上節所述之 TLF 理論係以to時刻為變形前之座標Xi為基準所建 立之虛功原理方程式。本節則討論每一變形後時刻t，以變形後之座 標xi為基準而加以考慮之情形。因此前節所述之座標Xj以xj取代，Vo 及So分別以V 及S置換，而 f•oi與b•oi則以 f•i與b•i取代，即可得 Updated Lagrangian Formulation（ULF）虛功原理方程式如下：
dV
間之應變增量求其與應力之關係之應變增量理論。
換算為對降伏狀態或應變硬化等效的單向應力狀態，F,G,H,L,M,N
σ
及
圖2-1 連續體在t =t0與t=t時之變化狀況
圖 2-2 定義應力之連體座標
圖 2-3 平衡時之連體體積與曲面定義
三、數值分析
3.1簡介
近年來，有限元素法應用於解決工程的問題上，已發展的相當成 熟，而金屬板金是由無限個質點所組成的連續體，因此將其分割成有 限個元素亦稱離散化（dispersed），並假設這些元素間僅在節點上相 互連接與傳遞力，建立起節點上作用力與位移之間的矩陣關係式，並 進行計算，以求出各節點處變形和應力的近似解。
應 用 前 述 之 大 變 形 應 力 及 應 力 率 關 係 、 有 限 變 形 之 update
Lagrangian formulation和材料之構成關係式，可逐步推導得到適用於
各種金屬加工製程之統制方程式。
本研究中，係以 Cauchy應力之 Jaumann率作為構成關係式的應
力率，則updated Lagrangian形式的虛速度原理，省略體積力之作用
可以下式表示之
velocity），[B]為應變率-速度關係矩陣（strain rate-velocity matrix），[E] 為速度梯度-速度關係矩陣（velocity gradient-velocity matrix）。
由於虛速度原理之方程式與材料之構成關係式之變化率為線性
本節主要推導元素剛性矩陣[K]E過程，虛速度原理的離散化，以
其中k 為應力係數。
對於連體的離散化而言，標準的形狀函數為Nα，並透過此函數 將元素內部的速度νi與虛速度δνi表示如下：
∑
α ανα=
νi N i （3.18）
∑
α αδνα=
δνi N i （3.19）
αi
ν 及δν 的附標部分表示，在元素第 α 個節點上其節點速度與節點αi 虛速度的第i 個分量。
3.3 退化殼元素（Degenerated Shell Element）之分析
本研究以退化殼元素為例，推導其形狀函數，由圖3-1 可知，對 殼而言，ζ 定義為薄層（layers of lamina），而ξ及η兩常數線定義為纖 維（fibers），纖維一般而言未必與層相垂直。殼的運動是藉由使纖維 不可伸張的磚形元素（brick element）運動而獲得。每一個殼節點相 對兩個磚形節點透過不可伸張的纖維來連接。由於一個位移拘束條件 加諸於其上，使得兩個磚形元素的六個平移自由度不再各自獨立，而 僅需要三個平移與兩個旋轉座標，如圖3-2 所示。假設在殼變形的過 程中，節點的纖維保持直線，則變形幾何可藉由中間曲面與節點纖維 來描述。在此分析中，是選擇由上頂與下底連體節點的平均節點位置 所描述的中間曲面做為參考薄層曲面如圖3-1。
節點纖維向量定義如下：
bot
5
其中
由（3.33）式組合成有限元素法（3.5）之基本型式。
其中µ 為庫侖摩擦係數，而（3.37）式稱為降伏曲面或滑動曲面方程
j
陣、標準構成剛性矩陣與初始應力剛性矩陣，vαi與 f•αi的附標部份表
(4) 材料降伏之判定 (5) 自由節點與模具接觸 (6) 接觸節點與模具分離
應用r 方法的程序及增量大小的計算包含下列步驟: min
