最大平均熵差法(MMDE)

或重要度。(D-R)稱為原因度(Relation)，又稱淨影響性，由Di減Ri而來，(Di-Ri)若為 正，表此元素偏向導致類，容易影響其他元素，若(Di-Ri)為負，此元素則偏向為影響 類，容易被其他元素所影響。

因果圖分別以(D_i+R_i，D_i-R_i)為序偶，橫軸為(D+R)，縱軸為(D-R)。故因果圖可將 複雜的因果關係簡化為易懂的結構，能深入瞭解問題以提供研究者解決的方案；另藉 由因果圖的協助，決策者可根據準則中導致類或影響類來規劃適合決策。

策的關鍵(李宗偉，2008)。

 

 

 





 

 

 







0150 . 0 0532 . 0 0547 . 0 0758 . 0 0532 . 0

0752 . 0 0086 . 0 0531 . 0 0340 . 0 0313 . 0

0341 . 0 0299 . 0 0087 . 0 0729 . 0 0509 . 0

0517 . 0 0284 . 0 0292 . 0 0077 . 0 0284 . 0

0759 . 0 0523 . 0 0538 . 0 0126 . 0 0093 . 0

example

T

圖 圖4 同樣的總影響矩陣，但取不同門檻值的影響關係圖

資料來源：「科技政策與計畫之結構評估模式」，李宗偉，2008，未 出版之博士論文，國立交通大學科技管理研究所，新竹市。

二、MMDE的相關定義

熵是物理學測量的熱動力學的方法，在目前社會科學已成為一個重要概念 (Zeleny,，1981)。熵最早應用於訊息理論，是訊息量的期望值，在離散概率的分佈上，

可用來衡量“不確定性”。國內學者李宗偉提出最大平均熵差法(Maximum Mean De-Entropy,MMDE)有以下三個定義，試分述如下(李宗偉，2008):

(一)定義一

有n個元素的隨機變數，被表示為X={x1，x2，…，xn}，其對映機率P={P1，P2，...，

Pn}，那麼我們定義X的熵，H(X)如下：



p p p_n



p_i p_i

H ₁, ₂,^,

^{ } 

lg 有以下限制:

(3) P=0.3 P=0.53 P=0.7 P=0.75

1

1

 

 n

i

pi

0 0

lg

_i



_i



i

p if p

p

其中的lg為以e為底的對數函數，

當p₁=p₂=p₃...=p_n時，

H  p

₁

, p

₂

,  , p

_n



之值最大，我們以





 





n n

H n 1

, 1, 1,

 來代表。

接著我們定義另一個測量減少熵(de-entropy)的熵差函數。

(二)定義二

在特定有限的離散組合X，X的熵差函數以H_n^D表示，其定義如下：



1 2



1 1 1

, , , , , , (5)

D

n n

H H H p p p

n n n

 

     

其中，H_n^D的值等於或大於0。與熵用於測量不確定性不同，熵差用來解釋來自 特定資料集合的有用信息程度，降低訊息的“不確定性”。我們定義熵差函數是用來尋 找門檻值，以評估現有的影響關係圖中添加一個新的節點對信息內容所產生的效果。

依據熵差函數的定義，H_n^D



H_n1^D可獲得証明(Khinchin,1957)。

1

1 1 1 1 1 1

, , , , , , (6)

1 1 1

D D

n n

H H H H

n n n n n n ^

   

             

上述式子說明在機率都相等的系統中，加入一個新變數，則整個系統的熵值會上 升。

在繪製關係影響圖時，如在關係圖上加入新因素，可以減少系統不確定性，或導 致熵差值變大。因此，新的因素對決策者是可提供有價值的資訊的。換言之，在一的 信息系統中，其變數和相應的概率是固定的，在系統加入新的變數，其概率將會產生 改變;如果H_n^D



