四、 新型變動折扣因子控制器效能評估…
4.2 模擬模型假設
模擬製程條件如下，下面將依據黃光微影製程的模型做假設。一般用來控制關鍵尺寸
（CD）大小的參數為曝光劑量（Dose）。因目前半導體廠所使用的光阻大部分為正型光 阻因此曝光劑量與關鍵尺寸在一定的範圍內成線性反比的關係，我們根據經驗假設製程 模型如下，其中輸入參數可視為曝光劑量，而輸出參數則為關鍵尺寸值：
（1）實際製程模型：
Y
t =α
+β X
t +η
t，（2）控制器預測製程模型：
Y
^= a
0+ bX
（3）最佳折扣因子預測函數模擬所使用之製程模型
Y
t =α
+β X
t +η
tα=1, β=-0.0015, （ηt為白噪音形式，ηt~ N(0,0.0072) 將折扣因子由 0 至 1 等分為 100 等份並於不同的初始偏差比例下執行模擬 10000 次，在 各偏差量取前 5 批次之均方差最小時之ω。並以之三次函數做回歸所得到之函數。如下：
為避免錯誤的誤差估計造成製程的因此在偏差函數控制器中我們對於誤差的估計值亦 採用 EWMA 的方式，即
0027 . 0 5583 . 0 1189 . 0 0082 .
0 3 − 2 + 1+
=
e e e
ω
t5 1
. 0 5 .
0 + −
=
e
te
te
（4）製程輸出目標值 0.4 4.3 模擬結果
4.3.1 製程模型與控制模型預估無差異下之最佳效能比較 若假設控制模型之斜率與截距與製程模型相同時，即 α=1, β=-0.0015,
a0=1, b=-0.0015, 下之控制器效能比較。
a. 製程干擾為白噪音形式
若完美預估製程干擾ηt為純白色噪音下，即ηt~ N（0,0.0072）。模擬在不同的機率 下不同大小的速移偏差發生時。觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折 扣因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率R。1000 次的模擬 結果如下：
表 1：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 0~2σe）
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0% 0 1.379 1.179 1.105 1.324 1.654 1
1% 1 1.120 0.969 0.907 1.075 1.337 1
2% 1 0.957 0.841 0.785 0.918 1.139 1
3% 1 0.811 0.723 0.674 0.778 0.963 1
4% 1 0.726 0.662 0.612 0.697 0.858 1
5% 1 0.654 0.597 0.556 0.626 0.769 1
6% 1 0.572 0.529 0.496 0.549 0.671 1
7% 1 0.509 0.479 0.449 0.488 0.593 1
8% 1 0.480 0.451 0.424 0.459 0.558 1
9% 1 0.464 0.442 0.414 0.443 0.537 1
10% 1 0.439 0.420 0.396 0.421 0.508 1
11% 1 0.422 0.382 0.353 0.371 0.446 1
12% 1 0.406 0.369 0.343 0.357 0.428 1
13% 1 0.389 0.356 0.332 0.343 0.410 1
14% 1 0.372 0.342 0.321 0.329 0.393 1
15% 1 0.368 0.340 0.319 0.325 0.388 1
16% 1 0.327 0.305 0.290 0.291 0.345 1
17% 1 0.312 0.293 0.279 0.278 0.328 1
18% 1 0.314 0.297 0.284 0.280 0.330 1
19% 1 0.291 0.278 0.267 0.261 0.306 1
20% 1 0.272 0.263 0.255 0.245 0.286 1
1% 2 0.692 0.613 0.585 0.666 0.820 1
2% 2 0.478 0.441 0.426 0.461 0.558 1
3% 2 0.359 0.340 0.334 0.346 0.415 1
4% 2 0.317 0.308 0.304 0.306 0.363 1
5% 2 0.254 0.251 0.255 0.246 0.288 1
6% 2 0.230 0.230 0.240 0.223 0.258 1
7% 2 0.219 0.222 0.231 0.213 0.246 1
8% 2 0.190 0.195 0.209 0.185 0.210 1
9% 2 0.185 0.192 0.207 0.181 0.204 1
10% 2 0.174 0.176 0.195 0.162 0.179 1
11% 2 0.167 0.170 0.190 0.157 0.172 1
12% 2 0.161 0.165 0.186 0.152 0.166 1
13% 2 0.152 0.156 0.177 0.143 0.156 1
14% 2 0.150 0.155 0.179 0.142 0.153 1
