數值模擬與安全指標探討

3-1 軌道不平整輸入

軌道列車於行駛時，鋼輪和軌道間持續保持著交互作用，包括磨耗、撞擊等 等，不僅造成鋼輪和鋼軌的品質下降，行車的安全性也因此大打折扣，因此軌道 不平整的作用，實為模擬時不可缺少的關鍵要素之ㄧ。軌道列車於行駛時，會遭 遇到各種不同的軌道狀況，總括來說，軌道的不平整狀況包括以下四種[28]：

1. 軌距(gague)不整：標準的軌距為左右兩條軌道的鋼軌面往下 14 mm 處相距的 最短距離，台北捷運公司的標準軌距為 1,435 mm，軌距不整則指軌道的左右兩 鋼軌未保持標準軌距之距離。

2. 水平(cross-level)不整：水平不整為左右兩側鋼軌未保持在正規高度，即直軌段 的兩鋼軌未保持水平齊高，彎軌段未保持在規定的超高斜面，在此為超高(cant) 作一說明，因軌道車輛不像一般的車輛有差速器，一般的車輛於過彎時，內外 輪所走的距離不一樣，但平面道路的狀況卻是千百種，所以一般的車輛用差速 器來矯正；而軌道車輛過彎時，是利用左右兩側的高低不同，即軌道超高(rail cant)來過彎，當列車行經彎軌時，未依規定的速度來過彎，重量會加重於內軌，

造成對軌道的損壞；反之，軌道的超高不足(cant deficiency)也會對鋼軌造成損 壞，而導致出軌。

3. 高低(prolife)不整：左右任一側的鋼軌表面發生凹凸的現象，即為高低不整。道 床、路基的下沉，或於軌條接頭處，因列車的衝擊，導致下沉，為凹凸較大者 的現象；凹凸較小者的現象則為輪軌間之波狀磨耗。

4. 方向(alignment)不整：為同一側軌條左右橫向歪扭，即直軌段不直，彎軌段未 保持正規之正矢，此狀況發生時，會對軌道產生動態衝擊力。

圖 3-1 則為高低不整和方向不整的示意圖[25]。

上述的四種軌道不整狀況，其中方向不整和水平不整會相互影響且有加成的 作用，因此我們模擬時，將以此兩種軌道不平整為輸入的依據。美國聯邦鐵路局 (Federal Railroad Administration, FRA)訂定的軌道不平整激振程度(分為六級)和軌 道不平整的能量頻譜密度函數(PSD)，如表 3-1 所示[25]，表中的式子各為水平不 整及方向不整的函數表示式，其中代表波數(

V

f

 )，單位為 cycle/feet，以 cpf 表示，f 為頻率，V 為速度，由於台北捷運局規定電聯車的最高營運時速為 80 km/h，

故上式的V 主要以此值為優先代入，但在模擬不同速度下的各種動態響應時，在

此所代入的速度值也將隨之改變。而本研究採用的軌道狀況也以最差的狀況，即 第一級的參數為優先來模擬，但若有模擬不同軌道等級的動態響應時，所代入的 等級參數也會隨之改變。我們先將表 3-1 中的第一級軌道參數代入水平及方向不 平整函數表示式，另將S()轉換成S( f)，而繪出圖 3-2 之水平與方向軌道不平整

能量頻譜密度圖，再經過一連串的傅利葉轉換處理後[9]，形成疊加的位移函數，

微分此位移函數即可得軌道不平整的速度函數，而在第一輪軸組後面的第二、第 三及第四輪軸組則各加入時間延遲項，最後，位移與速度函數分別乘上軌道的勁 度係數與阻尼係數，可整理出軌道不平整的式子如下：

1. F_liy1F_riy1 2K_ry



y_r1 y_w1



2C_ry



y_r1y_w1



(3-1) 2. F_liy2 F_riy2 2K_ry



y_r2 y_w2



2C_ry



y_r2 y_w2



(3-2) 3. F_liy3 F_riy3 2K_ry



y_r3 y_w3



2C_ry



y_r3 y_w3



(3-3) 4. F_liy4 F_riy4 2K_ry



y_r4 y_w4



2C_ry



y_r4 y_w4



(3-4) 5. F_liz1 F_riz1 2K_rz



z_r1 z_w1



2C_rz



z_r1 z_w1



(3-5) 6. F_liz2 F_riz2 2K_rz



z_r2 z_w2



2C_rz



z_r2 z_w2



(3-6) 7. F_liz3 F_riz3 2K_rz



z_r3 z_w3



2C_rz



z_r3 z_w3



(3-7) 8. Fliz4 Friz4 2Krz



zr4 zw4



2Crz



zr4 zw4



(3-8)

