點 A 與節點 B 之間的關係。此外，複雜網路中個體之間的關係通常不是等價的，
舉例來說，在社會網路當中，兩人之間彼此認識，那麼在網路拓樸中就有連結代 表兩人的認識關係，但是社會網路中的這些認識關係一定是不相同的，因此很多 研究賦予連結權重值來區分個體間關係的差別。利用本研究提出的演算法和權重 值的概念加以整合，能夠更精確的判斷出共同朋友在網路中所具有的性質。如圖 43 所示，圖 43 a 表示不考慮權重的情況，換句話說，所有連結的權重均為 1。
而圖 43 b 表示考慮權重值的情況，連結 AC 與連結 BC 的權重值均為 0.8。雖然 圖 43 a 和圖 43 b 中的節點 C 都代表了節點 A 和節點 B 的共同朋友，但是經由 權重值的差異我們可以推斷圖 43 a 中的節點 C 的強度和圖 43 b 中的節點 C 的性 質是不相同的。多了方向性與權重值的資訊，能夠使得我們提出的演算法所判斷 出的連結類型不再只侷限於拓樸上的性質，而是能夠對應到真實世界所具有的功 能性，讓我們能夠更深入的分析複雜網路的行為與現象。
第三部份，在演算法的應用方面還有許多改進空間和延伸研究。舉例來說，
複雜網路分群方面，在演算法的結果當中可以找出更多的資訊當作分群指標，以 及針對分群指標的正規化計算都能夠幫助分群的準確性以及合理性。
瞭解網路中每一條連結從區域到全域的特性能夠提供各個複雜系統領域的 研究學者更多參考資訊，藉由演算法所得的連結類型針對不同的複雜網路具有不 同的背景意義，本研究只針對了社會網路、生態網路和電子電路網路當作分析對 象，如何將其他更多的複雜網路中具有階層性質的連結對應到真實世界的背景意 義，則是要等待未來的研究學者來探索與發現。
圖 43：共同朋友與連結權重值。a.不考慮權重值。b.考慮權重值。
A C
e B A
C
e B
a. b.
0.8 0.8
附錄附錄 附錄附錄.A
1. 連結權重值的定義
網路中某一連結 edge(a, b)，其權重值(weight)可以定義成 weight(a, b) = ∑ ,
-./01234124,56
7
其中 path(a, b)i是節點 a 到節點 b 的第 i 條可能的路徑。
path(a, b)i * edge(a, b)且 length(path(a, b)i) # Network_average_dimeter Network_average_dimeter = ∑=>,?,>@?829:1.;1<4124,5
AB=
2. 強弱連結的定義
產生隨機網路來計算這些隨機網路之連結的平均權重：
(RandNetwork_average_weight)i = ∑=>,?,>@?C.70214,5
AB=
產生 100 組隨機網路計算出門檻值：threshold = ∑ D4/E.1C9:F_4H.:40._C.702176 ,II
經過判斷 weight 是否大於或小於此門檻值來判斷其強弱，也就是說：
weight(a, b) > threshold 則 edge(a, b)屬於強連結 weight(a, b) < threshold 則 edge(a, b)屬於弱連結
附錄附錄 附錄附錄.B
Onnela 等人為了要觀察網路拓樸與連結強度之間的關係與全域資料散播 (Onnela et al., 2007)，他們設計了以下實驗步驟：
1. 在 time 0 的時候我們隨機挑選幾個受到新資訊感染的個體作為初始化。
2. 然後在每一個 time step，受到感染的個體 vi就會將資訊傳遞到自己的鄰居(直 接連結的節點)，而傳遞的有效機率為 Pij = xwij (其中 x 為傳播速率)。
3. 在同樣的網路中，將每一個連結的權重用平均權重做代換，因此 P 值都會相 同，然後進行同樣的實驗做比較。
由下圖 44.A 可以看出實驗結果，Control 曲線代表了連結權重為平均權重所 產生出來的結果，而 Real 曲線則是代表真實世界實際的結果。我們可以發現 Control 的傳播速度比 Real 的傳播速度快很多，這個結果和我們預期的一樣，因 為在真實世界當中，複雜網路中的社群會使得資訊傳播產生延遲的現象。
圖 44.B 可以解釋資訊傳播延遲的現象。我們可以看到當資訊剛開始傳播的 時候(t<10)，資訊會在社群內快速傳播(連結強度較強)，而當社群內的節點都被 傳遞到此資訊之後，就會將此資訊傳遞到其他的社群之中，而社群之間的資訊傳 遞速度就會相對較慢(連結強度較弱)，所以會有接近水平曲線的傳播速度
(10<t<20)。接著傳遞到其他社群之後，這個資訊又會在此社群之間內開始傳播，
因此傳播速率又提升上來(t>30)。然而在 Control 的情況當中，因為每一條連結 的權重均相同，因此社群之間的連
結傳遞機率也是和社群的傳遞機 率一樣，因此傳遞速度的結果相較 於 Real 的情況會快的多。
圖 44：傳播速率圖(Onnela et al., 2007)。
附錄附錄 附錄附錄.C
Fedderke 等人(1999)主張將社會資本橫切，區分成兩種功能：「透明度」與
「理性化」(Halpern, 2008)。透明度指的是一個社群的社會資本如何使資訊流通 更加便利。因此，一個擁有較多橋接性社會資本的社會，將被視為擁有更多的透
圖 45：不同性質的社會資本混合下所產生不同型態的社會(Halpern, 2008)。
近期現代化
附錄附錄 附錄附錄.D
連結兩端節點共同朋友比例