15% 2 0.146 0.151 0.174 0.138 0.149 1
16% 2 0.140 0.147 0.172 0.134 0.143 1
17% 2 0.127 0.134 0.160 0.122 0.129 1
18% 2 0.125 0.133 0.159 0.120 0.127 1
19% 2 0.117 0.125 0.154 0.114 0.119 1
20% 2 0.112 0.120 0.150 0.109 0.114 1
變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
未做控制 機率 速移量(σe)
表 2：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 3~4σe）
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
1% 3 0.431 0.382 0.392 0.419 0.507 1
2% 3 0.272 0.249 0.274 0.267 0.314 1
3% 3 0.212 0.200 0.229 0.210 0.242 1
4% 3 0.187 0.179 0.212 0.186 0.210 1
5% 3 0.150 0.148 0.185 0.151 0.165 1
6% 3 0.142 0.141 0.178 0.143 0.155 1
7% 3 0.126 0.126 0.168 0.128 0.137 1
8% 3 0.121 0.122 0.163 0.123 0.130 1
9% 3 0.104 0.106 0.147 0.107 0.111 1
10% 3 0.103 0.105 0.148 0.106 0.109 1
11% 3 0.100 0.103 0.148 0.104 0.105 1
12% 3 0.098 0.102 0.149 0.102 0.102 1
13% 3 0.096 0.101 0.147 0.101 0.101 1
14% 3 0.090 0.095 0.142 0.094 0.093 1
15% 3 0.084 0.088 0.132 0.088 0.087 1
16% 3 0.083 0.089 0.137 0.088 0.085 1
17% 3 0.080 0.086 0.135 0.085 0.081 1
18% 3 0.077 0.083 0.133 0.082 0.077 1
19% 3 0.073 0.080 0.131 0.079 0.073 1
20% 3 0.070 0.078 0.129 0.077 0.070 1
1% 4 0.323 0.287 0.315 0.317 0.376 1
2% 4 0.172 0.155 0.196 0.173 0.196 1
3% 4 0.142 0.131 0.177 0.145 0.159 1
4% 4 0.119 0.111 0.159 0.123 0.131 1
5% 4 0.104 0.099 0.149 0.109 0.114 1
6% 4 0.103 0.099 0.151 0.109 0.112 1
7% 4 0.090 0.088 0.140 0.096 0.096 1
8% 4 0.085 0.083 0.138 0.092 0.091 1
9% 4 0.077 0.076 0.128 0.083 0.081 1
10% 4 0.073 0.073 0.126 0.080 0.077 1
11% 4 0.069 0.069 0.125 0.076 0.071 1
12% 4 0.066 0.067 0.124 0.074 0.068 1
13% 4 0.066 0.066 0.120 0.073 0.068 1
14% 4 0.066 0.067 0.121 0.073 0.068 1
15% 4 0.064 0.065 0.119 0.072 0.066 1
16% 4 0.060 0.061 0.115 0.067 0.061 1
17% 4 0.057 0.059 0.112 0.065 0.058 1
18% 4 0.057 0.058 0.111 0.064 0.058 1
19% 4 0.055 0.057 0.109 0.062 0.055 1
20% 4 0.052 0.054 0.106 0.059 0.052 1
未做控制
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
在不同的速移量下各控制器相對執行效能發生機率做圖如下：
）
）
速移量1σe
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 15：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 1σe
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 16：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 2σe
圖 17：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 3σ
