單根檢定

第三章理論模型與實證方法

3.2 實證方法

3.2.1 單根檢定

( p

VAR

3.2.1 單根檢定 (unit root test)

過去研究發現許多經濟或財務的時間序列變數，例如：所得、貨幣供給、物價、股價、匯率等，具有非定態 (nonstationary) 之特性。若變數為定態 (stationary) 之序列，則當變數受到外在因素衝擊時，其值會位於平均值上下做波動，且長期會回到均衡值，反之，若為非定態之序列，則當變數受到衝擊後，其值會逐漸遠離均衡值，因此不論以單變數時間序列模型或者以多變數時間序列模型進行估計時，都會產生問題，而使模型預測的準確度降低。傳統計量經濟模型，皆事先假設時間序列之資料為定態且殘差為白噪音 (white noise) 後，再以迴歸模型進行分析，但若變數存在非定態之時間序列特性時，則可能產生 Granger and Newbold (1974) 所發現之「假性迴歸」 (spurious regression) 問題，且當兩個相互獨立且非定態之變數，若使用傳統 t 檢定時，將無法拒絕兩變數無相關之虛無假設，亦即無「因果關係」的兩變數之間，產生異於零之假性關係，使得所估計的係數產生偏誤 (bias) 且不具一致性 (inconsistence)，因而導致研究的結論發生重大的錯誤，因為「看起來」不錯的迴歸結果，其實可能只是「假象」，實際上在迴歸模

型中的自變數與因變數之間，沒有真正的因果關係或經濟意義 (楊奕農，2005)。

因此在進行時間序列分析前，我們必須先判斷變數之特性，若資料本身即為定態序列，則稱為零階整合 (integration of order zero)，以^I

( )

⁰ ^{表示之，若資料需}

經過d次差分變成定態，則稱之階整合 (integration of order k)，以表示。

實證上最常使用檢定資料穩定與否的方法為「單根檢定」，單根檢定之「根」指的是方程式的「解」，而「單」則是「1」的意思，所以單根的實際意義，即是方程式的「解」等於 1 (楊奕農，2005)。單根檢定一般較常用的有下列二種方法：

d I

( )

(1)DF 檢定 (Dickey-Fuller test)

Dickey-Fuller (1979) 最早提出之單根檢定法，假設殘差符合白噪音，利用簡 單 AR(1)模型，即

y

_t =

a

₀ +

a

₁

y

_t₋₁+

ε

_t，經差分後可得到，Δ

y

_t =

a

₀+(

a

₁−1)

y

_t₋₁+

ε

_t，

且，若為非定態序列，即具有單根的話，則無法拒絕之虛無假

設。此外，完整之 DF 檢定具有下列三種形式：

1−1

≡ a

y

_t r=0

(i)不含截距項及時間趨勢：Δ

y

_t =

γ y

_t₋₁+

ε

_t (ii)含截距項：Δ

y

_t =

a

₀ +

γ

_μ

y

_t₋₁+

ε

(iii)含截距項及時間趨勢：Δ

y

_t =

a

₀ +

γ

_τ

y

_t₋₁+

at

ε

以上三種形式皆假設殘差為白噪音，虛無假設分別為，

， ，此檢定無法使用傳統的 t 檢定，而必需透過 Dickey 推 導之分配表 (見 Fuller (1976), Enders (2004, p.439) )來判別拒絕域，若拒絕虛無假設，則表示序列是穩定的。

γ

H

0 γ_μ =

H

₀³:

γ

_τ =0

(2)ADF 檢定 (Augmented DF test)

由於 DF 檢定法僅適用於一階自我迴歸時間序列模型 AR(1)，且必須假設殘 差符合白噪音之性質，因此在運用 DF 檢定法進行單根檢定時，應先辨別殘差是否存在自我相關的現象，當殘差存在自我相關時，則使用修正之 ADF 檢定法，

此方法在迴歸式中加入變數的落後期作為自變數，並選取適當的落後期數，消除

殘差間序列相關的問題，其一般式如下：

y 為非定態

此外，由於 Engle and Granger (1987) 之共整合理論發現非定態變數之間的迴歸關係，若出現共整合現象，則迴歸關係仍有經濟意義，且原有迴歸推論性質仍可適用，因此，經由上述單根檢定的結果我們可以瞭解序列穩定與否，若 (3.8.1) 式中之各變數均不須透過差分即符合定態變數的特性，則可直接採用一般最小平方法 (OLS) 去估計消費偏向效果