連結 e = ( i , j )的共同朋友比例 Oij為：
Oij = nij/((ki-1)+(kj-1)-nij)
其中 ki為節點 i 的分支度；kj為節點 j 的分支度。
nij為節點 i 與節點 j 的共同朋友個數。
圖 46：共同朋友比例。
附錄附錄 附錄附錄.E
WS 小世界網路
表 5 是實驗結果統計圖，利用 Walls 和 Strogatz 所提出的方式產生小世界 網路，節點數為 100，固定平均分支度<k>，觀察繞線機率 p 的變化與橋接式連 結和強鍵式連結的分佈之間的關係(p=1、2、4、8、16、32、64)。
表 5：不同繞線機率下的 WS 小世界網路
Category Edges Rewiring(p) C(p)/C(p=0) S(p)/S(p=0) Bridge link
Bond link
Sink link
Small-World
#1 Degree<k>=2
Nodes=100
100
Small-World
#2 Degree<k>=4
Nodes=100
200
Small-World
#3 Degree<k>=8
Nodes=100
400
Small-World
#4 Degree<k>=16
Nodes=100
800
Small-World
#5 Degree<k>=32
Nodes=100
1600
Small-World
#6 Degree<k>=64
Nodes=100
3200
圖 47 到圖 52 也是 WS 小世界網路的實驗結果。我們固定繞線機率 p，觀察 平均節點分支度<k>的變化與連結種類分佈之間的關係。我們發現當繞線機率 p 較小時，強鍵式連結佔了所有連結大部分的比例，隨著 p 增加，橋接式連結的比 例也跟著增加，這樣的結果和章節 4.1.1 中的驗證結果相同。此外，平均分支度 為 2 時，整體網路為直鏈狀網路，並且經過繞線之後很可能成為不連通圖，因此 才會出現沉沒橋接式連結。而當平均分支度為 64 時，整體網路的連結相當密集，
平均分隔度低，因此許多連結被判斷成橋接式連結。一般來說，不同分支度對於 橋接式連結與強鍵式連結的分佈狀況並沒有直接的影響。
1. 節點個數：100、繞線機率：2%。
圖 47：WS-small world, N=100, p=2%。
2. 節點個數：100、繞線機率：4%。
圖 48：WS-small world, N=100, p=4%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
2.0 4.0 8.0 16.0 32.0 64.0
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
2.0 4.0 8.0 16.0 32.0 64.0
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
3. 節點個數：100、繞線機率：8%。
圖 49：WS-small world, N=100, p=8%。
4. 節點個數：100、繞線機率：16%。
圖 50：WS-small world, N=100, p=16%。
5. 節點個數：100、繞線機率：32%。
圖 51：WS-small world, N=100, p=32%。
0%
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
0%
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
0%
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
6. 節點個數：100、繞線機率：64%。
圖 52：WS-small world, N=100, p=64%。
NW 小世界網路
接下來利用 Newman 和 Watts 所提出的方法產生出一連串的小世界網路。
節點個數為 100，固定機率 p 在隨機選取的一對節點之間加上一條連結，觀察節 點平均分支度<k>的變化與橋接式連結和強鍵式連結的分佈之間的關係(<k>≒2、
4、8、16、32、64)。下列各圖中紫色三角形所構成的曲線代表連結密度，其計 算方式如下：
2 ( 1) Density E
N N
= ×
× −
其中 E 為網路中的連結個數， N 為網路中的節點個數。圖 53 到圖 58 是實驗結 果圖，我們可以發現到當 p 增加時，網路中的橋接式連結增加的幅度沒有 Walls 和 Strogatz 所產生的小世界網路所增加的幅度大。這是因為 Newman 和 Watts 所產生的小世界網路並不是隨機繞線而是隨機加連結，而原本的網路為規則網路，
被加入的連結可能也會被判斷成為強鍵式連結，因此橋接式連結的增加幅度會較 為緩慢，這個現象也接連影響到網路群聚度並沒有太大的改變。表 6 為 NW 小 世界網路的統計數據。
0%
20%
40%
60%
80%
100%
2.0 4.0 8.0 16.0 32.0 64.0
bridge (BOND) links / Edges
Average Degrees, <k>
sink bridge% BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)
1. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：2%。