速移量3σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
e）
e）
由模擬結 合 SPC
制圖變動折扣因子控制器的執行效能分別為 1.379 與 1.179 略大於固定折扣因子ω=
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 18：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 4σ
果發現，若干擾形式為白噪音在未發生速移變異下，偏差函數控制器與結 管
0.2 與ω= 0.5 的執行效能分別為 1.105 與 1.324，但仍小於ω= 0.8 的 1.654。但隨著 製程變異發生的機率與幅度增加時使用變動折扣因子控制器則可以改善小固定折扣因 子收斂速度過於緩慢的問題，當有機會發生速移量大於 2 倍製程的標準差時效能均會優 於固定折扣因子控制器。
b. 製程干擾為 ARMA(1,1)數列形式
若考慮製程干擾ηt為非純白色噪音的形式，而是平穩型時間數列（Stationary Time 示如下：
Series）ARMA(1,1)時，製程干擾可表
η
t =φη
t−1+ε
t −θε
t−1，ε
t ~N
(0,0.0072)制器與不同大小折扣因 控制 制
率R。1000 次的模擬結果如下：
模擬在不同的機率下不同大小的速移偏差發生時。觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控 子的固定折扣因子 器與製程不受控 下之相對執行效能比
表 3a：製程干擾為 ARMA(1,1)形式下各控制器效能比較
表 3b：製程干擾為 ARMA(1,1)形式下各控制器效能比較
器的效能則較固 器ω= 0.8 比
的話在θ= 0.2，θ= 0.5 的情況下會有較佳的效能表現。整體效能最差的則是固定折
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0.2 -0.5 10% 1 0.381 0.446 0.423 0.380 0.369 1
0.2 -0.2 10% 1 0.384 0.424 0.399 0.378 0.400 1
0.2 0.2 10% 1 0.442 0.426 0.400 0.423 0.510 1
0.2 0.5 10% 1 0.537 0.472 0.425 0.488 0.627 1
0.5 -0.5 10% 1 0.351 0.445 0.459 0.362 0.313 1
0.5 -0.2 10% 1 0.335 0.411 0.406 0.337 0.318 1
0.5 0.2 10% 1 0.355 0.386 0.367 0.348 0.384 1
0.5 0.5 10% 1 0.437 0.422 0.393 0.418 0.503 1
0.8 -0.5 10% 1 0.234 0.305 0.415 0.257 0.194 1
0.8 -0.2 10% 1 0.246 0.323 0.391 0.257 0.210 1
0.8 0.2 10% 1 0.268 0.329 0.345 0.267 0.263 1
0.8 0.5 10% 1 0.328 0.356 0.347 0.322 0.360 1
0.2 -0.5 10% 2 0.934 0.929 0.971 0.940 0.929 1
0.2 -0.2 10% 2 0.153 0.174 0.198 0.155 0.155 1
0.2 0.2 10% 2 0.166 0.175 0.191 0.162 0.181 1
0.2 0.5 10% 2 0.209 0.203 0.209 0.194 0.232 1
0.5 -0.5 10% 2 0.157 0.195 0.235 0.166 0.142 1
0.5 -0.2 10% 2 0.148 0.181 0.213 0.154 0.140 1
0.5 0.2 10% 2 0.156 0.176 0.202 0.158 0.162 1
0.5 0.5 10% 2 0.174 0.184 0.200 0.171 0.190 1
0.8 -0.5 10% 2 0.137 0.175 0.260 0.155 0.118 1
0.8 -0.2 10% 2 0.130 0.165 0.230 0.141 0.114 1
0.8 0.2 10% 2 0.131 0.159 0.199 0.135 0.126 1
0.8 0.5 10% 2 0.139 0.157 0.184 0.140 0.145 1
0.2 -0.5 10% 3 0.095 0.108 0.152 0.103 0.092 1
0.2 -0.2 10% 3 0.096 0.107 0.152 0.103 0.097 1
0.2 0.2 10% 3 0.098 0.100 0.141 0.101 0.104 1
0.2 0.5 10% 3 0.125 0.121 0.160 0.123 0.134 1
0.5 -0.5 10% 3 0.104 0.125 0.180 0.116 0.097 1
0.5 -0.2 10% 3 0.092 0.108 0.159 0.101 0.088 1
