二、 火焰拋光的溫度分佈場
2.2 模擬的數學模型
(
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ))(
{ }( ))
{ }( ) { h}(e) Streamline Upwind Petrov–Gerakin 法指出熱傳遞包括數值擴散。]
] (isothermal)的情況。
對於分析來講，可以分辨邊界條件於(1)想像等溫的邊界條件在兩個末端表
(c) hair(T Tair)
ABAQUS 為一泛用型有限元素分析軟體，主要模組為 ABAQUS/Standard(隱 式積分)、ABAQUS/Explicit(顯式積分)、ABAQUS/CAE，可進行結構之靜態、動 態、熱傳、接觸等分析，並可模擬多種的材料行為與處理複雜的非線性現象，
ABAQUS/CAE 為 ABAQUS 分析模擬之整合環境，具備了簡單且直接的圖形使 用者界面，可建構幾何模型、產生網格及分析結果的後處理。此軟體廣泛的應用 於航太及國防工業、汽機車及運輸器材工業、機械工業等等，近年來在電子構裝、
微機電之力學分析等新興領域亦扮演重要的角色。
ANSYS 為泛用型有限元素分析軟體（General-purpose finite element software），利用有限元素法（Finite element method，FEM）求解，屬於 CAE
（Computer-Aided Engineering，電腦輔助工程分析）軟體。廣泛應用於學術界與 工業界，包括結構分析、耦合場分析、振動分析、聲場分析、動態分析、熱傳分 析、計算流力分析、電磁場分析等。
LS-DYNA 最早由 J.O.Hallquist 博士於 1976 年在美國 Lawrence Livermore National Lab.開發此套軟體，早期研究主要在於計算結構物受衝擊負荷時的應力 分析。而後 J. O. Hallquist 博士成立了 Livermore Software Technology Corp.
(LSTC)，經過歷年的發展，LS-DYNA 強大功能廣為世界各地使用者的所認同。
目前一個核心程式，包含了 Explicit Method(顯性求解法)與 Implicit Method(隱性 求解法)兩種求解模式，特別適合於非線性問題（幾何非線性及材料非線性）及 接觸性(Contact)等問題的求解。LS-DYNA 擁有龐大的材料和元素資料庫，多種 的碰撞模式且能提供高度的準確性，可以模擬現實生活中的複雜碰撞問題，在非 線性分析上、以及流固耦合上，被視為主要的分析軟體。
ANSYS 的 explicit 非線性結構模擬部分，於 1996 年與 LSTC 合作，應用 ANSYS 的前後處理，採用 LS-DYNA explicit 核心，推出 ANSYS/LS-DYNA 產品，
而在 implicit 部分則採用 ANSYS 原有產品。
MSC.Nastran 為一種有限元素分析程式，功能包括：線性靜力分析、非線性 分析、挫屈強度分析、熱傳分析、振動動態分析、最佳化分析。由於採用先進的 數值分析方法及有效利用最現代的電腦硬體架構，MSC.Nastran 解決超大模型問 題的效率和能力聞名全球，已成功之實例小至隱形眼鏡，大至美國太空梭。
MSC.Nastran 以其嚴謹的程式開發流程與廣泛的應用實績，為美國 FAA 飛安標 準唯一認可用以取代實驗的有限元素分析軟體。
根據模擬過程中可能會使用到的各種功能，全部列出來做成表格如下 Table 8 所示︰
Table 8︰Finite Element Software function comparison sheet 市面上商用軟體 ABAQUS ANSYS NASTRAN I-DEAS
操作介面 Good Excellent Good Excellent 力學計算 Excellent Excellent Excellent Excellent 熱學分析 Good Excellent Good Good 動態分析 Average Average Poor Average 與其他軟體數據共享 Poor Good Poor Good 非線性分析 Excellent Good Good Poor
Total 17 20 15 15
Poor︰1， Average︰2， Good︰3 ，Excellent︰4
參考上表，綜合比較所有軟體優缺點以後，有限元素單元的程式模擬選擇了 總分數最高的 ANSYS 作為輔助研究的工具軟體，充分利用模組方式，模擬玻璃 熱處理的過程中，不但可以分析靜力、溫度，甚至還可以更近一步的顯示內應力 分佈情況圖，除了溫度是無論如何必須要確實知道以外，如果可以同時分析內應 力的話，這更是一個重要的好消息，因為藉由了解溫度分佈狀況以及內應力的分 佈情形，可以知道在哪種邊界條件下，會有怎樣分佈的內應力產生，又或者內應 力是否可以藉由控制冷卻系統的時間長短來加以改變甚至消除。
