* 元隆電 台虹 廣積 長華 翔名 瀚荃 至上. 23.4 35.43 24.2 43.5 21 57.6 22.97 18.87 26.7 45.8 40 26.67 16.52 18.1 11.2 45.48 21.31 34.01 27.89 22.02 190 28.5 45.75 46.2 31.5 21.3 12.2 63.85 25.77 36 24.1 22.12 22.5 90.2 46.8 28 21.7 15.63 21 21.06 21.6 15.35 62.1 54 166.1 43.9 43.8 28.73.
(41) 華宏 8240 2010/5/14 富鼎 8261 2010/7/1 中日新 8266 2010/7/6 北基 8927 2010/9/17 富堡 8929 2010/6/3 森鉅 8942 2010/10/28 高力 8996 2010/1/7 慶豐富 9935 2010/5/3 註 1：代碼即股票代號。. 6 6 7 6 6 5 6 7. 無 有 有 有 有 無 無 有. 5 3 3 3 3 5 5 5. 5 3 2 3 1.5 7 2 4, 1. 68.95 34.4 27.6 16.07 35.75 26.8 50.7 12.78. 註 2：發行總額單位為億元新台幣 註 3：元山*為元山三年期有擔保可轉債 註 4：慶豐富發行內容相同的兩檔可轉債，總額分別為 1 億元及 4 億元. 政 治 大. 上述之可轉債除可進行轉換之外，大部分皆同時具有持有者賣回跟發. 立. 行公司贖回的條款，僅有四檔(3202、3042、6164、8929)可轉債沒有持有者. ‧ 國. 學. 賣回權，兩檔(1617、2481)沒有發行公司贖回權，不過也有一檔(4722)僅具 有轉換的權利，是十分特別的案例。. ‧ er. io. sit. y. Nat. 第三節 結果分析. 在本節中，主要會對模擬出的定價與發行價格的差異進行分析，並探. al. n. v i n Ch 討有哪些因子可能會影響定價差異。有關定價差異的指標採用模擬價格與 engchi U. 發行價格的定價偏差比(mispricing rate)，而其公式為： 發行價格 − 模擬價格 模擬價格. 其中發行價格是由可轉債發行時依票面金額的比例而決定，例如榮剛(5009) 是依照票面金額 101%發行，在 70 檔可轉債中大多是依照票面金額十足 (100%)發行，只有四檔(2374、3202、5009、5351)可轉債的發行價格略高 於票面金額的 100%。至於模擬價格，則為 LSM 法所估計出的期初價值。 為比較分段迴歸是否能改善定價的偏差現象，對於各時點期望持續價值之 . 35 .
(42) 估計分別採用單一迴歸及兩段迴歸，並區分兩種方法為 LSM1 及 LSM2。 表 3.4 為發行前五年之平均股利、股價參數 µˆ s 及 σˆ s、LSM1 模擬價格、LSM1 定價偏差比、LSM2 模擬價格及 LSM2 定價偏差比。 表 3.4 平均股利、股價參數估計值、兩種模擬價格及定價偏差比 LSM2 定. 模擬價格. 模擬價格 價偏差比. 價偏差比. 0.0234. 18.5602. 18.9564. -0.208. -0.2245. 0.0008. 0.0275. 28.6622. 26.6984. -0.1805. -0.1202. 0.0003. 0.0208. 14.3018. 12.9149. -0.1749. -0.0863. 1781. 0.0077 -0.0017. 0.0356. -0.6527. 0.0076. 2101. 0.0075. -0.3032. -0.3101. 2332. 0.0383. 2374. 平均. 代碼. 股利. 1528. µˆ s. σˆ s. 0.0399. 0.0001. 1611. 0.0464. 1617. 0.0223. LSM1. LSM2. 治 14.8872 政 43.1853 大 0.0002立0.0316 69.4899 70.1807 48.3069. 35.1066. -0.2237. 0.0682. 0.0464. 0.0009. 0.0279. 60.6319. 59.253. -0.0104. 0.0126. 2383. 0.0105. 0.0009. 0.0298. 31.8491. 28.4426. -0.1052. 0.002. 2472. 0.0056. 0.0003. 0.0316. 27.5157. 28.3048. -0.0551. -0.0814. 2481. 0.0108. 0.0004. 0.0337. 35.504. 35.8374. -0.124. -0.1322. 2486. 0.027. 0.001. 0.0297. 58.7898. 49.8335. -0.0389. 0.1338. 2489. 0.0265. 0.0008a 0.0325. -0.1521. -0.0733. 2499. 0.0091. 0.0004. -0.1414. -0.1503. 2509. 0.0372. 0.0011. 44.2287 40.4663 iv l C n 0.0291 60.0203 h e n59.4019 gchi U. 2520. 0.0179. 3003. 0.0331. n. er. io. sit. y. ‧. ‧ 國. 0.0274. 學. 0. Nat. . LSM2 定. 公司. 0.0352. 34.1917. 31.9248. -0.1577. -0.0979. 0.0008. 0.0345. 27.3589. 25.0908. -0.1447. -0.0674. 0.0005. 