0.5 0.2 10% 3 0.091 0.099 0.144 0.097 0.093 1
0.5 0.5 10% 3 0.111 0.114 0.157 0.113 0.117 1
0.8 -0.5 10% 3 0.090 0.110 0.184 0.105 0.080 1
0.8 -0.2 10% 3 0.092 0.111 0.177 0.103 0.084 1
0.8 0.2 10% 3 0.083 0.096 0.148 0.091 0.081 1
0.8 0.5 10% 3 0.091 0.100 0.146 0.097 0.094 1
變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
未做控制
φ θ 機率 速移量(σe)
由模擬結果可以發現，若干擾形式為 ARMA(1,1)。使用偏差函數折扣因子控制器在大部 分的模擬條件下都較固定折扣因子有更佳的效能表現。而結合 SPC 的變動折扣因子控制
定折扣因子控制器ω= 0.5 略差，而與固定折扣因子控制 較
扣因子為ω= 0.2。
c. 製程干擾為 IMA(1,1)數列形式
製程干擾ηt為IMA(1,1)時，即製程干擾可表示如下：
若
1
1 −
− + −
= t t t
t
η ε θε
η
，
模擬在不同的機率下不同大小的速移偏差發生時。觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控 制器與不同大小折扣因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比 率R。1000 次的模擬結果如下：
) 007 . 0 , 0 (
~
N
2ε
t表 4：製程干擾為 IMA(1,1)形式下各控制器效能比較
0.1 0% 0 0.057 0.073 0.109 0.058 0.048
0.2 0% 0 0.065 0.084 0.115 0.065 0.058
0.3 0% 0 0.078 0.097 0.122 0.076 0.073
0.4 0% 0 0.110 0.132 0.150 0.108 0.110
0.5 0% 0 0.153 0.175 0.185 0.150 0.164
0.6 0% 0 0.219 0.234 0.233 0.215 0.248
0.7 0% 0 0.330 0.327 0.316 0.324 0.386
0.8 0% 0 0.591 0.547 0.519 0.580 0.709
0.9 0% 0 0.989 0.856 0.813 0.959 1.193
0.1 5% 1 0.054 0.070 0.106 0.055 0.046
0.2 5% 1 0.067 0.086 0.119 0.068 0.060
0.3 5% 1 0.075 0.094 0.121 0.075 0.071
0.4 5% 1 0.095 0.114 0.134 0.094 0.095
0.5 5% 1 0.131 0.152 0.167 0.129 0.139
0.6 5% 1 0.175 0.192 0.198 0.172 0.194
0.7 5% 1 0.266 0.275 0.270 0.261 0.306
0.8 5% 1 0.360 0.352 0.340 0.352 0.421
0.9 5% 1 0.520 0.482 0.456 0.503 0.614
0.1 5% 2 0.055 0.070 0.110 0.058 0.048
0.2 5% 2 0.061 0.077 0.113 0.063 0.055
0.3 5% 2 0.068 0.084 0.116 0.069 0.064
0.4 5% 2 0.085 0.103 0.132 0.086 0.085
0.5 5% 2 0.102 0.119 0.145 0.103 0.106
0.6 5% 2 0.119 0.134 0.155 0.120 0.128
0.7 5% 2 0.154 0.167 0.183 0.154 0.171
0.8 5% 2 0.195 0.202 0.215 0.193 0.220
0.9 5% 2 0.233 0.234 0.242 0.228 0.264
0.1 5% 3 0.050 0.061 0.105 0.054 0.045
0.2 5% 3 0.059 0.072 0.115 0.063 0.054
0.3 5% 3 0.062 0.074 0.115 0.066 0.059
0.4 5% 3 0.071 0.083 0.123 0.075 0.070
0.5 5% 3 0.088 0.100 0.138 0.092 0.091
0.6 5% 3 0.102 0.112 0.151 0.107 0.108
0.7 5% 3 0.102 0.108 0.144 0.106 0.110
0.8 5% 3 0.127 0.130 0.168 0.131 0.140
0.9 5% 3 0.142 0.140 0.176 0.143 0.157
0.1 10% 1 0.058 0.075 0.114 0.060 0.050
0.2 10% 1 0.063 0.081 0.113 0.064 0.057
0.3 10% 1 0.074 0.091 0.119 0.073 0.069
