結合 SPC 管制圖變動折扣因子控制器

二種變動折扣因子控制器中，我們將結合製程統計（Statistical Process Control，SPC）的觀念與回饋控制的應用，因此在介紹第二種變動折扣因子控制器前我 們首先先介紹統計製程管制與管制圖的基本概念：

多不可控制的因素所干擾而產生變異，而

這些 因

引起的較大的變異，進而造成品質 水準

程平均值上下三倍標準差的大小。而在 SPC 執 行過

第

在任何生產過程中，製程中一定會受到許

變異通常很微小，對品質特性的影響並不大，在統計品管上稱這些因素為機遇原

（Chance Cause）或共同原因（Common Cause）。另一方面，製程也可能因為某些特殊 因素（例如：機械失當、操作失誤或不良原料等）所

降低，因此對品質特性造成很大的影響。而這些因素則稱為可歸屬原因（Assignable Cause）或特殊原因（Special Cause）。統計製程管制之主要目的是能迅速地偵測出製 程中可歸屬原因的發生或製程參數的改變，以便在更多不良品被製造出來之前，就能針 對製程進行診斷並採取修正的措施。統計製程管制通常是觀察量測值來監視製程，以找 出特殊變異。其使用方式是把所得到的量測值畫在管制圖上，當發現量測值超出管制圖 的上下管制界線外時，就會發生警訊。

管制圖的概念係 1924 年由美國 Shewhart 博士所發展，其所設計的管制圖稱之為 Shewhart 管制圖。所謂管制圖就是一種比較品質特性的圖，其中橫軸為時間數列而縱軸 為統計量（如平均數、標準差…等），並畫出管制上限（UCL）、管制中線（CL）及管制 下限（LCL）。而通常管制上下線的值為製

程中要如何制訂管制準則以判斷製程是否正常為相當重要且必須探討的部分。合理 的管制準則可即時偵測出製程不穩定的狀況避免製程偏差導致連續的不良品產生；相反 的，不合理的判讀除了造成製程偏差無法判讀或者形成假的異常警告（False Alarm）

造成生產干擾及工程師判斷的負擔進而造成生產力下降。尤其在目前少量多樣生產趨勢 的半導體製程下，管制圖數量多則上萬筆。因此一套合理的判定製程異異常的準則是絕 對必要的。以下為文獻中所列常用的管制準則：

1. Shewhart 單點準則

Shewhart 基本上僅使用一個準則來判定製程是否在管制狀態下，其準則為：

(1)單點超出管制界線

此準則是管制準則中最基本的，如前面所提到 Shewhart 管制圖。當數值落在管 準差外，即表示製程發生異常。

2.

圖，假設母體為常態分佈，

則於 A、B、C 分別為

個標準差

外 或 B 區以外 心點單側

制界線中心值±3 個標

WECO 管制準則

由美國 Western 電子公司於 1958 年訂定出的管制準則。根據上、下管制界線及中心 線，將管制圖分成六區，分別為 A、B、C、C、B、A，如下

A：管制中心±2 個標準差至±3

B：管制中心±1 個標準差至±2 個標準差 C：管制中心±1 個標準差以內

其管制準則為：

(1)單點超出管制界線

(2)連續的 3 點中有 2 點落在 A 區或 A 區以 (3)連續的 5 點有 4 點落在 B 區

(4)連續 8 點落在中 (5)連續 15 點在 C 區出現

(6)連續 8 點中無任何點在 C 區出現

若符合以上任一管制準則則判定為製程異常。

圖 11：違反管制準則(1)說明

圖 12：違反管制準則(2)說明

圖 13：違反管制準則(3)說明

一般的 SPC 僅提供製程監控功能，並未沒提供製程調整的功能。當製程落在管制上 下限之外，一般研判為製程發生變異，需要工程師介入處理或調整製程。近年來亦有不 少整合統計製程管制和回饋控制的研究，而下面介紹的控制器即在結合管制圖的概念來 判斷製程是否真正發生變異，當管制圖判斷製程發生變異時，則適時調整折扣因子的大

