數學認知能力

本部份先探討國內外教育學者對「數學能力」的看法，再回顧國內外教育學 者與大型評量測驗機構所提出之數學認知能力的理論。有關數學認知能力之理論，

了解 TIMSS（2003）、NAEP（2005）兩個大型評量測驗所界定之數學內容知識、

同時也提出 NCTM（2000）所界定之數學認知能力，以及國內的國中基本學力 測驗 BCTEST（2004）所界定之數學認知能力。以下針對上述大型評量測驗之及 相關教育單位對數學認知能力之定義進行回顧，分述如下：

壹、數學能力的定義

對「數學能力」的定義加以界定，到目前為止，尚無一個令所有人皆滿意之

「數學能力」之定義。游自達（2010）認為，早期較偏重於基本的計算能力的增 進與數學內容知識體系的建立。隨著數學學習目標與內涵的擴充，學生對問題的 覺察、解題策略的運用、邏輯推理能力提升、抽象思考的發展及培養逐漸受到關 注。數學學習開始重視生活化的「邏輯推理」、「判斷能力」、「創新能力及問題解 決能力」的培養。然而，多數研究者皆會同意將數學能力區分為普通的「學校的 數學能力」和「創造性的數學能力」。所謂「學校的數學能力」，是指學習且熟練 數學教材，並能獨立的應用這些學過的教材；而「創造性的數學能力」，則是指 獨立的創造具有社會價值結果之能力（Krutetskii,1976）。

國外心理學家對於數學能力之定義傾向於學校數學能力的觀點，並將其視為

視數學測驗或解數學問題之能力，然而，這樣的定義缺乏內容且不夠具體，一些 心 理 學 家 提 出 學 校 數 學 能 力 之 基 礎 應 包 含 心 理 學 上 的 基 本 特 質

（Krutetskii,1976）。

Rogers（1918）提出數學能力的兩個概念：重現的（reproductive）能力與原 創的（productive）能力。重現的能力是指有關記憶的功能，而原創的能力則是 指有關思考的功能（引自 Krutetskii,1976）。

Thorndike（1922）在其「算術心理學」（The Psychology of Arithmetic）一書 中，認為數學能力不應只定義為數字意義的理解，也不是語言教學的內容，而是 算術教學的一部份，在生活中解決數量問題的能力和解決教科書中問題的能力是 無法區分的（引自 Krutetskii,1976）。

Lee（1955）認為數學能力是清楚的了解數學關係的聯結，並能精確的思考 數學概念，因而數學能力是一種複雜的特質（complex quality），包含智力、記憶 力、興趣及意志（volitional）因素（引自 Krutetskii,1976）。

Wilson（1971）將數學能力界定為計算（Computation）、理解（Comprehension）、 應用（Application）、分析（Analysis），而在分析的層次中包含了綜合（Synthesis）

與 評 鑑 （ Evaluation ） 的 運 作 ， 並 應 用 於 美 國 數 學 能 力 縱 貫 研 究 （ National Longitudinal Study of Mathematical Abilities，簡稱 NLSMA）的測驗編製。

而國內學者對於數學能力之定義的看法，與目前九年一貫課程在數學領域中，

所強調學生獨立思考問題，發展推理問題策略的能力（教育部，2003）相近。傾 向於學校數學能力的觀點，並將其視為數學測驗或解數學問題之能力。

謝秀宏（2005）認為數學能力是指關於數學對象的理性認識過程的思考能力。

廣義的說，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考能力。

柳賢、李浩然（2006）以 數學能力的發展始於概念知識的理解與流暢的演算 技能，然後才是運用推 理解決數學問題，故學生的數學能力，可以從概念知識與 理解、技能的學習及解題能力三個面向來界定。