0.4 10% 1 0.094 0.115 0.139 0.094 0.093
0.5 10% 1 0.118 0.138 0.154 0.116 0.123
0.6 10% 1 0.159 0.177 0.187 0.156 0.173
0.7 10% 1 0.223 0.235 0.237 0.219 0.251
0.8 10% 1 0.287 0.292 0.284 0.280 0.329
0.9 10% 1 0.380 0.369 0.353 0.366 0.438
0.1 10% 2 0.056 0.069 0.114 0.060 0.049
0.2 10% 2 0.056 0.070 0.109 0.059 0.051
0.3 10% 2 0.064 0.079 0.117 0.067 0.060
0.4 10% 2 0.075 0.090 0.125 0.077 0.073
0.5 10% 2 0.081 0.096 0.128 0.083 0.082
0.6 10% 2 0.101 0.116 0.143 0.102 0.105
0.7 10% 2 0.114 0.128 0.153 0.114 0.120
0.8 10% 2 0.138 0.150 0.170 0.137 0.149
0.9 10% 2 0.164 0.176 0.193 0.162 0.179
0.1 10% 3 0.047 0.057 0.105 0.053 0.043
0.2 10% 3 0.051 0.060 0.109 0.057 0.048
0.3 10% 3 0.059 0.070 0.116 0.065 0.056
0.4 10% 3 0.059 0.068 0.112 0.065 0.058
0.5 10% 3 0.069 0.078 0.124 0.074 0.069
0.6 10% 3 0.072 0.080 0.121 0.077 0.074
0.7 10% 3 0.079 0.086 0.130 0.084 0.082
0.8 10% 3 0.093 0.098 0.145 0.098 0.098
0.9 10% 3 0.098 0.102 0.146 0.102 0.104
θ 機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
由模擬結果可以發現，若干擾形式為 IMA(1,1)。使用偏差函數折扣因子控制器在大部分 的模擬條件下同樣均較固定折扣因子有更佳的效能表現。而結合 SPC 的變動折扣因子控 制器的效能則與固定折扣因子控制器ω= 0.5 的效能相當。
4.3.2 穩健性評估-製程模型與控制模型預估有差異下之效能比較
為對控制器作更穩健的測試，我們將模擬在對實際製程干擾預估錯誤及控制器的斜率預 估錯誤下對於控制器效能的影響。
a. 製程干擾估計錯誤評估
偏差函數控制器其預測函數所使用的製程干擾為ηt~ N（0,0.0072），且SPC控制器 所使用的管制界線一個標準差為 0.007。但實際製程干擾分別為 2 倍及 0.5 倍下。觀察 控制器的效能表現。同樣我們觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折扣 因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率R。1000 次的模擬結 果如下：
（1）實際干擾為估計值 2 倍，即實際製程干擾為ηt~ N（0,0.0142）
表 5：製程干擾為白噪音形式且實際製程干擾為預估之 2 倍下各控制器效能比較
0.365 0.383 0.460 1
1% 2 0.820 0.784 0.583 0.662 0.812 1
0.532 0.417 0.451 0.547 1
0.355 0.307 0.308 0.365 1
4% 2 0.355 0.341 0.296 0.296 0.350 1
6% 2 0.288 0.277 0.257 0.243 0.283 1
8% 2 0.229 0.220 0.220 0.196 0.224 1
1% 3 0.528 0.506 0.403 0.432 0.523 1
3% 3 0.236 0.227 0.222 0.203 0.233 1
3 0.214 0.205 0.213 0.186 0.210 1
3 0.173 0.167 0.186 0.155 0.171 1
6% 1
7% 1
8% 3 0.126 0.122 0.157 0.118 0.125 1
9% 3 0.115 0.112 0.150 0.110 0.114 1
10% 3 0.109 0.106 0.146 0.104 0.107 1
1% 4 0.393 0.376 0.324 0.328 0.390 1
10% 4 0.070 0.069 0.123 0.075 0.069 1
0% 0 1.667 1.591 1.106 1.324
1% 1 1.311 1.256 0.888 1.047
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8 未做控制
5% 1 0.741 0.709 0.529 0.595 0.732
6% 1 0.694 0.666 0.505 0.560 0.
