第四章 模型介紹與研究方法
第一節 模型介紹
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第四章 模型與研究方法
模型與研究方法估計估計與進行步驟:
(一)、模型介紹
1. 跨期資本定價模型(ICAPM)的推導與介紹
2. 介紹雙變量對角 BEKK 模型並設定為 AR(1)-GARCH(1，1)去捕捉 ICAPM 的市 場風險值(條件共變異數)
(二)、研究方法
3. 估出條件共變異數後，介紹聯立系統估計方法並以加權最小平方法估計以八 大產業為橫斷面資訊的 ICAPM 模型中風險溢酬關係的系數(相對風險趨避係 數)
𝑅 +1 = 𝐶 + +1+ 𝑒 +1(只考慮市場風險)
𝑅 +1 = 𝐶 + +1+ 𝜔 +1+ 𝑒 +1(考慮市場風險和規避未來投資機會變動 風險)
第一節 模型介紹
跨期資本定價模型(ICAPM)推導:
Merton（1696,1971,1973）認為投資者會作跨期的資產選擇，如果投資機會隨著 時間改變，則在連續時間模型下，投資者除考慮當期的資產報酬也預期未來的資 產報酬，並將與預測未來市場報酬有關的變數也納入模型中。下面為推導 ICAPM 的過程:
資本市場供給面:
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假設資產報酬的動態性質為It𝑜̂隨機過程:
𝑑𝑃𝑖
𝑃𝑖 = 𝛼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑧 (4.1) 𝛼為的 i 個資產之期望報酬， 為的 i 個資產的變異數
假設機會集合改變的動態為下列式子
d𝛼 = 𝑎𝑑𝑡 + 𝑏𝑑𝑞 (4.2) d = 𝑓𝑑𝑡 + 𝑔𝑑𝑥 (4.3) 其中，𝑑𝑞，𝑑𝑥是標準 Wiener 隨機過程，
而投資者 k 的偏好設定為下:
Max𝐸0[∫ 𝑈0𝑇𝑘 𝑘[𝑐𝑘(𝑠) 𝑠]𝑑𝑠 + 𝑘[𝑊𝑘(𝑇𝑘) 𝑇𝑘]] (4.4)
其中，𝐸0為在當期財富𝑊𝑘(0)和存續期間(𝑇𝑘)下得條件期望值 𝑈𝑘為投資者 k 的效用函數
𝑘為終期財富的效用函數 預算限制式則如下式表示:
dW = ∑ 𝑤 𝑊𝑑𝑃𝑃𝑖
𝑖 + (𝑦 − 𝑐)𝑑𝑡
𝑛+1 =1 (4.5)
其中，𝑤 = 𝑁𝑖𝑃𝑖
𝑊 為財富投資在的 i 個資產的比例，𝑁為持有的 i 個資產的數量，
y 為工資所得
將(4.1)式代入(4.5)式可得到下列式子:
dW = [∑𝑛 =1𝑤 (𝛼 − 𝑟) + 𝑟]𝑊𝑑𝑡 + ∑𝑛 =1𝑤𝑊𝑑𝑧 + (𝑦 − 𝑐)𝑑𝑡 (4.6) 資產市場需求面:
另 X 為𝑥得 m 維狀態變數向量，X 的動態It𝑜̂隨機過程為:
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𝑑𝑋 = 𝐹(𝑋)𝑑𝑡 + 𝐺(𝑋)𝑑𝑄 (4.7)
𝐹為向量[𝑓1 𝑓2 … 𝑓 ]，𝐺為對角元素為[𝑔1 𝑔2 … 𝑔 ]的對角矩陣，𝑑𝑄為 vector Wiener process[𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞 ]。從投資者的最適條件可導出下列需求函數得 式子:
𝑤W = ∑𝑛𝑗=1𝑣 𝑗(𝛼𝑗− 𝑟) + ∑𝑘=1∑𝑛𝑗=1𝐻𝑘 𝑗𝑔𝑘𝜂𝑗𝑘𝑣 𝑗 i = 1 2 … n (4.8)
= − 𝑈𝑐 𝑈𝑐𝑐. 𝑑𝑐𝑑𝑊
𝐻𝑘 = −
𝑑𝑐⁄𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑐⁄𝑑𝑊