方欽鴻（2007）則是以學習數學的最終目的就是要解決問題，也就是解決例

行性或非例行性問題的能力。

貳、數學認知能力的定義

數學教育工作者逐漸重視認知科學與數學教育的關聯，同時也積極以認知的 觀點進行數學學習和教學的探究（國科會數學整合小組，1996）。數學學習與教 學的認知研究逐漸蔚為風氣，同時也影響到數學的教學實務。對於數學教育和認 知科學的結合與發展，國內學者邱守榕 (1990) 亦指出，數學教育應結合認知科 學的研究，關注解題者之知識結構與思考過程。以下整理前述大型評量測驗之及 相關教育單位對數學認知能力的定義：

一、TIMSS 所界定之數學認知能力

TIMSS（2003）在數學認知能力方面是定義學生在數學內容之預期行為，主 要區分為四個認知能力，各認知能力下存在若干細目：

（一）知道事實與程序（knowing facts and procedures）

1.回憶（recall）

2.識別/辨識（recognize/identity）

3.計算（compute）

4.工具使用（use tools）

（二）使用概念（using concepts）

1.知道（know）

2.分類（classify）

3.表徵（represent）

4.形成公式（formulate）

5.區別（distinguish）

（三）解決例行性問題（solving routine problems）

1.選擇（select）

2.模式化（model）

3.解釋（interpret）

4.應用（apply）

5.證明/檢查（verify/check）

（四）推理（reasoning）

1.假設/推測/預測（hypothesize/conjecture/predict）

2.分析（analyze）

3.評估（evaluation）

4.一般化（generalize）

5.連結（connect）

6.綜合/整合（synthesize/integrate）

7.解決非例行問題（solve non-routine problems）

8.證明（justify/prove）

二、NAEP 所界定之數學認知能力

NAEP（2005） 將代表數學能力的五個內涵的標準（ The Nation’s Report Card,2005f ） ： 數 字 概 念 與 運 算 （ number properties and operations ） 、 測 量

（measurement）、幾何的概念（geometry）、資料分析與機率（data analysis and probability）、代數（algebra），於評量架構中區分為低階複雜、中等複雜以及 高階複雜的題型（low complexity,moderate complexity,and high complexity），試 圖與概念理解、知識建立與解決問題等能力的分布結合。例如：低階複雜的題型 期待學生發揮記憶特性，中等複雜的題型認為學生應具備 連結特性之間的關係，