小來加速控制器的調整速度，其流程如下圖。我們將控制器分成管制圖模組及 EWMA 控 制器模組。當製程輸出未發生異常時，我們將製呈判定為正常狀態，為避免因折扣因子 過大造成變異，於正常狀態下我們選用較小的折扣因子，本文將以 0.2 作為正常狀態下 的折扣因子。而當製程發現管制圖異常狀態時，我們判定製程已發生偏移的異常狀態，

為加速製程的調整，我們將選擇較大的折扣因子。本文將以 0.8 作為異常狀態下所選用 的折扣因子。

而為避免因管制準則過多造成假的製程異常警報（False Alarm）造成製程干擾，

因此我們選擇目前業界最常使用的管制準則，即 WECO 管制準則的前三項作為管制標準。

此種控制器我門稱之為統計製程控制型變動折扣因子控制器，其控制流程如下：

輸出值量測

實際製程輸出

Y

t

Shewhart 管制圖

預測模型

bX a Y

^{^}

=

₀

+

調整模型

)

1

1 ( )

( − + −

₋

=

_{t t t t t}

t

Y bX a

a

ω ω

得到下次參數

b X

_t

− a

^t

+

=

τ

1

機台參數設定

X

t

機台 是否違反管制圖

Rule

是ω=0.8 否ω=0.2

EWMA 控制器模組 管制圖模組

圖 14：結合 SPC 變動折扣因子控制器控制流程

第四章 新型變動折扣因子控制器效能評估

（Critical Dimension）量測值異常。或者單批製程中機器故障，如於光阻塗佈後烘烤 或光阻顯影時機故造成停留時間過長都可能造成單批的輸出擾動（Disturbance）。因此 我們將模擬不同機率下發生不同大小的速移量對控制器效能所造成的影響。另外為得到 更穩健性的評估下

另外在一般製程下的隨機干擾項η^t非單純的白噪音形式，因此我們將模擬在η^t為 IMA（1,1）數列以及ARMA（1,1）數列形式下新型變動折扣因子的效能。

因實務上對於預測模型的斜率參數β可能有錯誤預估的情況，因此在穩健性的分析 評估上我們須考慮斜率估計不準對於控制器所造成的影響，因此我們也將評估在不同的 β/b 比值下評估控制器的效能。

我們定義『相對執行效能比率』R（Ratio of Relative Performance）如下：

∑

4.2 模擬模型假設

模擬製程條件如下，下面將依據黃光微影製程的模型做假設。一般用來控制關鍵尺寸

（CD）大小的參數為曝光劑量（Dose）。因目前半導體廠所使用的光阻大部分為正型光 阻因此曝光劑量與關鍵尺寸在一定的範圍內成線性反比的關係，我們根據經驗假設製程 模型如下，其中輸入參數可視為曝光劑量，而輸出參數則為關鍵尺寸值：

（1）實際製程模型：

Y

_t =

α

+

β X

_t +

η

_t，

（2）控制器預測製程模型：

Y

^{^}

= a

₀

+ bX

（3）最佳折扣因子預測函數模擬所使用之製程模型

Y

_t =

α

+

β X

_t +

η

_t

α=1, β=-0.0015, （η^t為白噪音形式，η^t~ N(0,0.007²) 將折扣因子由 0 至 1 等分為 100 等份並於不同的初始偏差比例下執行模擬 10000 次，在 各偏差量取前 5 批次之均方差最小時之ω。並以之三次函數做回歸所得到之函數。如下：

為避免錯誤的誤差估計造成製程的因此在偏差函數控制器中我們對於誤差的估計值亦 採用 EWMA 的方式，即

0027 . 0 5583 . 0 1189 . 0 0082 .

0 ³ − ² + ¹+

=

e e e

ω

t

5 1

. 0 5 .