0.024. 40.7818. 38.1007. -0.1312. -0.0701. 3023. 0.0561 -0.0003. 0.023. 31.1463. 26.1396. -0.223. -0.0742. 3026. 0.0554 -0.0001. 0.0234. 57.8757. 45.042. -0.2484. -0.0342. 3027. 0.0522. 0.0005. 0.0262. 24.1183. 22.1993. -0.1293. -0.054. 3042. 0.0354. 0.001. 0.0307. 62.7493. 59.7282. -0.0821. -0.0356. 3047. 0.0056. 0.0009. 0.0273. 24.7325. 21.9942. -0.0713. 0.0444. 3202. 0.0406 -0.0001. 0.0286. 24.778. 21.9177. -0.2386. -0.1392. 3217. 0.032. 0.0303. 31.5152. 32.6061. -0.1528. -0.1811. 0.0002. 36 .
(43) 3260. 0.0234 -0.0007. 0.0339. 111.9572. 49.6623. -0.5909. -0.0778. 3299. 0.0387. 0.0007. 0.0285. 44.5636. 41.9897. -0.1024. -0.0474. 4306. 0.0213. 0.0005. 0.024. 29.1672. 27.3643. -0.0856. -0.0254. 4527. 0.0277. 0.0001. 0.0209. 21.9253. 22.4492. -0.2465. -0.2641. 4722. 0.0514. 0.0003. 0.0233. 26.9119. 20.0714. -0.3274. -0.0982. 4903. 0. 0.0012. 0.0393. 12.9737. 11.0605. -0.1367. 0.0126. 4909. 0.0469. 0.0003. 0.0282. 55.6327. 56.5874. -0.1825. -0.1963. 5009. 0.0367. 0.0001. 0.027. 23.6394. 24.5274. -0.0985. -0.1311. 5213. 0. 0.0017. 0.0547. 41.1089. 37.2698. -0.1727. -0.0875. 5351. 0.0223 -0.0001. 0.0343. 38.9007. 25.8223. -0.2866. 0.0747. 5388. 0.0534 -0.0003. -0.0209. -0.021. 5392. 0.0113. 治 22.4924 政 22.4905 0.027 大. 5469. 0.0314 -0.0001. -0.0658. -0.0274. 0.027. 36.5531. 24.6874. -0.2203. 0.1544. 0.0011. 0.034. 49.3826. 46.8627. -0.0736. -0.0237. ‧ 國. 195.3436. 學. 203.3913. 5608. 0.0826. 0.0002. 0.026. 55.5694. 45.5344. -0.1686. 0.0146. 6108. 0.0418. 0.0002. 0.0267. 38.1214. 38.6438. -0.1737. -0.1849. 6127. 0.0103. 0.0008. 0.0313. 25.801. 25.1015. -0.1745. -0.1514. 6133. 0.0414 -0.0004. 0.023. 20.1879. 12.4539. -0.0204. 6150. 0.0062. -0.1864. -0.1157. 6164. 0.0356. a l 0.0378 78.4743 72.203 v i n Ch e n30.4614 0.0009 0.0331 g c h i U28.333. -0.3957. -0.154. -0.0905. 6168. 0.0218. 0.0001. 0.0321. 47.5795. 49.2022. -0.2434. -0.2683. 6170. 0.0259. 0.0002. 0.0307. 28.3287. 29.4055. -0.1493. -0.1804. 6177. 0. 0.0007. 0.0308. 27.4518. 25.5427. -0.1942. -0.134. 6191. 0.0277 -0.0007. 0.026. 48.4698. 19.444. -0.5358. 0.1572. 6206. 0.0485. 0.0003. 0.0271. 106.7358. 108.4695. -0.1549. -0.1684. 6207. 0.05. 0.0004. 0.0275. 50.1797. 50.739. -0.0674. -0.0776. 0.0262 -0.0005. 0.0262. 41.9664. 31.3478. -0.3328. -0.1068. n. er. io. sit. y. ‧. 0. Nat. 5505. 6215. . 立0.0346. 0.0017. 0.0013. 6217. 0. 0.0004. 0.0352. 28.1819. 28.6477. -0.23. -0.2425. 6226. 0.0055. 0.0006. 0.0288. 18.6653. 17.2492. -0.1626. -0.0939. 37 .
