第四章 研究方法
第四節 時間序列資料估計與檢定
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第四節 時間序列資料估計與檢定
呼應圖 4-1 的分析流程，本小節參閱楊奕農(2019)羅列單根檢定與共 整合分析的詳細數理過程。
一、 單根檢定
鑑於變數為時間序列型態之模型，在此型態的資料有可能存在單根之 問題，可見在估計實證模型之前，必須將所有資料作單位根檢定。本研究使 用 ADF 檢定(Augmented Dickey-Fuller)及 PP 檢定(Phillips- Perron)的單位 根檢定，以下分別說明之：
(一) ADF 檢定(Augmented Dickey-Fuller)
ADF 檢定的特色在於除了關心變數的單根項之外，還考慮了該變數前 幾個時期資料的波動，以降低序列相關效果。為了以下敘述之便利性，假設 變數之時間序列向量為：𝑍𝑡= (𝑌𝑖，𝑋1𝑖， … 𝑋5𝑖)。
而 ADF 檢定的動態迴歸方程式可列出以下三種：
1. 無截距及時間趨勢項
∆𝑧𝑡 = 𝑎1𝑧𝑡−1 + ∑𝑘𝑖=1𝑎𝑖∆𝑧𝑡−𝑖+ 𝑒𝑡 (2) 其中，∆𝑧𝑡= 𝑧𝑡− 𝑧𝑡−1，代表關心變數在第 t 期和第 t-1 期數值之差異；
𝑎𝑖代表對應的係數值；𝑒𝑡為殘差項，假設殘差項應當無自我相關，並且變異 數為固定值。
2. 有截距卻無時間趨勢項
∆𝑧𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧𝑡−1+ ∑𝑘𝑖=1𝑎𝑖∆𝑧𝑡−𝑖+ 𝑒𝑡 (3) 其中，𝑎0為常數項，視為迴歸方程式的截距項，此項為第一種迴歸方程 式所缺乏的部分。
3. 有截距及時間趨勢項
詳細的動態方程式可以表示為：
∆𝑧𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧𝑡−1+ 𝑎𝑡+ ∑𝑘𝑖=1𝑎𝑖∆𝑧𝑡−𝑖+ 𝑒𝑡 (4)
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根據以上方程式，可以列出一個零假設：𝐻0: 𝑎𝑡= 0，當虛無假設被拒 絕時，代表關心變數的時間序列呈現穩定時間序列，稱之為𝐼(0)序列。如果 考慮截距項𝑎0的 ADF 檢定，稱之為𝜏𝜇檢定；如果同時考慮截距和時間趨勢 的的 ADF 檢定，稱之為𝜏𝜏檢定。若檢定結果顯著，則拒絕序列具有單位根 的零假設；若效果不顯著，則表示序列具有單位根，必須進一步對變數的時 間序列進行差分，使之轉化穩定時間序列。
(二)PP 檢定(Phillips-Perron)
在動態迴歸方程式中，如果殘差存在異質性(heterogeneity)的問題，則 ADF 檢定法會發生錯誤的檢定結果。因而，Phillips and Perron(1988) 發明 PP 檢定法，用來修訂 ADF 檢定法中殘差項所形成的異質性問題。 PP 檢 定法的概念是放寬動態迴歸方程式的殘差項可以存在自我相關和異質性，
運用 AR(1)模型所得到的殘差項來修訂檢定法中的的 t 統計量，及𝛿的估計 式。
假設我們關心的變數在 t 期的數值為𝑍𝑡，其 PP 檢定的形式為：
1. 無截距及時間趨勢項
∆𝑍𝑡 = 𝛿𝑍𝑡−1+ 𝑒𝑡 (5) 2. 有截距卻無時間趨勢項
∆𝑍𝑡 = 𝑎1+ 𝛿𝑍𝑡−1 + 𝑒𝑡 (6) 3. 有截距及時間趨勢項
詳細的動態方程式可以表示為：
∆𝑍𝑡 = 𝑎1+ 𝑎2𝑡 + 𝛿𝑍𝑡−1+ 𝑒𝑡 (7) 其假設為𝐻0：𝛿 = 0，代表𝑍𝑡是具有單根現象；其假設為𝐻1：𝛿 < 0，代 表𝑧𝑡是穩定時間序列。
當變數存在有單位根之情況時，則代表時間序列變數存在穩定時間序 列，如此一來， OLS 進行模型驗證時，或許會出現假性迴歸的疑義。因此，
必須採用共整合方法解決之，以確保變數在長期時的影響關係後可以藉由 OLS 模型捕捉之且不會出現假性因果關係造成假性迴歸結果。
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二、共整合分析
本研究處理共整合分析方式是參考 Johansen and Juselius(1990)與楊奕 農(2019)。共整合分析，一般常用的方法有(1) Engle and Granger (1987) 二階段共整合分析及(2) Johansen and Juselius(1990)最大特性根檢定(max test)。該文首先建立自我向量迴歸模型，藉由差分獲得長期衝擊矩陣，以衡 量矩陣「秩」(Rank)，以此得知是否存在 r 個共整合分析向量(r 為共整合 分析秩)。可以利用兩種方法，檢定矩陣的秩(Rank)，跡檢定(trace test)及 最大特性根檢定(max test)來檢定特性根數量，從而確定共整合分析向量的 個數。