0 + ₋

=

e

_t

e

_t

e

（4）製程輸出目標值 0.4 4.3 模擬結果

4.3.1 製程模型與控制模型預估無差異下之最佳效能比較 若假設控制模型之斜率與截距與製程模型相同時，即 α=1, β=-0.0015,

a⁰=1, b=-0.0015, 下之控制器效能比較。

a. 製程干擾為白噪音形式

若完美預估製程干擾η^t為純白色噪音下，即η^t~ N（0,0.007²）。模擬在不同的機率 下不同大小的速移偏差發生時。觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控制器與不同大小折 扣因子的固定折扣因子控制器與製程不受控制下之相對執行效能比率R。1000 次的模擬 結果如下：

表 1：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 0~2σ^e）

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

0% 0 1.379 1.179 1.105 1.324 1.654 1

1% 1 1.120 0.969 0.907 1.075 1.337 1

2% 1 0.957 0.841 0.785 0.918 1.139 1

3% 1 0.811 0.723 0.674 0.778 0.963 1

4% 1 0.726 0.662 0.612 0.697 0.858 1

5% 1 0.654 0.597 0.556 0.626 0.769 1

6% 1 0.572 0.529 0.496 0.549 0.671 1

7% 1 0.509 0.479 0.449 0.488 0.593 1

8% 1 0.480 0.451 0.424 0.459 0.558 1

9% 1 0.464 0.442 0.414 0.443 0.537 1

10% 1 0.439 0.420 0.396 0.421 0.508 1

11% 1 0.422 0.382 0.353 0.371 0.446 1

12% 1 0.406 0.369 0.343 0.357 0.428 1

13% 1 0.389 0.356 0.332 0.343 0.410 1

14% 1 0.372 0.342 0.321 0.329 0.393 1

15% 1 0.368 0.340 0.319 0.325 0.388 1

16% 1 0.327 0.305 0.290 0.291 0.345 1

17% 1 0.312 0.293 0.279 0.278 0.328 1

18% 1 0.314 0.297 0.284 0.280 0.330 1

19% 1 0.291 0.278 0.267 0.261 0.306 1

20% 1 0.272 0.263 0.255 0.245 0.286 1

1% 2 0.692 0.613 0.585 0.666 0.820 1

2% 2 0.478 0.441 0.426 0.461 0.558 1

3% 2 0.359 0.340 0.334 0.346 0.415 1

4% 2 0.317 0.308 0.304 0.306 0.363 1

5% 2 0.254 0.251 0.255 0.246 0.288 1

6% 2 0.230 0.230 0.240 0.223 0.258 1

7% 2 0.219 0.222 0.231 0.213 0.246 1

8% 2 0.190 0.195 0.209 0.185 0.210 1

9% 2 0.185 0.192 0.207 0.181 0.204 1

10% 2 0.174 0.176 0.195 0.162 0.179 1

11% 2 0.167 0.170 0.190 0.157 0.172 1

12% 2 0.161 0.165 0.186 0.152 0.166 1

13% 2 0.152 0.156 0.177 0.143 0.156 1

14% 2 0.150 0.155 0.179 0.142 0.153 1

15% 2 0.146 0.151 0.174 0.138 0.149 1

16% 2 0.140 0.147 0.172 0.134 0.143 1

17% 2 0.127 0.134 0.160 0.122 0.129 1

18% 2 0.125 0.133 0.159 0.120 0.127 1

19% 2 0.117 0.125 0.154 0.114 0.119 1

20% 2 0.112 0.120 0.150 0.109 0.114 1

變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器

未做控制 機率 速移量(σ_e)

