第四章 結果與討論
第一節 模糊集群分析結果
因為受試學童的資料十分繁多，加上學童間之差異性大，若以全體學 童之概念結構圖進行分析，學童間概念互相關聯之訊息恐有遺漏或混淆的 情況，故本研究利用模糊集群軟體 fcut，依據學童在各概念間之得分，將 學童進行分群，使得在同一群內之學童同質性最高，而不同群之學童異質 性最高。由於本研究受試學童高達 646 人，為避免分成 2 群造成分群結果 太過粗略，所以分群數的挑選由三到八群開始進行分析其分割係數與分割 亂度。本研究選取的收斂標準為 10-5以及
q = 1 . 25
，根據模糊集群所分析的 結果，各群數之分割係數與分割亂度如表 4-1 所示。表 4-1 各群數之分割係數與分割亂度
群數 分割係數 分割亂度
3 .844117 .265143
4 .753511 .426031
5 .704948 .536242
6 .680256 .608653
7 .653700 .680392
8 .628346 .751531
根據表 4-1 發現在群數為三的時候，分割係數最大.844117，分割亂度 最小.265143，故本研究將群數設定為三群，將全體學童分為三群。經由模 糊集群分析軟體分群後，我們可以得到第一群學童有 222 人，第二群學童 有 227 人，第三群學童有 197 人，再分別計算出三群概念之答對率，如表
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4-2 所示，並繪製出三群概念答對率之比較折線圖，如圖 4-1。
表 4-2 各群數在各概念之答對率
概念編號 概念答對率
第一群 第二群 第三群
1 .17 .53 .82
2 .10 .40 .77
3 .07 .26 .68
4 .16 .65 .82
5 .17 .59 .88
6 .33 .79 .93
7 .18 .45 .84
8 .24 .65 .90
9 .23 .72 .94
10 .14 .32 .68
11 .20 .56 .88
12 .19 .46 .72
13 .18 .43 .73
14 .34 .70 .92
15 .15 .46 .78
16 .08 .37 .74
17 .03 .25 .75
18 .06 .29 .74
19 .10 .38 .76
圖 4-1 三群概念答對率比較圖
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由表 4-2 和圖 4-1 可以得知，第三群的作答情況表現最好，第二群次 之，第一群較差，因此我們可以看到各概念中第三群的答對率也是最高，
第二群次之，第一群最低。再利用 Lin et al.(2006)所研究之多元計分試題 關聯結構軟體繪出三群學童在各概念子題間之概念結構圖，並比較其異 同。
第二節 各群在四個概念子題之概念結構圖分析
本節針對由 fcut 軟體所分群的結果，第一群 222 人，第二群 227 人，
第三群 197 人，根據各群學童之作答反應組型，利用 WPIRS 軟體分別繪 出三群學童在四個子題的 PIRS 圖，而研究者將ε 值設定為.55，進而加以 分析。各群學童在四個概念子題之概念結構圖分析如下。
一、第一群學童概念結構圖分析
(一) 「整數及其進階運用」之概念
圖 4-2 第一群學童在「整數及其進階運用」子題中的概念結構圖
【註】概念 1：「能在具體情境中，解決三步驟問題。」，概念 2：「能熟練整數四則混合計算。」，
概念 3：「能理解因數、倍數、公因數與公倍數。」，概念 11：「能將分數、小數標記在數 線上。」，概念 12：「能認識比率及其應用（含『百分率』、『折』）。」。
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從圖 4-2，可以發現三項要點：
1. 概念通過率低
概念 1「能在具體情境中，解決三步驟問題。」、概念 2「能熟練整 數四則混合計算。」、概念 3「能理解因數、倍數、公因數與公倍數。」、
概念 11「能將分數、小數標記在數線上。」和概念 12「能認識比率及 其應用（含『百分率』、『折』）。」的概念通過率皆為低於.20，顯 示第一群學童對於「整數及其進階運用」中的概念，精熟度欠佳，故作 答表現不盡理想。
2. 具有三個獨立概念
概念 2「能熟練整數四則混合計算。」、概念 11「能將分數、小數 標記在數線上。」和概念 12「能認識比率及其應用（含『百分率』、
『折 』）。」與其他概念之間是沒有任何關聯的，對第一群學童而言，
這三個概念是屬於獨立的概念。
3. 概念 1 為概念 3 的下位概念
概念 1「能在具體情境中，解決三步驟問題。」是概念 3「能理解 因數、倍數、公因數與公倍數。」的下位概念，亦即要先學會概念 1「能 在具體情境中，解決三步驟問題。」才能學好概念 3「能理解因數、倍 數、公因數與公倍數。」。
由第一群受試學童的作答反應組型繪製出的概念結構圖可知，概念之 間的結構較鬆散，概念與概念之間的聯結少，只有一個次序性關係，其餘 三個概念屬於須獨立學習的概念，因此造成學童在學習上需要花較多時間 學習。
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(二) 「分數」之概念
圖 4-3 第一群學童在「分數」子題中的概念結構圖
【註】概念 4：「能用約分、擴分處理等值分數的換算。」，概念 5：「能用通分作簡單異分母分數 的比較與加減。」，概念 6：「能在測量情境中，理解分數之『整數相除』的意涵。」，概念 7：「能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。」。
從圖 4-3，可以發現兩項要點：
1. 概念通過率低
概念 4「能用約分、擴分處理等值分數的換算。」、概念 5「能用通 分作簡單異分母分數的比較與加減。」和概念 7「能理解乘數為分數的 意義及計算方法，並解決生活中的問題。」的概念通過率皆低於.2，且 概念 6「能在測量情境中，理解分數之『整數相除』的意涵。」的概念 通過率亦只有.33，表示第一群受試學童在「分數」子題中的概念，通 過率偏低，作答表現欠佳。
2. 四個概念皆為獨立概念
概念 4「能用約分、擴分處理等值分數的換算。」、概念 5「能用通 分作簡單異分母分數的比較與加減。」、概念 6「能在測量情境中，理 解分數之『整數相除』的意涵。」和概念 7「能理解乘數為分數的意義 及計算方法，並解決生活中的問題。」與其他概念之間沒有任何次序性，