10% 2 0.183 0.177 0.189 0.161 0.180 1
2% 3 0.302 0.289 0.263 0.255 0.299 1
4%
5%
3 0.151 0.146 0.170 0.136 0.148
3 0.139 0.134 0.165 0.128 0.136
圖 19：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 1σe）
圖 20：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 2σe）
速移量1σe 1.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量3σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 21：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 3σe）
e）
模擬結果可以發現，若實際製程干擾為控制器設定的 2 倍時。在偏差發生量較小同時
機率較 變動
扣因子會發揮較大的控制效能。
（2）實際干擾為估計值 0.5 倍，即實際製程干擾為ηt~ N（0,0.00352）
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 22：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 4σ
由
小的情況下會影響到變動折扣因子控制器的表現。而當變異量及機率增加時 折
表 6：製程干擾為白噪音形式且實際製程干擾為預估之 0.5 倍下各控制器效能比較
8% 2 0.179 0.200 0.205 0.182 0.207 1
9% 2 0.171 0.195 0.200 0.174 0.195 1
10% 2 0.162 0.185 0.191 0.163 0.183 1
1% 3 0.408 0.416 0.415 0.447 0.541 1
2% 3 0.262 0.284 0.286 0.282 0.331 1
3% 3 0.197 0.222 0.228 0.209 0.240 1
4% 3 0.166 0.191 0.200 0.173 0.195 1
5% 3 0.150 0.179 0.187 0.156 0.172 1
6% 3 0.141 0.170 0.180 0.145 0.158 1
7% 3 0.129 0.158 0.170 0.132 0.141 1
8% 3 0.117 0.147 0.160 0.118 0.123 1
9% 3 0.114 0.141 0.157 0.115 0.120 1
10% 3 0.100 0.126 0.142 0.102 0.104 1
1% 4 0.265 0.283 0.292 0.291 0.344 1
2% 4 0.156 0.185 0.198 0.168 0.187 1
3% 4 0.141 0.168 0.183 0.151 0.166 1
4% 4 0.127 0.157 0.174 0.135 0.144 1
5% 4 0.100 0.125 0.145 0.105 0.110 1
6% 4 0.096 0.122 0.144 0.101 0.103 1
7% 4 0.087 0.112 0.135 0.092 0.092 1
8% 4 0.088 0.114 0.137 0.093 0.092 1
9% 4 0.079 0.103 0.130 0.083 0.080 1
10% 4 0.077 0.100 0.126 0.081 0.079 1
未做控制
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0% 0 1.180 1.112 1.105 1.325 1.653 1
1% 1 0.960 0.912 0.905 1.070 1.332 1
2% 1 0.811 0.776 0.770 0.897 1.109 1
3% 1 0.648 0.628 0.622 0.709 0.873 1
4% 1 0.615 0.597 0.592 0.672 0.827 1
5% 1 0.563 0.550 0.545 0.611 0.749 1
6% 1 0.530 0.521 0.515 0.570 0.696 1
7% 1 0.487 0.481 0.476 0.524 0.639 1
8% 1 0.454 0.452 0.447 0.485 0.587 1
9% 1 0.414 0.414 0.410 0.441 0.533 1
10% 1 0.391 0.392 0.389 0.414 0.501 1
1% 2 0.625 0.609 0.606 0.689 0.848 1
2% 2 0.452 0.454 0.451 0.489 0.590 1
3% 2 0.345 0.355 0.353 0.370 0.444 1
4% 2 0.293 0.308 0.307 0.310 0.369 1
5% 2 0.253 0.273 0.273 0.264 0.308 1
6% 2 0.221 0.241 0.244 0.229 0.265 1
7% 2 0.201 0.222 0.226 0.206 0.236 1
速移量1σe
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 23：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 1σe）
