模糊無母數統計檢定及其在高齡化社會調查之應用 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班趙淑倫碩士學位論文. 立. 政治大. ‧ 國. 學. ‧. 模糊無母數統計檢定及其在高齡化社會調查之應用 n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：趙淑倫撰指導教授：吳柏林博士中華民國一百年八月廿二日.

(2) 謝. 辭. 在國民中學執教多年後，能再度以學生身份回到教室修習課程，真是百感交集。一方面欣喜於能有機會在自己任教的科目上有所精進，從另一個高度看待學生及自己的專業；另一方面又對安排得既緊密又多樣化的在職進修學程感到惶恐，不知在家庭與事業之外，是否還能勝任。很幸運地在修業期間，承蒙多位數研所師長的教導及同學的切磋與鼓勵，讓我一路走來完成了研究。其中最為感謝的是吳柏林老師，他既博學又有修養的風. 政治大. 範，總是在我遇到困難時，指點迷津，讓人豁然開朗，有如神助一般。. 立. ‧ 國. 學. 此外，我還要感謝家人的支持。在這三年間，外子因我忙於學業，必須承擔更多的不便與犧牲。尤其令我動容的是，當我在課業上遇到些許不. ‧. 確定時，常與外子討論，圈外人的他每能提供寶貴的建議。這無疑是我倆. sit. y. Nat. 認識以來，最難忘的一段時光。我不禁要大聲說：「老公，謝謝你！」最. al. n. 真是令我感到貼心。. er. io. 後，我要感謝我們可愛的子女。他們曾在我感到沮喪時遞上安慰的字條，. Ch. engchi. i n U. v. 總之，這篇研究得以完成所要感謝的人太多了，豈能用隻字片語表達，不如就學作家陳之藩一樣「謝天」吧！. 趙淑倫. 於政治大學數學教學研究所 2011 年 9 月. i.

(3) 模糊無母數統計檢定及其在高齡化社會調查之應用摘要在逐漸高齡化的社會中，關注老人的生活議題並加以分析益顯重要。在研究老人問題時，由於研究對象均曾經歷不同的時空背景與人生閱歷，各個體間存在的差異極大；不同族群的老人對其所慣用語彙的理解與表達亦不盡相同。故若利用傳統的統計分析研究結果，強迫人們採用二元邏輯的方式思考與解釋，可能會導致偏差或錯誤的結論。且傳統的統計檢定方法，往往假定取樣的樣本滿足某個分配，因而導致過多的解釋，影響決策品質。因此，為避免因誤解老人而造成虛耗社會成本，使有限的社會資源得以充分運用，本文於研究老人身心特質與個人期待時，嘗試以模糊理論的軟計算，提出反模糊化轉. 政治大. 換。並應用中位數檢定及變異數檢定，建立當統計參數為模糊數或模糊區間時之小樣本無母數模糊統計檢定方法模型。由實證例子分析結果顯示，我們提出的檢定方法，能有. 立. 效分析模糊樣本的問題，並進而期望能對老人議題的分析和決策有所貢獻，及將此方法. ‧ 國. 學. 運用於其它模糊性議題之研究。. 關鍵字：反模糊化轉換，模糊統計分析，中位數檢定，變異數檢定，高齡化社會。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i n U. v.

(4) The Fuzzy Nonparametric Statistical Test And Its Application on the Survey of an Aging Society Abstract In a gradually aging society, it is important to pay attention to and then analyze elderly people’s life issues. When a study about elderly people is undertaken, the subjects are very inconsistent given their diverse life experience, and various subgroups of subjects have quite different understanding of and way of expressing a vocabulary. Therefore, analyzing study result with conventional statistical analysis method, which forces thinking in a binary logic way, may lead to biased or erroneous conclusion. Furthermore, a conventional statistical test,. 政治大 which is detrimental to the quality of a decision. 立. usually assuming a certain distribution for its samples, may lead to exaggerated explanation,. So, in order to avoid the waste of our social cost from misunderstanding of the elderly,. ‧ 國. 學. and to make the most use of our limited social resource, when we investigated the elderly people’s personal characteristics and expectations, we tried to apply the soft calculation of the. ‧. fuzzy theory, proposed the counter-fuzzy transformation, and, by using the median test and variance test, established a nonparametric fuzzy statistical model for small-sized samples and. y. Nat. sit. for parameters of the fuzzy number or fuzzy interval types. The analyses of real-world. al. er. io. examples demonstrated that this method of statistical test can analyze the problems of fuzzy. n. samples, and can hopefully contribute to improved analysis and decision making of the. Ch. i n U. v. elderly people’s issues, and apply this method on the investigation of other fuzzy social issues.. engchi. Key words: counter-fuzzy transformation, fuzzy statistical analysis, median test, variance test, aging society.. iii.

(5) 目. 錄頁次. 第1章. 前言 ........................................................................................... 1. 第2章. 思維的模糊性 ........................................................................... 3. 2.1 模糊理論 .............................................................................................................3 2.2 隸屬度函數 .........................................................................................................4. 第3章. 模糊數與反模糊化轉換 ........................................................... 7. 政治大. 3.1 模糊數 .................................................................................................................7 3.2 反模糊化轉換 ................................................................................................... 12. 立. 3.3 有關反模糊化轉換的一些性質...................................................................... 14. ‧ 國. 學. 第4章. 中位數檢定 ............................................................................. 18. 4.1 模糊中位數 ....................................................................................................... 18. ‧. 4.2 中位數檢定法 ................................................................................................... 22. sit. er. 實例研究 ................................................................................. 32. io. 第5章. y. Nat. 4.3 變異數檢定法 ................................................................................................... 27. al. n. v i n Ch 5.2 應用連續區型梯形模糊數分析和檢定理想中的退休年齡 ........................ 35 engchi U 5.3 應用連續型梯形模糊數分析和檢定老人看電視時間 ................................ 37. 5.1 應用離散型模糊數分析和檢定老人外出時間............................................. 32. 5.4 比較應用連續型梯形模糊數及離散型模糊數分析和檢定是否為成功生活的老人 ....................................................................................................... 40. 第6章. 結論與討論 ............................................................................. 48. 參考文獻 ................................................................................................. 49. iv.

(6) 表. 目. 錄頁次. 表 3.1. 老人對所感重要事項之隸屬度 ......................................................................... 10. 表 3.2. 老人對所感重要事項之傳統問卷調查 ............................................................ 11. 表 3.3. 兩梯形模糊樣本之距離 ..................................................................................... 14. 表 4.1. 6 位銀髮族對基本生活費的隸屬度選擇 ........................................................ 19. 表 4.2. 傳統問卷調查 6 位銀髮族基本生活費選擇 .................................................... 19. 表 4.3. 9 位受訪者對「回味人生的歲數」的梯形模糊數及反模糊化值 ............... 20. 表 4.4. 10 位受訪者對「適合的生命長度」梯形模糊數及反模糊化值 .................. 21. 表 4.5. 比較中位數次數的 2×2 聯立表 ......................................................................... 22. 表 4.6. A 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值 ............................................ 23. 表 4.7. B 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值 ............................................ 24. 表 4.8 表 4.9. 治政 A、B 兩社區的反模糊化值由小到大排列 ...................................................... 24 大立比較去公園次數的中位數次數的 2×2 聯立表 ............................................... 24 ‧ 國. 學. 表 4.10 女銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值 ................................................ 25 表 4.11 男銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值 ................................................ 26. ‧. 表 4.12 女、男組基本生活費用反模糊化值由小到大排列 ........................................ 26 表 4.13 比較基本生活費用的中位數次數的 2×2 聯立表 ............................................ 26. sit. y. Nat. 表 4.14 10 位男性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值 .................. 27 表 4.15 9 位女性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值 .................... 28. io. er. 表 4.16 「回味的人生歲數」男、女組反模糊化值由小到大排列 ............................. 29. al. n. v i n Ch 男銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值 e n g c h i U ............................................30. 表 4.17 男、女組「回味的人生歲數」反模糊化值整理得各觀測值等級 ............... 29 表 4.18. 表 4.19 女銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值 ............................................ 30 表 4.20 銀髮族旅遊次數反模糊化值由小到大排列 .................................................... 31 表 4.21 銀髮族旅遊次數反模糊化值整理得各觀測值等級 ........................................ 31 表 5.1. 一天外出約多少時間？（單位：小時） ........................................................ 32. 表 5.2. A 組（75-85 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值 ...................................... 33. 表 5.3. B 組（65-74 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值 ...................................... 33. 表 5.4. 兩年齡層外出時間的反模糊化值由小到大排列 ............................................ 34. 表 5.5. 外出時間中位數次數聯立表 ............................................................................. 34. 表 5.6. 退休後的男性感到適合退休年齡的模糊數及反模糊化值（單位：歲） .. 35. 表 5.7. 退休後的女性感到適合退休的年齡的模糊數及反模糊化值（單位：歲） ...................................................................................................................... 36. v.

(7) 表 5.8. 男、女性感到適合退休年齡的反模糊化值由小到大排列 ........................... 36. 表 5.9. 適合退休年齡的中位數次數聯立表................................................................. 36. 表 5.10 A 組（65-74 歲）看電視時間的模糊數及反模糊化值（單位：小時） ..... 38 表 5.11 B 組（75-85 歲）看電視時間的模糊數及反模糊化值（單位：小時） ..... 38 表 5.12 兩年齡層看電視時間的反模糊化值由小到大排列 ........................................ 39 表 5.13 A 組（65-74 歲）、B 組（75-85 歲）兩組看電視的時間中位數次數聯立表 .......................................................................................................................... 39 表 5.14 A 組（65-74 歲）與 B 組（75-85 歲）看電視時間反模糊化值整理得各觀測值等級 .......................................................................................................... 40 表 5.15 新北市老人所感到綜合的自我實現程度 ........................................................ 41 表 5.16 台北市老人所感到綜合的自我實現程度 ........................................................ 42. 治政排列 ...................................................................................................................... 42 大立新北市及台北市所感到綜合的自我實現程度中位數次數聯立表 ............... 42. 表 5.17 新北市及台北市老人所感到綜合的自我實現程度反模糊化值由小到大. 表 5.18. ‧ 國. 學. 表 5.19 新北市（A 組）及台北市（B 組）老人所感到綜合的自我實現程度之反模糊化值整理得各觀測職等級 .................................................................... 43. ‧. 表 5.20 目前自己感到綜合的自我實現程度 ................................................................. 44 表 5.21 新北市（A 組）老人所感到綜合的自我實現程度 ........................................ 45. sit. y. Nat. 表 5.22 新北市（B 組）老人所感到綜合的自我實現程度 ........................................ 45 表 5.23 新北市及台北市老人所感到綜合的自我實現程度反模糊化值由小到大. io. er. 排列 ...................................................................................................................... 45. al. n. v i n Ch 新北市及台北市老人所感到綜合的自我實現程度中位數次數聯立表 ...... 46 engchi U. 表 5.24 新北市及台北市老人所感到綜合的自我實現程度中位數次數聯立表 ...... 46 表 5.24. 表 5.25 新北市（A 組）及台北市（B 組）老人所感到綜合的自我實現程度之. 反模糊化值整理得各觀測值等級 ................................................................... .47. vi.