式子中，K_ry、K 、_rz C_ry、C 為軌道的橫向與垂向勁度係數和阻尼係數，_rz 如圖 3-3 所示，而勁度係數乘上的相對位移，分別為四組輪軸組的質心相對於 軌道不平整的位移；阻尼係數乘上的相對速度，則為四組輪軸組的質心相對於 軌道不平整的速度，其代號如表 3-2 所示。

3-2 振幅分析

以台北捷運電聯車的設計規範為準，最高時速為90 km/h，最高營運時速為80 km/h，模擬時，以最高營運時速為優先，時間項的方面，因台北捷運電聯車於各 區站間的平均行駛時間約為一分多鐘左右，故模擬時間採 90 秒，強制力的輸入則 為軌道不平整，台北捷運電聯車規定輪軸組的橫向位移 6 mm 為輪緣極限值[9]，

若超過此極限值，就會有輪緣磨耗和橫向力產生的情形。

軌道車輛行駛於彎軌時，由於離心力的作用，許多不同的運動型態也跟著產 生，諸如車廂滾動、側向力增加等等。軌道車輛於彎軌時的情形如圖 3-4 所示，由 於軌道車輛沒有差速器，而是藉由軌道超高來過彎，其目的是要使列車行駛於彎 軌時，合力和軌道面垂直而定的，但由於許多原因限制了超高的最大值，當通過 曲線段的速度太高時，以致超高無法抵消離心力，即所謂的超高不足量，圖中的 c

即為超高， 則為超高角(Angle of rail cant)，a 為二分之一軌距，m 為軌道車輛平_ct

安全的評估包括 Nadal ratio 和輪軸減重率兩種指標；Nadal ratio 為爬上型出軌 的安全指標，亦稱出軌比；輪軸減重率則為跳上型出軌的安全指標，在此為這兩

3-3-1 Nadal ratio

從上述兩種形式的出軌可以得知，皆是因橫向力的產生所致，而Nadal ratio為 橫向力與垂向力的比值，是最常被當作安全評估的指標，圖3-7可以幫助我們對 Nadal ratio有更深入的了解：



Kalker 曾用線性化理論來描述潛滑力，鋼輪的滾動接觸如圖3-8所示[29]，此理 論必須假設在潛滑率很小時才適用，由圖可知，潛滑力必小於輪軌間之摩擦力，

故以摩擦力代表上限值，

YQ的上限值，即Nadal ratio的上 限值，也是世界各國軌道車輛系統定義安全標準的出軌比(derailment quotient)，表 3-3為世界各國所訂定的出軌比[19]，其數值多介於0.8至1.2之間，本研究則採用表 格中台灣的標準1.0，此項安全性指標適用於爬上型出軌，超過此上限值，則將有 爬上型出軌的危險。

3-3-2 輪軸減重率

另一種安全指標為輪軸減重率，適用於跳上型出軌，但較少人以它為安全指 標的基準，本研究則以Nadal ratio 為第一安全考量，輪軸減重率為第二安全考量。

輪軸減重率為跳上型出軌的安全指標，當軌道列車靜止時，軸重(車重平均分配於



yB₁ zB₁ B₁ B₁



^T

5 

p (3-18)



yB₂ zB₂ B₂ B₂



^T

6 

p (3-19)



yc zc c c



^T

7 

p (3-20)

上式中，上標T表示轉置矩陣。而p與A、B定義如下：



p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7



^T

p        (3-21)



 



 ^{ }

C M -K M

-I

A O²⁸_-1^{28 28}_-1²⁸ (3-22)



 



 ^ F M

B O²⁸_-1¹ (3-23)

上式中，O為零矩陣，I為單位矩陣。將governing equation MX CX KX F轉 換成state-space form的式子，可為電腦軟體MATLAB所接受，進而解得(3-21)式的 動態響應，代入的參數為台北捷運局的軌道車輛標準參數，如表3-4、表3-5所示[9]。

表 3-1 軌道不平整能量頻譜密度函數表(PSD)