而高階複雜的題型可以反映學生在一個數學模式上分析、假設的能力（張鈿富，

2006；鄭蕙如，2006），以下介紹NAEP所界定數學能力：

（一）概念瞭解

1.提供學生可識別、標籤和產生概念的例子之證據 2.使用及轉換相關的模式、圖表、操作和變化的表現 3.識別和應用原理

4.知道和應用事實和定義

5.比較、對照和整合相關概念和原則

6.識別、解釋和應用記號、符號、術語以表現概念

（二）程序知識

1.正確的選擇與應用適合的程序

2.藉由具體的模式或象徵性的方法，檢驗、判斷程序的正確性 3.擴充或修正程序，以處理問題中原有的要素

（三）問題解決 1.問題的辨識與形成 2.決定資料的一致性 3.使用策略、資料、模式 4.產生、擴充與修正程序 5.在新情境使用推理

6.判斷解答的合理性與正確性 三、NCTM 所界定之數學認知能力

NCTM（2000）在數學認知能力方面，主要區分為四個認知能力，各認知能力 下存在若干細目：

（一）問題解決

1.由問題解決建立新的數學內容知識 2.解決數學和其他脈絡的問題

3.應用各種不同但合適的策略，以解決問題 4.監控和反應數學問題的解題過程

（二）推理與證明

1.辨識數學的基本理論與證明 2.形成和建議數學推測

3.發展與評估數學的論證與證明

4.選擇與使用各種推理形式和證明方法

（三）溝通

1.藉由溝通，組織與強化數學思維

2.能一致的、清楚的與同儕、老師及其他人溝通他們的數學思維 3.分析和評估他人的數學思維與策略

4.使用數學語言，以精確地表示數學概念

（四）連結

1.辨識和使用數學概念間的連結

2.了解如何形成數學概念內部連結和建立具一致性之整體概念 3.辨識與應用數學於一般日常生活情境

（五）表徵

1.創造與使用表徵，以組織、紀錄與溝通數學的概念 2.選擇應用轉換數學表徵，以解決問題

3.使用表徵，以模式化和解釋物理的、社會的與數學的現象 四、國中基本學力測驗所界定之數學認知能力

國中基本學力測驗將數學認知能力界定為三大類，各類之下存在若干細目

（林世華，2004）：

（一）概念理解

1.知道與記憶數學的知識與概念

2.用不同的表徵方式表示相關數學內容知識與概念 3.能舉例說明或分類區別相關的數學概念

4.解釋與理解數學相關概念或其交互關係（原理、原則、性質、定理）

（二）程序執行

1.選擇、執行正確的程序或方法

2.使用工具（電算機、圓規、尺、量角器、…）

3.製作、使用圖形或表格

4.檢驗、判斷程序的正確性

（三）解題與思考

1.將問題轉化成幾何圖形或數學式子 2.學的知識與技能的應用

3.解題過程（答案）之合理性或正確性的判斷 4.數學思維將問題一般化

5.命題真偽的證明

6.數學的模式與決策的評析 7.推論與猜想

在瞭解各研究機構對數學認知能力之定義後，研究者進行相關的比較，以瞭 解各研究機構所重視的數學認知能力，茲以國中基本學力測驗（BCTEST）所界 定之數學認知能力定義為比較的參照依據，詳見表 2-6：

表 2-6：數學認知能力比較表

國中基測 TIMSS NAEP NCTM

概念理解

瞭解與記憶數學的知識與概念 ○ ○ ○ ○

以不同的表徵方式表示相關內容知識與概念 ○ ○ ○ ○

能舉例說明或區分相關的概念 ○ ○ ○ ×

解釋與理解相關概念或彼此交互關係 ○ ○ ○ ○

程序執行

選擇、執行正確的程序或方法 ○ ○ ○ ○

使用工具 ○ ○ ○ ○

繪製、運用圖形或表格 ○ ○ ○ ○

檢驗、判斷程序的正確性 ○ × × ×

問題解決

將問題轉化成相關圖形或數學算式 ^{○ ○ ○ ○}

數學的知識與技能的應用 ^{○ ○ ○ ○}

解題過程之合理性或正確性的判斷 ^{○ ○ ○ ○}

以數學思維將問題一般化 ^{○ ○} × ×

命題真偽的證明 ^{○ ○ ○ ○}

數學的模式與決策的評析 ^{○ ○} × ×

推論與試探 ^{○ ○} × ^○

資料來源：研究者整理

經由上表之比較發現，雖然對於 數學認知能力之定義各有不同，但主要可區 分為概念理解、程序知識及執行、及問題解決三大類，各類下又可細分若干項目：

概念理解能力主要著重於記憶、表徵、區別數學概念及其交互關係；程序知識與 執行主要著重於選擇及執行正確的程序或方法、工具使用、使用圖形及表格，其 中工具使用的這項能力，研究者認為很重要，因為在日常生活中的很多情境會與 數學有關，因此我們必須要教會學生正確的使用工具以執行某項任務；在問題解 決上主要著重於將問題轉化為幾何圖形或數學式子、並且能應用數學的知識與技 能、同時要能判斷過程或答案之正確性或合理性等。

概念理解能力主要著重於記憶、表徵、區別數學概念及其交互關係；程序知識與 執行主要著重於選擇及執行正確的程序或方法、工具使用、使用圖形及表格，其 中工具使用的這項能力，研究者認為很重要，因為在日常生活中的很多情境會與 數學有關，因此我們必須要教會學生正確的使用工具以執行某項任務；在問題解 決上主要著重於將問題轉化為幾何圖形或數學式子、並且能應用數學的知識與技 能、同時要能判斷過程或答案之正確性或合理性等。