文獻回顧

欲成功實行結構健康診斷分析，必須仰賴可靠的系統識別方法。系統 識別分析乃利用已知之輸入（Input）及輸出（Output）訊號之關係推估出 足以忠實反映結構系統之特性參數，進而建立更具代表真實結構系統之物 理模型。系統識別技術之發展，一直以來即為國內外學術及工程界所重視 的 研 究 課 題 。 系 統 識 別 方 法 通 常 可 區 分 為 參 數 識 別 法 （ Parameter Identification）與非參數識別法（Non-Parameter Identification）兩大類。參 數識別法【8,9】係指直接以具有物理意義之系統參數（如質量、勁度及阻 尼係數等）為識別對象，又包括時域與頻域分析法。非參數識別則不以前 述之物理參數為直接識別之目標，而由系統輸出與輸入資料之遞迴時序關 係或訊息矩陣建立數學模型，從而識別出最佳擬合之系統參數，如回歸係 數（ARX）；或系統矩陣、狀態輸出影響矩陣及輸入影響矩陣等狀態系統 參數（SRIM）；或利用量測資料間之協方差關係於唯輸出系統之參數識別

（SSI），再由這些資訊進一步萃取出系統之物理參數，繼而計算出模態參 數（如頻率、阻尼比及模態)。

模態分析（Modal Analysis）於 1970 年代首先應用於航太與機械領域

【10,11】，主要是針對設備故障進行診斷。隨著訊號處理技術的進步，1980 年代末期，模態分析已成為土木工程處理振動控制與結構健康監測之重要 工具。Juang 和 Pappa【12】發展出特徵系統識別演算法（Eigensystem Realization Algorithm, ERA），將系統以最小階數之等效系統近似，並應用 到模態參之數識別上。Ewins【13】提出以結構動力學結合動態特徵試驗 之系統識別分析技術。

模態分析根據試驗條件與識別程序之不同可分為三大類，包括：解析 模態分析（Analytical Modal Analysis, AMA）、試驗模態分析（Experimental Modal Analysis, EMA）與運轉模態分析（Operational Modal Analysis, OMA）。

解析模態分析，即利用已知或假設之參數建立結構模型，給定輸入條件得 到輸出，此類運算過程稱為正運算問題（Forward Problem）。然而真實結 構系統模型難以事先精確建立，因此解析模態分析在實務上並不可行。

試驗模態分析主要針對模態模型無法確切定量之情況，藉由外力擾動

（Excitation）與反應（Response）之關係重建結構系統模型，並進一步識 別模態參數，這一類的問題稱為逆運算問題（Inverse Problem）。試驗模態 分析之模態參數識別法目前已有豐碩之研究成果。首先，Ho 與 Kalman【14】

以脈衝反應函數（Impulse Response Function）性質推算出狀態空間模式，

為確定性系統識別（Deterministic Realization）理論之起源。Zeiger 等人【15】

與 Kung【16】提出以奇異值分解（Singular Value Decomposition）萃取出 系統參數的方法，並與上述方法結合，以達到分離噪訊之目的。1988 年，

Juang、Cooper 與 Wright【17】提出 ERA 之修正方法，結合資料相關性之 特徵系統識別演算法（Eigensystem Realization Algorithm Using Correlation, ERA/DC），在 ERA 的理論架構下，利用資料相關性（Data Correlation）降 低噪訊對於模態參數識別之影響，從而提高識別結果的精準度。接著，又 結合觀測器/卡氏濾波器識別法（Observer/Kalman Filter Identification, OKID）

【18】，利用脈衝反應建立建構資料相關性矩陣以降低噪訊，其中脈衝反 應係藉由 OKID 獲得。為考慮計算時間與精確性，Juang【19】於 1997 年 提出信息矩陣之系統辨識理論（System Realization using Information Matrix, SRIM），由輸出與輸入資料間的協方差矩陣，以奇異值分解萃取出系統之 狀態空間參數。換言之，SRIM 可直接利用輸入－輸出資料求得模態參數，

可省去 ERA/DC 需計算脈衝反應之步驟，並可針對多重輸入-多重輸出

（MIMO）之系統進行分析，適用於複雜的結構模型（如多自由度、扭轉 耦合結構…等）。國內學者已成功將其應用於土木結構之系統識別，例如 簡劭純【20】以六層樓對稱鋼結構及三層樓不對稱鋼結構（扭轉耦合結構）

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呂明威【21】以中興大學土木環工大樓（扭轉耦合結構）之實測結構地震 反應紀錄，應用 SRIM 識別方法識別其模態參數，並以層間勁度折減比例 作為損壞評估指標。

在現實中，真正的結構輸入外力往往難以得知，試驗模態分析之適用 性仍有其侷限性。外力擾動若不可測得，結構輸出反應則為識別模態參數 唯一的資訊，因此唯輸出反應之系統識別方法漸漸受到重視。從 1990 年 開始，有關自然擾動（Natural-Excitation）、微振（Ambient）、與唯輸出模 態分析（Output-Only Modal Analysis）等方法皆歸類為運轉模態分析。與 試驗模態分析比較，運轉模態分析之實施快速、不需振動器，且可進一步 實現長時間連續結構健康監測與即時評估損壞之目標。其缺點在於輸入條 件必須為白噪訊（White Noise），否則會影響其識別結果之精確性。雖然 如此，運轉模態分析依然可以有效識別出系統模態參數，因此已被廣泛應 用於車輛道路檢驗、航空機件測試【22】與橋樑健康監測【23】。