2σe） 圖 24：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量3σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 25：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 3σe）
e）
由模擬 仍然
較佳的效能表現。而結合 SPC 的變動折扣因子控制器原本在完美的預估製程干擾下優 固定折扣因子的效能，但此時則會因管制圖設定的標準差過大進而影響到偏差量及偏 機率較大時的效能表現。
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
0.400 偏差函數
SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 26：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 4σ
結果可以發現，若實際製程干擾為控制器設定的 0.5 倍時。偏差函數控制器 有
於 差
b. 製程斜率估計錯誤評估
下面將評估若製程斜率與控制器斜率有差異下，即當β/b 分別為 1.2 及 0.8 的情形 控制器的效能表現。同樣我們觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折 因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率 R。1000 次的模擬 果如下：
（1）當β/b 比例為 1.2 時
下 扣 結
表 7：當β/b 比例為 1.2 下各控制器效能比較
1.227 1.129 1.418 1.908 1
0.986 0.908 1.124 1.501 1
2% 1 0.993 0.819 0.754 0.924 1.236 1
4% 1 0.806 0.686 0.623 0.748 0.991 1
9% 1 0.508 0.461 0.413 0.471 0.616 1
0.481 0.438 0.393 0.445 0.582 1
1% 2 0.741 0.627 0.581 0.694 0.918 1
.475 0.441 0.508 0.667 1
.363 0.340 0.376 0.488 1
4% 2 0.342 0.316 0.296 0.319 0.410 1
10% 2 0.185 0.188 0.188 0.173 0.211 1
1% 3 0.482 0.408 0.397 0.451 0.589 1
10% 3 0.112 0.113 0.140 0.109 0.123 1
1% 4 0.315 0.263 0.279 0.298 0.382 1
10% 4 0.076 0.072 0.111 0.076 0.081 1
未做控制
速移量1σe
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 27：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 1σe）
圖 28：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 2σe）
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 30：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 4σe）
（2）當β/b 比例為 0.8 時
10% 1 0.399 0.400 0.391 0.390 0.438 1
1% 2 0.658 0.615 0.601 0.646 0.744 1
10% 3 0.103 0.108 0.170 0.112 0.106 1
1% 4 0.298 0.276 0.321 0.302 0.334 1
10% 4 0.076 0.078 0.149 0.088 0.078 1
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8 未做控制
0% 0 1.273 1.140 1.0
0.8
2 0.196 0.206 0.241 0.198 0.208
2 0.180 0.192 0.226 0.182 0.190
2 0.160 0.171 0.208 0.162 0.167
速移量1
1.200 1.400
σe
0.000 0.200 0.400 0.800 1.000
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0.600
執行
圖 31：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 1σe）
2σe） 圖 32：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 33：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 3σe）
圖 34：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 4σe）
當β/b 比例為 0.8 時，我們發現整體的均方差甚至較斜率估計正確時要來的小。但是在 製程發生偏移時會有調整幅度過於緩慢的問題。而由模擬結果發現結合 SPC 的變動折扣 因子控制器及偏差函數控制器在大部分的模擬條件下仍有較佳的效能表現。
速移量3σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
4.3.3 偏差發生下的調整效率評估
以上模擬均在評估平常的製程下各控制器的效能表現。然而在實際半導體製程中，
於連續生產的特性，對於大量異常偏移發生時，控制器能否快速將輸出調整至目標
於連續生產的特性，對於大量異常偏移發生時，控制器能否快速將輸出調整至目標