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對第一群學童而言，是互為獨立的概念。
從第一群五年級受試學童在「分數」子題中的概念結構圖發現，概念 結構之間鬆散，各概念間無次序性，所以每個概念需要獨立學習，造成第 一群學童在學習上較為困難，需要花較多時間學習，故需要教師提供補救 教學以提供學童概念連結，建立較多解題策略。
(三) 「小數」之概念
圖 4-4 第一群學童在「小數」子題中的概念結構圖
【註】概念 8：「能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。」，概念 9：「能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。」，概念 10：「能用四捨五入 的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。」。
從圖 4-4，可以發現二項要點：
1. 概念通過率低
概念 8「能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生 活中的問題。」、概 念 9「能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生 活中的問題。」及概念 10「能用四捨五入的方法，對小數在指定位數 取概數，並做加、減、乘、除之估算。」的概念通過率機皆低於.3，亦 即表示第一群受試學童在「小數」這子題的概念中，精熟度不夠，作答 表現欠佳。
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2. 概念 10 為概念 8 和概念 9 的上位概念
概念 10「能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做 加、減、乘、除之估算。」為概 念 8「能認識多位小數，並作比較與加、
減的計算，以及解決生活中的問題。」和概念 9「能用直式處理乘數是 小數的計算，並解決生活中的問題。」的上位概念，即表示對於第一群 學童而言，必須先具備有概念 8 和概念 9 的概念做為學習概念 10 的基 礎，才能學會概念 10。
由第一群學童在「小數」子題的概念結構圖發現，概念間互有次序性，
也從中發現，估算的概念是三個概念間較上層之概念，符合文獻所指出估 算能力是較高層次的數學能力，因此概念 10 位於最上位，符合學童知識 發展。
(四) 「量與實測」之概念
圖 4-5 第一群學童在「量與實測」子題中的概念結構圖
【註】概念 13：「能解決時間的乘除計算問題。」，概念 14：「能認識重量單位『公噸』及『公噸』、
『公斤』間的關係，並作相關計算。」，概念 15：「能認識面積單位『公 畝』、『公頃』 、『平 方公里』及其關係，並作相關計算。」，概念 16：「能運用切割重組，理解三角形、平行四 邊形與梯形的面積公式。」，概念 17：「能認識體積單位『立方公尺』，及『立方公分』、『立 方公尺』間的關係，並作相關計算。」，概念 18：「能理解長方體和正方體的體積公式。」，
概念 19：「能理解容量、容積和體積間的關係。」。
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從圖 4-5，可以發現二項要點：
1. 概念通過率低
概念 13「能解決時間的乘除計算問題。」、概念 15「能認識面積 單位『公畝』、『公頃』、『平方公里』及其關係，並作相關計算。」、
概念 16「能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公 式。」、概念 17「能認識體積單位『立方公尺』，及『立方公分』、『立 方公尺』間的關係，並作相關計算。」、概念 18「能理解長方體和正方 體的體積公式。」和概念 19「能理解容量、容積和體積間的關係。」
的概念通過率皆低於.2，且概念 14「能認識重量單位『公噸』及『公噸』、
『公斤』間的關係，並作相關計算。」的概念通過率亦只有.34，表示 第一群學童在「小數」子題中的概念，精熟度欠佳，作答表現不盡理想。
2. 概念 18 為其他概念之上位概念
概念 18「能理解長方體和正方體的體積公式。」的下位概念包含 概念 13「能解決時間的乘除計算問題。」、概念 14「能認識重量單位
『公噸』及『公噸』、『公斤』間的關係，並作相關計算。」、概 念 15
「能認識面積單位『公畝』、『公頃』、『平方公里』及其關係，並作 相關計算。」、概念 16「能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與 梯形的面積公式。」、概念 17「能認識體積單位『立方公尺』，及『立 方公分』、『立方公尺』間的關係，並作相關計算。」和概念 19 是指
「能理解容量、容積和體積間的關係。」，代表第一群學童在學習概念 18 之前，必須先學習概念 13、概念 14、概念 15、概念 16、概念 17 和 概念 19 做為基礎，這基礎將有助於第一群學童學習概念 18。
從第一群學童在「量與實測」子題中的概念結構圖可知，在學習概 念 18 之前，必須先學會概念 13、概念 14、概念 15、概念 16、概念 17 和 概念 19 做為基礎，亦即要學會長方體或正方體的體積計算，必須先學會
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「時間的乘除計算問題」、「認識重量單位『公噸』及『公噸』、『公斤』
間的關係」「認識面積單位『公畝』、『公頃』、『平方公里』及其關係，」、
「理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式」和「理解容量、容積和體 積間的關係」的概念，因此第一群學童在「數與量」概念具有較多的認知 策略。
二、第二群學童概念結構圖分析
(一) 「整數及其進階運用」之概念
圖 4-6 第二群學童在「整數及其進階運用」子題中的概念結構圖
【註】概念 1：「能在具體情境中，解決三步驟問題。」，概念 2：「能熟練整數四則混合計算。」，
概念 3：「能理解因數、倍數、公因數與公倍數。」，概念 11：「能將分數、小數標記在數
概念 3：「能理解因數、倍數、公因數與公倍數。」，概念 11：「能將分數、小數標記在數