運轉模態分析依訊號內涵之不同，可分為頻域法與時域法。在頻域法 中，較被廣泛討論的有尖峰選取法（Peak-Picking Method）和頻域分解法

（Frequency-Domain Decomposition，簡稱 FFD）【24】；尖峰選取法將結構 輸出反應訊號轉換為功率頻譜（Power Spectrum），假設頻譜上之尖峰值所 對應之頻率即為結構系統之特徵值，再利用半功率頻帶法（Half-Power Bandwidth）計算阻尼比，由尖峰大小求出振態，此方法為最簡單之系統識 別法。惟此一方法僅適用於結構阻尼比較小，且各模態完整分離之條件。

頻域分解法同樣是針對頻譜中之尖峰頻率進行處理。相較於尖峰選取法，

頻域分解法之優點在於應用了奇異值分解，將該頻譜尖峰有貢獻之特徵值 分離，並由奇異值矩陣中對角線非零項之個數決定組成模態的數量。

時域法中較具代表性的有亞伯拉罕時域分析法（Ibrahim Time Domain Method）【25~27】搭配隨機遞減法（Random Decrement Method）【28】與 隨機子空間識別理論（Stochastic Subspace Identification;簡稱 SSI）【29~31】。

隨機遞減法最早由 Cole【28】提出，係利用平均的觀念將外力去除並萃取 出隨機遞減訊號（Random Decrement Signature），能降低外力干擾，展現 系統特性，以取得結構自由振動反應；Ibrahim【25~27】提出一套利用結 構物自由振動衰減反應識別出其自然頻率、阻尼比與模態之演算法，稱為 亞伯拉罕時域分析法。1977 年，Ibrahim【26】首次利用隨機遞減法萃取出 隨機遞減訊號後，利用亞伯拉罕時域分析法進行系統之參數識別。

1991 年，Van Overschee【31】首次提出隨機子空間識別理論（Stochastic Subspace Identification;簡稱 SSI），對於各種時域性之運轉模態分析，以 SSI 為基礎推導之理論，其系統識別結果皆優於其他時域性唯輸出系統識別法。

子空間（Subspace）在數學中定義為維度小於全（向量）空間的子集合，

在此可解讀為從量測資料組成之向量空間中分離出觀測矩陣、控制矩陣與 噪訊矩陣等子空間，以取得系統之參數，進而求得模態參數。

以隨機子空間識別理論為基礎之時域系統識別法又可分為資料型與 協方差型。1993 年，資料型分析法由 Van Overschee【32】首次提出，Peeters 於 1995 年第一次將此方法應用於土木工程結構之模態分析【33】。協方差 法則於 2000 年首次出現於 Peeters 的博士論文中【30】。前述兩種方法都需 符合基本假設—外力輸入條件必須為零均（Zero-Mean）之白噪訊隨過程，

且不同時間點之相關性為零。此外，為達到統計穩定性，亦需滿足資料筆 數N，但在實際情況不可能達到此目標。因此，近年來有許多學者陸 續發表改善方法與應用【34~37】，其中 Hong【36】於 2010 年發表的博士 論文探討了三種較有效之改善方法，包括局部最小平方法（Partial Least Squares，PLS）、多元迴歸分析法（Multiple Linear Regression，MLR）及 典型相關分析法（Canonical Correlation Analysis，CCA），並針對 CCA 法 對於非高斯雜訊(Non-Gaussian Noise)誤差傳播的問題加以改善，提出改良 典型相關分析法（Enhanced Canonical Correlation Analysis，ECCA），並應

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梁之系統識別【37】，取得相當好之分析結果。本研究將比較協方差 SSI 與 SRIM 系統識別法，並以實用性較高的加速度訊號進行系統識別，同時 以模態參數（自然頻率、阻尼比及模態振型）之識別結果作為兩方法之比 較依據。

結構損傷探測通常係藉由評估系統破壞前、後參數之變化 （如自然 頻率、模態或勁度矩陣、柔度矩陣等），作為結構損傷的判斷依據。Ewins

【38】根據結構動力學的基本觀念，發展動態試驗及系統識別等技術，並 定義多項指標，將動態試驗識別分析所得的模態參數轉換為工程分析的參 考依據。Salawu【39】則藉由動態監測反應萃取系統頻率，並由其變化來 判斷結構系統是否受損。羅振剛【40】應用希伯特-黃轉換邊際譜作為結構 損壞之判斷方法，藉由比對結構損壞前後 HHT 邊際譜之相對變化判斷出 損傷位置，並以剪力屋架結構驗證其可行性。

一般認為，結構之勁度矩陣是與結構受損最直接相關的物理參數，但 以勁度矩陣為基礎之結構損傷探測方法，都須先建立未受損結構的精確解 析模型（Analytical Model）以資比較。就實務面而言，建立精確的結構解 析模型本身就難以達成；此外，結構勁度矩陣的組成中，高頻模態的貢獻 度相當大，然而高頻反應卻不易由量測之振動反應中萃取出來，間接影響 了勁度矩陣識別結果之精確性。相對來說，柔度矩陣主要係由低頻模態所 貢獻，對於結構高階模態較不敏感，因而較容易識別出來，因此，以柔度 矩陣為基礎的結構損傷探測方法更具發展潛力。Hoyos 和 Aktan【41】提 出以結構自然頻率及模態建立模態柔度（Modal Flexibilities），奠定以柔度 矩陣作為結構損傷探測之基礎。Pandey 和 Biswas【42,43】利用結構破壞 前與破壞後的柔度矩陣變化，成功的應用在 I 型梁與平面桁架之損傷探測，

開啟了以柔度矩陣為基礎之結構損傷探測方法研究熱潮。Zhao 與 DeWolf

開啟了以柔度矩陣為基礎之結構損傷探測方法研究熱潮。Zhao 與 DeWolf