Parameter Value of parameters by track class Process

track geometry

Model

Symbol Unit 6 5 4 3 2 1 Stationary random

Ag 10⁴in.²/cpf 0.3 0.5 0.9 1.6 2.8 5.0 Alignment Same as profile

k ft^-1 0.57 0.46 0.35 0.20 0.15 0.12 ()

Sa : alignment power spectral density ()

Sc : cross-level power spectral density A : roughness constant of alignmenta

A : roughness constant of cross-levelc

: spatial frequency

、1 : break frequencies₂

表 3-2 輪軸組與軌道不平整之位移與速度變數表 Lateral

Displacement

Lateral Velocity

Vertical Displacement

Vertical Velocity

Wheelset 1 yw1 y_w1 z_w1 z_w1

Wheelset 2 yw2 y_w2 z_w2 z_w2

Wheelset 3 yw3 y_w3 z_w3 z_w3

Wheelset 4 yw4 y_w4 z_w4 z_w4

Rail Irregularity

1

y 、r y_r2

3

y 、r y_r4

1

y 、r y_r2

3

y 、r y_r4

1

z 、r z_r2

3

z 、r z_r4

1

z、r z_r2

3

z 、r z_r4

表3-3 世界各國軌道車輛系統所設定之Nadal ratio (出軌比)[19]

Derailment Quotient (出軌比)

Taiwan Japan North

America

Europe Mainland

China

YQ 1.0 0.8~1.0 1.0 0.8 1.0~1.2

表 3-4 台北捷運局軌道車輛標準參數表[9]

Model parameter Value Unit

Carbody mass(without passengers) 24180 kg Roll moment of inertia of carbody 44720 kgm² Pitch moment of inertia of carbody 899740 kgm² Yaw moment of inertia of carbody 899740 kgm²

Bogie mass 4,118 kg

Roll moment of inertia of bogie 1,960 kgm² Pitch moment of inertia of bogie 6,230 kgm² Yaw moment of inertia of bogie 6,230 kgm²

Wheelset mass 1,731 kg

Roll moment of inertia of wheelset 1,026 kgm² Pitch moment of inertia of wheelset 107 kgm² Yaw moment of inertia of wheelset 1,026 kgm²

Nominal radius of wheel 0.425 m

Half of track gauge 0.7175 m

Wheel conicity 0.03

Longitudinal stiffness of primary suspension 7.2 kN/mm Longitudinal damping of primary suspension 17.2 kNs/mm Lateral stiffness of primary suspension 5.51 kN/mm Lateral damping of primary suspension 17.2 kNs/mm Vertical stiffness of primary suspension 1.48 kN/mm Vertical damping of primary suspension 6.0 kNs/mm Longitudinal stiffness of secondary suspension 0.164 kN/mm Longitudinal damping of secondary suspension 0.0322 kNs/mm Lateral stiffness of secondary suspension 0.164 kN/mm Lateral damping of secondary suspension 0.0322 kNs/mm Vertical stiffness of secondary suspension 0.285 kN/mm Vertical damping of secondary suspension 0.0229 kNs/mm Half clearance of primary suspension at bogie side 1.05 m Half clearance of primary suspension at wheelset side 1.05 m Half clearance of secondary suspension at bogie side 1.05 m Half clearance of secondary suspension at carbody side 1.05 m

表 3-5 潛滑係數與輪軌接觸參數表

Model parameter Value Unit

Lumped lateral rail stiffness (including ballast) 14 kN/mm Lumped vertical rail stiffness (including ballast) 21 kN/mm

Lateral damping of rail 1.72 kNs/mm

Vertical damping of rail 1.72 kNs/mm Lateral creep force coefficient 800 kN Lateral / Spin creep force coefficient 1.2 kNm² Spin creep force coefficient 1.0 kN Longitudinal creep force coefficient 800 kN

圖 3-1 高低不整與方向不整示意圖[25]

圖3-2 水平與方向軌道不平整能量頻譜密度函數 (車速80 km/h)

圖 3-3 軌道之勁度係數與阻尼係數示意圖

圖 3-4 軌道車輛行駛於彎軌示意圖[32]

圖 3-5 軌道車輛行駛之衝擊角示意圖[33]

圖3-6 爬上型出軌之過程圖[19]

圖 3-7 輪軌接觸受力示意圖[28]

圖 3-8 滾動接觸示意圖[29]

在文檔中 軌道車輛之動態分析及實車測試驗證(2/2) (頁 49-63)