四、 新型變動折扣因子控制器效能評估…
4.3 評估結果
4.3.2 穩健性評估-製程模型與控制模型預估有差異下之效能比較 34
為對控制器作更穩健的測試，我們將模擬在對實際製程干擾預估錯誤及控制器的斜率預 估錯誤下對於控制器效能的影響。
a. 製程干擾估計錯誤評估
偏差函數控制器其預測函數所使用的製程干擾為ηt~ N（0,0.0072），且SPC控制器 所使用的管制界線一個標準差為 0.007。但實際製程干擾分別為 2 倍及 0.5 倍下。觀察 控制器的效能表現。同樣我們觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折扣 因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率R。1000 次的模擬結 果如下：
（1）實際干擾為估計值 2 倍，即實際製程干擾為ηt~ N（0,0.0142）
表 5：製程干擾為白噪音形式且實際製程干擾為預估之 2 倍下各控制器效能比較
0.365 0.383 0.460 1
1% 2 0.820 0.784 0.583 0.662 0.812 1
0.532 0.417 0.451 0.547 1
0.355 0.307 0.308 0.365 1
4% 2 0.355 0.341 0.296 0.296 0.350 1
6% 2 0.288 0.277 0.257 0.243 0.283 1
8% 2 0.229 0.220 0.220 0.196 0.224 1
1% 3 0.528 0.506 0.403 0.432 0.523 1
3% 3 0.236 0.227 0.222 0.203 0.233 1
3 0.214 0.205 0.213 0.186 0.210 1
3 0.173 0.167 0.186 0.155 0.171 1
6% 1
7% 1
8% 3 0.126 0.122 0.157 0.118 0.125 1
9% 3 0.115 0.112 0.150 0.110 0.114 1
10% 3 0.109 0.106 0.146 0.104 0.107 1
1% 4 0.393 0.376 0.324 0.328 0.390 1
10% 4 0.070 0.069 0.123 0.075 0.069 1
0% 0 1.667 1.591 1.106 1.324
1% 1 1.311 1.256 0.888 1.047
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8 未做控制
5% 1 0.741 0.709 0.529 0.595 0.732
6% 1 0.694 0.666 0.505 0.560 0.
10% 2 0.183 0.177 0.189 0.161 0.180 1
2% 3 0.302 0.289 0.263 0.255 0.299 1
4%
5%
3 0.151 0.146 0.170 0.136 0.148
3 0.139 0.134 0.165 0.128 0.136
圖 19：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 1σe）
圖 20：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 2σe）
速移量1σe 1.400
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量3σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 21：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 3σe）
e）
模擬結果可以發現，若實際製程干擾為控制器設定的 2 倍時。在偏差發生量較小同時
機率較 變動
扣因子會發揮較大的控制效能。
（2）實際干擾為估計值 0.5 倍，即實際製程干擾為ηt~ N（0,0.00352）
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 22：實際製程干擾為預估值 2 倍下各控制器效能比較（速移量 4σ
由
小的情況下會影響到變動折扣因子控制器的表現。而當變異量及機率增加時 折
表 6：製程干擾為白噪音形式且實際製程干擾為預估之 0.5 倍下各控制器效能比較
8% 2 0.179 0.200 0.205 0.182 0.207 1
9% 2 0.171 0.195 0.200 0.174 0.195 1
10% 2 0.162 0.185 0.191 0.163 0.183 1
1% 3 0.408 0.416 0.415 0.447 0.541 1
2% 3 0.262 0.284 0.286 0.282 0.331 1
3% 3 0.197 0.222 0.228 0.209 0.240 1
4% 3 0.166 0.191 0.200 0.173 0.195 1