圖 53：NW-small world, N=100, p=2%。
2. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：4%。
圖 54：NW-small world, N=100, p=4%。
3. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：8%。
圖 55：NW-small world, N=100, p=8%。
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
4. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：16%。
圖 56：NW-small world, N=100, p=16%。
5. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：32%。
圖 57：NW-small world, N=100, p=32%。
6. 節點個數：100、隨機加邊機率 p：64%。
圖 58：NW-small world, N=100, p=64%。
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
0%
Average Degrees, <k>
BOND% bridge% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0) Density
表 6：不同繞線機率下的 NW 小世界網路
Category Edges Rewiring(p)
C(p)/C(p=0) S(p)/S(p=0) Bridge
Small-World
#1 Degree<k>=2
Nodes=100
100
Small-World
#2 Degree<k>=4
Nodes=100
200
Small-World
#3 Degree<k>=8
Nodes=100
400
Small-World
#4 Degree<k>=16
Nodes=100
800
Small-World
#5 Degree<k>=32
Nodes=100
1600
Small-World
#6 Degree<k>=64
Nodes=100
3200
附錄 附錄
(Kilduff & Tsai, 2003) 夏令營參加者關係網路 18 35
參考文獻 參考文獻 參考文獻 參考文獻
Albert, R. and Barabási, A. L. (2002). Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics, 74(1):47-97.
Artzy-Randrup, Y., Fleishman, S. J., Ben-Tal, N., and Stone, L. (2004).
Comment on "network motifs: Simple building blocks of complex networks"
and ßuperfamilies of evolved and designed networks". Science, 305(5687):1107c+.
Barabasi, A. L. and Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks. Science, 286(5439):509-512.
Barrat, A., Barthelemy, M., Pastor-Satorras, R., and Vespignani, A. (2003). The architecture of complex weighted networks.
Bascompte, J., Melián, C. J., and Sala, E. (2005). Interaction strength combinations and the overfishing of a marine food web. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 102(15):5443-5447.
Berlow, E. L. (1999). Strong effects of weak interactions in ecological communities. Nature, 398(6725):330-334.
Berkman, L. F. and Syme, S. L. (1979). Social networks, host resistance, and mortality: a nine-year follow-up study of alameda county residents. Am J Epidemiol, 109(2):186-204.
Brglez, F., Bryan D. and Kozminski, K. (1989). Combinational Profile of
Sequential Benchmark Circuits. In Proc. Of the Int. Symp on Circuits and Systems, pp. 1929-1934.