(8) 圖. 目. 錄頁次. 圖 2.1 傳統集合「年老」的特徵函數圖 ......................................................................... 4 圖 2.2 模糊集合「老年」的隸屬度函數圖..................................................................... 4 圖 3.1 梯形模糊數 .............................................................................................................. 8 圖 3.2 一組區間模糊數 ...................................................................................................... 9 圖 3.3 一組三角形模糊數 .................................................................................................. 9 圖 3.4 一組梯形模糊數 ...................................................................................................... 9 圖 3.5 認為人生的「黃金歲月」年齡約幾歲？ .......................................................... 11 圖 5.1 認為適合的退休年齡約幾歲？ ........................................................................... 35 圖 5.2 認為（1）最長固定的看電視時間約多久？（2）通常看電視的時間約多. 治政目前自己感到綜合的自我實現程度................................................................... 41 大立. 久？......................................................................................................................... 37. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 圖 5.3. Ch. engchi. vii. i n U. v.

(9) 1 前言統計分析自上世紀即廣泛運用於自然及社會科學資訊之處理，幫助人們在複雜的自然或社會現象中，從取樣所得的有限訊息，經歸納、推理、檢定等過程，使我們對現實狀況更清楚瞭解，以更能正確預測現實世界中的問題，並做出決策。其中以帄均數是瞭解母體集中趨勢最重要參數。然而在現實生活中，由於人類思維及主觀意思的複雜，傳統的二元邏輯並不能反映出實際情況，或貼近人類的真實想法。如帄均數就常帶有模糊、不確定性的意涵或可能為一區間，此時傳統的估計量評估準則及估計方法便顯出不足之處。若我們利用假性的精確值來做因果分析與計算度量，則可能擴大預測結果與實際狀態間的差異，造成判定偏差及決策誤導。如要對模糊的人類思維做出較好的判斷，我們必須儘量將所得到的訊息都加以考慮。而模糊理論的概念，正是強調各人喜好程度. 政治大. 不同，不需具備非常清晰的數值精確。對人類而言，模糊模式比限定的單一值，更適合評估物體間的多元或相關性。. 立. ‧ 國. 學. 隸屬度函數是模糊理論最基本的概念，因可利用隸屬度函數來描述模糊集合的性質，並可對模糊集合進行量化，也可利用精確的數學方法來分析和處理模糊資訊。然而關於隸屬度函數要如何建立，脫離不了個人主觀意識的取捨，因此也較具爭議性。本研. ‧. 究是採用常用且計算方便的梯形隸屬度函數來表達語意的模糊性。. y. Nat. sit. 傳統的統計檢定方法，都假設母體來自某一分配，最常見的是假設母體樣本滿足常. er. io. 態分配，而能依據 Z分配、t分配、卡方（Chi Square）分配、F分配等抽樣分配進行估. al. n. v i n Ch 用無母數統計方法來做推論與檢定。無母數統計的特性包括計算過程較簡單，限制條件 engchi U 較少，在特殊對象或特殊情況的研究上，不會由於樣本太小而無法做合理的推論；而無計與檢定。但若母體不服從常態分配或母體分配未知，或樣本為小樣本時，我們必須應. 母數統計方法常以中位數代表資料的集中趨勢。有鑑於此，本文基於模糊統計分析的理論，嘗試將傳統的無母數統計方法，配合模糊理論的概念，建立模糊無母數統計檢定方法模型。也就是說明如何將一筆來自未知母體分配的模糊資料，做出有效的統計分析。針對多值邏輯模糊數及模糊區間值，本文以較實用的連續分配為基礎，配合模糊關係之隸屬度函數，提出反模糊化轉換，並應用中位數檢定及變異數檢定，以實例說明其方法的實用性。. 依據內政部人口統計資料發現：2007年2月份，台灣老年人口增加到2,296,368人，佔總人口的10.04%，已達聯合國世界衛生組織所訂的高齡化社會指標。另依據行政院經建會推估，至2026年台灣老年人口就會超過20%。也就是說，約15年後即每5人中就有1. 1.

(10) 人是老年人。台灣現已正式步入高齡化社會，在國人休閒生活充足、帄均壽命延長之情形下，65歲以上老人退休後的生活安排，顯得格外重要。老年人在面臨家庭功能的轉型與家庭結構的改變下，適合的休閒、文康活動也與年輕時不同，而老人本身對於提昇精神生活的重視度也益加提高。以上資料顯示高齡化社會之快速變遷，將引發新的需求與問題，因而必須有相對應的規劃、對策與措施，以增進老人生活之適應力及生命之豐富性。在研究老人問題時，由於各研究對象有著不同的人生閱歷，以致各個體間存在著極大的歧異性，且不同族群間對所慣用之語彙的理解與表達亦不盡相同。故傳統具明確定義之方法學並不適用於老人問題之研究。本研究提出以模糊無母數統計檢定方法應用於高齡化社會議題之研究，期能更合理反映老人們的感受，以建造更溫馨的現代社會。同時，也期望本方法能運用於其它模糊議題之研究。. 治政糊理論的研究經驗，探討思維的模糊性；於第三章提出反模糊化轉換的定義及方法，及大立第四章中位數檢定與變異數檢定方法，以應用於第五章的實例研究。最後在第六章做出本論文分為六章。第一章為前言，介紹本章研究主題的源由。第二章藉由過去對模. ‧. ‧ 國. 學. 總結並提出後續研究的建議。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(11) 2 思維的模糊性日常生活中，人類在作判斷時，答案幾乎都是模糊的。例如：「年老」、「聰明」、「心情好」等，不勝枚舉。在人們的實際生活中，不能完全避免模糊性，且有些現象本質上就是模糊的。如刻意使之精確，自然難符合實際。例如：規定70歲為「老年」，但 69和70歲之間究竟有多大差異，以致一歲之差要區別為「老」和「不老」，這樣的區別無法使人信服。直至模糊理論（Fuzzy theory）的產生，才讓我們能以數學手段分析與處理具模糊性的人類思維與語言。. 2.1 模糊理論模糊理論是一門相對新興的數學，源於 1965 年美國柏克萊（Berkeley）大學的 L. A.. 政治大. Zadeh 教授在《資訊與控制（Information and Control）》期刊上所發表的論文：模糊集合. 立. （Fuzzy sets），至今已近 50 年。. ‧ 國. 學. 模糊理論是為了解決真實世界中普遍存在的模糊現象所發展的一門學問。模糊理論是以模糊集合為基礎，其基本精神是接受模糊現象存在的事實，而以處理概念模糊不確. ‧. 定的事物為目標，以對不確定的事物做決策。這是相當重要的人類活動，因為人類的思. sit. y. Nat. 維本身就具有不確定性。. er. io. 我們可用簡單例子來說明：假若我們用「老」與「不老」來表達我們對一個人外觀. al. 的感受，若以機率的角度來描述，我們認定此人是「老」的機率為 0.4，則此人被認為. n. v i n 「不老」的機率應該就是 0.6 了，但這樣的描述是不恰當的。因為我們認為此人屬於「老」 Ch U i e h n g c 0.4。「老」與「不老」的認定不是可加是 0.4 時，我們也可能認為此人屬於「不老」是性的，不適合用機率的特性來描述。事實上，「老」與「不老」往往是個人的感覺與認定，很難有明確的定義。若我們不拘泥於可加性，則不確定性的領域就豐富了，其表達的方式也更寬廣，這正是模糊理論的實際價值。. 模糊理論提供了另一種角度思考真實世界中的現象，是為解決真實世界中普遍存在的模糊現象而發展出的一門學問。所以模糊理論不是如字面上不精確，而是面對生活中各種的不確定性時，試圖以更合理的規則去分析、管理、控制，以期得到更有效率、更合乎人性與智慧的決策。. 3.

(12) 2.2 隸屬度函數到底該如何使用明確的數學來表達模糊性呢？Zadeh 簡單地將具有 0 與 1 兩個值的特徵函數 IA(x) 擴展成 [0,1]區間，而稱此函數為隸屬度函數（membership function）。隸屬度函數在模糊理論上，扮演一個中心的角色。它是從傳統集合的特徵函數所衍生出來的，用以表達元素對模糊集合的隸屬度，其範圍介於 0 到 1 之間。對於元素和集合的關係，傳統集合以特徵函數來描述，亦即 I(x) = 1，若 x ∈A；I(x) = 0，若 x∉A。但 Zadeh 提出：若一個元素屬於某一個集合的程度越大，則其隸數度值越接近 1，反之則越接近 0。如此一來，就可將介於「是」與「不是」之間的所有狀態表示出來了。. 用傳統集合定義具有模糊性的語言變數時，常會造成許多不合理的現象。例如：「年. 政治大. 老」一詞，當考慮 0 到 140 歲的年齡範圍時，若定義 70 歲以後為「年老」，則根據傳統集合的定義，可繪出「年老」的特徵函數圖，如圖 2.1 所示：. 學. 1. 70. 140. Nat. io. er. 圖 2.1 傳統集合「年老」的特徵函數圖. sit. y. 年齡. ‧. ‧ 國. 立. al. n. v i n Ch 只有 B 算老人，A 卻不屬於老人。這樣相當不合理。對於傳統的二分法與人類思維格格 engchi U 不入的問題，利用隸屬度函數能夠得到較為合理的答案。如果某人認為 80 歲絕對屬於. 若今天假設 A、B、C 三人，年紀各為 69、70、85 歲，其中 A、B 兩人雖只差 1 歲，. 「年老」，則其隸屬度函數值自然為 1，而 69 歲幾乎可算是老人，則其隸屬度函數值為 0.9，此表示 69 歲屬於「年老」的程度有 0.9。如此可繪出模糊集合「老人」的隸屬度函數圖（圖 2.2）。. 1. 歲. 70. 圖 2.2 模糊集合「老年」的隸屬度函數圖. 4.