式(4.8)等號右邊的第一項代表投資者對風險性資產的需求，第二項代表對做為 規避投資機會變動風險的資產需求
當需求與供給達到均衡時，考慮投資機會隨時間改變，當以利率為唯一的狀態變 數來描述機會集合的改變時，可推導出多期模型下個別預期資產報酬:
𝛼 − 𝑟𝑓= 𝜎𝑖[𝜌𝜎𝑖𝑀−𝜌𝑖𝑛𝜌𝑛𝑀]
𝑀(1−𝜌𝑛𝑀2 ) (𝛼𝑀− 𝑟𝑓) +𝜎𝑖[𝜌𝜎𝑖𝑛−𝜌𝑖𝑀𝜌𝑛𝑀]
𝑛(1−𝜌𝑀𝑛2 ) (𝛼𝑛− 𝑟𝑓) (4.9) 𝜌 𝑀為第 i 個資產與市場報酬的相關係數
𝜌 𝑛為第 i 個資產與狀態變數的相關係數 𝜌𝑛𝑀為市場報酬與狀態變數的相關係數
由式(4.9)是我們可知道第 i 個資產的預期報酬的補償除了來自承擔市場風險, 還包含了承擔投資機會集合不利的風險。
而以 ICAPM 衡量橫斷面的資產報酬可以下式表示:
𝐸 [𝑟 +1] = 𝜆 𝑐𝑜𝑣 [𝑟 +1 𝑟 +1] + 𝑟′𝑐𝑜𝑣 [𝑟 +1 𝑠 +1] 𝑖 = 1 2 … . 𝑁 (4.10) 其中，𝑟 +1為資產 i 的超額報酬
𝑟 +1為市場資產組合的超額報酬
𝑠 +1為描述投資機會集合的 k×1 向量狀態變數(state variables)
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𝜆 𝑐𝑜𝑣 [𝑟 +1 𝑟 +1]代表市場風險溢酬
𝑟′𝑐𝑜𝑣 [𝑟 +1 𝑠 +1]代表跨期避險資產組合溢酬 𝜆 為市場相對風險趨避係數
𝑟′跨期避險資產組合之相對風險趨避係數
本文即以式(4.10)做為架構之一去做台灣八大產業的實證分析
ICAPM 理論和一般傳統 CAPM 理論的單因子關係式不同的主要差別為認為投資 人在不同期間的總體經濟因素或市場因素等特徵可以反映投資機會，當投資機會 跨期變動時，長期下，投資人會考慮到整個持有期間的財富水平及投資機會的變 化，此時投資者會採取措施規避投資機會的不利變動，所以會有資產組合的對沖 跨期風險以影響其資產組合的報酬率。Merton 證明在跨期的狀態下，資產超額 報酬不只取決於市場風險，還包括了影響投資機會的各種狀態變數的風險。
本篇論文主要研究不同產業間的報酬率受市場風險因子的影響關係是否為和 ICAPM 理論的結果一致，而由於產產報酬序列資料之三大特點為﹕因時而變，群 聚與厚尾現象，因此 ARCH-GARCH 模型最適合去捕捉此特性。Bolleslev(1986) 將 ARCH 過程擴充為一般化 ARCH 過程，簡稱為 GARCH 過程。由於本篇研究主要以 個股報酬率和美國 S&P 股價指數的條件共變異系數代表市場風險因子，我們利用 雙變量 GARCH 模型去捕捉其條件共變異數的型態。在大部分情形之下，使用高階 GARCH(p,q)模型(p>1,q>1)之解釋能力並未顯著增加，且國內外文獻亦證實運用 GARCH(1,1)模型即能捕捉股市波動之過程與特性，包括波動的群聚性、厚尾的現 象 , 此 為 本 文 選 用 (p=1,q=1) 之 理 由 。 我 們 參 考 Bali(2008) 將 模 型 設 定 為 AR(1)-GARCH(1,1)模型來做估計市場風險因子。模型設定如下頁:
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𝑅 +1 = 𝛼0+ 𝛼1𝑅 + 𝜀 +1 (4.11) 𝑅 +1 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑅 + 𝜀 +1 (4.12) 𝐸 [𝜀 +12 ] ≡ +12 = 𝑟0+ 𝑟1𝜀 2 + 𝑟2 2 (4.13) 𝐸 [𝜀 +12 ] ≡ +12 = 𝑟0 + 𝑟1 𝜀 2 + 𝑟2 2 (4.14) 𝐸 [𝜀 +1𝜀 +1] ≡ +1= 𝑟0 + 𝑟1 𝜀 𝜀 + 𝑟2 (4.15)