(44) 6257. 0.0496 -0.0007. 0.0352. 52.6196. 24.3975. -0.6009. -0.1393. 6275. 0.0299. 0.0004. 0.0327. 25.6313. 22.4165. -0.1783. -0.0605. 6275* 0.0299. 0.0004. 0.0327. 26.3363. 27.0946. -0.1798. -0.2028. 6287. 0. 0.0008. 0.041. 18.0005. 16.151. -0.1472. -0.0496. 8039. 0.0288. 0.0001. 0.0323. 80.7618. 84.1957. -0.2311. -0.2624. 8050. 0.0376. 0.0001. 0.0314. 72.2613. 73.1707. -0.2527. -0.262. 8070. 0.0485. 0.0002. 0.0272. 202.502. 207.2516. -0.1798. -0.1986. 8091. 0.0639. 0.0006. 0.0301. 52.0076. 47.4111. -0.1559. -0.0741. 8103. 0.057. 0.0004. 0.0299. 51.1145. 51.9314. -0.1431. -0.1566. 8112. 0.0274. 0.0002. 0.0313. 38.3845. 38.7604. -0.2515. -0.2588. 8240. 0.0255 -0.0001. -0.0154. -0.0166. 8261. 0.0189. 治 70.1116 政 70.0263 0.035 大. 8266. 0.0411 -0.0002. 8927. 0.0181. 8929. 0. 立0.0353. 43.6363. -0.1835. -0.2117. 0.0334. 37.006. 31.7009. -0.2542. -0.1294. 0.0002. 0.025. 19.1813. 20.0054. -0.1622. -0.1967. 0.0025. 0.0441. 41.4535. 39.8273. -0.1376. -0.1024. 8942. 0.0297 -0.0003. 0.024. 41.2295. 30.9015. -0.35. -0.1327. 8996. 0.0534. 0.0012. 0.0237. 54.4802. 53.2348. -0.0694. -0.0476. 9935. 0.0057. 0. 0.0274. 17.7362. 13.7311. -0.2794. -0.0693. n. i n U. l C 註 1：第二項 6275 為元山三年期有擔保可轉債. hengchi. er. io. sit. y. ‧. Nat. a. 學. 42.1315. ‧ 國. 0.0001. v. 首先對 LSM1 及 LSM2 的定價偏差比做比較，圖 3.1 為 70 檔可轉債分 別以 LSM1 及 LSM2 得到的定價偏差比。LSM1 得到模擬價格均大於發行 價格，因而其定價偏差比都小於 0，且有 5 檔定價偏差比超過-0.4。至於 LSM2 中，則有 11 檔模擬價格低於發行價格，但其偏差比都不超過 0.17 且其中 4 檔偏差比在 0.02 內；其餘模擬價格高於發行價格的 59 檔其偏差 比都大於-0.31，而偏差比大於-0.2 的有 10 檔。此外，43 檔的可轉債之 LSM1 的模擬定價及偏差比絕對值大於 LSM2 的模擬結果。 . 38 .
(45) 立. 政 治 大. 圖 3.1 LSM1 及 LSM2 之定價偏差比. ‧ 國. 學. 整體而言，改進後的最小平方蒙地卡羅法 LSM2 可降低定價偏差，然. ‧. 而也會有低於發行的價格的現象。表 3.5 則提供了兩種方法的偏差比的平. sit. y. Nat. 均、標準差、均方根誤差(root mean squared error, RMSE)，LSM2 的偏差比. a. er. io. 之平均數的絕對值、標準差、RMSE 都小於 LSM1 的。其中均方根誤差乃. n. 根據 Ammann et al.(2008)的定義，為各可轉債定價偏差比的平方和除以樣 iv l 本數後再開根號。. Ch. n U engchi. 表 3.5 定價偏差比依 LSM1 及 LSM2 之統計 平均數. 標準差. 均方根誤差. LSM1. -0.195070978. 0.127304914. 0.232438606. LSM2. -0.095080766. 0.100269658. 0.137661642. 由兩種方法得到的 70 檔可轉債之偏差比形成兩組相依樣本，以無母數. . 39 .
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