有關反模糊化轉換的一些性質

國

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例 3.7 考慮

A

_i，

i

=1,2,…,6，等 6 個模糊數，其中 A₁= [10,10,10.8,10.8]，

A₂= [8.8,8.8,12,12]，A₃= [6,10,10,15.2]，A₄= [8,10,10,13.2]，A₅= [6,10,12,14]，

A₆= [8,9,10,14]，則：各模糊數之間之距離 d(A ,_i A )，_j

i

,

j

=1,2, …,6，如下（表 3.3）：

表 3.3 兩梯形模糊樣本之距離

d(A_i,A_j) A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆

A₁ 0 0.28 0.36 0.24 0.37 0.3

A₂ 0 0.08 0.04 0.09 0.02

A₃ 0 0.12 0.01 0.06

A₄ 0 0.13 0.06

A₅ 0 0.07

A₆ 0

3.3 有關反模糊化轉換的一些性質

針對梯形模糊數之反模糊化轉換，我們將其性質歸納如下：

性質 3.1 反模糊化轉換 y = f(x)為 R R 之映射。而轉換後之增量，即 f(x) - x = 1－

A A ) 1

ln( + 為 R [0,1) 之映成函數。

證明：以 A

A ) 1

ln( + 對 A 作圖如下： 則顯然：

A A ) 1

ln( +

1－

A A ) 1 ln( +

A

A

‧

‧

‧

‧

‧

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20

從上表的資料中我們可以得到 6 位受訪者的選擇價格，依小到大排序為：8000, 10000, 10000, 15000, 20000, 25000 元或 8000, 10000, 10000, 15000, 20000, 25000 元。而依傳統中 位數的取法，取出的結果為：10000 元。但我們知道若以傳統問卷方式進行調查，並無 法真正反應受訪者完整的想法。因為傳統中位數只能以受訪者最高意願最為考量，若我 們以模糊樣本中位數配合模糊眾數（例 3.3）的理論來思考，更能合理分析這類問題。

定義 4.2 連續型模糊樣本中位數

令A =_i [a_i,b_i, c_i,d_i]，i =1, 2,…, n，是一組梯形模糊數。根據在實數線上的反模糊 化值定義，計算出A =_i [a_i,b_i, c_i,d_i]之反模糊化值 RA_i，令 RA_(i)為將 RA_i排序後而得 到的有序樣本值，則定義梯形模糊樣本中位數為：

Fmedian(A)=

2) (n

RA ，若 n 為奇數

(

2) (n

RA +

1 2) (n+

RA )/2 ，若 n 為偶數

例 4.2 連續型模糊樣本中位數應用於回味的人生歲數探討

蘇格拉底說：「沒經過反省的人生，不值得活。」回味，是人在午夜夢迴時，常會 夢到的念頭，如兒時父母的呵護、與朋友相處的時光，工作上的現實和理想，及在各階 段的人生際遇。今以連續型模糊問卷調查得 9 位受訪者對「回味人生的歲數」的梯形模 糊數並依定義算出其反模糊化值為（表 4.3）：

表 4.3 9 位受訪者對「回味人生的歲數」的梯形模糊數及反模糊化值

a

i

b

_i

c

_i

d

_i RA_i

1 37 38 42 44 40.9

2 55 55 65 65 60.8

3 20 35 35 39 32.1

4 70 72 74 75 73.3

5 70 72 73 74 72.7

6 16 16 20 20 18.6

7 68 70 73 75 72.1

8 14 15 17 18 16.5

9 50 55 55 70 59.1

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從上表的資料中，我們可以得到 9 位受訪者對回味的人生歲的數梯形模糊數的反模 糊化值，由小到大的排列為：16.5, 18.6, 32.1, 40.9, 59.1, 60.7, 72.1, 72.7, 73.2。根據模糊 樣本中位數定義，當 n=9 時，中位數為第 5 位，可得模糊梯形中位數（Fuzzy trapezoid sample median）為：59.1。由此可知這 9 位受訪者所代表之母體認為值得的回味的人生 歲數約為 59.1 歲。

例 4.3 連續型模糊樣本中位數應用於適合的生命長度的探究

醫療科技術的發展，使生命得以延長。但隨著科技進步，社會流動，老人之生活經 驗與判斷智慧均與以往不同。且隨著年紀漸增，身體各方面的退化及角色的轉變，都將 影響老人晚年存在價值的判斷。今以連續型模糊問卷調查探尋多數人認為適合的生命長 度為何，得 10 組梯形模糊數列示於下，並計算出其反模糊化值（表 4.4）：