1. 在增量開始前，先給予一個假設模具位移增量∆a；
2. 相對於前述模具的位移增量∆a，利用剛性方程式解出其虛擬 解∆u；
3. 經由前述(1)~(6)的r值，找出最小的值即為rmin的值；
4. 將所得的解 u∆ 乘上r 係數(0＜min r ＜1)作為其加權，故此增min 量的大小將變為rmin∗ u∆ ，此將用來改善成形的變形狀態、總 位移、總應力及每一個元素降伏極限的數值。
由於本研究採增量理論，每一步驟與材料之幾何形狀及元素所處 狀態有關，故以rmin決定該步驟之實際增量。在第一次的虛擬增量計 算後，經由上述各種增量限制之判定，每一步驟僅允許一元素或節點 改變其原有狀態，並選擇最小之rmin去決定該步驟之實際增量。
圖3-1 退化殼元素之座標
圖 3-2 殼元素之自由度
圖3-3 接觸彈簧元素
四、金屬板材突緣引伸成形製程之分析
4.1 邊界條件
金屬板材帽型引伸成形加工過程中，料片會與沖頭、沖模及壓料 板接觸。因此在接觸時，如何使得節點沿著沖頭和沖模表面移動，實 為邊界條件處理上之重要課題，因此需判斷成形過程中節點是否與模 具接觸或分離，而分為接觸節點與自由節點。在數值解析過程中是將 模 具 視 為 剛 體 ， 並 對 於 不 與 模 具 接 觸 之 節 點 採 用 空 間 固 定 座 標
) , ,
(X Y Z ，而與模具接觸之節點則採用埋入座標(ξ,η,ζ)，而座標方向 滿足右手定則。
由於各個節點之接觸狀況會隨帽型引伸成形過程中料片的變形 而有所改變，故在每一位移增量步驟計算時，均需對接觸之節點檢查 其節點力之法線分量是否小於或等於零，若小於或等於零則下一位移 增量步驟需將此節點之邊界條件更改為自由節點之邊界條件。原來為 自由節點亦需檢查其幾何位置是否與模具接觸，若接觸則在下一位移 增量步驟計算時，將此節點之邊界條件更改為接觸節點之邊界條件，
以上所述之判斷方式是依廣義rmin方法來處理。
4.2 材料參數
數值模擬分析時是採用中空圓形料片，而本研究之實驗數據是利
用最小平方法求得鋼板之應力－應變特性曲線方程式，其材料參數如 下所示：
料片初始厚度：t = 0.7 mm 降伏應力：σy =160.00 MPa
應力與應變關係式：σ=619.25(0.06945+εp)0.367 MPa 楊氏係數：E =2.1×105MPa
浦松比：ν=0.3
數值解析所用的摩擦係數：µ=0.25
4.3 數值模擬與分析
由於本研究所探討之帽型引伸成形，其模具與料片之幾何外形屬 於軸對稱，故採取四分之一中空圓形料片，進行數值模擬以節省運算 時間。圖4-1 顯示圓柱形沖頭孔凸緣成形分析四分之一中空圓形料片 之網格分割及邊界條件，在沖壓成形時，料片會在環形圓柱沖頭之圓 弧角處發生應力集中，所以在數值分析時需將圓弧角處網格分割細 化。而其邊界條件的處理如圖4-1 所示，圖中雙箭號為旋轉拘束，單 箭號為位移拘束，在X 軸上的節點為X 和Z方向旋轉拘束，Y方向為 位移拘束，而Y軸上的節點為Y和Z方向旋轉拘束，X 方向為位移拘 束。
在模具方面之有限元素網格分割是採用三角形元素，其目的是容
易描述模具在空間的幾何形狀，如圖4-2 為帽型引伸模擬之沖頭網格 分割、圖4-3 為帽型引伸模擬之模具網格分割與圖 4-4 為帽型引伸模 擬之壓料板網格分割。表 4-1 列出帽型引伸成形之料片網格分割數 據，前述模具和料片的建構與元素網格分割是由I-DEAS 軟體設計，
並經由本彈塑性大變形有限元素分析程式數值解析後，將所模擬出之 沖頭負荷與衝程之關係、料片厚度分佈、應力圖、反力圖及主應變分 佈圖，經由 I-DEAS 軟體顯示數值解析後之料片最終變形圖，及 von Mises 應力與主應變分佈圖。