在下列的說明中，使用前述之變數時間序列向量，
𝑍𝑡= (𝑌𝑖，𝑋1𝑖， … 𝑋5𝑖) ，列出以下之矩陣方程式：
𝑍𝑡= 𝐴𝑧𝑡−1 + 𝑒′ (8) 其中，A 為落後一期時間序列向量之係數矩陣，𝑒′為對應之殘差項變異 矩陣。 若將(8)減去一階落後項𝑧𝑡−1後，方程式改寫為：
∆𝑍𝑡 = Π𝑧𝑡−1+ 𝑒′ (9) 其中， ∆𝑍𝑡= 𝑍𝑡− 𝑍𝑡−1；Π = (A − I)，為我們關心的經濟變數之長期衝 擊矩陣，借此檢定變數之間，長期是否存有均衡關係。本討論中，根據關心 變數之數目，有 5 個特性根，分別為𝜆1，𝜆2… 𝜆5。此特性根之軌跡檢定為：
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑟) = −𝑇 ∑5 ln (1 − 𝜆̂𝑖
𝑖=𝑟+1 ) (10)
T 為樣本數，𝜆̂ 為顯著特性根之數目。於是，可以列出以下研究假設： 𝑖 𝐻0：最多只有 r 個共整合分析關係。
𝐻1：至少有 r＋1 個共整合分析關係。
若拒絕𝐻0假設，則代表變數之間至少存在 r＋1 個長期共整合分析關係。
假設 r 為 0，𝑍𝑡之各經濟變數之間存在一共整合分析參數Γ，使得𝑍𝑡之落後 期時間序列得以建構出無共整合分析關係之向量誤差修正模型，如下所示：
∆𝑍𝑡=∏ 𝑍𝑡−1+ ∑𝑘−1𝑖=1 Γ𝑖∆𝑧𝑡−𝑖+ 𝜇0 + 𝑒𝑡 (11)
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其中，𝜇0为𝑍𝑡之隨機飄移項向量，𝑍𝑡= (𝑌𝑖，𝑋1𝑖， … 𝑋5𝑖) ，相關估計結 果詳列於下一章。
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2013Q3 294.89 13.25 149,066.30 0.17 6,049 52,133,475 1.37 99.99 8,173.87 5.49 2013Q4 304.85 13.39 149,009.00 0.17 5,992 53,523,921 1.37 99.33 8,611.51 5.99 2014Q1 298.50 13.55 149,057.20 0.17 6,040 56,605,993 1.37 97.82 8,849.28 5.89 2014Q2 310.20 13.72 149,003.80 0.17 5,987 57,207,297 1.37 98.43 9,393.07 6.03 2014Q3 297.45 13.80 149,066.30 0.17 6,049 55,015,894 1.37 99.32 8,966.92 5.57 2014Q4 294.26 13.97 149,009.00 0.17 5,992 56,581,232 1.37 99.98 9,307.26 5.19 2015Q1 302.06 14.14 157,756.20 0.18 4,856 59,091,556 1.37 98.80 9,586.44 6.24 2015Q2 289.60 14.32 157,702.80 0.17 4,803 60,647,546 1.37 99.53 9,323.02 6.69 2015Q3 286.22 14.43 157,765.30 0.18 4,865 58,819,730 1.37 100.07 8,181.24 6.09 2015Q4 273.98 14.62 157,708.00 0.17 4,808 60,114,473 1.37 101.04 8,338.06 6.50 2016Q1 271.36 14.84 162,048.20 0.18 4,605 61,638,052 1.20 100.50 8,744.83 5.44 2016Q2 276.76 15.03 161,994.80 0.17 4,552 62,517,989 1.20 100.20 8,666.58 4.39 2016Q3 269.52 15.19 162,057.30 0.18 4,614 60,953,656 1.20 101.01 9,166.85 4.53 2016Q4 270.97 15.40 162,000.00 0.17 4,557 