𝑅 +1代表各類股的超額市場報酬，各類股以 i 表示
𝑅 +1代表市場投資組合的超額報酬率，以 S&P 500 指數超額報酬以 m 表示
𝛼1、𝛼1 為落後一期的影響，
𝜀 +1、𝜀 +1為殘差項，
+12 為第 i 類股的條件變異數、 +12 為市場投資組合 m 的條件變異數，
+1為第 i 類股與市場投資組合 m 的條件共變異數，
𝑟0為常數參數項、𝑟1為前一期未預期的衝擊係數，𝑟2為前一期波動影響的係數。
除此之外，我們除了研究市場風險因子對個股超額報酬影響外，也加入其他投 資機會影響各大類的超額報酬關係，也就是不同產業間的報酬率受其他投資風險 因子的影響關係。因此，我們一樣利用相同方法對本文的三個狀態變數和各類股 超額報酬設定 AR(1)-GARCH(1,1)模型，以下列式子表示:
𝑅 +1 = 𝛼0+ 𝛼1𝑅 + 𝜀 +1 (4.16) 𝑥 +1 = 𝛼0 + 𝛼1𝑥 + 𝜀 +1 (4.17) 𝐸 [𝜀 +12 ] ≡ +12 = 𝑟0+ 𝑟1𝜀 2 + 𝑟2 2 (4.18) 𝐸 [𝜀 +12 ] ≡ +12 = 𝑟0 + 𝑟1 𝜀 2 + 𝑟2 2 (4.19) 𝐸 [𝜀 +1𝜀 +1] ≡ 𝜔 +1 = 𝑟0 + 𝑟1 𝜀 𝜀 + 𝑟2 (4.20)
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𝑅 +1代表各類股的超額市場報酬，各類股以 i 表示
𝑥 +1代表狀態變數
𝛼1、𝛼1為落後一期的影響，
𝜀 +1、𝜀 +1為殘差項，
+12 為第 i 類股的條件變異數、 +12 為狀態變數的條件變異數，
𝜔 +1為第 i 類股與狀態變數的條件共變異數，
𝑟0為常數參數項、𝑟1為前一期未預期的衝擊係數，𝑟2為前一期波動影響的係數。
在參數估計上我們使用最大概似估計法來估計雙變量 GARCH 函數:
𝜀 = [ 𝑅 − 𝛼0− 𝛼1𝑅 −1
𝑅 − 𝛼0 − 𝛼1 𝑅 −1] or [𝑅 − 𝛼0− 𝛼1𝑅 −1
𝑥 − 𝛼0 − 𝛼1𝑥 −1 ] (4.21) 𝑉 = [ 2
2 ] or [ 2
2 ] (4.22) ℒ(Θ) = −12∑𝑁 =1[ln(2𝜋) + ln|𝑉| + 𝜀𝑇𝑉−1𝜀 ] (4.23)
Θ代表為式(4.21)-式(4.22)所代表的變異數矩陣及殘差向量集合，𝜀 代表殘差變 異向量，𝑉代表為條件共變異數矩陣,
在最大概似估計法下，我們假設𝜀 的條件分配服從常態，N 為每一條式子的月資 料觀察值個數。
對於不同市場股票之間的影響，本研究將使用多變量 GARCH 模型中 BEKK 模型 以同時考慮量市場波動的相依性，亦即兩個市場之間報酬率的條件共變異數。多 變量 GARCH 模型中的 VECH 模型有無法產生正定的條件共異系數的可能,而 BEKK 模型能夠保證條件共變異係數為正定。BEKK 模型優點不只能使共變異數矩陣符 合正定也可使所需要估計的參數變少。但是其估出的條件共變異數的參數常常組 合在一起，故我們較難從落後期的影響來直觀的得找出未預期衝擊與波動的影響。
為了解決其缺點，我們以對角 BEKK 模型估計。
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而本研究主要以雙變量 BEKK 的對角 BEKK model GARCH(1，1)來估計共變異數，
下方其矩陣形式﹕