三、玻璃性質與溫度的關係
3.1 引言 (Introduction)
於火焰拋光模擬之前，必須先對加熱時可能改變的玻璃溫度特性，有一定程 度了解才行，因此本章主要在討論模擬相關的玻璃性質，與施加於玻璃表面的熱 通量多寡計算說明。
多數的液體經冷卻時於一定的溫度下就凝固變成結晶體。但是某種液體經冷 卻就逐漸增加其黏性，不在一定的溫度下凝固而增加其黏性，最後不行結晶而成 為硬的物固形物。如此的物質由常溫加熱時就隨即軟化再變為凝體，而不表示結 晶物質之一定熔點。如此之非結晶性的凝固物即稱謂玻璃狀態(Glassy state)，具 有如此狀態之物質即稱謂玻璃(Glass)。
3.2 玻璃的通性 (Glass Property)
為了討論傳統玻璃的轉變，首先必須介紹傳統玻璃所具備的宏觀共性，即玻 璃的通性。
玻璃在常溫下能夠保持一定的外形，其機械性質類似於同組成的晶體。玻璃 的硬度較高，脆性較大。破碎時往往具有貝殼狀斷裂面，它在某一波長範圍內透 明性良好，這表明從外觀特徵上判斷玻璃屬於固體。但從微觀結構來看，其特徵 為“遠程無序”和“近程有序”，又類似於液體。
玻璃的通性可以歸納為以下四點︰
(一)各向同性
均質玻璃體其各個方向的性質，如硬度。彈性模量。折射率。熱膨脹係數。
導熱係數等性能都是相同的，這與非等軸晶系的各項異性顯著不同。實質上各項 同性是玻璃內部質點無序排列而呈統計均質結構的外在表現，這點與液體近似。
當然，對於非均質玻璃或玻璃中存在有應力，則可顯示出各項異性，例如玻 璃在互相垂直的方向作用著不相等的應力，則光沿著不同方向的傳播速度各異而
形成光程差，這就產生應力雙折射現象，這點又與液體有很大的不同。
化的，它們都是自由能的一階偏導數；另一些性質，例如熱容C、膨脹係數α、
壓縮係數β等是按Ⅱ線變化的，它們都是自由能的二階偏導數。這些性質在Tf～ Tg轉變範圍內的變化比前一類性質大得多。近似於突變；Ⅲ線是自由能的三階偏 導數性質，如導熱係數和一些機械性質(彈性常數等)隨溫度的文化曲線、它們在 Tf～Tg轉變範圍內具有極大值的變化。
Fig 7︰Glass Properties vs. Temperature
在玻璃性質隨溫度變化的曲線上可以注意到兩個分界的特徵溫度Tg和Tf。溫 度Tg相應於性質與溫度曲線上低溫直線部分開始轉向彎曲部分的溫度(即圖中 b、b'、b''點)；溫度Tf相應於曲線彎曲部分開始轉向高溫直線部分的溫度(即圖中c、
c'、c''點)。
脆性溫度Tg是玻璃出現脆性的較高溫度，它相當於黏度η為 1012Pa．s時的 溫度。由於在這個溫度下可以消除玻璃製品因不均勻冷卻而產生的內應力，所以 也稱為退火溫度上限。
軟化溫度Tf是玻璃開始出現液體狀態典型性質的溫度，它相當於黏度η為 108Pa．s時的溫度（美國等採用η為 106.68Pa．s，這是用列特爾頓(littleten)法測 定，也稱為列特爾頓溫度。該法規定加熱懸掛密度為 2.5g/cm3左右，直徑為 0.55
～0.75mm，長度為 229mm玻璃絲時、以lmm/min的速度伸長時的溫度稱為軟化 溫度）。Tf也是玻璃可拉成絲的最低溫度。由此可見，Tg、Tf對於控制玻璃的性 質有者特殊的意義。
由圖可知足，性質–溫度曲線Tg以下的低溫段和Tf以上的高溫段其變化機乎 成直線關係，這是因為前者的玻璃為固體狀態，而後者則為力熔體狀態，它們的 結構隨溫度是逐漸變化的。可是性質–溫度曲線在Tg和Tf溫度範圍內不成直線關 係，即性質變化或多或少是突然的。這是因為此範圍內是固態玻璃向玻璃熔體轉 變的區域，所以其結構隨溫度的變化是急速的。
由圖還可見性質–溫度曲線中Ⅱ線比Ⅰ線的變化速度大，而且Ⅱ線在高溫段 和低溫段的直線（c'd'和、a'b'）延長線不能在Tf～Tg區內相交，而線在高溫段和 低溫段的直線（cd和、ab）延長線可以在Tf～Tg區內相交（習慣上常把此交點稱 為玻璃轉換溫度，也用Tg表示）。這表明自由能二階偏導數性質在Tf～Tg溫度範 圍內近乎突變。因此仍屬於溫度對應性質的單質性，它與熔體結晶或晶型轉變時 的性質突變（溫度對應性質的多值性）完全不同。
3.3 玻璃隨溫度變化特性 (Glass Property vs. Temperature)
由於玻璃處於固態與液態之間，因此某些性質隨溫度改變的幅度不小，所 以，有必要在此提出來分析討論。
3.3.1 密度 (Density)
設玻璃之質量為Wg，體積為v cm3時，密度D即如下︰
ν
D=W (單位g/cm3) (22)