(13) 與傳統集合的特徵函數比較，隸屬度函數似乎是將特徵函數帄滑化了。而且，隸屬度函數讓每個年齡層都擁有一個介於 0 到 1 間的值，來代表「年老」的程度。相較於傳統集合的特徵值，在描述模糊的概念時，利用模糊集合的隸屬度函數來解釋，更為適當。. 隸屬度函數的設計與建立並非惟一，關於「年老」、「非常老」、「年輕」槪念的模糊集合亦可以如下的隸屬度函數描述之：. ，0≦x≦50. 0 (1+(. μ 非年老（x）=. ，0≦x≦50. 0 x－50 -2 - 2 ) ) 5. 立. ，0≦x≦25. 0. x－25 - 2 -1 ) ) ，25≦x≦100 5. ‧. (1+(. 政治大，50≦x≦100. 學. ‧ 國. (1+(. μ 年輕（x）=. x－50 -2 -1 ) ) ，50≦x≦100 5. Nat. y. μ 年老（x）=. er. io. 模糊集合的意思。. sit. 如此一來，隸屬度函數就可以完全表達出模糊集合，如 μ 年老表達了「年老」這個. al. n. v i n 隸屬度函數是模糊理論最基本的概念，它不僅可描述模糊集合的性質，更可對模糊 Ch U i e h n c g 集合進行量化，並利用精確的數學方法，來分析和處理模糊資訊。然而要建立一個足以表達模糊概念的隸屬度函數，並不是一件容易的事。其原因在於隸屬度函數的建立脫離不了個人的主觀意識，故沒有通用的定理或公式，通常是根據經驗或統計來加以確定。因此，隸屬度函數如何建立，仍具有爭議性，也沒有一種隸屬度函數可以一體適用於所有的情況。. 隸屬度函數通常可分為離散（discrete）型與連續（continuous）型兩類。離散型隸屬度函數乃是以窮舉法直接給定有限模糊集合內每個元素的隸屬度。而連續型隸屬度函數則以幾種常用的函數形式（s 函數、z 函數、Π 函數、三角形函數、梯形函數、高斯（鐘型）函數）來描述模糊集合。是故隸屬函數所定義的，可以是有限模糊集合的元素及其隸屬度之間的關係，也可以是無限模糊集合的元素及其隸屬度之間的關係。在眾多連續型隸屬度函數的型態中，又以三角形、梯形、鐘形等隸屬度函數較容易理解，且能. 5.

(14) 夠滿足大部分的邏輯系統設計。其中，梯形隸屬度函數因計算方便且仍貼近語意的模糊性，為本研究所採用。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 6. i n U. v.

(15) 3 模糊數與反模糊化轉換傳統統計檢定方法難以處理參數為模糊數或模糊區間的情形。如欲應用傳統統計檢定方法，尤其是處理序列樣本的無母數統計方法，於模糊數或模糊區間樣本時，必須先定義模糊樣本的排序問題。以下基於模糊理論，說明模糊問卷調查以及模糊數的建立，並提出反模糊化轉換，以解決統計檢定中資料排序的問題。. 3.1 模糊數日常生活中，人們對於模糊語彙的運用毫無問題。例如：「好熱」、「好美」、「好高興」、「好熟」等。然這些字眼的意義，隨著每個人的主觀認知皆有所不同。而如「約 26 ℃」這種具有不確定性且能以模糊集合來表示的數，就稱為模糊數。. 政治大. 一般說來，模糊數可設計成兩大類。一類是離散型的模糊數，由離散型隸屬度函數. 立. 所定義；另一類是連續型模糊數，由連續型隸屬度函數所定義。而連續型的模糊數依其. ‧ 國. 學. 隸屬度函數的形狀又可分為：（1）實數區間模糊數；（2）三角形模糊數(Triangular fuzzy （3）梯形模糊數(Trapezoidal fuzzy number)；（4）鐘形模糊數(Bell shaped fuzzy number)； number)；（5）不對稱模糊數(Non-symmetric fuzzy number)，分別各由其隸屬度函數所定. ‧. 義。. y. Nat. sit. 不過在處理較簡單的問題時常採用三角形或梯形的隸屬度函數模型。三角形模糊數. er. io. 雖具備計算簡單的優點，但梯形模糊數卻更能貼近實際狀況，也易為大多數邏輯系統所. al. n. v i n Ch 近於 0），故於本文中僅以梯形模糊數模型探討連續型模糊數。 engchi U. 接受。在計算時，實數區間模糊數及三角模糊數可視為梯形模糊數之特例（梯形的上底. 首先我們先來定義模糊數如下：. 定義 3.1 模糊數設 U 為一論域，令{A 1 ,A 2 …, A n }為論域 U 的因子集，μ 為一對應到 [0,1]間的實數函數，即 μ:U. [0,1]。假若佈於論域 U 之一述句 X，其相對於因子集的隸數度函數. 以{μ 1 (X), μ 2 (X),...,μ n (X) } 表示，則述句 X 之模糊數可表示成 (1) 當 U 為離散時：. μ L (x)=. μ1 ( X ) μ 2 ( X ) + +…+ A2 A1. 其中＋是或的意思，. μn (X ) An. μi (X ) 表示述句 X 隸屬於因子集 Ai ，i=1,..,n，的程度。 Ai. 7.

(16) (2) 當 U 為連續時： μ(X)=. ∫. x ∈X. μ i (X ) Ai. 定義 3.2 梯形模糊數之隸屬函數若 X＝[a,b,c,d]是一組梯形模糊數（圖 3.1）而這組梯形模糊數所對應的隸屬函數定義如下： (x-a) /(b-a). μ x ( x) =. ， a ≦ x ≦ b ， b ≦ x ≦ c. 1 (x-d) /(c-d). ， c ≦ x ≦ d ， other. 0. 政治大. 立. b. c. d. ‧. ‧ 國. 學. a. ， X 為一三角形模糊數。數. y. 當 b=c. sit. Nat. 圖 3.1 梯形模糊. n. al. er. io. 當 a=b，c=d， X 為一實數區間模糊數。. 例 3.1 離散型模糊數之表達法. Ch. engchi. i n U. v. X 為老人一天出外走動的時間（小時），以模糊數表示為 μ n (X)，論域 U 可視為整數論域，即出外走動的時數。設 U={1,2,3,4,5,6}，老人一天出外走動的時間的隸屬度函數為 { μ 1 (X)= 0, μ 2 (X)=0.2, μ 3 (X)=0.5, μ 4 (X)=0.2, μ 5 (X)=0.1, μ 6 (X)=0}，則老人一天出外走動的時間模糊數可表示為. μ U (X)=. 0 0.2 0.5 0.2 0.1 0 + + + + + 1 2 3 5 6 4. 例 3.2 連續型模糊數之表達法 (1) 如果老人一天的晚上睡覺時間約 6～8 小時，我們可得到一組實數區間模糊數（圖 3.2），記為[6, 8]。. 8.

(17) μ x ( x) 1 1 2 3 4 5. 6 7. 8. 9 10. 圖 3.2 一組區間模糊數且對應的隸屬函數關係如下:. μ x ( x) =. 1 ,. 6≦x≦8. 0. x＜6；x＞8. ,. 治政們可得到一組三角形模糊數（圖 3.3），記為[5, 6, 8]。大立 μ ( x). (2) 如果老人一天的晚上睡覺時間約 6 小時且不少於 5 小時，不多於 8 小時，則我. 學. 1 5 6. 7 8. 9 10. Nat. 圖 3.3 一組三角形模糊數. io. a6x－－l 55 , 5≦x≦6 v i n C h, x=6 1 engchi U. n. μ x ( x) =. er. 且對應的隸屬函數關係如下:. y. 3 4. sit. 1 2. ‧. ‧ 國. x. 8 －x 8 －6. , 6≦x≦8. (3)如果老人晚上睡覺時間通常約為 5～8 小時且不少於 4 小時，不多餘 10 小時，則我們可得到組一梯形模糊數（圖 3.4），記為：[4, 5, 8, 10]. μ x ( x) 1. 1 2 3 4 5 6 7. 8 9 10. 圖 3.4 一組梯形模糊數. 9.

(18) 且對應的隸屬函數關係如下:. x －4 5 －4. μ x ( x) =. ， 4≦x≦5. 1. , 5≦x≦8. x －8 10 －8. ,. 8≦x≦10. （4）在（1）中之實數區間模糊數及（2）中之三角形模糊數可視為梯形模糊數之特例，可分別標記為[6, 6, 8, 8]及[5, 6, 6, 8]。. 在實地調查時，有別於傳統問卷設計的模糊問卷設計決定了所取樣的模糊數是屬離. 政治大. 散型還是連續型。下面以實例說明模糊問卷調查之程序及技巧：. 立. 例 3.3 離散型模糊問卷調查. ‧ 國. 學. 欲調查 6 位老人對生活津貼、醫療體系、休閒聯誼活動、無障礙設施、交通方便、宗教等事項所感重要性之隸屬度選擇，可各予以十枚硬幣，令其依心中重要性之感受將. io. 生活津貼. 醫療體系. n. al. Ch. 1. 0. 0.1. 2. 0.2. 0.4. 3. 0.2. 4. 休閒聯誼. 無障礙設. 活動. e n 0.3 gchi. y. 老人對所感重要事項之隸屬度. sit. Nat. 表 3.1. 交通方便. 宗教. 0.4. 0. er. 3.1）：. ‧. 不定數量之硬幣押於諸項目之上，且必須全數押完。而得 6 組離散型模糊數結果如下（表. i n U0.2 施. v. 0.2. 0. 0.2. 0. 0.1. 0.4. 0. 0.2. 0.1. 0.2. 0.3. 0.1. 0.2. 0.2. 0. 5. 0.1. 0.3. 0.1. 0.2. 0.2. 0.1. 6. 0.2. 0.1. 0.1. 0.3. 0.2. 0.1. 總計. 0.9. 1.3. 1.2. 0.9. 1.4. 0.3. 若以傳統的問卷調查形式，也就是規定每位受訪者只能勾選一意願最高的項目，則對受訪者而言，所勾選之選項應為心目中隸數度最高者。其結果如下（表 3.2）：. 10.

(19) 表 3.2 生活津貼. 老人對所感重要事項之傳統問卷調查醫療體系. 休閒聯誼. 無障礙設. 活動. 施. 交通方便. 宗教. ○. 1 ○. 2. ○. 3 4. ○. 5. ○ ○. 6 總計. 0. 3. 1. 1. 1. 0. 政治大為老人所關切。然以模糊問卷調查之結果，以交通方便（模糊眾數最高）最被關切。因立. 比較以上兩種調查形式，以傳統問卷調查知六種選項中以醫療體系（眾數最高）最. 傳統問卷調查捨棄許多資訊，不如模糊問卷貼近實際情形及合理。. ‧. ‧ 國. 學. 例 3.4 連續型模糊問卷調查. 連續型模糊語意量表為模糊問卷調查常用的一種形式。由於其易於理解，也適用於. y. Nat. sit. 老人議題之社會調查。如欲調查所認為的人生「黃金歲月」年齡約為幾歲，可設計如下. al. er. io. （圖 3.5）之量表，令受訪者以簽字筆將最確切的「黃金歲月」年歲部分以粗線段塗黑，. n. 隨即令受訪者在粗線段左、右分別畫上左括弧、右括弧表示或可稱得上「黃金歲月」的. Ch. 年歲。而產生一組梯形模糊數。. 年齡. 40. 45. engchi. 50. 圖 3.5. 55. i n U. v. 60. 65. 70. 認為人生的「黃金歲月」年齡約幾歲？. 值得注意的是，若詢問的內容為類別變項時，則僅可能設計為離散型模糊問卷（如例 3.3）。若詢問的內容為連續尺度或序列尺度時，則可設計為離散型模糊問卷，也可設計為連續型模糊問卷（參見例 4.1；參見第 5.4 節）。至於採取何種方式為宜，當視所研究之問題或受訪者能否依指示操作而定。. 11.

