數與量

第二章 文獻探討

本研究之目的在探討學童經由模糊集群分群後，藉由分析概念結構 圖，了解各群學童數與量數學概念結構之異同。本章將探討本研究目的所 涉及之相關理論，其中包含數與量、模糊集群和多元計分試題關聯結構之 相關文獻，共分三節，茲分述如下。

第一節 數與量

一、數與量

在日常生活的事物中，到處蘊涵著可以用數來描述的規律。生活情境 中的數量關係及事物的幾何特性，皆需要利用數學的語言符號來描述，因 此數是學習幾何、代數、測量及統計的必要基礎(九年一貫數學學習領域綱 要諮詢意見小組，2003 )。所以，數與量在國民教育的數學課程中具有最 重要的位置，而在國小階段是其主要概念的形成以及演算能力的培養之奠 基。但國小數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量與實測」、「有理數」

和「估算」等子題(教育部，2003)，其分述如下。

(一) 整數

在國小階段，整數教學是數學的核心課程之一，而所指的整數是指非 負整數，所處理的是離散量的計數與計算，其中整數的計算是一切數學學 習的基礎，學童可以經由在課程中的活動及情境掌握到計算的意義，而且 透過日常生活的例子進而了解與發現計算的規則與策略，因此擁有流暢的 計算能力在日常生活中是十分重要的。

數概念是指由「1」概念的聯合加以聚合的聚集單位，即表示「1」可 以多重的累積，再透過印─阿的十進位記數系統把數加以結構化，建立位 值的觀念，可以將數概念組織成多單位的系統。

學童數概念的運思方式，依序分為五個發展階段(甯自強，1995 )：

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1. 合成運思：學童建構此運思大約是在入學前，此時期的學童具有數的 保留概念，可以將數個「1」合而為一，視為一個單位。

2. 累進性合成運思：學童大約在國小一年級建立此運思，可以使用一個 聚集單位為基礎，繼續合成新的「1」而成為新的聚集單位，例如以 6 為起點，繼續合成 2 個「1」，而形成 8。

3. 部分─全體運思：學童約在國小三年級建立此運思，可以區分「1」單 位與由「1」所合成的聚集單位，了解到部分─全體之間的關係與意義，

所以在使用兩個以上的計數單位時不會混淆其意義。

4. 測量運思：學童約在國小五年級建立此運思，此運思以「1」單位和聚 集單位間的部分─全體關係的概念為基礎，把任何整數當作單位量，

此整數即為一個測量單位。

5. 比例運思：學童約在國中階段建立此運思，可以用兩個聚集單位的關 係作為運思的起點，形成一個新單位來描述此關係，亦即掌握比值或 有理數的概念，以關係為運思的對象，蘊涵著對共變性質的掌握，被 此關係聯絡的兩集聚單位，如果產生等比例的變化，並不改變此關係。

原則上，五年級學童已具有部分─全體運思，其運思發展介在測量運 思與比例運思之間，所以學童是否可以從測量運思提升至下一個比例運思 階段，五年級是一個關鍵期。然而課程的教材設計，是以學童已具有的運 思及下個運思可能具有的解題活動為基準點，所以本研究以已經接受完國 小五年級數學課程之學童為研究對象，了解其概念發展的狀況。

(二) 量與實測

在數學課程教學中的量概念，包含長度、重量、容量、時間、角度、

面積、體積等日常生活中常用的七種量。劉秋木(1996)指出，在日常生活 中常運用到量的概念，量概念是由實體世界抽象化而來的，若缺乏正確的 量概念，則學童在進行數學解題上會有學習困難。而這七種量又將長度、

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容量、角度、面積、體積歸類屬於幾何(視覺)量，而重量則因為需要工具 測量，在教學上需要特別處理。而七種量中最特別的是時間，在學習中需 要仰賴計時的約定，與其他六種量不同，需要額外處理(教育部，2003)。

教育部公佈的綱要中對於時間以外六種量概念的學習，說明大致要經 歷如下四個階段：

1. 初步概念與直接比較：透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比 較，最後是量的複製，這是「間接比較與個別單位」的前置經驗。

2. 間接比較與個別單位：對無法直接比較的 兩同類量，能透過媒介量，分 別作直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較。能進行間接比較 時，若能運用等量合成複製的方式，便能使用個別單位作測量。

3. 普遍單位的約定：認 識某類量之普遍單位，並能運用此單位做量的比較 及運算。

4. 普遍單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結 果。然後再學習使用單位的約定，來進行換算。

鍾靜(1996) 指出時間雖然存在我們日常生活中，但是一種看不見、摸 不到的量，它必需透過「時鐘」這項工具的測量才能掌握，所以無法讓學 童掌握量感，因此時間教學的教材，是必須以工具的使用做為教學的開 始，並配合生活與時間的紀錄來建立量感。

(三) 有理數

有理數(rational number)是數學家發明了無理數後，將其他數與無理數 區別而產生的術語(劉秋木，1996)。有理數的學習是小學數學課程中，最 有挑戰性的教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同 的表現形式─分數與小數；它的應用課題很廣─平分、測量、比例、比率、