H_n1^D存在，那麼，此新的變數將提供了有用的信息，使決策者可避 免不確定性。

DEMATEL方法中，門檻值確定後的總關係矩陣，可用來繪製最終的影響關係圖。

在n×n的總影響關係矩陣T中，矩陣T元素(i,j)，t_ij,代表因素X_i對因素X_j直接和間接影響 的總和，像圖形理論中的「點」和「邊」(Agnarsson，Greenlaw,2007)。在有向圖的影 (4)

響關係圖上，tij可被視為連接因素Xi和Xj的一個有向邊。在一個影響關係圖，每一個 因素可能支配或受另一因素影響，也可能兩者兼有。

(三)定義三

總影響關係矩陣T的(i,j)元素以tij表示，代表因素Xi對因素Xj直接和間接影響的總 和。將因素X_i定義為支配點，而因素X_j定義為接收點，影響值為t_ij。

根據此定義，一個n×n總影響關係矩陣T，可視為一個有n²的有序組元素集合(T)。

每個T的子集可分為兩部分：一有序支配點集合和有序接收點集合。對於一個有序支 配集合(或一個有序接收集合)，我們可以計算集合中不同要素的次數。若有序支配點 (或接收)集合元素數目是m，元素X_i出現頻率為K，則元素X_i相應的機率P_i=k/m，依此

方法，可以給每個不同元素的機率。且 1

1

 

 n

i

pi 。其中，C(X)表示有序集合X的元 素數目；N(X)表示集合X中不同元素的個數。例如，若X={1，2，2，3，1}，C(X)=5，

而N(X)=3。

三、MMDE之算法

根據國內學者李宗偉(2008)的研究，將MMDE的算法分為以下六個部分，試分述 如下：

(一)將總影響矩陣轉變成一個有序集合

改造n×n的總影響矩陣「T」，為一個有序集合{T}={t11，t12，...，t21，t22，...，tnn}，

再將集合{T}內的元素，從大到小重新排列，並且轉化為相對應於總影響矩陣「T」

中行、列的一個三位元的有序集合(tij，xi，xj)=(影響值,支配點,接收點)，表示為T^*。

(二)找出支配點的集合(Dispatch-Node set)

從T^*中，捉出第二個元素，成為支配點的集合(Dispatch-Node set),T^Di。其中，

T^Di={xi}={x1，x2，…，xn}。

(三)算出支配點集合的平均熵差(mean de-entropy)

取出T^Di中的前t個元素，T_t^Di，找出不同元素的分配概率H^D，然後找出集合T_t^Di所

對應於H^D的HtDi。

接著，我們就可以透過公式

 

t^Di Di Di t

t NT

MDE  H ，算出平均熵差。其中，



_n



D

n H p p p

n n H n

H 1 , , ,

, 1, 1,

2

1 



 



 



 

；H p p



1, 2, ,p_n

   

p_ilgp_i (7)

( 1

1

 

 n

i

pi ；

p

_i

lg p

_i

 0 if p

_i

 0

；lg為以e為底的對數函數)；N(X)為集合{X}中不同 元素的個數。

(四)找出平均熵差的最大值

找出平均熵差的最大值，和它相對應的支配點的集合TtDi，而這些相對應於最大 平均熵差的支配點的集合，即為T_max^Di。

(五)找出接收點的集合(Receive-Node set)；並算出平均熵差的最

大值

從T^*中，捉出第三個元素，成為接收點的集合，重複二至四步驟，找出接收點的 有序集合T^Re，和平均熵差的最大值，及其相對應於最大平均熵差的接收點的集合，

即為TmaxRe。

(六)找出門檻值

取出所有支配點T_max^Di在T^*中的頭u個元素和所有接收點T_max^Re在T^*中的頭u個元 素的聯集為集合T^Th，其中T^Th的最小值，就是門檻值。

而T^Th、TmaxDi、TmaxRe所成的集合，滿足

G       T

^Th

 G T

max^Di

 G T

max^Re ，並且滿足公 式：

^{1  C}     ^T

^Th

^{ C T}

^* ，其中C(X)為集合{X}中元素的個數。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 39-44)