( ) ^θ

，但若各變數之間為非定態之特性，本文採用 Phillips and Hansen (1990) 提出之完全修正最小平方估計法 (Fully Modified OLS, FM-OLS)，估計

Xm

_t與

C

_t 之單一方程共積關係。此外，若

p 階向量自我迴

歸模型中的變數有一為非定態序列，則我們將以 Phillips (1995) 所發展出來的完全修正向量自我迴歸模型 (FM-VAR)，來探討變數間之相互影響關係。

) (

p

VAR

3.2.2 平滑轉換迴歸模型 (smooth transition regression model, STR model)

Quandt (1985) 所提出之轉換迴歸模型 (switching regression model) 可視為 STR 模型的進一步發展，單變數的轉換迴歸模型已被當成門檻自我迴歸模型 (threshold autoregressive model, TAR) (Tong, 1990)。此外，擁有一個可觀察的轉換變數 (switching variable) 之兩個體制 (two-regime) 的轉換迴歸模型為標準 STR 模型之特殊情形。STR 模型早期在計量經濟文獻中研究的學者有 Goldfeld and Quandt (1972, p.263-264) 及 Madadla (1977, p.396) 等，然而，近幾年有 Granger and Terasvirta (1993)，Terasvirta (1994, 1998)，Franses and van Dijk (2000) 及 van Dijk, Terasvirta and Franses (2002) 等學者進行研究，本文根據 Terasvirta (2004, p.222) 提出之 STR 模型為非線性模型主要架構，定義標準 STR 模型為值的速度，假設其值為正，c為門檻值 (threshold value)，為轉換變數 (transition variable) 且通常為中之要素 (element)，當

s

(monotonically increasing) 且非對稱 (asymmetric) 之性質，當增加時轉換函數單調的從 0 轉變至 1，此函數稱之為羅吉斯特轉換函數 (logistic transition

function)，我們將羅吉斯特轉換函數代入 (3.16) 式中，並命名其為 LSTR1 模型，

然而決定了羅吉斯特函數值改變的平滑度 (smoothness) (Franses and van Dijk, 2000)，隨著

γ

值增加曲線愈來愈陡，如 <圖 3.3> 虛線所示，當

γ

→∞時此轉換迴歸模型會產生二個不同制度，此時與 Tong (1978) 提出之門檻自我迴歸模型 (Threshold Autoregressive model, TAR) 之概念相似。STR 模型之轉換函數皆為連續函數，當轉換變數增加時轉換函數介於 0 到 1 之間平滑移動，但 TAR 模

LSTR2 模型之轉換函數與指數型轉換函數 (exponential transition function) 義 (unidentified)，因此為解決此問題 Luukkonen, Saikkonen, and Terasvirta (1988) 建議應分別對 LSTR1 及 LSTR2 模型之轉換函數在

γ

=0處作 2 階及 3 階泰勒展開 (Taylor expansion)，得到輔助迴歸式 (auxiliary regression) 如下：

R γ

為剩餘多項式的近似值。Luukkonen, Saikkonen, and Terasvirta (1988)

以 (3.18) 式為基礎，並運用巢式模式 (nested model) 的概念，提出線性檢定之

F SSE

，Test3

為

( ) ( )

方和，為線性模型下之殘差平方和。由於 LSTR1 與 LSTR2 模型之轉換函數泰勒展開式在相同階次有不同特性：LSTR1 模型之一階項次和三階項次之值不為零，二階項次之值為零，但 LSTR2 模型在二階項次之值卻不為零，一階及三階項次之值為零，因此 <圖 3.5> 之線性檢定程序，乃運用此種特性及巢式模式的概念進行檢定。此外，Terasvirta (1994) 建議當存在兩個以上之檢定結果拒絕，或 的虛無假設時，則依照檢定結果中 p-value 之最小值來決定最適 的 STR 模型。

SSE

H

₀²

H

₀³

3.2.4 診斷分析 (Diagnostic checking)