5% 3 0.150 0.179 0.187 0.156 0.172 1
6% 3 0.141 0.170 0.180 0.145 0.158 1
7% 3 0.129 0.158 0.170 0.132 0.141 1
8% 3 0.117 0.147 0.160 0.118 0.123 1
9% 3 0.114 0.141 0.157 0.115 0.120 1
10% 3 0.100 0.126 0.142 0.102 0.104 1
1% 4 0.265 0.283 0.292 0.291 0.344 1
2% 4 0.156 0.185 0.198 0.168 0.187 1
3% 4 0.141 0.168 0.183 0.151 0.166 1
4% 4 0.127 0.157 0.174 0.135 0.144 1
5% 4 0.100 0.125 0.145 0.105 0.110 1
6% 4 0.096 0.122 0.144 0.101 0.103 1
7% 4 0.087 0.112 0.135 0.092 0.092 1
8% 4 0.088 0.114 0.137 0.093 0.092 1
9% 4 0.079 0.103 0.130 0.083 0.080 1
10% 4 0.077 0.100 0.126 0.081 0.079 1
未做控制
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0% 0 1.180 1.112 1.105 1.325 1.653 1
1% 1 0.960 0.912 0.905 1.070 1.332 1
2% 1 0.811 0.776 0.770 0.897 1.109 1
3% 1 0.648 0.628 0.622 0.709 0.873 1
4% 1 0.615 0.597 0.592 0.672 0.827 1
5% 1 0.563 0.550 0.545 0.611 0.749 1
6% 1 0.530 0.521 0.515 0.570 0.696 1
7% 1 0.487 0.481 0.476 0.524 0.639 1
8% 1 0.454 0.452 0.447 0.485 0.587 1
9% 1 0.414 0.414 0.410 0.441 0.533 1
10% 1 0.391 0.392 0.389 0.414 0.501 1
1% 2 0.625 0.609 0.606 0.689 0.848 1
2% 2 0.452 0.454 0.451 0.489 0.590 1
3% 2 0.345 0.355 0.353 0.370 0.444 1
4% 2 0.293 0.308 0.307 0.310 0.369 1
5% 2 0.253 0.273 0.273 0.264 0.308 1
6% 2 0.221 0.241 0.244 0.229 0.265 1
7% 2 0.201 0.222 0.226 0.206 0.236 1
速移量1σe
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 23：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 1σe）
2σe） 圖 24：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量3σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 25：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 3σe）
e）
由模擬 仍然
較佳的效能表現。而結合 SPC 的變動折扣因子控制器原本在完美的預估製程干擾下優 固定折扣因子的效能，但此時則會因管制圖設定的標準差過大進而影響到偏差量及偏 機率較大時的效能表現。
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
0.400 偏差函數
SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 26：實際製程干擾為預估值 0.5 倍下各控制器效能比較（速移量 4σ
結果可以發現，若實際製程干擾為控制器設定的 0.5 倍時。偏差函數控制器 有
於 差
b. 製程斜率估計錯誤評估
下面將評估若製程斜率與控制器斜率有差異下，即當β/b 分別為 1.2 及 0.8 的情形 控制器的效能表現。同樣我們觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折 因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率 R。1000 次的模擬 果如下：
（1）當β/b 比例為 1.2 時
下 扣 結
表 7：當β/b 比例為 1.2 下各控制器效能比較
1.227 1.129 1.418 1.908 1