(20) 3.2 反模糊化轉換反模糊化轉換是為將模糊數轉換為一實數之手段。不論離散型模糊數（類別變項的離散型模糊數除外）還是連續型模糊數均可藉反模糊化轉換轉變為一反模糊化值。定義如下：. 定義 3.3 離散型模糊數的反模糊化值設 X 是一模糊數，語言變數{ L1 , L2 ,… Ln }為論域 U 中有序的數列， μ L (x)= m i 為模 I. n. 糊樣本 X 相對於 Li 的隸屬度且 ∑ μ L (x)=1，則 X 的反模糊化值為 X f = ∑ mi Li n. i. i =1. i=1. 例 3.5. 求離散型模糊數之反模糊化值. 政治大 { μ (X)=0, μ (X)=0.2, (X)= 0.5, μ (X)=0.2, (X)=0.1, (X)=0}，則老人一天出外走動立時間的反模糊化值為：. X 為老人一天出外走動時間（小時），其論域 U={1,2,3,4,5,6}，其隸屬度函數分別為 2. μ. 4. 3. μ. 5. μ. 6. 學. ‧ 國. 1. 1× 0 + 2× 0.2 + 3× 0.5 + 4× 0.2 + 5× 0.1 + 6×0 = 3.2 小時. ‧. 至於連續型模糊數之反模糊化轉換，則考量代表一連續性的模糊集合，即代表不確定事件之一梯形模糊集合。當提出此一梯形樣本時，我們感興趣的是它在實數線上代表. Nat. sit. y. 的值，即「反模糊化值」。然在實際應用上，採取一更為普遍化之非線性單位間轉換，. io. er. 而非原始的線性單位間的變換，更加方便合理。例如，地震的能量既可以以一般的能量單位表示，也可以用指數的芮氏（Richter）單位表示。同樣地，訊號或聲響強度的測度，. n. al. i n U. v. 可以用瓦特（watt）為單位，也可以用對數的單位，即分貝（decibel）來表示。. Ch. engchi. 當我們將梯形資料合理且有意義地轉化至實數線時，我們需確定兩件事，即：轉換資料必需是（1）有限維度的；（2）此等參數的相依性必需是帄滑的（即可微分的）。以數學用語言之，就是此轉換群是一李氏群（Lie group）。. 此轉換一旦決定後，我們就有一新的值 y = f(x) ，取代原始梯形資料。在理想狀況下，此一新的量 y 是常態分配的。（實務上，常態分配對 y 可以是一個好的初步估計。）當決定如何轉換時，我們必須理解，由於可能再次變換單位，代表量 x 之數值轉換並非唯一。. 12.

(21) 定義 3.4 梯形模糊數在實數線上之反模糊化轉換令 A=[a,b,c,d] 是在論域 U 上的一組梯形模糊數，而這組梯形模糊數的重心座標為. ∫xu ( x)dx ， ∫2 (u ( x)) dx )。則模糊數 A = [a,b,c,d]在實數線上的反模糊化值 RA ∫u ( x)dx ∫u ( x)dx 1. (cx,cy) = (. 2. A. A. A. A. 定義為 RA = cx + (1－. ln(1 + A ) A. ); 其中. A 表梯形面積。. 其中，cx 可簡化如下： 2 2 cx ＝ - (a + b) + (c + d ) + (ab - cd ) ，當 A 為梯形；. 3((c + d ) - (a + b)). a+ b+ d ，當 A 為三角形； 3. cx ＝. b+ c ，當 A 為實數區間。 2. 學. 例 3.6. 立. 政治大. ‧ 國. cx ＝. 考慮 Ai ， i =1,2,…,6，等 6 組模糊數，其中 A 1 = [10,10,10.8,10.8](實數區間)，. ‧. A 2 = [8.8,8.8,12,12] (實數區間)，A 3 = [6,10,10,15.2](三角形)， A 4 = [8,10,10,13.2] (三角形)，A 5 = [6,10,12,14](梯形)，A 6 = [8,9,10,14](梯形)，則其反模糊化轉換為：. sit. y. Nat. RA 3 =10.4+(1－. ln(1 + 4.6) ln(1 + 2.6) )=10.4+0.63=11.03，RA 4 =10.4+(1－ )=10.4+0.51=10.91 4.6 2.6. n. al. er. ln(1 + 0.8) ln(1 + 3.2) )=10.4+0.27=10.67，RA 2 =10.4+(1－ )=10.4+0.55=10.95 0.8 3.2. io. RA 1 =10.4+(1－. Ch. engchi. i n U. v. ln(1 + 5) ln(1 + 3.5) )=10.4+0.64=11.04，RA 6 =10.4+(1－ )=10.4+0.60=11.00 RA 5 =10.4+(1－ 5 3.5. 注意本例 6 梯形之重心橫座標恰相等。定義 3.5 兩梯形模糊樣本之距離令 A i =[a i ,b i ,c i ,d i ] 是在論域 U 上的一組梯形模糊數，而這組梯形模糊數的重心. ∫xu ( x)dx ， ∫2 (u ( x)) dx )。則梯形模糊數 A 和 A 之間的距離定義為 i j ∫u ( x)dx ∫u ( x)dx 1. 座標為(cx,cy) = (. A. A. d( A i ,A j )＝ cxi－cx j +. 2. A. A. ln(1 + Ai ) Ai. －. ln(1 + Aj ) Aj. 13.

(22) 例 3.7. 考慮 Ai ， i =1,2,…,6，等 6 個模糊數，其中 A 1 = [10,10,10.8,10.8]，. A 2 = [8.8,8.8,12,12]，A 3 = [6,10,10,15.2]，A 4 = [8,10,10,13.2]，A 5 = [6,10,12,14]， A 6 = [8,9,10,14]，則：各模糊數之間之距離 d( Ai , A j )， i , j =1,2, …,6，如下（表 3.3）：. 表 3.3 兩梯形模糊樣本之距離 d(A i ,A j ). A1. A2. A3. A4. A5. A6. A1. 0. 0.28. 0.36. 0.24. 0.37. 0.3. 0. 0.08. 0.04. 0.09. 0.02. 0. 0.12. 0.01. 0.06. 0. 0.13. 0.06. 0. 0.07. A2 A3 A4. 政治大. A5 A6. 學. ‧ 國. 立. 0. 3.3 有關反模糊化轉換的一些性質. y. n. al. er. [0,1) 之映成函數。. io. ln(1 + A ) 為R A. R 之映射。而轉換後之增量，即 f(x) - x = 1－. sit. Nat. 性質 3.1 反模糊化轉換 y = f(x)為 R. 證明：以. ‧. 針對梯形模糊數之反模糊化轉換，我們將其性質歸納如下：. ln(1 + A ) 對 A 作圖如下： A. ln(1 + A ) A. Ch. i n U. 則顯然：. engchi. 1－ ln(1 +. v. A). A. A. A. 14.

(23) 性質 3.2 模糊數 A 趨近精確數，為反模糊化轉換後值 RA 趨近於重心 cx 之充分且必要條件。證明：因為，由 L`Hospital. Rule 定理知：. 如果 lim f(x) = lim g(x) =0，且 lim x→ a. x→ a. 所以， lim ln(1 + A→ 0. x→ a. A). ＝ lim. A. A→ 0. f ' ( x) f ' ( x) f ( x) 存在，則 lim ＝ lim ' 。 x→ a g ( x ) x→ a g ( x) g ' ( x). 1 ＝ 1 1+ A. 則當 A0 時，RX＝cx + (1－ ln(1 +. A)). A.  cx + (1－1). 政治大. ＝cx. 立. ‧ 國. 學. 性質 3.3 模糊數 A 趨近模糊數，為反模糊化轉換後值 RA 趨近於重心 cx + 1 之充分. Rule 定理知：. ‧. x→ a. io. A→ ∞. A. A)＝. x→ a. 1. lim 1 +. al. n. 所以， lim ln(1 +. x→ a. A→ ∞. A. Ch. 則當 A→∞時， RX＝cx +. f ' ( x) f ' ( x) f ( x) 存在，則 lim ＝ lim ' 。 x→ a g ( x ) x→ a g ( x) g ' ( x). ＝ 0. (1− ln(1 + A ) ). e nAg c h i. y. Nat. 如果 lim f(x) =∞， lim g(x) =∞，且 lim. sit. 證明：因為，由 L`Hospital. er. 且必要條件。. i n U. v. → cx+(1−0) ＝cx+1. 性質 3.4 考慮兩梯形模糊數 A i , A j 。其重心 (cx i 與 cx j ) 之距 >1 ，為「重心 (cx i 與 cx j ) 之排序與反模糊化轉換後值 (RA i 與 RA j ) 之排序方向不變」之充分但非必要條件。. 15.

(24) 證明：當 cx i－cx j ＞1 1 若 cx ＞cx ，則 cx －cx ＞1 ○ i i j j. RA i －RA j = cx i －cx j －[ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Ai. ]. Aj. ＞1－ [ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Ai. Aj ) ]. Aj. ≥ 1－1 (因 1 ≤ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Ai. ＝0. Aj ). ≤ 1). Aj ). Aj. 政治大. 立. RA i －RA j = cx i －cx j － [ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Ai. Aj ). Nat. y. Aj. Aj. n. er. io. al. sit. < -1－[ ln(1 + Ai ) － ln(1 + A j ) ] Ai. ]. ‧. ‧ 國. 學. 2 若 cx <cx ，則 cx －cx <-1 ○ i i j j. v ≤i 1) n AU. ≤ -1－(-1) (因-1 ≤ ln(1 + Ai ) － ln(1 +. Ch. e nA g c h i i. Aj ). j. ＝0. 性質 3.5 考慮兩梯形模糊數 A i , A j 。其反模糊化轉換後值 (RA i 與 RA j )之距 >1 ，為「其反模糊化轉換後值 (RA i 與 RA j )之排序與重心(cx i 與 cx j )之排序方向不變」之充分但非必要條件。證明：當 RAi－RA j ＞1 ，. 16.