表 2：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 3~4σ^e）

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

1% 3 0.431 0.382 0.392 0.419 0.507 1

2% 3 0.272 0.249 0.274 0.267 0.314 1

3% 3 0.212 0.200 0.229 0.210 0.242 1

4% 3 0.187 0.179 0.212 0.186 0.210 1

5% 3 0.150 0.148 0.185 0.151 0.165 1

6% 3 0.142 0.141 0.178 0.143 0.155 1

7% 3 0.126 0.126 0.168 0.128 0.137 1

8% 3 0.121 0.122 0.163 0.123 0.130 1

9% 3 0.104 0.106 0.147 0.107 0.111 1

10% 3 0.103 0.105 0.148 0.106 0.109 1

11% 3 0.100 0.103 0.148 0.104 0.105 1

12% 3 0.098 0.102 0.149 0.102 0.102 1

13% 3 0.096 0.101 0.147 0.101 0.101 1

14% 3 0.090 0.095 0.142 0.094 0.093 1

15% 3 0.084 0.088 0.132 0.088 0.087 1

16% 3 0.083 0.089 0.137 0.088 0.085 1

17% 3 0.080 0.086 0.135 0.085 0.081 1

18% 3 0.077 0.083 0.133 0.082 0.077 1

19% 3 0.073 0.080 0.131 0.079 0.073 1

20% 3 0.070 0.078 0.129 0.077 0.070 1

1% 4 0.323 0.287 0.315 0.317 0.376 1

2% 4 0.172 0.155 0.196 0.173 0.196 1

3% 4 0.142 0.131 0.177 0.145 0.159 1

4% 4 0.119 0.111 0.159 0.123 0.131 1

5% 4 0.104 0.099 0.149 0.109 0.114 1

6% 4 0.103 0.099 0.151 0.109 0.112 1

7% 4 0.090 0.088 0.140 0.096 0.096 1

8% 4 0.085 0.083 0.138 0.092 0.091 1

9% 4 0.077 0.076 0.128 0.083 0.081 1

10% 4 0.073 0.073 0.126 0.080 0.077 1

11% 4 0.069 0.069 0.125 0.076 0.071 1

12% 4 0.066 0.067 0.124 0.074 0.068 1

13% 4 0.066 0.066 0.120 0.073 0.068 1

14% 4 0.066 0.067 0.121 0.073 0.068 1

15% 4 0.064 0.065 0.119 0.072 0.066 1

16% 4 0.060 0.061 0.115 0.067 0.061 1

17% 4 0.057 0.059 0.112 0.065 0.058 1

18% 4 0.057 0.058 0.111 0.064 0.058 1

19% 4 0.055 0.057 0.109 0.062 0.055 1

20% 4 0.052 0.054 0.106 0.059 0.052 1

未做控制

機率 速移量(σ_e) 變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器

在不同的速移量下各控制器相對執行效能發生機率做圖如下：

）

）

速移量1σe

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

發生機率

相對執行效能比率

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

圖 15：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 1σ^e

速移量2σe

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

發生機率

相對執行效能比率

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

圖 16：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 2σ^e

圖 17：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 3σ

速移量3σe

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

發生機率

相對執行效能比率

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

e）

e）

由模擬結 合 SPC

制圖變動折扣因子控制器的執行效能分別為 1.379 與 1.179 略大於固定折扣因子ω=

速移量4σe

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

發生機率

相對執行效能比率

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

圖 18：製程干擾為白噪音形式下各控制器效能比較（速移量 4σ

果發現，若干擾形式為白噪音在未發生速移變異下，偏差函數控制器與結 管

0.2 與ω= 0.5 的執行效能分別為 1.105 與 1.324，但仍小於ω= 0.8 的 1.654。但隨著 製程變異發生的機率與幅度增加時使用變動折扣因子控制器則可以改善小固定折扣因 子收斂速度過於緩慢的問題，當有機會發生速移量大於 2 倍製程的標準差時效能均會優 於固定折扣因子控制器。

b. 製程干擾為 ARMA(1,1)數列形式

若考慮製程干擾η^t為非純白色噪音的形式，而是平穩型時間數列（Stationary Time 示如下：

Series）ARMA(1,1)時，製程干擾可表

η

_t =

φη

_t−1+

ε

_t −

θε

_t−1，

ε

_t ~

N

(0,0.007²)

