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2.2 隸屬度函數
到底該如何使用明確的數學來表達模糊性呢？Zadeh 簡單地將具有 0 與 1 兩個值的 特徵函數 IA(x) 擴展成 [0,1]區間，而稱此函數為隸屬度函數（membership function）。 隸屬度函數在模糊理論上，扮演一個中心的角色。它是從傳統集合的特徵函數所衍生出 來的，用以表達元素對模糊集合的隸屬度，其範圍介於 0 到 1 之間。對於元素和集合的 關係，傳統集合以特徵函數來描述，亦即 I(x) = 1，若 x
∈
A；I(x) = 0，若 x∉A。但 Zadeh 提出：若一個元素屬於某一個集合的程度越大，則其隸數度值越接近 1，反之則越接近 0。如此一來，就可將介於「是」與「不是」之間的所有狀態表示出來了。用傳統集合定義具有模糊性的語言變數時，常會造成許多不合理的現象。例如：「年 老」一詞，當考慮 0 到 140 歲的年齡範圍時，若定義 70 歲以後為「年老」，則根據傳統 集合的定義，可繪出「年老」的特徵函數圖，如圖 2.1 所示：
1
70 140 年齡
圖 2.1 傳統集合「年老」的特徵函數圖
若今天假設 A、B、C 三人，年紀各為 69、70、85 歲，其中 A、B 兩人雖只差 1 歲，
只有 B 算老人，A 卻不屬於老人。這樣相當不合理。對於傳統的二分法與人類思維格格 不入的問題，利用隸屬度函數能夠得到較為合理的答案。如果某人認為 80 歲絕對屬於
「年老」，則其隸屬度函數值自然為 1，而 69 歲幾乎可算是老人，則其隸屬度函數值為 0.9，此表示 69 歲屬於「年老」的程度有 0.9。如此可繪出模糊集合「老人」的隸屬度函 數圖（圖 2.2）。
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70 歲
圖 2.2 模糊集合「老年」的隸屬度函數圖
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與傳統集合的特徵函數比較，隸屬度函數似乎是將特徵函數帄滑化了。而且，隸屬 度函數讓每個年齡層都擁有一個介於 0 到 1 間的值，來代表「年老」的程度。相較於傳 統集合的特徵值，在描述模糊的概念時，利用模糊集合的隸屬度函數來解釋，更為適當。
隸屬度函數的設計與建立並非惟一，關於「年老」、「非常老」、「年輕」槪念的模糊 集合亦可以如下的隸屬度函數描述之：
μ
年老（x）=
0 ，0≦x≦50(1+( ) -2)-1 5
－50
x ，50≦x≦100
μ
非年老（x）=
0 ，0≦x≦50(1+( ) -2)-2 5
－50
x ，50≦x≦100
μ
年輕（x）=
0 ，0≦x≦25(1+( )-2)-1 5
－25
x ，25≦x≦100
如此一來，隸屬度函數就可以完全表達出模糊集合，如μ年老表達了「年老」這個 模糊集合的意思。
隸屬度函數是模糊理論最基本的概念，它不僅可描述模糊集合的性質，更可對模糊 集合進行量化，並利用精確的數學方法，來分析和處理模糊資訊。然而要建立一個足以 表達模糊概念的隸屬度函數，並不是一件容易的事。其原因在於隸屬度函數的建立脫離 不了個人的主觀意識，故沒有通用的定理或公式，通常是根據經驗或統計來加以確定。
因此，隸屬度函數如何建立，仍具有爭議性，也沒有一種隸屬度函數可以一體適用於所 有的情況。
隸屬度函數通常可分為離散（discrete）型與連續（continuous）型兩類。離散型隸 屬度函數乃是以窮舉法直接給定有限模糊集合內每個元素的隸屬度。而連續型隸屬度函 數則以幾種常用的函數形式（s 函數、z 函數、Π 函數、三角形函數、梯形函數、高斯
（鐘型）函數）來描述模糊集合。是故隸屬函數所定義的，可以是有限模糊集合的元素 及其隸屬度之間的關係，也可以是無限模糊集合的元素及其隸屬度之間的關係。在眾多 連續型隸屬度函數的型態中，又以三角形、梯形、鐘形等隸屬度函數較容易理解，且能
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夠滿足大部分的邏輯系統設計。其中，梯形隸屬度函數因計算方便且仍貼近語意的模糊 性，為本研究所採用。