表 4.4 10 位受訪者對「適合的生命長度」梯形模糊數及反模糊化值

a

i

b

_i

c

_i

d

_i RA_i

1 78 78 80 80 79.5

2 72 74 75 76 74.7

3 76 78 78 80 78.5

4 72 75 76 78 75.8

5 70 72 75 76 73.8

6 65 70 72 74 70.8

7 70 70 75 75 73.1

8 68 72 72 75 72.2

9 74 76 80 84 79.3

10 76 78 79 80 78.7

從上表的資料中，可知 10 位受訪者對生命長度的梯形模糊數的反模糊化值，由小 到大的排列為： 70.8, 72.2, 73.1, 73.8, 74.7, 75.8, 78.5, 78.7, 79.2, 79.5。由定義，當 n= 10 時，中位數位在

2

) 6 ( ) 5

( x

x +

，可得模糊梯形中位數（Fuzzy trapezoid sample median）＝

75.25。可知這 10 位受訪者所代表之母體認為適合的生命長度為 75.25 歲。

‧

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例 4.4 檢定 A、B 兩社區之老者每週去公園次數是否相等

設有 A、B 兩社區鄰近公園，今欲檢定 A、B 兩社區之老者每週去公園次數是否相等。

由 A、B 兩社區分別抽取 13、12 位老者，得各人每週去公園的次數模糊數，並計算其反 模糊化值，整理於表 4.6、4.7 及 4.8 為：

表 4.6 A 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值

1 2 3 4 5 6 7

X_if

1 0.3 0.5 0.2 5.9

2 1 7

3 0.1 0.1 0.4 0.4 6.1

4 0.2 0.7 0.1 5.9

5 0.2 0.8 6.8

6 0.3 0.4 0.2 0.1 4.6

7 0.3 0.4 0.3 2.8

8 0.1 0.4 0.5 5.4

9 0.1 0.3 0.5 0.1 5.5

10 0.2 0.8 6.8

11 0.2 0.7 0.1 4.9

12 0.4 0.6 6.6

13 0.5 0.5 6.5

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表 4.7 B 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值

1 2 3 4 5 6 7

X_if

1 0.1 0.2 0.6 0.1 4.7

2 0.1 0.6 0.3 3.2

3 0.2 0.8 3.8

4 0.2 0.5 0.2 0.1 3.2

5 0.5 0.5 4.5

6 0.8 0.2 6.2

7 0.2 0.5 0.3 6.1

8 0.3 0.7 3.7

9 0.2 0.6 0.2 5

10 0.5 0.4 0.1 4

11 0.1 0.7 0.1 0.1 5.2

12 0.2 0.6 0.2 6

表 4.8 A、B 兩社區的反模糊化值由小到大排列

A 社區 2.8、4.6、4.9、5.4、5.5、5.9、5.9、6.1、6.5、6.6、6.8、6.8、7 B 社區 3.2、3.2、3.7、3.8、 4、4.5、4.7、 5 、5.2、 6、6.1、6.2 現以α＝0.05，檢定 A、B 兩社區老人每週去公園次數之中位數是否相等？

【方法為】

假設為 H₀:兩社區每週去公園次數之中位數相等 H₁:兩社區每週去公園次數之中位數不相等 混合後共同中位數為：5.4，整理得聯立表（表 4.9）如下：

表 4.9 比較去公園次數的中位數次數的 2×2 聯立表 去公園次數 A 社區 B 社區 和

大於共同中位數次數 9 3 12

小於共同中位數次數 3 9 12

和 12 12 24

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以中位數次數聯立表（表 4.9），計算統計量

χ²＝

12 12 12 12

24 2) 3 24 3 9 9

( ²

×

×

×

×

×

× － －

＝12 12 12 12 24 60²

×

×

×

× ＝4.17

α＝0.05，v=（2－1）（2－1）＝1，臨界值 χ²_(0.05,1)＝3.84<4.17 即差異顯著，故拒絕接受 H₀。

表示 A、B 兩社區老人，每週去公園次數之中位數有可能不相等。

由前例可知，此中位數檢定法並無不限制 A, B 兩組之樣本數必須相等。

例 4.5 檢定男、女銀髮族所認為的每月基本生活費用是否相等

欲檢定男、女銀髮族所認為的每月基本生活費用是否相等，由女、男銀髮族，各隨 機抽取 10 人，所認為的每月基本生活費用，得其基本生活費用模糊數及反模糊化值，

整理於表 4.10、4.11 及 4.12 為：

表 4.10 女銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值

I [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [12000, 12000, 14000, 14000] 13001 2 [15000, 16000, 18000, 20000] 17287 3 [18000, 20000, 20000, 22000] 20001 4 [26000, 28000, 30000, 35000] 29910 5 [20000, 25000, 28000, 30000] 25616 6 [17000, 18000, 19000, 20000] 18501 7 [23000, 25000, 25000, 28000] 25334 8 [15000, 16000, 16000, 18000] 16334 9 [25000, 28000, 30000, 32000] 28705 10 [38000, 40000, 41000, 42000] 40201

