文獻回顧

管理模式主要由目標函數、決策變量、以及限制條件三個部分組 成，其運算是在滿足限制條件下，反覆改變系統中的決策變量，使系 統的目標達到最佳化(即由限制條件所組成之可行解(feasible solution) 區域內，尋求最佳之目標函數值)，因此因應不同之管理目的、建立 方法以及模式架構，管理模式可展現多樣之變化。

一般而言，試誤法(trial-and-error)為求解地下水管理模式最簡單 之方法。試誤法之應用流程如圖1.1所示，首先擬定好(或以亂數選取) 數個不同之管理策略，再利用數值模式模擬地下水系統在不同策略下 之反應，以評估何種策略既可符合管理者設定之限制條件(例如水頭 洩降量或地下水需求量)，又可達到最佳之目標函數值。Onta and Gupta (1995)以三維地下水流(MODFLOW)與垂向一維土體壓密方程式耦合 之觀念，配合試誤法建立以地層下陷為主要考量因子之地下水管理模 式，其在抽水量管理上則依據公用水井、私用水井、水資源需求量與 季節變化等條件，研擬了5個不同之管理策略，模擬在不同策略下，

1990年至2010年間地層下陷量之變化，以評估泰國中部平原合宜之地

下水抽取策略。試誤法之優點在於觀念直接簡單，僅需要一套可模擬 地下水系統變化之公式或數值模式，而缺點則為試誤的過程相當繁瑣 及耗費時間，尤其當決策變數眾多時更為明顯，且求得之最佳策略並 無法保證其接近全域(global)或局部(local)最佳解。

為了克服上述試誤法在搜尋最佳策略上之缺點，以地下水流模擬 結合最佳化模式(simulation-optimization)來建立地下水管理模式之觀 點被廣泛的應用在水資源管理問題上，其應用流程如圖1.2所示。一 般 而 言 ， 以 此 觀 點 建 構 地 下 水 管 理 模 式 之 方 法 可 概 分 為 嵌 入 法 (embedding method) (Aguado and Remson, 1974, 1980 ； Alley et al. ,1976))以及響應矩陣法(response matrix method) (Gorelick, 1983)兩 大類，其差別僅在於圖1.2中，兩者以不同方式將管理策略表示為最 佳化模式。以管理目的為地下水量而言，嵌入法係將地下水流控制方 程式(ground water flow equation)以數值方法離散化後，直接將離散方 程式做為最佳化模式中之限制式，水頭與抽水量之關係以差分式表示，

因此限制式所組成之矩陣可視為具有模擬地下水流功能之數值模式，

接著再以線性規劃或非線性規劃等(linear and nonlinear programming) 演算法來搜尋最佳目標函數值，故以嵌入法建立之地下水管理模式不 僅具有直觀之物理意義，且理論上可適用於各種水量或水質之管理問 題。然嵌入法處理動態的問題時，管理區域內之每一數值格網點於每 一時刻之狀態變數，不管其是否為管理者所感興趣之點(即控制點，

control point)，皆必須納入限制式中考量，因此當模擬區域過大，造 成限制式組成之矩陣異常龐大時，將產生計算耗時甚至蒐尋過程無法 收斂之現象。為了避免矩陣過於龐大之問題，Alley et al. (1976)利用 嵌入法建立地下水非穩定流的管理模式中，提出以時間拆解的概念，

分別循序求解每一時刻之最佳化模式，但其亦指出以此方法求得之最

佳解僅能代表該時刻，而無法計算全時之最佳操作策略。

以simulation-optimization建構地下水管理模式之另一種方法為響 應矩陣法。根據陳愛光等(1991)研究顯示嵌入法和響應矩陣法的計算 結果基本式一致的，其數值的差異是由於計算誤差所引起的，然而響 應矩陣法相較於嵌入法不同之處在於求解時，管理者僅需針對所感興 趣之點，先以數值模式求出單位響應係數(unit response coefficients)，

即管理區域內某一控制點因某一口井抽取一單位地下水造成之水頭 洩降量，再根據疊加法(superposition)與線性系統理論(linear system theory)來建構抽水量與水頭洩降量之線性關係式，以作為最佳化模式 之限制式矩陣即響應矩陣，該矩陣為反應地下水系統本身特徵的一系 列係數所組成，其意義在表示地下水系統中水位與抽水量(或補注量) 間的關係式。由於響應矩陣法引用線性疊加概念，僅需要先行計算控 制點之單位響應係數，最佳化模式中僅包含控制點之限制條件，因此 其限制式所組成之矩陣較小，較適合應用於大區域且動態之優選問題。

利用響應矩陣法求解地下水管理問題者，國外方面如Maddock and、

Haimes and Dreizin et al. (1977)、Reichard et al. (1987)、Peralta et al.

(1987, 1990)、Larson et al. (2001)，在國內方面，李振誥(2000)針對濁 水溪沖積扇進行多層含水層之地下水調配管理之研究、劉志文(2000) 針對屏東平原進行地下水資源調配及管理最佳化分析。

無論是嵌入法或是響應矩陣法，此數值模擬結合最佳化模式之觀 念，不僅克服了試誤法最佳解求得不易之缺點，且已廣泛地應用於地 下水管理模式之建置與發展上，相關研究可參考Gorelick (1983)所做 之完整回顧，然在眾多之研究中，僅極少數有將地層下陷之影響納入 考量。Larson et al. (2001)利用響應矩陣法建立以最大可抽水量為目標 函數，地下水位為限制條件之地下水管理模式，並應用於美國加州聖

喬昆谷(The San Joaquin Valley)。不同於以往之研究，其在地下水位 之限制條件中加入了地層下陷之考量，即限制水頭在地下水抽取過程 中，不可低於預壓密水頭(preconsolidation head)，以避免土體發生非 彈性壓密之現象。然Larson et al. (2001)僅將地層下陷之影響以定性之 方式間接納入水位之限制條件中考量，並非真正地以定量之方式將地 層下陷量作為狀態變數納入管理模式中考量。Chang et al. (2007)以地 下水量管理為目的，利用響應矩陣法結合一維土體壓密方程式，建立 以地層下陷量為限制條件之地下水管理模式，然其研究中忽略預壓密 行為之影響，亦即假設土層因抽水而產生之下陷屬於非彈性壓密，並 未考慮當地下水位高於預壓密水頭時可能產生之土層過壓密(over consolidation)或回漲之現象。