(25) 1 若 RA ＞RA ，則 RA －RA ＞1 ○ i i j j. cx i -cx j = RA i －RA j + [ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Aj. Aj ). ]. Aj. (因-1 ≤ ln(1 + Ai ) － ln(1 +. ≥ 1+ (-1). ]. Aj. ＞1+ [ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Aj. Aj ). Ai. ≤1). Aj ). Aj. ＝0. 政治大. 2 若 RA <RA ，則 RA －RA < -1 ○ i i j j. 立. Aj. < -1 + [ ln(1 + Ai ) － ln(1 + Aj. Aj ). ]. Aj. Aj. n. Ch. engchi. 17. ≤1). er. io. al. Ai. Aj ). sit. y. Nat. ≤ -1+ 1 (因-1 ≤ ln(1 + Ai ) － ln(1 +. ＝0. ]. ‧. ‧ 國. Aj. Aj ). 學. cx i -cx j = RA i －RA j + [ ln(1 + Ai ) － ln(1 +. i n U. v.

(26) 4 中位數檢定 4.1 模糊中位數當樣本數不多、或資料為序位資料、或資料的測量值不穩定但大小關係仍存在時，我們可以中位數取代帄均值來探討母群體的集中趨勢。無母數統計法經常探討具有這類特性之母群體的中位數關係。當樣本為模糊數而非精確數時，我們可推廣傳統的中位數為模糊中位數。模糊中位數和傳統中位數相同，不會受到樣本極端值影響，故為一具穩健性的集中趨勢估計量。. 以下我們分別就離散型與連續型兩類模糊中位數做探討。而連續型模糊中位數較離散型複雜，其隸數度函數常以區間均勻分配或不對稱梯形分配兩種情形表達。而區間分. 政治大. 配可視為不對稱梯形分配之特例，故在本文中僅以不對稱梯形分配做說明。. 立. 學. ‧ 國. 定義 4.1 離散型模糊中位數. 設 U 為一論域，令 L={L 1 ,L 2 ,L 3 , ,…,L n }為佈於論域 U 上的 k 個有序變數，. m i1 L1. +. m i2 L2. +…+. m in Ln. k. ，i=1,2,3,… ,n}，. ∑m. ij. =1，為自論域中抽出的一組模糊樣本，. ‧. {X i =. j =1. Nat. sit. y. X if 為對應模糊樣本 X i 之反模糊化值。令 X (if ) 為 X if 排序後而得到的有序樣本值，則定. n. al. Fmedian(X)=. Ch. er. io. 義離散型模糊樣本中位數為： X. n ( )f 2. U i e( n h c g + )/2 X X n ( )f 2. n [( )+ 1] f 2. ，若 v n 為奇數 i n ，若 n 為偶數. 例 4.1 離散型模糊中位數應用於銀髮族每月基本生活費之調查政府有多項老人福利政策，用以提供經濟上的安穩。如：中低收入老人生活津貼；中低收入老人特別照顧津貼；敬老福利生活津貼等等。如欲了解老人一個月基本生活費用約需多少錢，以為政策施行之依據，可做模糊中位數調查。以下（表 4.1）是 6 位銀髮族以離散型模糊問卷所得之對基本生活費的隸屬度選擇。. 18.

(27) 表 4.1 5000 元. 6 位銀髮族對基本生活費的隸屬度選擇 8000 元. 10000. 15000. 20000. 25000. 元. 元. 元. 元. 0.8. 0.2. 1 2. 0.5. 0.4. 0.1 1. 0.2. 0.8. 5. 0.5. 9000. 6. 0.8. 0.2. 由於樣本數 n=6 為偶數，且 x(3) f = 13000 ， x( 4) f = 16000. 16000. 而對應 x(3) f ， x( 4) f. 之. 政治大. x ( 3 ) = x2 =. 0 0 0.5 0.4 0.1 0 + + + + + 5000 8000 10000 15000 20000 25000. x( 4) = x6 =. 0 0 0 0.8 0.2 0 + + + + + 5000 8000 10000 15000 20000 25000. 立. 學. ‧ 國. 25000 7400. 0.5. 樣本值為：. 21000 13000. 3 4. X if. 故模糊樣本中位數為 =. x2 + x6 0 0 0.25 0.6 0.15 0 = + + + + + 2 5000 8000 10000 15000 20000 25000. ‧. 值得注意的是離散型模糊樣本之中位數仍為離散型模糊數，不應以諸反模糊化值之. sit. y. Nat. 中位數為離散型模糊樣本之中位數。. n. al. er. io. 若以傳統的問卷調查方式，也就是規定每位受訪者只能勾選一意願最高的選項。則. i n U. v. 對於受訪者而言，所勾選之選項當屬心目中隸屬度最高者。其結果如下（表 4.2）：. 表 4.2 5000 元. Ch. engchi. 傳統問卷調查 6 位銀髮族基本生活費選擇 8000 元. 10000 元. 15000 元. 20000 元. 25000 元. ○. 1 ○. 2. ○. 3 4. ○. 5. ○. 或. ○ ○. 6. 19.

(28) 從上表的資料中我們可以得到 6 位受訪者的選擇價格，依小到大排序為：8000, 10000, 10000, 15000, 20000, 25000 元或 8000, 10000, 10000, 15000, 20000, 25000 元。而依傳統中位數的取法，取出的結果為：10000 元。但我們知道若以傳統問卷方式進行調查，並無法真正反應受訪者完整的想法。因為傳統中位數只能以受訪者最高意願最為考量，若我們以模糊樣本中位數配合模糊眾數（例 3.3）的理論來思考，更能合理分析這類問題。定義 4.2 連續型模糊樣本中位數令 Ai = [ai , bi , ci , d i ] ，i =1, 2,…, n，是一組梯形模糊數。根據在實數線上的反模糊化值定義，計算出 Ai = [ai , bi , ci , d i ] 之反模糊化值 RA i ，令 RA (i ) 為將 RA i 排序後而得到的有序樣本值，則定義梯形模糊樣本中位數為：. Fmedian(A)=. 立. 政RA 治大 n ( ) 2. ( RA n + RA n. ‧ 國. ，若 n 為偶數. )/2. ( )+ 1 2. 學. ( ) 2. ，若 n 為奇數. ‧. 例 4.2 連續型模糊樣本中位數應用於回味的人生歲數探討. 蘇格拉底說：「沒經過反省的人生，不值得活。」回味，是人在午夜夢迴時，常會. sit. y. Nat. 夢到的念頭，如兒時父母的呵護、與朋友相處的時光，工作上的現實和理想，及在各階段的人生際遇。今以連續型模糊問卷調查得 9 位受訪者對「回味人生的歲數」的梯形模. io. n. al. er. 糊數並依定義算出其反模糊化值為（表 4.3）：. 表 4.3. Ch. i n U. engchi. v. 9 位受訪者對「回味人生的歲數」的梯形模糊數及反模糊化值. ai. bi. ci. di. RA i. 1. 37. 38. 42. 44. 40.9. 2. 55. 55. 65. 65. 60.8. 3. 20. 35. 35. 39. 32.1. 4. 70. 72. 74. 75. 73.3. 5. 70. 72. 73. 74. 72.7. 6. 16. 16. 20. 20. 18.6. 7. 68. 70. 73. 75. 72.1. 8. 14. 15. 17. 18. 16.5. 9. 50. 55. 55. 70. 59.1. 20.

(29) 從上表的資料中，我們可以得到 9 位受訪者對回味的人生歲的數梯形模糊數的反模糊化值，由小到大的排列為：16.5, 18.6, 32.1, 40.9, 59.1, 60.7, 72.1, 72.7, 73.2。根據模糊樣本中位數定義，當 n=9 時，中位數為第 5 位，可得模糊梯形中位數（Fuzzy trapezoid sample median）為：59.1。由此可知這 9 位受訪者所代表之母體認為值得的回味的人生歲數約為 59.1 歲。. 例 4.3 連續型模糊樣本中位數應用於適合的生命長度的探究醫療科技術的發展，使生命得以延長。但隨著科技進步，社會流動，老人之生活經驗與判斷智慧均與以往不同。且隨著年紀漸增，身體各方面的退化及角色的轉變，都將影響老人晚年存在價值的判斷。今以連續型模糊問卷調查探尋多數人認為適合的生命長. 政治大. 度為何，得 10 組梯形模糊數列示於下，並計算出其反模糊化值（表 4.4）：. 立. RA i. 78. 78. 80. 80. 79.5. 72. 74. 75. 76. 74.7. 76. 78. 78. 80. 78.5. 72. 75. 76. 70. 72. 75. a65l. 70. 72. y. ci. n. 6 7. 70. 8. 68. 9 10. Ch. e n70 g c h i. 78. 75.8. 76. 73.8. 74. 70.8. 75. 73.1. sit. io. 5. bi. er. 4. Nat. 3. di. ‧. 2. ai. 學. 1. 10 位受訪者對「適合的生命長度」梯形模糊數及反模糊化值. ‧ 國. 表 4.4. i n 75 U. v. 72. 72. 75. 72.2. 74. 76. 80. 84. 79.3. 76. 78. 79. 80. 78.7. 從上表的資料中，可知 10 位受訪者對生命長度的梯形模糊數的反模糊化值，由小到大的排列為： 70.8, 72.2, 73.1, 73.8, 74.7, 75.8, 78.5, 78.7, 79.2, 79.5。由定義，當 n= 10 時，中位數位在. x( 5) + x( 6 ) 2. ，可得模糊梯形中位數（Fuzzy trapezoid sample median）＝. 75.25。可知這 10 位受訪者所代表之母體認為適合的生命長度為 75.25 歲。. 21.