Cancho, R. F., Janssen, C., and Solé, R. V. (2001). Topology of technology
graphs: small world patterns in electronic circuits. Physical review. E, Statistical, nonlinear, and soft matter physics, 64(4 Pt 2).
Clauset, A., Moore, C., and Newman, M. E. J. (2008). Hierarchical structure
and the prediction of missing links in networks. Nature, 453(7191):98-101. Csermely, P. (2006). Weak Links. Springer-Verlag .
Dekker, A. (2007). Studying Organizational Topology with Simple
Computational Models. Journal of Artificial Societies and Social Simulation, vol.
10, no. 4 6.
Dunne, A.J., Williams, R.J. and Martinez, N.D. (2002). Small network but not small world: unique aspects of food web structure. Santa Fe Institute,
02-03-010.
Freeman, L. (1979). Centrality in social networks conceptual clarification. Social Networks, 1(3):215-239.
Freeman, L. (2004). Finding Groups: A Meta-Analysis of Southern Women Data.
Girvan, M. and Newman, M. E. J. (2002). Community structure in social and biological networks. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 99(12):7821-7826.
Granovetter, M.S. (1973). The Strength of Weak Ties. American Journal of Sociology, 78(6), 1360-1380.
Goh, K.-I., Oh, E., Jeong, H., Kahng, B., and Kim, D. (2002). Classification of scale-free networks. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 99(20):12583-12588.
Goyal, S. (2008). An introduction to the Economics of Networks. Princeton University Press.
Halpern, D. (2008). Social Capital. Polity Press.
Hansen, M. T. (1999). The search-transfer problem: The role of weak ties in sharing knowledge across organization subunits. Administrative Science Quarterly, 44(1):82-111.
Huang, C.Y., Cheng, C.Y. and Sun, C.T. (2007). Bridge and Brick Network Motifs: Identifying Significant Building Blocks from Complex Biological Systems. Artificial Intelligence in Medicine, 41(2), 117-127.
Kilduff, M. & Tsai, W. (2003). Social Network and Organizations. Thousand Oaks, CA: Sage.
Mccann, K., Hastings, A., and Huxel, G. R. (1998). Weak trophic interactions and the balance of nature. Nature, 395(6704):794-798.
Milo, R., Shen-Orr, S., Itzkovitz, S., Kashtan, N., Chklovskii, D., and Alon, U.
(2002). Network motifs: Simple building blocks of complex networks. Science, 298(5594):824-827.
Milo, R., Itzkovitz, S., Kashtan, N., Levitt, R., Shen-Orr, S., Ayzenshtat, I., Sheffer, M., and Alon, U. (2004). Superfamilies of evolved and designed networks. Science, 303(5663):1538-1542.
Newman, M. E. J. (2003). The structure and function of complex networks. SIAM Review, 45(2):167-256.
Onnela, J. P., Saramaki, J., Hyvonen, J., Szabo, G., Lazer, D., Kaski, K., Kertesz, J., and Barabasi, A. L. (2006). Structure and tie strengths in mobile
communication networks. Proceedings of the National Academy of Sciences, 104(18):7332-7336.
Papakyriazis, N. and Boudourides, M. (2001). Electronic weak ties in network organisations. In 4th GOR Conference, Goettingen, Germany.
Putnam, R. D. (2000). Bowling Alone: The Collapse and Revival of American Community. Simon & Schuster.
Radicchi, F., Castellano, C., Cecconi, F., Loreto, V., and Parisi, D. (2004).
Defining and identifying communities in networks. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 101(9):2658-2663.
Stokman, F.N., Ziegler, R., Scott, J. (1985). Networks of Corporate Power: A Comparative Analysis Of Ten Countries. Polity Press.
Strogatz, S. H. (2001). Exploring complex networks. Nature, 410(6825):268-276.
Wasserman, S. & Faust, K. (1994). Social Network Analysis: Methods and Applications. Cambridge, Cambridge University Press.
Watts, D. J. and Strogatz, S. H. (1998). Collective dynamics of 'small-world' networks. Nature, 393(6684):440-442.
Williams, R. J. and Martinez, N. D. (2000). Simple rules yield complex food
Williams, R. J. and Martinez, N. D. (2000). Simple rules yield complex food