0.986 0.908 1.124 1.501 1
2% 1 0.993 0.819 0.754 0.924 1.236 1
4% 1 0.806 0.686 0.623 0.748 0.991 1
9% 1 0.508 0.461 0.413 0.471 0.616 1
0.481 0.438 0.393 0.445 0.582 1
1% 2 0.741 0.627 0.581 0.694 0.918 1
.475 0.441 0.508 0.667 1
.363 0.340 0.376 0.488 1
4% 2 0.342 0.316 0.296 0.319 0.410 1
10% 2 0.185 0.188 0.188 0.173 0.211 1
1% 3 0.482 0.408 0.397 0.451 0.589 1
10% 3 0.112 0.113 0.140 0.109 0.123 1
1% 4 0.315 0.263 0.279 0.298 0.382 1
10% 4 0.076 0.072 0.111 0.076 0.081 1
未做控制
速移量1σe
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 27：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 1σe）
圖 28：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 2σe）
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 30：當β/b比例為 1.2 下各控制器效能比較（速移量 4σe）
（2）當β/b 比例為 0.8 時
10% 1 0.399 0.400 0.391 0.390 0.438 1
1% 2 0.658 0.615 0.601 0.646 0.744 1
10% 3 0.103 0.108 0.170 0.112 0.106 1
1% 4 0.298 0.276 0.321 0.302 0.334 1
10% 4 0.076 0.078 0.149 0.088 0.078 1
機率 速移量(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8 未做控制
0% 0 1.273 1.140 1.0
0.8
2 0.196 0.206 0.241 0.198 0.208
2 0.180 0.192 0.226 0.182 0.190
2 0.160 0.171 0.208 0.162 0.167
速移量1
1.200 1.400
σe
0.000 0.200 0.400 0.800 1.000
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
0.600
執行
圖 31：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 1σe）
2σe） 圖 32：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量
速移量2σe
0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
圖 33：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 3σe）
圖 34：當β/b比例為 0.8 下各控制器效能比較（速移量 4σe）
當β/b 比例為 0.8 時，我們發現整體的均方差甚至較斜率估計正確時要來的小。但是在 製程發生偏移時會有調整幅度過於緩慢的問題。而由模擬結果發現結合 SPC 的變動折扣 因子控制器及偏差函數控制器在大部分的模擬條件下仍有較佳的效能表現。
速移量3σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
速移量4σe
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
發生機率
相對執行效能比率
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
4.3.3 偏差發生下的調整效率評估
以上模擬均在評估平常的製程下各控制器的效能表現。然而在實際半導體製程中，
於連續生產的特性，對於大量異常偏移發生時，控制器能否快速將輸出調整至目標
，避免造成連續的產品重工甚至報廢，亦是控制器效能的重要參考指標。因此下面將 擬發生大量偏差時各控制器的效能表現。我們將模擬在干擾為白噪音的形式下，偏差 發生時前 5
表 9：偏差發生下各控制器前 5 批效能比較
模擬的結果可以發現在大量異常偏差發生時，新型變動折扣因子控制器的效能均較固 折扣因子為 0.2 時明顯較佳。當速移量超過 4σe以上變異量時亦較固定折扣因子為 0.5 明顯較佳的調整表現，在超過 5σe甚至比固定折扣因子為 0.8 有較小的均方差。
4.4 新型變動折扣因子控制器實際製程運用結果
