第二章 貶值政策、通貨替代與經常帳
2.2 模型設定
本文模型擴展Calvo (1981) 模型架構，加入 Chen, Tsaur and Chou (1981)、曹 添旺 (1987) 及張文雅、賴景昌和曹添旺 (1991) 的觀點，考慮民眾持有外國通 貨行為，將外國通貨視為與本國通貨一樣，具有提供流動性勞務的功能，因此民 眾對流動勞務有需要而持有本國通貨與外國通貨，據此，本文設立流動性勞務生 產函數，說明相關變數之間的關係。令 P 是本國通貨所表示的一般物價水準， E 是名目匯率 (定義為每單位外幣的國幣價格)，S為流動性勞務生產水準，民眾所 持有名目本國通貨和外國通貨分別為Θ 、1 Θ ，因此其所持有的國內外實質通貨2 餘額 (以本國商品衡量) 為m (≡ Θ1/ P)、 f (≡ ΘE 2/P)，流動性勞務生產函數 設定為
( , )
S=S m f ,Sm,S >0,f Smm,S <0,ff Smf =Sfm < 0,SmmSff −Smf2 >0, (2.1) 流動性生產函數被設定為m、 f 嚴格遞增凹函數 (concave function)，其一階偏導 數為正與二階偏導數為負是表示使用本國或外國通貨均能產生流動性勞務，但是 增加的流動勞務會隨通貨的使用量的增加而遞減；Smf <0，表示本國通貨和外國 通貨具有Edgeworth 替代關係，本文簡稱通貨替代；為了保證模型有唯一最適解 存在，因此本文將流動性勞務生產函數設定為m、 f 嚴格凹函數。2.2
2.2 根據 Mangasarian sufficiency theorm，為了保證最適控制問題有唯一最適解，在限制式為線性
假設一個小型開放經濟體系是由代表性個人和政府組成，代表性個人生產並 消費單一貿易財，該財貨的世界價格被世界市場所決定。假定購買力平價條件成 立，且國外的貿易財以外幣表示的價格一直維持為1，其價格變動率為 0，則名 目匯率 E (定義為每單位外幣的國幣價格) 等於以本國通貨表示貿易財價格 P ，而且本國通貨膨脹率 (π ≡ P P/ ) 等於本國通貨貶值率 ( /E E )。2.3假設政府 當局採用爬行釘住匯率制度，將本國通貨貶值率維持在某一特定水準。根據這些 假定，我們可以把開放經濟模型中代表性個人行為表示成
Maximize
∫
0∞u c S( , ) exp(−δt dt) , ,u uc S > , <00 ucc , (2.2) Subject to m f + = + − − y tr c πm, (2.3) 模 型 中 的 變 數 代 表 意 義 為 ：u (c S, ) 為 瞬 時 效 用 函 數 (instantaneous utility function)、c為每人消費、t 為時間、δ 為固定的時間偏好率、 y 為每人固定產出、tr 為政府對代表性個人的移轉性支付。
式 (2.2) 說明代表性個人的目標在於追求終生效用折現加總的極大，本文依 據Liviatan (1981)、Engel (1989)、Calvo (1985) 的設定，將瞬時效用函數設定為 每人消費c和流動性勞務S的增函數。為簡化分析，本文將效用函數設為這兩個 變數可加分割 (additively separable) 函數，即
( , ) ( ) ( , )
u c S =U c +S m f ,Uc > , 00 Ucc < , (2.4) 由上式對消費的邊際效用的設定與式 (2.1) 的設定，其表示消費、國內外實質通 貨餘額都具有邊際效用遞減的性質。
式 (2.3) 是表示代表性個人的預算限制式。我們遵循 Calvo (1981) 的假定，