於 4℃之水的密度為 0.999972 g/cm3而近於 1 之故，密度D在實際上就用與下 列公式相等的數值表示。
體積的水的質量 比重 於
4°C
= W
(23)
設在空氣中測定的玻璃可見(Apparent)的重量為ω，於溫度 t 具有與玻璃相 同體積水的可見重量為ω'時，密度為Δ，
w D w
′
= Δ
′ (24)
於溫度 t 之玻璃的可見密度加以定義時，即如下
(
DD
D= ′+σ 1− ′
)
(25)Table 2：Glass Density of Different Temperature
溫度℃ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.99984 990 994 996 997 996 994 990 985 978 10 0.99970 961 950 938 925 910 894 878 860 841 20 0.99821 799 777 754 730 705 679 652 624 595 30 0.99565 534 503 471 438 404 369 333 297 260
σ為空氣之密度 0.0012 g/cm3，Δ值列如表。若須精準度時參照常數表即可 以。
Fig 8︰Glass Density vs. Temperature
資料來源[12]：The handbook of glass manufacture
3.3.2 比熱 (Heat Capacity)
大部分矽酸鹽與硼酸鹽的比熱在 25℃左右通常在 900 J．kg-1．K-1而且對於
組成的改變並不會非常敏感。為了計算平均比熱Cm的各種附加因子，可以參考 由Sharp與Ginther [13]所定義的組成物質資料數據表。而比熱平均計算法為
( )
Table 3：Coefficients a and c0 of Different Glasses Oxidants a c0
SiO2 0.000458 0.1657 Na2O 0.000829 0.2229 CaO 0.000410 0.1709 MgO 0.000514 0.2142 Al2O3 0.000453 0.1765 K2O 0.000335 0.2019 Na2O 0.000829 0.2229 SO3 0.00083 0.189 PbO 0.000013 0.049
關於玻璃各成分，由表所得之a，c0和其成份重量比相乘，其積即為全成分，
帶入上式可得a，c0。
Table 4：Composition of Float Glass Composition of Float Glass (wt.%) %
SiO2 70-74% 73
資料來源[14]：Science and Technology
Fig 9︰Glass Special Heat vs. Temperature 資料來源[12]：The handbook of glass manufacture
3.3.3 熱傳導性質 (Thermal Conductiveity)
熱傳導性質通常是指 K，從 Fourier`s first law 定義為每單位截面區域每單位 時間某一時刻通過物體在某溫度梯度內所傳遞的熱，對於一個線性沿著 x 方向的 熱流可以表示為︰
) (dx KA dA
Q=− (27)
Q為熱源(每單位時間的熱通量 flux per unit time)，A為截面區域
(cross-sectional)，T是溫度(temperature)，負號表示熱流隨溫度減少，K的適當單 位為cal．cm-1．℃-1．S-1在公制(cgs)系統下而且W．m-1．K-1在英制(SI)系統下（換 算方式︰1W．m-1．K-1＝2.388×10-3 cal．cm-1．℃-1．S-1）在包含傳導流和沒有 內部一般熱的情形下，應用能量守恆定理產生︰
2
這裡的κ稱為熱傳導係數(thermal diffusivity)且κ=K/ρCp，ρ為密度(density) 且是熱容(heat capacity)，使用了κ來代替D(質量傳導係數 mass diffusivity)，使 得質量傳遞問題相似於熱傳遞問題，而此種熱流問題由Carslaw與Jaeger[1]提供了
ω表示聲波在固體中的速度(velocity of acoustic waves in solid)，Λ表示自由 路徑的聲子(free path for phonons)，聲子表示自由路徑的作用包含兩個過程︰幾
ω表示聲波在固體中的速度(velocity of acoustic waves in solid)，Λ表示自由 路徑的聲子(free path for phonons)，聲子表示自由路徑的作用包含兩個過程︰幾