(30) 4.2 中位數檢定法當研究時取樣之母體非為常態分配、其分配型態未知、或樣本數少時，若採用傳統統計檢定法，將導致過多推論，使結論變得不可信。此時可採用無母數統計方法。無母數統計常以中位數代表資料的集中趨勢，也特別適用於資料為序列變項時的處理。無母數統計之中位數檢定，有多種方法。而由 Mood 所提出之中位數檢定法，採用卡方檢定法之統計量，可用於檢定兩組獨立樣本所來自的母體是否具有相同的中位數，應用甚為廣泛。模糊數之中位數檢定，不論是離散型還是連續型模糊數，以各模糊數之反模糊化值為之。此檢定方法是將兩組獨立樣本混合後，找出共同中位數，再分別算出兩組樣本大於或小於共同中位數的個別次數，製成一 2×2 聯立表（表 4.5）：. 政治大樣本Ⅱ 立樣本Ⅰ a b. 表 4.5 比較中位數次數的 2×2 聯立表樣本. 小於共同中位數次數. c. d. 和. a + c = n1. b + d = n2. i=1 j =1. eij. 1 ( oij－eij - ) 2 2 。當組數為 2，統計量 χ 應校正為 χ ＝ ∑∑ ， e i=1 j =1 ij. y. (oij－ eij )2. 2. 2. 2. 2. io. sit. ∑∑. n. n. al. er. =. 2. c + d. ‧. 2. Nat. 統計量 χ. 2. a + b. 學. ‧ 國. 大於共同中位數次數. 和. n ( ad－bc － ) 2 × n 2 可簡化為＝。 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ). Ch. engchi. i n U. v. 檢定的假設型式為：雙尾檢定：. H0:. 2 兩組樣本所來自的母體的中位數相等，當 χ 2 < χ (α ,1). 2 H 1 : 兩組樣本所來自的母體的中位數不相等，當 χ 2 ≥ χ (α ,1). 本檢定法的理論基礎為：當兩組樣本所來自之母體具有相同的中位數，則依共同中位數畫分之大於或小於共同中位數的實際次數，必與單純因機率所造成之大於或小於共同中位數的理論次數相去不遠。因此卡方值不應踰越臨界值。故當卡方值大於臨界值時，應拒絕 H 0 。. 22.

(31) 例 4.4. 檢定 A、B 兩社區之老者每週去公園次數是否相等. 設有 A、B 兩社區鄰近公園，今欲檢定 A、B 兩社區之老者每週去公園次數是否相等。由 A、B 兩社區分別抽取 13、12 位老者，得各人每週去公園的次數模糊數，並計算其反模糊化值，整理於表 4.6、4.7 及 4.8 為：. 表 4.6 1. A 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值 2. 3. 4. 1. 5. 6. 7. 0.3. 0.5. 0.2. 5.9. 1. 7. 2 0.1. 立. 6. io. 13. 0.1. 5.9. 0.2. 0.8. 6.8. 0.2. 0.1. 4.6. 0.4. 0.3 0.1. 0.4. 0.5. 0.1. 0.3. 0.5. 0.2. 0.7. 0.4. n. Ch. engchi. 23. 5.4 0.1. 5.5. 0.8. 6.8 4.9. 0.5. al. 2.8. 0.1. sit. 12. 0.7. 0.2. Nat. 11. 0.2. ‧. 10. 6.1. er. 9. 0.3 0.4. ‧ 國. 8. 0.3. 0.4. 學. 7. 0.4. 政治大. 4 5. 0.1. y. 3. X if. i n U. v. 0.6. 6.6. 0.5. 6.5.

(32) 表 4.7 1. B 社區老者去公園的次數模糊數及反模糊化值 2. 1 2. 0.1. 3 4. 0.2. 3. 4. 5. 6. 0.1. 0.2. 0.6. 0.1. 0.6. 0.3. 3.2. 0.2. 0.8. 3.8. 0.5. 0.2. 0.1. 3.2. 0.5. 0.5. 4.5. 5 6 7. 0.2. 8. 0.3. 9 10. 0.5. 立. 11 12. 4.7. 0.8. 0.2. 6.2. 0.5. 0.3. 6.1. 0.7. 3.7. 0.2. 0.6. 0.4. 0.1. 0.1. 0.7. 0.1. 0.1. 5.2. 0.2. 0.6. 0.2. 6. 政治大. 0.2. 5 4. ‧ 國. A、B 兩社區的反模糊化值由小到大排列. ‧. 2.8、4.6、4.9、5.4、5.5、5.9、5.9、6.1、6.5、6.6、6.8、6.8、7 3.2、3.2、3.7、3.8、 4、4.5、4.7、 5 、5.2、 6、6.1、6.2. sit. y. Nat. B 社區. io. n. al. er. 現以 α＝0.05，檢定 A、B 兩社區老人每週去公園次數之中位數是否相等？【方法為】假設為. X if. 學. 表 4.8. A 社區. 7. Ch. engchi. i n U. v. H 0 :兩社區每週去公園次數之中位數相等. H 1 :兩社區每週去公園次數之中位數不相等混合後共同中位數為：5.4，整理得聯立表（表 4.9）如下：表 4.9. 比較去公園次數的中位數次數的 2×2 聯立表. 去公園次數. A 社區. B 社區. 和. 大於共同中位數次數. 9. 3. 12. 小於共同中位數次數. 3. 9. 12. 和. 12. 12. 24. 24.

(33) 以中位數次數聯立表（表 4.9），計算統計量. 2. χ ＝. 24 2 ) × 24 60 2 × 24 2 ＝＝4.17 12 × 12 × 12 × 12 12 × 12 × 12 × 12. ( 9 × 9－3 × 3－. α＝0.05，v=（2－1）（2－1）＝1，臨界值 χ (20.05,1) ＝3.84<4.17 即差異顯著，故拒絕接受 H 0 。表示 A、B 兩社區老人，每週去公園次數之中位數有可能不相等。. 由前例可知，此中位數檢定法並無不限制 A, B 兩組之樣本數必須相等。. 政治大例 4.5 檢定男、女銀髮族所認為的每月基本生活費用是否相等立欲檢定男、女銀髮族所認為的每月基本生活費用是否相等，由女、男銀髮族，各隨. ‧ 國. 學. 機抽取 10 人，所認為的每月基本生活費用，得其基本生活費用模糊數及反模糊化值，整理於表 4.10、4.11 及 4.12 為：. ‧. 表 4.10 女銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值. [12000, 12000, 14000, 14000]. a l [15000, 16000, 18000, 20000] i v n Ch U [18000, 20000, i e n g20000, c h22000]. n 2 3. RA i. er. io. 1. bi , ci , d i ]. sit. y. Nat. [ ai ,. I. 13001 17287 20001. 4. [26000, 28000, 30000, 35000]. 29910. 5. [20000, 25000, 28000, 30000]. 25616. 6. [17000, 18000, 19000, 20000]. 18501. 7. [23000, 25000, 25000, 28000]. 25334. 8. [15000, 16000, 16000, 18000]. 16334. 9. [25000, 28000, 30000, 32000]. 28705. 10. [38000, 40000, 41000, 42000]. 40201. 25.

(34) 表 4.11 男銀髮族基本生活費用模糊數及反模糊化值 [ ai ,. i. bi , ci , d i ]. RA i. 1. [6000, 8000, 8000, 10000]. 8001. 2. [10000, 15000, 16000, 18000]. 14557. 3. [23000, 25000, 28000, 30000]. 26501. 4. [8000, 8000, 10000, 10000]. 9001. 5. [15000, 16000, 16000, 20000]. 17001. 6. [18000, 20000, 21000, 22000]. 20201. 7. [26000, 30000, 31000, 32000]. 29572. 8. [10000, 12000, 15000, 16000]. 13223. 9. [18000, 20000, 24000, 26000]. 22001. 10. [16000, 18000, 20000, 22000]. 19001. 政治大. 立. ‧ 國. 學. 表 4.12 女、男組基本生活費用反模糊化值由小到大排列 13001、16334、17287、18501、20001、25334、25616、28705、29910、40201. 男. 8001、9001、13223 、14557、17001、19001、20201、22001、26501、29572. ‧. 女. Nat. sit er. al. n. 假設為. io. 【方法為】：. y. 現以 α＝0.05，檢定女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數是否相等？. Ch. i n U. v. H 0 :女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數相等. engchi. H 1 :女、男兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數不相等. 混合後共同中位數為：. (19001 + 20001) ＝19501，可製聯立表（表 4.13）如下： 2. 表 4.13 比較基本生活費用的中位數次數的 2×2 聯立表基本生活費用. 女組. 男組. 和. 大於共同中位數次數. 6. 4. 10. 小於共同中位數次數. 4. 6. 10. 和. 10. 10. 20. 26.

(35) 以中位數次數聯立表（表 4.13），計算統計量. 2. χ ＝. 20 2 ) × 20 2 ＝0.20 10 × 10 × 10 × 10. ( 6 × 6－4 × 4－. α＝0.05，v=（2－1）（2－1）＝1，臨界值 χ (20.05,1) ＝3.84＞0.20 即差異不顯著，故接受 H 0 。表示男、女兩組銀髮族老人每月基本生活費用之中位數可能相等。. 4.3 變異數檢定法. 政治大變異數。採用此法檢定須有以下的假定：立. 此檢定法由 Mood 所提出，用於檢定兩個具有相同帄均水準之母體是否具有相同的. ‧ 國. 學. (1) 兩個獨立樣本的抽取皆為隨機的。 (2) 資料的尺度至少為序列尺度。 (3) 兩母體除了變異程度外，其他性狀皆一致。. ‧. Mood 變異數檢定法的假設型式可為雙尾檢定，亦可為單尾檢定。雙尾檢定的假設. sit. y. Nat. 型式為：. H 1 ： σ 1 2 ≠σ 2 2 即第一組之變異與第二組不同. n. al. Ch. engchi. er. io. H 0 ： σ 1 2 = σ 2 2 即第一組之變異與第二組無不同. i n U. v. 其中， σ 不僅指母體的標準差，而泛指離勢量數。. 以下僅就雙尾檢定做說明，單尾檢定之原理類同。. Mood 變異數檢定之統計量為：. n1. M＝ ∑(ri－ n1 + n2 + 1)2 i =1. 2. 其中，n 1 為樣本數小的樣本數；n 2 為樣本數大的樣本數，即 n 1 ≤ n 2 ； ri 為 X、Y 混合排列後之第 i 個 X 值的等級，（n 1 +n 2 +1）/2 是 X、Y 之各觀測值等級的帄均數。 M 值求得後，查表得兩臨界值 M ' 或 M " 。雙尾檢定時，當 M 居於兩臨界值之間，即 M ' ＜M＜ M " 時，應接受 H 0 ；否則拒絕 H 0 ，接受 H 1 。. 27.