將個人產出設為固定。本文與Calvo (1981) 不同的是，代表性個人除了可以使用 本國通貨作為儲蓄工具外，亦可使用外國通貨作為儲蓄工具，因此，儲蓄為
方程式的情況下，目標函數必須是c、m、 f 嚴格凹函數為二階充要條件 (可參考 Chiang (1992), p.214)。依照本文模型的設定，要符合此一條件，式 (1) 必須是m、f 的嚴格凹函數。
2.3 變數上方有點 ”⋅” 的變數，為該變數時間導數 (time derivative)。
m + f ，其數額等於可支配所得y+tr減去消費支出c和通貨膨脹稅π 的差額。 m 根 據 以 上 模 型 設 定 ， 求 解 代 表 性 個 人 的 最 適 行 為 ， 須 先 設 定 折 現 的 Hamiltonian 函數
( )+ ( , ) [ ]
H =U c S m f +λ y tr+ − −c πm , (2.5) 式中的λ 是以效用表示金融資產 ( m f+ ) 的價格。由式 (2.5) 所推得最之適化 一階條件，除了式 (2.3) 外，其餘為：
Uc= (2.6) λ
m f
S =λπ +S (2.7)
Sf
λ λδ= − (2.8) 式 (2.6) 顯示代表性個人最適消費選擇條件是消費的邊際效用等於以效用表示 的金融資產價格，其涵義是消費與儲蓄的套利條件，因為增加消費必須放棄儲 蓄，而儲蓄的報酬為金融資產價格，因此增加消費所獲得效益必須等於放棄儲蓄 所獲得的報酬，若兩者不等表示沒有達到最適化，必然會引發套利行為而讓兩者 相等。式 (2.7) 為本國通貨最適選擇條件，即使用本國通貨獲得的好處 (S ) 必m 須等於付出的成本，其成本就是本國通貨貶值所導致的損失 (πλ ) 加上放棄使用 外國通貨的損失 (S )。在通貨組合裡，一旦多選擇本國通貨就必須放棄持有外f 國通貨的機會，因此最佳的選擇應該滿足增加一單位本國通貨獲得的好處等於必 須付出的代價，若兩者不等表示沒有達到最適化，必然會引發套利行為而使兩者 相等。式 (2.8) 是 Euler 方程式，說明消費和外國通貨 (金融資產) 之間跨期選 擇的準則：倘若持有外國通貨 (資產) 的好處S 大於時間偏好的價值f λδ ，應該 是將今天的消費換成明天的消費較為划算，因此λ <0。反之，持有外國通貨 (資 產) 的好處S 小於時間偏好的價值f λδ ，未來的消費應減少換成當期的消費，而 使λ >0。
代表性個體的最適行為，除了必須滿足上面的一階條件外，尚需滿足跨期預
算平衡，也就是金融資產存量價值為有限的終端條件：
lim ( t t) exp( ) 0
t λ m f δt
→∞ + − = , (2.9) 式 (2.9) 是避免體系發散無解必須成立的條件，其表示一個追求終生效用極大的 個體，在終點時，以效用表示的金融資產現值λ(m+ f e) −δt必須等於零。也就是 說在終點時，個體應該將所有的金融資產換成消費，才能達到終生消費效用極大 的目標。
接著，考慮政府行為。本文與Calvo (1981) 同樣的設定，政府的收入來自於 通貨膨脹稅 (π )，用來給予代表性個人的移轉性支付 (tr )，因此預算限制式為 m
tr=πm, (2.10) 代入式 (3) 可以得到國際收支恆等式
m + = −f y c, (2.11) 上式說明在爬行釘住匯率制度下，經常帳的盈餘 ( y c− >0)，不僅反映出外國通 貨累積增加，也反映外匯準備累積增加，而使本國通貨的累積增加。
為了解說與運算分析方便，令a為經濟體系所有的金融資產，則
a= + . (2.12) m f 由於代表性個人預算限制式、政府預算限制式和國際收支恆等式，這三式 裡，只有兩式獨立，另一式是相依，因此求解時只需當中的兩式就可以，據此，
以下求解，我們將忽略個人算限制式。