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表 4.11 男銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值

i [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [6000, 8000, 8000, 10000] 8001

2 [10000, 15000, 16000, 18000] 14557 3 [23000, 25000, 28000, 30000] 26501

4 [8000, 8000, 10000, 10000] 9001

5 [15000, 16000, 16000, 20000] 17001 6 [18000, 20000, 21000, 22000] 20201 7 [26000, 30000, 31000, 32000] 29572 8 [10000, 12000, 15000, 16000] 13223 9 [18000, 20000, 24000, 26000] 22001 10 [16000, 18000, 20000, 22000] 19001

表 4.12 女、男組基本生活費用反模糊化值由小到大排列

女 13001、16334、17287、18501、20001、25334、25616、28705、29910、40201 男 8001、9001、13223 、14557、17001、19001、20201、22001、26501、29572

現以α＝0.05，檢定女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數是否相等？

【方法為】：

假設為 H₀:女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數相等 H₁:女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數不相等

混合後共同中位數為：

2 ) 20001 19001

( +

＝19501，可製聯立表（表 4.13）如下：

表 4.13 比較基本生活費用的中位數次數的 2×2 聯立表

基本生活費用 女組 男組 和

大於共同中位數次數 6 4 10

小於共同中位數次數 4 6 10

和 10 10 20

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本檢定的理論基礎為：若兩母體的變異程度不同，則由變異程度大的母體抽取之樣 本，在混合排列後會趨向兩端，使等級太大或太小，並使統計量 M 太大或太小。故當 檢定統計量 M 大於等於大的臨界值

M

^"或小於等於小的

M

^'時，應拒絕H 。 ₀

例 4.6 檢定男、女老者所

認為人生中「回味的人生歲數」變異度是否相等

已知某族群

男、女老者所

認為人生中「回味的人生歲數」相等。今欲

檢定該族群

男、女老者所

認為人生中「回味的人生歲數」變異度是否相等，訪問 19 位老者（男

10 位 ,女 9 位）對人生中「回味的人生歲數」的看法，得其模糊數並計算其反模糊化值，

整理於下表（表 4.14、4.15 及 4.16）：

表 4.14 10 位男性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值 i [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [ 37, 38, 42, 44 ] 40.9

2 [ 55, 55, 65, 65] 60.8

3 [ 70, 72 ,74, 75] 73.3

4 [70, 72, 73, 74] 72.7

5 [68, 70, 73, 75] 72.1

6 [55, 65, 65, 75] 65.8

7 [60, 65, 68, 70] 66.3

8 [65, 70, 70, 75] 70.6

9 [ 65, 68, 72, 75 ] 70.7

10 [70, 72, 72, 75] 72.8

表 4.15 9 位女性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值 i [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [20, 35, 35, 39] 32.1

2 [16, 16, 20, 20] 18.6

3 [14, 15, 17, 18] 16.5

4 [50, 55, 55, 70] 59.1

5 [35, 40, 40, 45] 40.6

6 [34, 35, 44, 50] 41.7

7 [55, 60, 65, 70] 63.3

8 [60, 65, 65, 70] 65.6

9 [65, 70, 73, 75] 71.3

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表 4.16 「回味的人生歲數」男、女組反模糊化值由小到大排列 男 40.9、60.8、65.8、66.3、70.6、70.7、72.1、72.7、72.8、73.3 女 16.5、18.6、32.1、40.6、41.7、59.1、63.3、65.6、71.3

現以α＝0.05，檢定回首人生歲月中的男、女，其所認為值得回味人生的歲數，是 否變異程度不同？

【方法為】：

採双尾檢定 H₀:σ₁²=σ₂² 即男、女組所認為「回味的人生歲數」變異度無不同 H₁:σ₁²≠σ₂² 即男、女組所認為「回味的人生歲數」變異度不同

2

2 1

1+ n +

n =

2 1 19 + = 10

表 4.17 男、女組「回味的人生歲數」反模糊化值整理得各觀測值等級為 觀測值 16.5、 18.6 、32.1、40.6 、40.9 、41.7、59.1、60.8 、63.3、65.6