(36) 本檢定的理論基礎為：若兩母體的變異程度不同，則由變異程度大的母體抽取之樣本，在混合排列後會趨向兩端，使等級太大或太小，並使統計量 M 太大或太小。故當檢定統計量 M 大於等於大的臨界值 M " 或小於等於小的 M ' 時，應拒絕 H 0 。. 例 4.6 檢定男、女老者所認為人生中「回味的人生歲數」變異度是否相等已知某族群男、女老者所認為人生中「回味的人生歲數」相等。今欲檢定該族群. 男、女老者所認為人生中「回味的人生歲數」變異度是否相等，訪問 19 位老者（男 10 位 ,女 9 位）對人生中「回味的人生歲數」的看法，得其模糊數並計算其反模糊化值，整理於下表（表 4.14、4.15 及 4.16）：. 表 4.14 10 位男性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值. d 政b c 治大. [ ai ,. i. 立. 1. ,. i. ,. i. ]. RA i. [ 37, 38, 42, 44 ]. 40.9. [ 55, 55, 65, 65]. 60.8. [ 70, 72 ,74, 75]. 4. [70, 72, 73, 74]. 5. [68, 70, 73, 75]. 72.1. 6. [55, 65, 65, 75]. 65.8. Nat. 學. 3. 7. [60, 65, 68, 70]. 66.3. 8. [65, 70, 70, 75]. 70.6. 9. [ 65, 68, 72, 75 ]. Ch. engchi U. 72.7. y. sit 70.7. er. [70, 72, 72, 75]. 73.3. ‧. al. n. 10. io. ‧ 國. 2. i. v ni. 72.8. 表 4.15 9 位女性老者認為「回味的人生歲數」模糊數及反模糊化值 i. [ ai ,. bi , ci , d i ]. RA i. 1. [20, 35, 35, 39]. 32.1. 2. [16, 16, 20, 20]. 18.6. 3. [14, 15, 17, 18]. 16.5. 4. [50, 55, 55, 70]. 59.1. 5. [35, 40, 40, 45]. 40.6. 6. [34, 35, 44, 50]. 41.7. 7. [55, 60, 65, 70]. 63.3. 8. [60, 65, 65, 70]. 65.6. 9. [65, 70, 73, 75]. 71.3. 28.

(37) 表 4.16 「回味的人生歲數」男、女組反模糊化值由小到大排列男. 40.9、60.8、65.8、66.3、70.6、70.7、72.1、72.7、72.8、73.3. 女. 16.5、18.6、32.1、40.6、41.7、59.1、63.3、65.6、71.3. 現以 α＝0.05，檢定回首人生歲月中的男、女，其所認為值得回味人生的歲數，是否變異程度不同？【方法為】：採双尾檢定. H 0 : σ1 2 = σ 2 2 即男、女組所認為「回味的人生歲數」變異度無不同. H 1 : σ1 2 ≠ σ 2 2 即男、女組所認為「回味的人生歲數」變異度不同 n1 + n 2 + 1 19 + 1 = = 10 2 2. 政治大. 表 4.17 男、女組「回味的人生歲數」反模糊化值整理得各觀測值等級為. 立. 觀測值. 16.5、 18.6 、32.1、40.6 、40.9 、41.7、59.1、60.8 、63.3、65.6. ‧ 國. 女、女. 等級. 1 、. 2 、. 3 、 4 、 5. 、 6 、 7 、. 8 、. 9 、10. ‧. 觀測值. 、女、女、男、女、女、男、女、女. 學. 組別. 65.8、 66.3、70.6、 70.7、71.3、72.1、 72.7、 72.8、73.3. 組別. 男、男、男、男、女、男、男、男、男. y. Nat. io. sit. 11 、 12 、 13 、 14 、 15 、 16 、 17 、 18 、 19. 以排序後的資料（表 4.17），求其統計量 M. n. al. α=0.05 ， n1 ＝9、 n2 ＝10. Ch. engchi. er. 等級. i n U. v. M = (1－10)2 + (2－10)2 + (3－10)2 + (4－10)2 + (6－10)2 + (7－10)2 + (9－10)2 + (10 2. 2. －10) + (15－10) =281. 查表得臨界值 M ' = 154 ， M " =386， M ' < M < M " ，故接受 H 0 。表示回首人生回味的歲月，男、女測試結果變異程度有可能相同。. 由前例可知，此變異數檢定法並無不限制受檢定的兩組之樣本數必須相等。. 例 4.7 檢定男、女銀髮族每年旅遊的次數變異度是否相等. 已知某族群中男、女銀髮族每年旅遊的次數無差異。今欲檢定該族群中男、女銀髮族每年旅遊的次數之變異程度是否相等，故訪問 20 位銀髮族（男、女各 10 位），. 29.

(38) 每年旅遊的次數，得其模糊數，並計算其反模糊化值，整理於表 4.18、4.19 及 4.20 如下：. 表 4.18 男銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值 [ ai ,. i. bi , ci , d i ]. RA i. 1. [1, 2, 2, 3]. 2.3. 2. [2, 2, 4, 4]. 3.5. 3. [5, 7, 7, 8]. 7.1. 4. [6, 7, 9,10]. 8.5. 5. [4, 4, 6, 6]. 5.5. [5, 6, 6, 8]. 6.7. [2, 3, 3, 4]. 3.3. [2, 3, 4, 5]. 4.0. 9. [5, 7, 8, 9]. 學. 10. [2, 3, 4, 5]. 4.0. 6. 立. 7. 7.7. ‧. ‧ 國. 8. 政治大. 表 4.19 女銀髮族每年旅遊的次數模糊數及反模糊化值. 3 4. al. [6, 6, 8, 8]. C h[3, 4, 4, 5] U i e h n c g [4, 5, 5, 6]. RA i 5.3. er. [4 ,5 ,5 ,6]. n. 2. io. 1. bi , ci , d i ]. sit. y. Nat. [ ai ,. i. v ni. 7.5 4.3 5.3. 5. [1, 3, 4, 5]. 3.7. 6. [3, 4, 5, 6]. 5.0. 7. [4, 4, 6, 6]. 5.5. 8. [2, 4, 5, 6]. 4.7. 9. [3, 4, 5, 6]. 5.0. 10. [1, 2, 3, 4]. 3.0. 30.

(39) 表 4.20 銀髮族旅遊次數反模糊化值由小到大排列男. 2.3、3.3、3.5、4.0、4.0、5.5、6.7、7.1、7.7、8.5. 女. 3.0、3.7、4.3、4.7、5.0、5.0、5.3、5.3、5.5、7.5. 現以 α＝0.05，檢定銀髮族中的男、女組，每年旅遊的次數，是否變異程度不同？【方法為】： H 0 : σ12 = σ 2 2 即男、女組每年旅遊次數變異度並無不同. 雙尾檢定. H 1 : σ1 2 ≠σ 2 2 即男、女組每年旅遊次數變異度不同 n1 + n 2 + 1 20 + 1 ＝＝10.5， 2 2. 表 4.21. 政治大. 銀髮族旅遊次數反模糊化值整理得各觀測值等級. 立. 組別. 男、女、男、男、女、男、男、女、女、女 5 、 6.5 、 6.5 、 8 、 9 、 10.5. 5.0、 5.3、 5.3 、5.5 、5.5 、 6.7 、7.1 、7.5 、7.7. 、8.5. 女、女、女、男、女、男、男、女、男、男. y. Nat. 等級. 4 、. 10.5、12.5、12.5、 14.5、14.5、 16 、 17 、 18 、 19 、20. io. sit. 組別. 3 、. ‧. 觀測值. 1 、2 、. 以排序後的資料（表 4.21），求其統計量 M. n. al. α= 0.05 ， n1 = 10、 n2 = 10. Ch. engchi. er. 等級. ‧ 國. 2.3、 3.0、 3.3 、 3.5、 3.7 、 4.0、 4.0 、4.3 、4.7 、5.0. 學. 觀測值. i n U. v. M = (1－10.5)2 + (3－10.5)2 + (4－10.5)2 + (6.5－10.5)2 + (6.5－10.5)2 + (14.5－10.5)2 2. 2. + (16－10.5) + (17－10.5) + (19－10.5)2 + (20－10.5)2 ＝471.5 查表得臨界值 M ' =198.50 ， M " = 464.50，因 M ＞ M " ，故拒絕接受 H 0 。表示測試結果男、女組每年旅遊次數之變異程度有可能不相同。. 31.

(40) 5 實例研究據內政部人口統計，自2007年2月，老年人口即已佔總人口的10.04%。依行政院經建會推估，至2026年老年人口就會超過20%，即約15年後即每5人中就有1位是老年人口。從以上資料顯示高齡化社會的快速變遷，將引發新的需求與問題，已成為政府及民間關注及研究的焦點。. 然而當母體樣本數小，分配來自未知，且資料是序列尺度時，在做研究時我們可應用無母數統計檢定方法。其特性是常以中位數而非帄均數代表資料的集中趨勢。此方法是一個合理且易於使用的統計方法，可應用在財管、經營、醫療、教育心理及其它的社會科學的研究，是一種值得重視且可擴大使用的研究工具。. 政治大. 基於此，我們利用模糊統計分析和無母數檢定，並以梯形隸屬函數建立之中位數檢. 立. 定法模型，對老人相關問題予以測度，以期能更精確地反映年長者的實際想法，並解決. ‧ 國. 學. 老年社會所遭遇的問題。. ‧. 5.1 應用離散型模糊數分析和檢定老人外出時間. y. Nat. 根據社會繼續理論：一個人在他老邁時不會產生戲劇性之改變，它的人格特徵照樣. sit. 維持跟成年生活時類似，如活躍型、退縮型，依然未變。基於此，想探討不管本身的個. al. er. io. 性如何，老人一天外出時間，是否受到年齡因素的影響，以做為老人社會資源分配之依. n. 據。所以，針對退休後的人，以年齡 65-74 歲及 75-90 歲分成兩組，調查這兩個年齡層. Ch. 在一天中外出時間及其變異度是否不同。. engchi. i n U. v. 【方法為】採用離散型模糊問卷（表 5.1），對 8 名 A 組（75-85 歲）及 12 名 B 組（65-74 歲）老人做調查後得模糊數及反模糊化值整理於表 5.2、5.3 及 5.4：表 5.1 時間受訪者. 0. 一天外出約多少時間？（單位：小時） 1. 2. 3. 32. 4. 5. 6. 7 以上.

(41) 表 5.2 A 組（75-85 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值 3. 4. 5. 7 以上. 0. 1. 2. 1. 0.2. 0.6. 0.2. 2. 0.2. 0.4. 0.2. 0.2. 1.4. 3. 0.3. 0.2. 0.4. 0.1. 1.3. 4. 0.4. 0.3. 0.3. 時間. 6. 受訪者. 5. 0.5. 6 7. 0.3. 8. 0.3. 0.7. 0.4. 0.2. 0.5. 0.4. 1. 0.9 0.4. 0.1. 2.6 1.7. 0.1. 1.1. 政治大. 立. X if. 0.1. 1.6. 3. 4. 5. 0.6. 0.2. 0.4. 0.4. 0.1. 0.2. 0.4. 0.3. 0.4. 0.5. 0.1. al. 0.4. 0.6. 6. 0.1. Ch. 7. 0.1. 0.3. 8. 0.2. 9. 6. 7 以上. y. 0.2. n. 5. io. 4. 3. 0.2. Nat. 2. 2. ‧. 1. 1. e0.4n g c0.4h i. sit. 受訪者. 0. er. 時間. 學. ‧ 國. 表 5.3 B 組（65-74 歲）外出時間的模糊數及反模糊化值. i n 0.1U. v. X if 3.6 2.2 2.9 3.3 1.6 3.4. 0.6. 2.5. 0.4. 0.4. 2.2. 0.1. 0.7. 0.2. 2.1. 10. 0.5. 0.3. 0.2. 1.7. 11. 0.5. 0.5. 12. 0.1. 1.5 0.3. 33. 0.6. 4.

