理論網路

本章節首先針對已知性質的理論網路為研究對象，利用本研究提出的演算法 判斷出網路中每一條連結的種類。主要目的除了對於本研究的方法做初步的驗證 之外，也探討了不同性質的連結分佈與其他複雜網路的全域拓樸性質(分隔度與 群聚度)之間存在著什麼樣的關係。

4.1.1 WS-小世界小世界小世界網路小世界網路網路網路

利用理論網路當作目標網路，驗證目標網路中已知的拓樸性質與強鍵式連結 和橋接式連結之間的關係是否合理以及觀察這些特性改變的趨勢。因此，我們將 N 階橋接式連結與全域橋接式連結均視為橋接式連結。在這個驗證中我們專注於

沉沒橋接式連結、強鍵式連結與橋接式連結在各種不同狀況下的理論網路中所扮 演的角色為何。

我們利用 Walls 和 Strogatz 所提出產生小世界網路的方法(Watts & Strogatz, 1998)，將一個節點個數為 100、平均分支度為<k>的規則網路，使用不同的繞線 機率 p 產生一連串的小世界網路(p = 1%、2%、4%、8%、16%、32%、64%)。

1. 節點個數：100、連結個數：200、平均分隔度<k>：4。

圖 17：WS-Small world, N=100, <k>=4。

2. 節點個數：100、連結個數：400、平均分隔度<k>：8。

圖 18：WS-Small world, N=100, <k>=8。

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

bridge (BOND) links / Edges

Rewire Rate, p sink bridge% bridge% BOND% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

bridge (BOND) links / Edges

Rewire Rate, p sink bridge% bridge% BOND% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)

3. 節點個數：100、連結個數：800、平均分隔度<k>：16。

圖 19：WS-Small world, N=100, <k>=16。

4. 節點個數：100、連結個數：1600、平均分隔度<k>：32。

圖 20：WS-Small world, N=100, <k>=32。

5. 節點個數：100、連結個數：3200、平均分隔度<k>：64。

圖 21：WS-Small world, N=100, <k>=64。

0%

0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

bridge (BOND) links / Edges

Rewire Rate, p sink bridge% bridge% BOND% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)

0%

0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

bridge (BOND) links / Edges

Rewire Rate, p

sink bridge% bridge% BOND% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)

0%

0.01 0.02 0.04 0.08 0.16 0.32 0.64

bridge (BOND) links / Edges

Rewire Rate, p sink bridge% bridge% BOND% C(p) / C(p=0) S(p) / S(p=0)

由上圖 17 的結果所示，當繞線機率只有 1%或是 2%時，其網路仍然屬於規 則網路，只有少數的連結經由繞線成為橋接式連結。當繞線機率越來越大時，整 個網路也越來越趨向隨機網路時，橋接式連結所佔有的比率越來越高，相對的強 鍵式連結就越來越少，因此橋接式連結與強鍵式連結才會呈現彼此消長的現象。

圖 18 到圖 21 也都呈現相同的結果，當繞線率的增加時，橋接式連結所佔有的比 例也隨之增加，相對的強鍵式連結就跟著減少。關於實驗結果統計圖的相關數值 請參考附錄 E 的表 E.1。

這個結果說明了當繞線機率低的時候，網路中連結兩端節點的共同朋友比例 呈現均勻的狀態，每一個節點都和附近固定的節點數相連，因此大部分的連結都 是強鍵式連結。然而隨著繞線機率上升，被重新繞線的連結產生了網路中的「捷 徑」，這些捷徑兩端節點的共同朋友和之前完全不同，降低了共同朋友比例，因 此橋接式連結也就逐漸增多。隨著橋接式連結和強鍵式連結彼此的消長，網路的 分隔度(紅色圓形的線段)和群聚度(藍色方形的線段)也都呈現下降的趨勢，因為 橋接式連結扮演了那些捷徑的角色，任意兩節點之間的最短路經能夠利用橋接式 連結縮短路徑長度，在之前的研究當中也指出這些捷徑的存在會降低複雜網路的 分隔度。同理，隨著強鍵式連結的減少，使得破壞了原本緊密相連的節點，使得 群聚度也跟著下降。

上述的驗證步驟是說明連結性質與分隔度和群聚度的相關性。不過隨著節點 分支度<k>的上升，分隔度和群聚度的下降趨勢都呈現緩和的情況，是因為網路 節點之間的連結越來越多。我們觀察圖 21，節點的平均分支度為 64，網路本身 的分隔度很低且群聚度很高，但是隨著繞線機率 p 的增加，其所產生的捷徑增加，

我們的演算法仍就判斷出網路中有許多橋接式連結被產生。這也說明了我們所提 出的橋接式與強鍵式連結所具有的特性並不會依據分隔度或群聚度的高低而做 出相對應的變化，能夠提供研究者更多的拓樸資訊。我們也試著固定繞線機率 p，

觀察當節點分支度變化時，橋接式連結與強鍵式連結的分佈情況(請參照附錄 E)，

其結果也和顯示了相同的結論。

Walls 和 Strogatz 的方法所產生的小世界網路有可能會破壞網路的連通性，

因此我們也利用 Newman 和 Watts 提出建立小世界網路的方法，產生出一連串 的小世界網路輸入本研究的演算法中，也產生相同的結果(請參照附錄 E)。經過 針對理論網路的驗證實驗，說明了本演算法所判斷出來的連結種類是具有理論基 礎並且符合實際情況，也證明本演算法的正確性。