60,609,283 1.20 101.77 9,253.50 3.86 2017Q1 274.44 15.63 166,138.20 0.18 4,892 62,239,383 1.04 102.05 9,811.52 3.51 2017Q2 273.97 15.84 166,084.80 0.18 4,839 63,054,990 1.04 102.14 10,395.07 3.63 2017Q3 271.57 16.00 166,147.30 0.18 4,901 61,594,906 1.04 102.93 10,383.94 3.52 2017Q4 267.73 16.22 166,090.00 0.18 4,844 61,695,613 1.04 102.72 10,642.86 3.79 2018Q1 276.30 16.44 166,728.20 0.18 5,226 62,965,859 1.04 101.69 10,919.49 3.47 2018Q2 275.93 16.63 166,674.80 0.18 5,173 64,334,449 1.04 101.21 10,836.91 3.64 2018Q3 278.04 16.80 166,873.29 0.18 5,235 63,048,522 1.04 100.58 11,006.34 3.56
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2013Q4 288.63 9.30 162,028.00 0.05 6,292 70,730 1.37 99.33 8,611.51 5.99 2014Q1 292.42 9.43 162,076.20 0.05 6,340 84,360 1.37 97.82 8,849.28 5.89 2014Q2 293.24 9.54 162,022.80 0.05 6,287 84,348 1.37 98.43 9,393.07 6.03 2014Q3 296.94 9.61 162,085.30 0.05 6,349 84,482 1.37 99.32 8,966.92 5.57 2014Q4 294.17 9.72 162,028.00 0.05 6,292 84,460 1.37 99.98 9,307.26 5.19 2015Q1 300.44 9.85 172,540.20 0.05 5,723 90,693 1.37 98.80 9,586.44 6.24 2015Q2 296.95 9.98 172,486.80 0.05 5,670 90,681 1.37 99.53 9,323.02 6.69 2015Q3 289.13 10.04 172,549.30 0.05 5,732 90,815 1.37 100.07 8,181.24 6.09 2015Q4 294.58 10.18 172,492.00 0.05 5,675 90,792 1.37 101.04 8,338.06 6.50 2016Q1 278.05 10.35 177,951.20 0.06 5,475 92,644 1.20 100.50 8,744.83 5.44 2016Q2 287.58 10.49 177,897.80 0.06 5,422 92,632 1.20 100.20 8,666.58 4.39 2016Q3 287.54 10.61 177,960.30 0.06 5,484 92,766 1.20 101.01 9,166.85 4.53 2016Q4 287.65 10.79 177,903.00 0.06 5,427 92,745 1.20 101.77 9,253.50 3.86 2017Q1 284.83 10.97 184,125.20 0.06 5,862 92,478 1.04 102.05 9,811.52 3.51 2017Q2 293.45 11.12 184,071.80 0.06 5,809 92,466 1.04 102.14 10,395.07 3.63 2017Q3 294.08 11.23 184,134.30 0.06 5,871 92,602 1.04 102.93 10,383.94 3.52 2017Q4 302.74 11.38 184,077.00 0.06 5,814 92,578 1.04 102.72 10,642.86 3.79 2018Q1 295.58 11.56 184,156.20 0.06 7,301 93,319 1.04 101.69 10,919.49 3.47 2018Q2 309.57 11.71 184,102.80 0.06 7,248 93,307 1.04 101.21 10,836.91 3.64 2018Q3 307.51 12.13 184,165.30 0.06 7,310 93,441 1.04 100.58 11,006.34 3.56 2018Q4 311.92 12.16 184,178.20 0.06 7,296 93,806 1.04 99.83 11,166.62 3.49