(42) 表 5.4. 兩年齡層外出時間的反模糊化值由小到大排列. A 組(75-85 歲). 0.9、1 、1.1、1.3、1.4、1.6、1.7、2.6. B 組(65-74 歲). 1.5、1.6、1.7、2.1、2.2、2.2、2.5、2.9、3.3、3.4、3.6、 4. （步驟一）中位數檢定：檢定兩母體是否具有相同的平均水準（即具有相同之中位數）。統計假設為. H 0 ：A（75-85 歲）、B（65-74 歲）兩組外出時間的中位數相等 H 1 ：A（75-85 歲）、B（65-74 歲）兩組外出時間的中位數不相等. 混合後之共同中位數為：. 1.7＋2.1 ＝1.9，故聯立表為： 2. 表 5.5. 外出時間中位數次數聯立表. 外出時間的反模糊化值. 立小於共同中位數次數和. 和. 1. 9. 10. 7. 3. 10. 學. ‧ 國. 大於共同中位數次數. 治歲） B 組（65-74 歲） A 組（75-85 政大 8. 12. 20. 以中位數次數聯立表（表 5.5），求其統計量. ‧ y. sit. ＝. 20 2 2 ) × 20 2 ＝ 50 × 20 ＝5.21 8 × 12 × 10 × 10 8 × 12 × 10 × 10. ( 1× 3－7 × 9－. Nat. x. 2. io. n. al. er. α＝0.05，v=（2－1）（2－1）＝1，臨界值 x(20.05, 1) ＝3.84<5.21 即差異顯著，故拒絕 H 0 。. Ch. engchi. i n U. v. 表示 A（75-85 歲）、B（65-74 歲）兩組老人，外出時間的中位數不相等。. （步驟二）變異數檢定：檢定兩母體是否具有相同的變異度。因為由（步驟一）之中位數檢定，已知中位數明顯不等，表示不同年齡層的兩組老人是外出時間不同（中位數不同）之不同族群，故無需再做變異數檢定。. 所以，就中位數分析足見不同年齡層的老人在外出活動事項上本質互異，不應以單一群體視之。此結論或可作為社區規劃和政府施政的參考，對於較多外出活動者與較少外出活動者，均能設計出適合參與的活動，讓長者能擁有豐富的休閒活動，進而促進身心健康，延緩生理所造成的衰老，解退化所造成的問題。. 34.

(43) 5.2 應用連續型梯形模糊數分析和檢定理想中的退休年齡我國勞工強制退休的年齡，從現行 60 歲延後至 65 歲。德國迫於出生率太低，人口急速老化，以及國家財政考量，已決定把強制退休年齡從 65 歲延後到 67 歲。法國也因經濟危機加上人口結構改變，因 60 歲退休年齡之爭，在 2010 年夏季上演激烈的街頭抗爭。而歐盟成員，包括愛爾、希臘、葡萄牙、西班牙和英國，男性平均退休的年齡是 65 歲。美國至少有十州政府都已立法通過延後退休年齡。然而，現在大家生活水準提高，健康狀況比以往進步，55、60 歲正是可延續事業的黃金期。尤其是於受過高等教育的專業人員，退休標示著另一種生活的開始。基於此，想探討實際已退休的人，認為在現今的時代，不管現行制度規定如何，自己認為適合的退休的年齡為幾歲？是否在適合的退休年齡的認知上男女有著不同的想法？【方法為】. 立. 政治大. 採用連續型模糊語意量表（圖 5.1）分別對 9 位退休後男性及 10 位退休後女性做調. ‧ 國. 40. 50. 圖 5.1. 55. 60. 65. 認為適合的退休年齡約幾歲？. 70. sit. y. Nat. n. aa l i. 1. 62. 2. Ch. bi. engchi. er. 退休後的男性感到適合退休年齡的模糊數及反模糊化值（單位：歲）. io. 表 5.6. 45. ‧. 年齡. 學. 查的結果，以模糊數 [a, b , c , d] 整理於表 5.6、5.7 及表 5.8：. i n U. ci. v. di. RA i. 62. 68. 68. 66. 55. 60. 65. 70. 63. 3. 60. 65. 70. 72. 67. 4. 65. 68. 68. 70. 68. 5. 55. 60. 60. 65. 61. 6. 60. 63. 70. 71. 67. 7. 63. 65. 70. 72. 68. 8. 58. 60. 65. 70. 64. 9. 64. 65. 65. 68. 66. 35.

(44) 退休後的女性感到適合退休的年齡的模糊數及反模糊化值（單位：歲）. ai. bi. ci. di. RA i. 1. 60. 65. 65. 68. 65. 2. 60. 64. 64. 65. 63. 3. 58. 60. 65. 68. 63. 4. 40. 48. 50. 52. 48. 5. 55. 60. 60. 65. 61. 6. 60. 65. 65. 70. 66. 7. 56. 60. 64. 65. 62. 8. 45. 50. 55. 60. 53. 9. 55. 65. 60. 10. 55. 60. 58. 立. 政5855 治 6060大. 學. ‧ 國. 表 5.7. 表 5.8 男、女性感到適合退休年齡的反模糊化值由小到大排列. ‧. 61、 63 、 64 、 66 、66、 67 、 67、 68、 68. 女. 48、 53 、 58 、 60、 61、 62 、 63、 63、 65 、66. sit. y. Nat. 男. n. al. er. io. （步驟一）中位數檢定：檢定兩母體是否具有相同的平均水準（即具有相同之中位數）。統計假設為. Ch. i n U. v. H 0 ：男、女性所感到適合退休年齡的中位數相等. engchi. H 1 ：男、女性所感到適合退休年齡的中位數不相等混合後共同中位數為：63，故聯立表為：. 表 5.9. 適合退休年齡的中位數次數聯立表. 適合的退休年齡. 男性. 女性. 和. 大於共同中位數次數. 7. 2. 9. 小於共同中位數次數. 1. 6. 7. 和. 8. 8. 16. 以中位數次數聯立表（表 5.9），求其統計量. 36.

(45) 16 2 ) × 16 32 2 × 16 2 ＝＝4.06 8× 8× 7 × 9 8× 8× 7 × 9. ( 7 × 6－1× 2－. x. 2. ＝. α＝0.05，v=（2－1）（2－1）＝1，臨界值 x(20.05, 1) ＝3.84 < 4.06 即差異顯著，故拒絕接受 H 0 。表示退休後男性及退休後女性兩組理想中的退休年齡之中位數不相等。（步驟二）變異數檢定：檢定兩母體是否具有相同的變異度。因為由（步驟一）之中位數檢定，已知中位數不相等，表示退休後男性及退休後女性兩組是不同平均水準（中位數不同）之族群，故無需再做變異數檢定。. 治政大之期待亦有所不同。此結論可做為政府制定更合理的退休政策、人力資源部門運用調整立人力計畫時之參考，以建構更完善之社會。可知，不同性別之族群由於生涯規劃及預期之老年生活並不相同，對適合退休年齡. ‧ 國. 學 ‧. 5.3 應用連續型梯形模糊數分析和檢定老人看電視時間. 所有媒體中，電視是老人最常使用的。因其具有類社會角色，老人可藉由電視尋找. sit. y. Nat. 熟悉的角色，補償日益減少的社會相關網絡。從自家經驗出發觀察家中的長輩，發現看電視的時間占了清醒時間的大部分，老年族群是電視最忠實的觀眾。一般認為，老年人. io. er. 日常看電視時間應節制，電視節目則應選擇一些新聞性的，因多關注社會能促進大腦思. n. al. i n U. v. 考。希望藉由比較 65-74 歲、75-85 歲兩組受訪者一天看電視時間，了解老人看電視習. Ch. engchi. 慣的趨勢，及藉由電視媒體豐富老年生活的可能性。【方法為】. 採用連續型模糊語意量表（圖 5.2）對 65-74 歲（A 組）及 75-85 歲（B 組）老人各 10 名做調查的結果，整理於表 5.10、5.11 及 5.12：. 1. 1.5. 2. 2.5 圖 5.2. 3 3.5. 4. 4.5. 5. 5.5 6. 6.5. 7. 認為（1）最常固定的看電視時間約多久？（2）通常看電視的時間約多久？. 37. 7.5. 8 (小時).

(46) A 組（65-74 歲）看電視時間的模糊數及反模糊化值（單位：小時）. 表 5.10. A組. 梯形模糊數 [ ai ,. (65-74 歲). bi , ci , d i ]. 反模糊化值 (四捨五入至小數第一位). 1. [2.75, 3, 4, 4.5]. 3.9. 2. [1.25, 1.5, 2, 2.25]. 2.0. 3. [2.75, 3, 3.25, 3.5]. 3.3. 4. [3.5, 4, 5, 5.5]. 4.9. 5. [4, 4.25, 4.75, 5]. 4.8. 6. [2.5, 2.75, 3, 3.5]. 3.2. 7. [0.75, 1, 2, 2.5]. 1.9. 8. [1, 2, 3, 4]. 3.0. [2, 3, 3, 4.5]. 3.4. 立. [2.5, 3, 3.5, 4]. 3.6. ‧. B 組（75-85 歲）看電視時間的模糊數及反模糊化值（單位：小時）. 3. [3, 4, 4.5, 5]. al. n. 2. io. 1. bi , ci , d i ]. [1.75, 2, 2.75, 3]. Ch. engchi. [3.5, 3.75, 4, 4.25]. sit. [ ai ,. （75-85 歲）. 反模糊化值. y. 梯形模糊數. Nat. B組. (四捨五入至小數第一位). er. 表 5.11. 學. 10. ‧ 國. 9. 政治大. i n U. v. 4.5 2.7 4.1. 4. [3.5, 3.75, 4, 4.5]. 4.2. 5. [0.75, 1, 1, 2.5]. 1.7. 6. [1, 3, 3, 3.75]. 3.0. 7. [1.5, 2.5, 2.5, 3.5]. 2.8. 8. [4, 4, 5, 5]. 4.8. 9. [3, 3.5, 4, 5]. 4.3. 10. [3, 4, 4.5, 6]. 4.8. 38.

模 糊 無 母 數 統 計 檢 定 及 其在 高 齡 化 社 會 調 查 之 應 用 - 政大學術集成

模糊無母數統計檢定及其在高齡化社會調查之應用 - 政大學術集成