數學科教學較常見之資訊科技工具

在數學科教學中，較常見之資訊科技工具除了各種類型之電腦外，另有虛擬 教具、動態幾何軟體、圖形計算器、電子白板、電腦輔助教學軟體等五類。為方 便讀者了解本研究在第四章所呈現之文獻分析內容，此節詳細說明上述五類工具 之主要功能。

一、 虛擬教具

顧名思義，虛擬教具乃是將實體教具虛擬化，以電腦上的動態物件來取代實 體教具。它們可以是放置在網路上或是單機版的應用軟體。使用者可使用滑鼠對 電腦螢幕上具有互動性的視覺化動態物件，進行類似實體教具的操作，像是旋轉、

移動等，從中建構數學知識。它們與實體教具通常有著類似的名稱（Moyer et al, 2002; Moyer, Salkind & Bolyard, 2008; Bouck & Flanagan, 2010）。

常見的虛擬教具來源有美國國家虛擬教具庫（National Library of Virtual Manipulatives﹐NLVM）、美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics﹐NCTM）之網站教材資源、NCTM Illuminations 以及單機版的應用 軟體等。其中美國國家虛擬教具庫所提供之虛擬教具最常被採用。此教具庫係由 美國猶他州立大學（Utah State University）所開發，收集了大量的虛擬教具與教 學及資源。該網站將教學內容分為數與運算、代數、幾何、測量及資料分析與機 率等五大主題，提供各種 Java Applet 開發的數學工具，讓教師自由取用（NLVM, 1999）。

Yuan（2005）歸納了虛擬教之特性：(1) 可變性：學習者可針對某一物件的 某一部分塗顏色、增減某一物件之數量等；(2) 無限量供應性：虛擬教具可解決 課堂上實體教具不足的問題，也能解決分發教具與整理教具耗費時間的問題，虛 擬教具之整理時十分方便，例如使用者只需點選如資源回收筒的圖示，即可立即 清除畫面上的教具；(3) 多重表徵：虛擬教具可同時呈現不同的數學表徵，例如：

圖形、符號或是數值，此可強化表徵間之連結。

Sayeski （ 2008 ） 則 整 理 了 網 站 式 虛 擬 教 具 之 六 項 功 能 ： (1) 指 導 說 明

（Instruction）：描述如何操作虛擬教具，並說明問題解決步驟；(2) 引導問題

（Guiding Questions）：當學習者遭遇困難時，提供引導；(3) 解釋（Explanations）：

學生有疑惑時可按下「解釋」按鈕，請求系統提供說明。(4) 立即回饋（Immediate Feedback）：針對學習者的回答，立即提供回饋；(5) 多重練習機會（Multiple Practice Opportunities）：學習者可自由選擇不同難易度的題目進行練習；(6) 分數報告

（Score Reports）：學習者可列印分數報告作為學習紀錄。

江玉玲（2010）也針對虛擬教具彙整其特性如下：(1) 互動性（Interactivity）：

學生可以像操作實體教具一樣，透過滑鼠進行滑動、旋轉或是翻轉；(2) 可得性

（ Availability ）： 虛 擬 教 具 大 多 可 從 網 路 上 免 費 下 載 使 用 ； (3) 理 解 性

（ Comprehensibility ）： 虛 擬 教 具 可 幫 助 學 生 了 解 學 習 內 容 ； (4) 連 結 性

（Interconnectivity）：虛擬教具可動態呈現視覺物件、符號以及算式，亦可被操作 與移動，使得視覺、操作以及符號表徵可被緊密地結合；(5) 回饋性（Feedback）：

虛擬教具針對學習者的學習情況提供立即性回饋，引發其思考、驗證及澄清錯誤 觀念；(6) 趣味性（Interestingness）：虛擬教具可引起學生的好奇心，進而提升其 學習興趣與動機，使其更加專心於學習活動；(7) 效率性（Efficiency）：虛擬教具 可不斷地被重複使用，學生也不需等待輪流使用與花時間於整理教具；(8) 步驟 性（Step by Step）：於學習過程中，給予步驟性的引導來幫助學生釐清概念。