為了解各控制器於實際製程上之運作情況，我們實際運用各控制器在的黃光微影製 中對於關鍵尺寸的控制並比較其控制效能。
首先先簡介半導體的微影製程。所謂微影製程即是將設計好的線路圖形由光罩上複 到晶圓表面上光阻的的過程。其步驟包含塗底（Prime）、上光阻（Coater）、曝光 Exposure）及顯影（Development）。晶圓表面經過清潔處理後，首先會塗佈一層增加 著力的底層，我們稱之為「塗底」。接著塗抹類似底片功能的感光化學物質，一般統 為光阻劑（Photo Resist）。接著將印有電路圖形的光罩（Photo Mask），利用光學成 的原理，將圖形轉移到晶圓上稱之為曝光。曝光過程中光源發出的光，經過透鏡組聚
00 00 00 00
(σe) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器 制
由 值 模
批量的作為各控制器調整速度的評估依據。下表為 1000 次模擬的結果。
偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8
3 0.350 0.393 0.549 0.368 0.350 1.0
4 0.290 0.298 0.532 0.327 0.289 1.0
5 0.261 0.262 0.521 0.309 0.265 1.0
6 0.247 0.248 0.514 0.298 0.250 1.0
速移量 未做控
由 定 有
程
製
（ 黏 稱 像
焦在光罩上，而只有經過光罩透明區域的部分的光可以繼續通過並再經由另一組透鏡聚 在晶圓表面的光阻上。所有到達光阻上的光線會與光阻劑產生反應。曝光後的晶圓需 經顯影的步驟，使經過曝光後的光阻與光阻劑反應進而將光罩上的圖形完整地轉移到 片上。然後接續其他如蝕刻或植入等製程。一般光阻劑可分成正型光阻與負型光阻。
曝光的區域經過顯影後即去除，此光阻即為正型光阻。反之若曝光區域經過顯影步驟 會留下，則此光阻稱之為負型光阻。如下圖所示。
焦 再 晶 當 後
的線寬。
常會將此關鍵尺寸圖形放置在切割道上作為監測微影製程是否正常的依據。在微影的 程中，包含塗佈的光阻膜厚、顯影時間、顯影溫度及曝光劑量等都會影響顯影後的關 尺寸的大小。而通常我們會以調整曝光光源的劑量的方式來控制關鍵尺寸的大小使其 際的製程中，在定多晶矽閘極的步驟中運用上述模 擬中
圖 35：正型與負型曝光顯影流程示意圖
為了控制元件的特性，所有圖形的尺寸（Dimension）必須控制在一定的範圍內。
而所謂的關鍵尺寸（Critical Dimension，CD）為通常為該層圖形中最小圖形 通
製 鍵
能維持一定目標值中。以下便是在實
不同的控制方式所實際得到的結果。首先我們在不同的曝光劑量下得到不同的關鍵
尺寸大小以預估製程模型。
y = -7.808x + 591.02 440
480
)
320 340 360 380 400 420 460
16 18 20 22 24 26 28 30 32
曝光能量(mj)
關鍵尺寸大小(nm
圖 36：曝光能量與關鍵尺寸關係圖
因此我們得到的函數預測模型
bX a Y
^=
0+
其中a0=591.02, b=-7.808 在偏差函數控制器中我們仍沿用折扣因子預測函數
而在結合 SPC 管制圖變動折扣因子控制器以及函數預測模型中的標準差，我們由製程經 驗決定為 5nm。在上述的控制條件下我們得到除了曝光劑量外，在相同的製程條件下，
50 批次內使用不同控制方式所得到的曝光劑量變化以及實際關鍵尺寸值如下：
0027 . 0 5583 . 0 1189 . 0 0082 .
0 3 − 2 + 1+
=
e e e
ω
t圖 37：實際製程曝光能量關鍵尺寸趨勢圖（未做控制）
圖 40：實際製程曝光能量關鍵尺寸趨勢圖（固定折扣因子ω=0.8）
各控制器之均方差如下：
表 10：實際製程下各控制器效能比較（50 批次）
，兩個新型的變動折扣因子控制器均較固定折扣因子控制器有
ω= 0.8 61.441
結合SPC 44.529
偏差函數 42.660
未做控制 控制方式
變動折扣因子
均方差 111.403
ω= 0.2 55.680
ω= 0.5 55.104
固定折扣因子
在此次的實際製程運用上 較佳的效能。
第五章 結論
1. 傳統的固定折扣因子 EWMA 控制器為了讓製程發生速移變異時能將製程輸出迅速調整 至目標值，以避免連續的異常造成材料重工甚至報廢導致成本的增加。必須將折扣 因子調整至較大水準如ω= 0.8。如此雖然可在製程發生速移異常時迅速調整製程至 目標水準，但卻會造成製程的變異增加。在本文中所使用的變動折扣因子控制器同 樣可以在偏差發生時調整迅速調整的目的。而從各種狀況的模擬結果可以發現並不 會發生製程發散的情形。
2. 由以上的模擬結果可以發現，選用控制器仍需要根據製程的特性來選擇適用的控制 演算方式。並沒有一完美的控制器可以適用在全部情況的製程中。且在套用控制器
2. 由以上的模擬結果可以發現，選用控制器仍需要根據製程的特性來選擇適用的控制 演算方式。並沒有一完美的控制器可以適用在全部情況的製程中。且在套用控制器