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取國際勞工組織(International Labor Organization，ILO)之通則，在數據標準 週內年齡達 15 歲以上且同時具備有以下的情節者：(1)當前失業沒有工作；‧
240.76、最大值 310.20；老年人口占比之平均數 14.71、標準差 1.73、最 小值 12.62、最大值 18.07；勞保投保人數之平均數 156,116.91、標準差 9,627.08、最小值 141,743.80、最大值 167,753.00；公共設施面積占比之 平均數 0.17、標準差 0.00、最小值 0.17、最大值 0.18；營業人家數之平‧
均數 5,303.01、標準差 513.86、最小值 4,551.80、最大值 6,049.30；捷 運總萬人次之平均數 5,744.16、標準差 609.29、最小值 4,593.51、最大值 6,480.88。
觀察表 5-6，臺中市房價指數之平均數 282.43、標準差 30.32、最小值 212.42、最大值 327.73；老年人口占比之平均數 10.29、標準差 1.31、最 小值 8.69、最大值 12.87；勞保投保人數之平均數 170,894.69、標準差 11,803.50、最小值 153,340.80、最大值 184,262.80；公共設施面積占比 之平均數 0.05、標準差 0.00、最小值 0.05、最大值 0.06；營業人家數之 平均數 6,128.90、標準差 715.36、最小值 5,248.80、最大值 7,313.73；
公車總人次之平均數 79,165.38、標準差 19,402.66、最小值 37,769.00、
最大值 94,836.30。
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最小值為 96.15，最大值為 102.93；股價指數的平均數為 9277.51，標準差 為 1,360.68，最小值為 7,072.08，最大值為 11,702.84；貨幣供給 M2 成 長率的平均數為 4.66，標準差為 1.14，最小值為 3.38，最大值為 6.69。
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第二節 單根檢定
在第四章第三小節文獻指出，當經濟變數之時間序列呈現非穩定時間 序列時，不能直接使用 OLS 之迴歸估計，以免導致假性的因果關聯而出現 假性迴歸。又為了處理單根問題，相關文獻提出各組非平穩時間序列變數，
如具有某種經濟關係，則可以透過共整合檢定與向量誤差修正模型來處理 線性組合使之成為平穩時間序列，其平穩時間序列則可使用 OLS 之迴歸估 計也不會導致假性的因果關聯而出現假性迴歸。本文首先執行單根檢定做 為進行查看資料有否呈現單根的問題，若存有單根問題即透過執行共整合 檢定與向量誤差修正模型解決，以確保其變數在長期時的影響關係，最後 使用 OLS 之迴歸估計分析實證結果。依據第四章圖 4-1 所呈現的研究流程 圖，由於採用的變數屬於時間序列之資料型態，需要檢視資料是否存在單 根問題，於是採用 ADF 與 PP 檢定方法，檢定結果請參考表 5-8 所列。
觀測表 5-8 研究變數單根檢定表中分析，其結果顯示在房價指數以及 交通運輸資料拒絕有單根之虛無假設，其他變數均無法拒絕有單根虛無假 設，代表本研究所使用的變數大多存在單根問題，象徵這些變數為非定態 時間序列；根據楊奕農(2019)、Newbold and Granger(1974)、Engle and Granger(1987)指出，非定態指的是某事件衝擊對它的影響是短暫的，但隨 著時間經過，時間序列會自我收斂到長期平均水準(mean reversion)，而這 需要進一步使用共整合檢定作分析，當檢定後，獲得變數在長期時，皆為穩 定之序列即符合迴歸均值條件的時間序列就可以用 OLS 模型進行下一步預 測，且不會導致假性的因果關聯而出現假性迴歸，否則須再對變數取差分，