由上述可知，虛擬教具主要的功能包括：(1)呈現數學之多重表徵，(2)給予學 習者回饋、引導與說明，(3)提供學習者多重練習，(4)可重複使用以節省整理教具

與學生輪流使用教具的時間。

二、 動態幾何軟體

動態幾何（Dynamic Geometry）軟體的發展，首先有 Geometry Supposer （1985）

軟體，接著有 Cabri Geometry（1988）、Geometer's Sketchpad（1992）、Cabri II Geometry （1994）、Eulid （1994）、Java Sketchpad（1997），直到 Cabri 3D 與 GeoGebra（2001）等等。這些軟體的版本不斷更新且功能持續地增強。

動態幾何軟體提供基本的幾何作圖工具，具備尺規作圖、圖形變異或動態連 續變換、記錄整個作圖過程以及於網路建立檔案與展示等特質。某些動態幾何軟 體還包含代數內容，提供繪製與導出函數精確圖形之功能，且具有可操作之特性，

讓學習者易於探討各種幾何或函數圖形（林保平，2004），以下介紹常見的動態 幾何軟體（姚念廷，2009）：

1. GSP（The Geometer's Sketchpad）

GSP 是 The Geometer’s SketchPad 動態幾何軟體的簡稱，由美國 Swarthmore College 及 Key Curriculum Press 所開發出來的軟體。GSP 動態幾何軟體是一套在 視窗環境下將物件導向動態連結的幾何軟體，其工具有平移、對稱、旋轉及縮放 等四種功能物件存在。其為一個尺規作圖功能強大的平面幾何構圖電腦輔助教學 軟體，可精確地構造動態幾何。學生經由動態幾何圖形的變換及度量來描述他們 所發現的一些幾何關係，增強開放式的猜測與研究，適合處理一些動態幾何圖形 的模擬實驗與觀察。可對結構性作圖作巨集建構、文字說明，形成簡易操作按鈕。

2. GeoGebra

GeoGebra 是 Geo+Gebra，表示其為結合幾何（Geometry）與代數（Algebra）

之軟體。是一套由 Markus Hohenwarter 教授及一個國際程式設計團隊所共同開發 之免費的數學繪圖軟體，其具有幾何、代數、微積分以及統計圖表的功能。透過 不同的表徵呈現數學物件與表徵之動態連結，使學習者於此種環境下易於學習數 學。當學習者於繪圖區繪製直線或是圓形，而代數視窗則會出現對應方程式。反

之，若是輸入方程式，繪圖區則會出現對應之圖形。

3. Cabri Geometry

Cabri Geometry 是法國人開發之幾何尺規作圖軟體，用於解析幾何、代數與物 理的學習與教學。其操作介面具有動態變換、幾何量的測算、軌跡方法求解等功 能，並且能快速地生成各種幾何圖形、平面曲線等，亦可轉成 Java 檔案將之置於 網路上。

4. Cabri-3D

Cabri-3D 科技誕生於法國國家科學研究中心（CNRS）和法國格勒諾布爾的約 瑟夫-希爾大學（Joseph Fourier University）。這是一套動態立體幾何軟體，其延續 尺規作圖的方式，使用者能透過滑鼠來建構立體幾何圖形，從工具列之點選即可 建構並操作一些立體的幾何物件。從功能表中可以看見正在操弄的立體幾何圖形 產生屬性與視角的改變，且可在同一時間開啟多個觀看視窗與各種角度的透視圖 像，藉由拖曳滑鼠右鍵調整立體視角的角度。

綜上所述，動態幾何軟體主要功能與特質為：

(1) 符合尺規作圖原理（Euclidean constructions）：

動態幾何軟體提供繪圖工具，為仿照直尺或圓規之作圖方法。使用者能快速 且容易製作出精確的幾何圖形，例如：畫圓、圓弧、點、直線、平行線、垂 直線還有角平分線等。同時，線與線、線與圓或是圓與圓之間會立即產生交 點，運用這些基本的功能進行各種組合，就可以繪製出較為複雜的幾何圖 形。