比值、部分∕全體。但是在有理數的教學過程中，教師必須將教學材料做 適當的安排，先從容易的平分和測量入手，再運用到其它的概念 (教育

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部，2003)。以下是針對「有理數」的相關主題加以說明介紹。

1. 有理數的意涵

有理數的意涵非常豐富，各家說法不盡相同。Carpenter, Fennema and Romberg(1992)三人將有理數當作五種不同的子結構 ：比、測量、商、算子 及部份─全體關係，這五種子結構即是形成有理數功能的五個基礎，學童 必須去聯合這五種子結構以形成一個聯合的基模，才能真的有利於有理數 發展。

Kieren(1992)指出若將有理數視為「商」，而有理數即是一個附加的數 量；但若將有理數視為「比」，則有增強有理數特色的效果，因此「比」

強調量與單位間的關係屬性。

92 年數學課程綱要指出「有理數」教學是小學的核心課程之一，小學 的有理數教學，必須釐清並連結下述有理數的四種意涵：平分、測量、比 例與部分∕全體，最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除 的意涵」(教育部，2003)。

2. 分數的意義

分數一詞來自拉丁文「fangere」，有「分開」的意義，通常用來敘述一 個被分開的全體之各個部分 (羅鴻翔譯，1980)。而分數概念在不同的情境 問題中會有不同的意義，它具有多重意義的特性。在國內外許多學者對分 數的意義有不同的看法：

Kieren(1976)認為分數具有下列特性：整數系的擴展、一個具有稠密性 的數系、能被用來互相比較並加以運算的量或數線上的點、具有等值分數 特徵以及可用來代表比率的操作。

楊壬孝(1988)在國小學童分數概念發展的研究中提出，分數的四種意 義是：一個整體之相等的部份、一個集合等分組後的幾組、數線上的一個 數值及兩數相除的結果。

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林碧珍(1990) 則將分數的意義分成五類：全部區域的部份區域(部分－

整體模式)、集合中的部分集合(子集合－集合模式)、數線上的一個數值(數 線模式)、兩個整數相除的結果(商模式)及二個集合或二個度量相比的結果 (比值模式)。

以上是專家學者對分數的闡釋，由此我們了解分數具有多重意義，若 能明白此意義，將可提供日後學習小數、比、機率及代數運算的基礎。

3. 小數的意義

由字面上「小數」看來指的是很小的數，是在以某單位長度測量時的 餘量而產生的，意味著比單位 1 還小的數，而要理解小數的意義，就得由 兩個層面著手 (劉曼麗，1996) ：

(1) 分數層面的「部分∕全體」的意義

分數的意義可從「部分∕全體」的關係來了解。分數是指一個整體 等分後，再集聚其中一部分的量，產生分數的記法。然而小數正是「部 分∕全體」中特別的一環，例如：0.1 就是十等份中的一等份，0.1 可以 記為

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(2) 整數層面的「多單位記數系統和位值概念」

甯自強(1997)指出學童利用多單位來組織數概念，就是學習印－阿 系統的位值概念。因為位值概念的使用就是乘法性的對單位因素分解，

如 0.45＝0×1＋0.1×4＋0.01×5；劉曼麗(1996，1998)指出「位值」是數 在其所在位置所指示的數值，認為位值的關係是每個單位它緊鄰右邊單 位的十倍，因此學童具備整數十進位與位值概念是有助於小數的學習。

(四) 估算

估算在國小階段中可分為離散量的估算與連續量的估算(教育部，

2003)，而離散量的估算是指教學時學童能掌握確算再進行；連續量的估算

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教學是指在測量量不盡的情境下，與小數的學習同時展開。最後二種能力 結合，以養成能掌握誤差與估算的能力。

估算是學童藉由心算的方式，算出答案合理的範圍或近似值。但是學 童雖然能理解「大概」或「近似」的名詞意義，卻對估算的意涵一知半解。

估算是一種複雜的數學能力，包含兩個過程，首先必須將數值概略簡化成 易於計算的數值，再以適切的策略運用這些概數進行解題，而求出結果的 解題方法(Sowder, 1992 )。而 Lemaire and Lecacheur ( 2002)進一步說明，

認為估算是先找出合理的近似值再去估計答案，而不是先計算出精準的答 案。

目前在國小階段的概數與估算教材中，多半著重在理解概數的意義，

並運用無條件捨去、無條件進入、四捨五入法取得日常生活中的概數，只 有在第二學習階段(四到五年級)的某幾個單元正式引入估算的意涵，讓學 童正式操作估算的過程。除此之外，學童學習估算的時間過短，其所學習

並運用無條件捨去、無條件進入、四捨五入法取得日常生活中的概數，只 有在第二學習階段(四到五年級)的某幾個單元正式引入估算的意涵，讓學 童正式操作估算的過程。除此之外，學童學習估算的時間過短，其所學習