直到變數皆為定態序列，才可作實證模型之估計。本研究不適宜取差分之 原由為房價指數如取差分會變房價指數成長率，在統計上容易產生偏誤，
因此本研究改以共整合關係檢定，發現其具有共整合關係時，代表時間序 列為定態，因此可以用來預測。
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股價指數 -0.170 -0.041
(0.933) (0.948) 貨幣供給M2 成長率 -1.439 -1.744
(0.552) (0.401) 註：(1)ADF 是依據 Schwarz Information Criterion 準則檢定之; (2)PP 單根檢 定是依據 Newey 的 Bartlett Kernel 準則檢定之:(3)括號數字為 p-value;(4)* 代 表顯著水準為 5%時，拒絕有單根之虛無假設
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第三節 共整合檢定
依據上節單根檢定結果，反映多數變數具有單根問題，因此需要進一 步觀察共整合檢定，若變數中有些呈現定態，有些呈現非定態，則須檢視之 間是否存在共整合關連情形，如果呈現共整合關連情形即無須取差分直接 建構向量誤差修正模型以確定時間序列具有長期關係，即可以使用 OLS 迴 歸方法進行實證結果估計分析；否則須再對變數取差分，直到所有變數皆 成為定態序列為止才可做實證結果分析。
Engle and Granger(1987)之於共整合的界說，一組不是定態的時間序列 之變數經由線性組合之後而使其成為定態，即表示這些序列變數具有共整 合現象。首先，透過誤差修正模型(VECM)，建構出合適的時間序列檢定模 型，因此需要透過 Akaike information criterion(AIC)及 Schwarz information criterion(SIC)，使其線性關係成為定態的變數形式。所以共整合也經常被解 釋成，在其經濟變數之間具備長期均衡關係的形態，也就是說，不是定態的 變數存有共整合關係景象時，代表隱藏了其變數在長期間來說是具備往均 衡目標方向發展的特質，意謂在短期間來說變數或許會有偏離的情況，但 在長期間會逐次縮減偏離狀態而朝向均衡目標方向發展，也就是誤差修正 的機制。
其次利用 Johanson 最大特性根檢定，以判斷各變數間是否存有長期均 衡關聯性。在 Johansen and Juselius(1990)共整合檢定部分，檢定本研究採 用的變數之間共整合向量之數目，藉此了解序列變數之間是否存有長期的 均衡關聯。
觀察表 5-9，可以發現，軌跡元素與最大特性檢定方式下，本研究所採 用的變數皆存有一組共整合向量，代表長期下具有均衡關聯。如此，在下列 小節的內容中，將可以使用 OLS 之迴歸估計分析實證結果預測各變數對於 房價指數的影響效果。
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表 5-9 Johansen and Juselius 共整合檢定
軌跡元素和檢定(
trace) 最大特性根檢定(
max) 特性根 假設檢
定
統計量 5%臨界值 特性根 假設檢定 統計量
0.650 r=0 137.586* 117.708 r=0 47.260* 44.497 0.447 r
1 87.325 88.804 r
1 26.680 38.331 0.375 r
2 63.646 63.876 r
2 21.119 32.118‧
投保人數 0.002；公共設施占比 7.997；營業人家數 0.020；交通運輸 2.360；物價指數 1.006；利率-7.086；股價指數 2.004；貨幣供給M2 成長率 1.574；
R 平方 0.931；Adj-R 平方 0.907；F 值 39.037。
臺中市實證分析結果說明，常數-13.342；老年人口占比-9.044；勞保 投保人數 1.501；公共設施占比 1.000；營業人家數 1.005；交通運輸 0.901；
物價指數 2.866；利率-3.915；股價指數 3.003；貨幣供給M2 成長率 2.230；
物價指數 2.866；利率-3.915；股價指數 3.003；貨幣供給M2 成長率 2.230；