組別 女 、 女 、 女 、 女 、 男 、 女 、 女 、 男 、 女 、女 等級 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、10

觀測值 65.8、 66.3、70.6、 70.7、71.3、72.1、 72.7、 72.8、73.3 組別 男 、 男 、 男 、 男 、 女 、 男 、 男 、 男 、 男 等級 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 19

以排序後的資料（表 4.17），求其統計量 M α=0.05 ，

n

₁＝9、

n

₂＝10

M = (1－10)² + (2－10)² + (3－10)² + (4－10)² + (6－10)² + (7－10)² + (9－10)² + (10

－10)² + (15－10)² =281

查表得臨界值

M

^'= 154 ，

M

^"=386，

M

^'< M <

M

^"，故接受 H₀。 表示回首人生回味的歲月，男、女測試結果變異程度有可能相同。

由前例可知，此變異數檢定法並無不限制受檢定的兩組之樣本數必須相等。

例 4.7 檢定男、女銀髮族每年旅遊的次數變異度是否相等

已知某族群中

男、女銀髮族每年旅遊的次數無差異。今欲檢定該

族群中

男、女銀

髮族每年旅遊的次數之變異程度是否相等，故

訪問 20 位銀髮族（男、女各 10 位），

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每年旅遊的次數，得其模糊數，並計算其反模糊化值，整理於表 4.18、4.19 及 4.20 如下：

表 4.18 男銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值 i [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [1, 2, 2, 3] 2.3

2 [2, 2, 4, 4] 3.5

3 [5, 7, 7, 8] 7.1

4 [6, 7, 9,10] 8.5

5 [4, 4, 6, 6] 5.5

6 [5, 6, 6, 8] 6.7

7 [2, 3, 3, 4] 3.3

8 [2, 3, 4, 5] 4.0

9 [5, 7, 8, 9] 7.7

10 [2, 3, 4, 5] 4.0

表 4.19 女銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值 i [

a

_i,

b

_i,

c

_i,

d

_i] RA_i

1 [4 ,5 ,5 ,6] 5.3

2 [6, 6, 8, 8] 7.5

3 [3, 4, 4, 5] 4.3

4 [4, 5, 5, 6] 5.3

5 [1, 3, 4, 5] 3.7

6 [3, 4, 5, 6] 5.0

7 [4, 4, 6, 6] 5.5

8 [2, 4, 5, 6] 4.7

9 [3, 4, 5, 6] 5.0

10 [1, 2, 3, 4] 3.0

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表 4.20 銀髮族旅遊次數反模糊化值由小到大排列 男 2.3、3.3、3.5、4.0、4.0、5.5、6.7、7.1、7.7、8.5

女 3.0、3.7、4.3、4.7、5.0、5.0、5.3、5.3、5.5、7.5

現以α＝0.05，檢定銀髮族中的男、女組，每年旅遊的次數，是否變異程度不同？

【方法為】：

雙尾檢定 H₀:σ₁²=σ₂² 即男、女組每年旅遊次數變異度並無不同 H₁:σ₁² ≠σ₂² 即男、女組每年旅遊次數變異度不同

2

2 1

1+ n +

n ＝

2 1

20 + ＝10.5，

表 4.21 銀髮族旅遊次數反模糊化值整理得各觀測值等級 觀測值 2.3、 3.0、 3.3 、 3.5、 3.7 、 4.0、 4.0 、4.3 、4.7 、5.0

組別 男、 女、 男 、 男 、 女 、 男 、 男 、 女 、 女、 女 等級 1 、2 、 3 、 4 、 5 、 6.5 、 6.5 、 8 、 9 、 10.5

觀測值 5.0、 5.3、 5.3 、5.5 、5.5 、 6.7 、7.1 、7.5 、7.7 、8.5 組別 女、 女、 女 、 男 、女 、 男 、 男 、 女 、 男 、 男 等級 10.5、12.5、12.5、 14.5、14.5、 16 、 17 、 18 、 19 、20

以排序後的資料（表 4.21），求其統計量 M α= 0.05 ，

n

₁= 10、

n

₂= 10

M = (1－10.5)² + (3－10.5)² + (4－10.5)² + (6.5－10.5)² + (6.5－10.5)² + (14.5－10.5)² + (16－10.5)² + (17－10.5)² + (19－10.5)² + (20－10.5)² ＝471.5