診斷性檢定是用來評估我們所估計出來的 STR 模型的好壞，若診斷出來的模型之殘差無序列相關，且符合參數不變性、無剩餘其它非線性與常態分配等特性時，我們預期此非線性模型將有不錯的預測能力，因此本研究使用 Terasvirta (2004, p.229) 提出之三種檢定方式及 Jarque-Bera 檢定，來進行模型之診斷分析，

上述四種檢定方法分別描述如下：

(1)序列相關檢定 (serial correlation test, SC test)

在古典迴歸估計中，假設殘差必需符合「無自我相關」和「常態分配」，否則估計之參數可能不具有效性，因此我們針對所估計模型之殘差進行是否仍存在自我相關的檢定，以殘差之估計值(

u

~_t) 對其落後期數(

u

~_t₋₁,K,

u

~_t₋_q) 做迴歸，即

t t

v

u

α

′ +

ε

，其中，

α

⁼

( α

₁,K,

α

)

^′，

v

t ⁼

( u

t−₁,K,

u

t−q

)

^′且，檢定統計量為

) , 0 (

σ

ε

iid N

( )

)

1 (

1 0

q n T SSR

q SSR F SSR

−

= − ， 為模型中之參數個數，q 為落後期數， 為

STR 模型之殘差平方和 (sum of squared residuals)，為輔助迴歸之殘差平方和，以上述之檢定統計量對

SSR

₀

SSR1

α 之虛無假設進行檢定，若無法拒絕虛無假設，

即表示殘差無序列相關。

(2)參數不變性檢定 (parameter constancy test, PC test) smooth transition regression, TV-STR model)，此模型參數不變性的假設等同於

(3)無剩餘其它非線性檢定 (no remaining nonlinearity test, NRN test)

(4)Jarque-Bera 檢定 (JB test)

由於古典迴歸中另一個使參數具有效性的假設為殘差符合「常態分配」，因此，我們針對所估計非線性模型之殘差項進行是否符合「常態分配」的檢定。

Jarque-Bera 檢定經常又被稱為「常態性檢定」 (normality test)，首先必需計算出殘差的偏態係數 (skewness)，以符號表示，及峰態係數 (kurtosis)，以S

K 表示，

則 JB 統計量為

2 與樣本外 (out-sample) 資料，根據理論模型，利用樣本內資料來估計且尋找最適的實證模型。下列三種指標為評估樣本內配適度 (fitness) 之標準：

(i)誤差均方根 (Root Mean Square Error, RMSE)

∑

(ii)平均誤差絕對值 (Mean Absolute Error, MAE)

∑

(iii)平均誤差百分比值 (Mean Absolute Percentage Error, MAPE)

∑

(2)評估樣本外估計模型預測能力之方法

先前我們預留某一數目的觀察值，做為樣本外資料，並假設其為未知觀察值，藉由 Rapach and Wohar (2006) 提出之 Bootstrapping 的方式，分別模擬製造 (3.10) 式中三個常態分配誤差之隨機值 (random number)，搭配樣本內之計量估計模型來作樣本外之預測值，，重覆此動作 1000 次後，分別將三個變數樣本外之每期 1000 個模擬值加以平均，可模擬出三個變數樣本外每期之平均值，此為點預測 (point forecast) 的方式，最後再將代入 (3.14) 式中，即可求得預測之含貨幣效果的經常帳餘額。區間預測 (interval forecast) 的方法與點估計類似，首先必須找出區間之上下臨界值，再以類似點估計之操作方式，分別找出之上下界模擬值，進而求得含貨幣效果之經常帳餘額的預測區間，並檢定在 90%

信心水準下實際經常帳是否能落入此區間，若有 90%之實際經常帳值能落在此區間內，即表示理論之經常帳模型有 90%的機率可捕捉到實際經常帳之值。

Zˆt

3.2.6 樣本外區間預測力之檢定

我們以 Wallis (2001) 所提出之概度比檢定法 (likelihood ratio test) 檢定區間預測的好壞，其檢定統計量為

LR

=²

[ n

0^log(¹−

p

⁾^/(¹−

π

⁾+

n

1^log(

p

π

⁾

]