圖 4-5(a)與圖 4-5(b)顯示帽型引伸成形模擬時工件之厚度分佈 圖，圖中色層區標示上的厚度單位為 mm，從圖 4-5(b)中得知厚度最 小值發生在擴孔周緣處，這是因為擴孔處會隨沖頭的衝程增加而逐漸 擴大且其厚度會引薄所致。圖 4-6(a)與圖 4-6(b)顯示帽型引伸成形模 擬時工件之 von Mises 應力分佈圖，圖中色層區標示的應力單位為 MPa。圖 4-6(b)中顯示最大應力發生在擴孔周緣處，而擴孔處會因沖 頭的衝程增加而產生引薄，所以有較高的應力集中現象，且圖中所示 之應力分佈以環向方向呈等區間分佈，其最大的應力值發生於擴孔周 緣處，其值為 740.0MPa。圖 4-7(a)與圖 4-7(b)顯示帽型引伸成形模擬 時工件之主應變分佈圖，圖中顯示最大應變值發生在擴孔周緣處，乃 因擴孔處隨著沖頭的衝程增加，所受到的環向拉伸應力逐漸變大，使
得擴孔周緣處之厚度不斷地變薄。圖4-7(b)中所示之應變分佈以環向 方向呈等區間分佈，其最大的應變值發生於擴孔周緣處，其值為 1.190。圖 4-8(a)與圖 4-8(b)顯示帽型引伸成形模擬時工件之反力分佈 圖，圖中色層區標示上的反力單位為 Newton，從圖中得知反力最大 值發生在擴孔周緣處，這是因為擴孔處使用壓料板。圖4-8(b)中所示 之反力分佈以環向方向呈等區間分佈，其最大的反力值發生於擴孔周 緣處，其值為2.51*103 Newton。
圖4-1 帽型引伸加工之工件與邊界條件
圖 4-2 帽型引伸加工之沖頭
圖 4-3 帽型引伸加工之模具
圖4-4 帽型引伸加工之壓料板
表4-1 帽型引伸成形分析，模具與料片之網格分割數據
模具與料片 元素形狀 節點總數 元素總數
沖頭 875 1710
沖模 1104 2112
壓料板
三角形
480 880
四分之一料片 四邊形 777 720
圖 4-5(A) 帽型引伸衝程 20mm 厚度圖
圖4-5(B) 帽型引伸衝程 40mm 厚度圖
圖 4-6(A) 帽型引伸衝程 20mm 應力圖
圖4-6(B) 帽型引伸衝程 40mm 應力圖
圖 4-7(A) 帽型引伸衝程 20mm 應變圖
圖4-7(B) 帽型引伸衝程 40mm 應變圖
圖 4-8(A) 帽型引伸衝程 20mm 反力圖
圖4-8(B) 帽型引伸衝程 40mm 反力圖
五、金屬板材圓杯引伸成形製程之分析
5.1 邊界條件
圓杯引伸成形過程中，胚料會與沖頭、壓料板及下模接觸。因此 在接觸時，如何使得節點沿著沖頭、壓料板和下模表面移動，實為邊 界條件處理上之重要課題，因此需瞭解成形過程中節點是否與模具接 觸或分離，故可分為接觸節點與自由節點。圖 5-1(A)與(B)顯示圓杯 引伸成形之胚料與模具系統邊界條件，將模具視為剛體，與模具不接 觸之節點視為自由節點採用空間固定座標(X,Y,Z)，而與模具接觸之 節點則採用埋入座標 (ξ,η,ζ)，而座標方向滿足右手定則故圖5-1(A) 與(B)中 Y 與 η方向朝內。
由於各個節點之接觸狀況會隨圓杯引伸成形過程中胚料的變形 而有所變化，故在每一位移增量步驟計算時，均需對接觸之節點檢查 其節點力之法線分量是否小於或等於零，若小於或等於零則下一位移 增量步驟需將此節點之邊界條件更改為自由節點之邊界條件。原來為 自由節點亦需檢查其幾何位置是否與模具接觸，若接觸則在下一位移
由於各個節點之接觸狀況會隨圓杯引伸成形過程中胚料的變形 而有所變化，故在每一位移增量步驟計算時，均需對接觸之節點檢查 其節點力之法線分量是否小於或等於零，若小於或等於零則下一位移 增量步驟需將此節點之邊界條件更改為自由節點之邊界條件。原來為 自由節點亦需檢查其幾何位置是否與模具接觸，若接觸則在下一位移