查表得臨界值

M

^'=198.50 ，

M

^"= 464.50，因 M ＞

M

^"，故拒絕接受 _H0。 表示測試結果男、女組每年旅遊次數之變異程度有可能不相同。

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5 實例研究

據內政部人口統計，自2007年2月，老年人口即已佔總人口的10.04%。依行政院經 建會推估，至2026年老年人口就會超過20%，即約15年後即每5人中就有1位是老年人 口。從以上資料顯示高齡化社會的快速變遷，將引發新的需求與問題，已成為政府及民 間關注及研究的焦點。

然而當母體樣本數小，分配來自未知，且資料是序列尺度時，在做研究時我們可應 用無母數統計檢定方法。其特性是常以中位數而非帄均數代表資料的集中趨勢。此方法 是一個合理且易於使用的統計方法，可應用在財管、經營、醫療、教育心理及其它的社 會科學的研究，是一種值得重視且可擴大使用的研究工具。

基於此，我們利用模糊統計分析和無母數檢定，並以梯形隸屬函數建立之中位數檢 定法模型，對老人相關問題予以測度，以期能更精確地反映年長者的實際想法，並解決 老年社會所遭遇的問題。

5.1 應用離散型模糊數分析和檢定老人外出時間

根據社會繼續理論：一個人在他老邁時不會產生戲劇性之改變，它的人格特徵照樣 維持跟成年生活時類似，如活躍型、退縮型，依然未變。基於此，想探討不管本身的個 性如何，老人一天外出時間，是否受到年齡因素的影響，以做為老人社會資源分配之依 據。所以，針對退休後的人，以年齡 65-74 歲及 75-90 歲分成兩組，調查這兩個年齡層 在一天中外出時間及其變異度是否不同。

【方法為】

採用離散型模糊問卷（表 5.1），對 8 名 A 組（75-85 歲）及 12 名 B 組（65-74 歲）

老人做調查後得模糊數及反模糊化值整理於表 5.2、5.3 及 5.4：

表 5.1 一天外出約多少時間？（單位：小時）

0 1 2 3 4 5 6 7 以上

時間 受訪者

‧ 國

立 政 治 大 學

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表 5.2 A 組（75-85 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值

0 1 2 3 4 5 6 7 以上

X_if

1 0.2 0.6 0.2 1

2 0.2 0.4 0.2 0.2 1.4

3 0.3 0.2 0.4 0.1 1.3

4 0.4 0.3 0.3 0.9

5 0.5 0.4 0.1 2.6

6 0.3 0.7 1.7

7 0.3 0.4 0.2 0.1 1.1

8 0.5 0.4 0.1 1.6

表 5.3 B 組（65-74 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值

0 1 2 3 4 5 6 7 以上

X_if

1 0.2 0.6 0.2 3.6

2 0.2 0.4 0.4 2.2

3 0.1 0.2 0.4 0.3 2.9

4 0.1 0.4 0.5 3.3

5 0.4 0.6 1.6

6 0.1 0.4 0.4 0.1 3.4

7 0.1 0.3 0.6 2.5

8 0.2 0.4 0.4 2.2

9 0.1 0.7 0.2 2.1

10 0.5 0.3 0.2 1.7

11 0.5 0.5 1.5

12 0.1 0.3 0.6 4

時間 受訪者

時間 受訪者

‧

B 組(65-74 歲) 1.5、1.6、1.7、2.1、2.2、2.2、2.5、2.9、3.3、3.4、3.6、 4

（步驟一）中位數檢定：檢定兩母體是否具有相同的平均水準（即具有相同之中位數）。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

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5.2 應用連續型梯形模糊數分析和檢定理想中的退休年齡

我國勞工強制退休的年齡，從現行 60 歲延後至 65 歲。德國迫於出生率太低，人口 急速老化，以及國家財政考量，已決定把強制退休年齡從 65 歲延後到 67 歲。法國也因 經濟危機加上人口結構改變，因 60 歲退休年齡之爭，在 2010 年夏季上演激烈的街頭抗

我國勞工強制退休的年齡，從現行 60 歲延後至 65 歲。德國迫於出生率太低，人口 急速老化，以及國家財政考量，已決定把強制退休年齡從 65 歲延後到 67 歲。法國也因 經濟危機加上人口結構改變，因 60 歲退休年齡之爭，在 2010 年夏季上演激烈的街頭抗

在文檔中 模 糊 無 母 數 統 計 檢 定 及 其在 高 齡 化 社 會 調 查 之 應 用 - 政大學術集成 (頁 22-0)