，並假設事前之涵蓋機率 (ex ante coverage probability) 為π ，代表事前之信賴水準；事後之 涵蓋機率 (ex post coverage probability) 為 p，即事後實際值落在估計區間內的機 率，n₁為落在預測區間內之樣本數，

n

₀為落在區間外之樣本數，且p=n₁ T ，為全部樣本外個數，此檢定統計量之近似分配為

，其臨界值為自由度為 1 之卡方值，若檢定結果拒絕

T

n n

₀ + ₁=

) 1 ( / ) ( ²

2 =

n p

−

π π

−

π

X π

≥

p

之虛無假設，則表示事後實際值至少有π 機率會落在此估計區間內。

3.2.7 樣本外點預測力之檢定

預測的結果為決策時重要的依據，因此預測的正確性是相當重要的。我們以 Diebold and Mariano (1995) 所提出的六種檢定方式，來比較不同模型間點估計預測的精確性 (predictive accuracy)，這六種檢定皆廣泛的運用兩種方法之預測能力沒有差異之虛無假設，且期望找出預測誤差相對較小的模型。此外，所有的檢定皆考慮一組實際 (accuracy) 的時間序列資料

{ } y

t ^Tt₌₁及

{ } y

ˆit ^Tt₌₁與

{ }

yˆjt ^Tt₌₁二組預估值，其相對應的誤差序列分別為

{ } e

it ^Tt₌₁與

{ }

ejt ^Tt₌₁，其中

e

_it =

y

_t −

y

ˆ_it與 e 為預測誤差 (forecast error)，而損失函數 (loss function) 為預測誤差的直接函數

(direct function) 與，六種檢

(1)DM 檢定 (Diebold-Mariano test)

( )

0 ^~ ⁽⁰^,¹⁾

(3)魏克森符號排序檢定 (Wilcoxon’s Signed-Rank test) (contemporaneously uncorrelated)，其檢定統計量為：

)

(5)MGN 檢定 (The Morgan-Granger-Newbold test)

( ) otherwise if

( ) otherwise

if

預估值

{ } y

ˆ_it ^T_t₌₁，及非線性模型下之經常帳實際值

{ }

yjt ^Tt₌₁與預估值

{ }

yˆjt ^Tt₌₁，而為線性模型之經常帳實際值減去經常帳預測值，為非線性模型之經常帳實際值減去經常帳預測值，統計量之推論與上述相同，並以線性模型與非線性模型預測能力一樣好的虛無假設為基礎，進行六種方法之檢定，選擇預測誤差較小，亦即預測能力較佳之模型。

e

第四章實證結果與分析

4.1 實證資料之選取及處理

4.1.1 資料來源

本研究採用的資料來自於國際貨幣基金會 (International Monetary Fund, IMF) 之國際金融統計資料庫 (International Financial Statistics)，變數皆以各國幣值之十億元 (Billions) 為報價單位，主要選取美國、英國、法國、德國、日本、

加拿大 (以下分別簡稱為 US、UK、FR、GM、JP、CD) 共六個工業國家 (簡稱 G6, Group of Six) 之資料，且使用 GAUSS6.0 及 JMulTi4.12 套裝軟體進行分析。

4.1.2 選取變數

本研究選取所需變數如下：

(1)消費者物價指數 (consumer price index, CPI)

定義：為衡量一般家庭平時主要消費品價格相對變化程度的物價指數，亦可作

在文檔中 G6跨期經常帳與貨幣存量之非線性研究 (頁 29-0)

第三章 理論模型與實證方法

3.2 實證方法

3.2.1 單根檢定

VAR

3.2.1 單根檢定 (unit root test)

( )

( )

y

a

a

y

ε

y

a

a

y

ε

y

y

γ y

ε

y

a

γ

y

ε

y

a

γ

y

at

ε

γ

H

H

γ

y 為非定態

( ) θ

Xm

C

p 階向量自我迴

p

VAR

3.2.2 平滑轉換迴歸模型 (smooth transition regression model, STR model)

s

γ

γ

γ

R γ

F SSE

( ) ( )

SSE

H

H

H

3.2.4 診斷分析 (Diagnostic checking)

u

u

u

v

u

α

ε

α

( α

α

)

v

( u

u

)

σ

ε

iid N

( )

q n T SSR

q SSR F SSR

SSR

K 表示，

第三章理論模型與實證方法

( ) ^θ

第四章實證結果與分析