(2) 圖形可操作，具幾何變換功能：

動態幾何軟體工具可讓使用者在視窗內運用滑鼠依作圖時的定義來移動整 體 或 部 分 圖 形 之 位 置 或 改 變 其 形 狀 ， 也 可 運 用 軟 體 提 供 的 幾 何 變 換

（Geometric Transformation）功能進行變換基準，例如：平移向量、旋轉角 度、縮放比例及旋轉其中心等等（Rahim, 2002）。

(3) 提供解析幾何（Analytic Geometry）的座標系統：

動態幾何軟體能進行定點座標描點、求任意點的座標、距離長度、斜率等，

也可畫出多種的函數圖形，例如：三角函數、多項式函數、指數函數以及對 數函數等等。

(4) 動態連續變化及不變性：

動態幾何軟體能使圖形及數值做連續的變動，也就是當圖形或圖形中某一個 構成元素被改變形狀、位置或是變換時，使改變的過程是漸進且連續性的，

讓學生能透過觀 察圖 形 連續變換之過 程進 而 發 現幾何 圖形 的不 變性質

（Invariant）（林保平，1997）。

(5) 同時具手動操作及自動化功能：

動態幾何軟體具有動態模擬（Animate）與拖曳（Dragging）功能，學生能透 過動手操作控制速度，方便觀察、比較與臆測。因為手動操作不易精準，例 如：重合圖形或疊合圖形，而電腦自動操作的按鈕，可使圖形自動校正，增 加準確度（林保平，1995）

(6) 互動性、視覺化、情境化、數值化以及圖像與文字結合的多重表徵視窗環境：

動態幾何軟體能使圖形或函數式的參數產生變動，進而使函數式與圖形作相 對應的變動，此時，其座標也會改變。軟體的視窗中可同時呈現（1）文字 模式（Text mode）：問題的情境；（2）數值模式（Numerical mode）：探索參 數、函數、測量值等各種的變化；（3）圖形模式（Graphical mode）：對應數 值會隨圖形變化而有所變動。各種模式之間是動態連結的，也就是當文字模 式的數值改變的時候，其相對應的數值或是圖形模式會立即地更動（謝哲仁，

2001）。 三、 圖形計算器

圖形計算器（Graphing calculator）是指一種能夠畫函數圖、解聯立方程組以 及執行其它各種操作的手持計算器，大多數圖形計算器還可編寫程序。由於它們 的螢幕很大，因此也能夠同時顯示多行文本。有一些圖形計算器甚至有彩色顯示

或三維作圖功能。由於，圖形計算器亦可編寫程式，故被用於製作電子遊戲。圖 形計算器內建繪圖軟體，使用者可進行函數與幾何學繪圖、CAS 計算、試算表以 及統計分析。

出產圖形計算器的公司為數不少，世界第一台圖形計算器 Fx-7000G 是由 CASIO 於 1985 年製造的，不久後惠普也推出 HP-28C，接著出產的款式有 HP-28S

（1988）、HP-48SX（1990）、HP-48S（1991）等等。而惠普於 2006 年所推出的 HP 50g 還具有計算機代數系統（CAS）。德州儀器（Texas Instruments）則自 1990 年起開始生產圖形計算器，其中最老的型號為 TI-81，之後陸陸續續出產的有 TI-82 系列，TI-83 系列與 TI-84 Plus 等等。而 TI-89 和 TI-92 具有計算器代數系統（CAS）。

四、 電子白板

電子白板是一個大型的觸控板，藉由連結電腦、投影機進行運作。其核心硬 體包括一塊電子感應板（Electronic whiteboard）及感應器。電子感應板為觸控式 螢幕，具有書寫的功能。而感應器通常是一支具有滑鼠功能的感應筆（Electronic

電子白板是一個大型的觸控板，藉由連結電腦、投影機進行運作。其核心硬 體包括一塊電子感應板（Electronic whiteboard）及感應器。電子感應板為觸控式 螢幕，具有書寫的功能。而感應器通常是一支具有滑鼠功能的感應筆（Electronic