制器與不同大小折扣因 控制 制

率R。1000 次的模擬結果如下：

模擬在不同的機率下不同大小的速移偏差發生時。觀察前 50 批次兩個變動折扣因子控 子的固定折扣因子 器與製程不受控 下之相對執行效能比

表 3a：製程干擾為 ARMA(1,1)形式下各控制器效能比較

表 3b：製程干擾為 ARMA(1,1)形式下各控制器效能比較

器的效能則較固 器ω= 0.8 比

的話在θ= 0.2，θ= 0.5 的情況下會有較佳的效能表現。整體效能最差的則是固定折

偏差函數 SPC ω=0.2 ω=0.5 ω=0.8

0.2 -0.5 10% 1 0.381 0.446 0.423 0.380 0.369 1

0.2 -0.2 10% 1 0.384 0.424 0.399 0.378 0.400 1

0.2 0.2 10% 1 0.442 0.426 0.400 0.423 0.510 1

0.2 0.5 10% 1 0.537 0.472 0.425 0.488 0.627 1

0.5 -0.5 10% 1 0.351 0.445 0.459 0.362 0.313 1

0.5 -0.2 10% 1 0.335 0.411 0.406 0.337 0.318 1

0.5 0.2 10% 1 0.355 0.386 0.367 0.348 0.384 1

0.5 0.5 10% 1 0.437 0.422 0.393 0.418 0.503 1

0.8 -0.5 10% 1 0.234 0.305 0.415 0.257 0.194 1

0.8 -0.2 10% 1 0.246 0.323 0.391 0.257 0.210 1

0.8 0.2 10% 1 0.268 0.329 0.345 0.267 0.263 1

0.8 0.5 10% 1 0.328 0.356 0.347 0.322 0.360 1

0.2 -0.5 10% 2 0.934 0.929 0.971 0.940 0.929 1

0.2 -0.2 10% 2 0.153 0.174 0.198 0.155 0.155 1

0.2 0.2 10% 2 0.166 0.175 0.191 0.162 0.181 1

0.2 0.5 10% 2 0.209 0.203 0.209 0.194 0.232 1

0.5 -0.5 10% 2 0.157 0.195 0.235 0.166 0.142 1

0.5 -0.2 10% 2 0.148 0.181 0.213 0.154 0.140 1

0.5 0.2 10% 2 0.156 0.176 0.202 0.158 0.162 1

0.5 0.5 10% 2 0.174 0.184 0.200 0.171 0.190 1

0.8 -0.5 10% 2 0.137 0.175 0.260 0.155 0.118 1

0.8 -0.2 10% 2 0.130 0.165 0.230 0.141 0.114 1

0.8 0.2 10% 2 0.131 0.159 0.199 0.135 0.126 1

0.8 0.5 10% 2 0.139 0.157 0.184 0.140 0.145 1

0.2 -0.5 10% 3 0.095 0.108 0.152 0.103 0.092 1

0.2 -0.2 10% 3 0.096 0.107 0.152 0.103 0.097 1

0.2 0.2 10% 3 0.098 0.100 0.141 0.101 0.104 1

0.2 0.5 10% 3 0.125 0.121 0.160 0.123 0.134 1

0.5 -0.5 10% 3 0.104 0.125 0.180 0.116 0.097 1

0.5 -0.2 10% 3 0.092 0.108 0.159 0.101 0.088 1

0.5 0.2 10% 3 0.091 0.099 0.144 0.097 0.093 1

0.5 0.5 10% 3 0.111 0.114 0.157 0.113 0.117 1

0.8 -0.5 10% 3 0.090 0.110 0.184 0.105 0.080 1

0.8 -0.2 10% 3 0.092 0.111 0.177 0.103 0.084 1

0.8 0.2 10% 3 0.083 0.096 0.148 0.091 0.081 1

0.8 0.5 10% 3 0.091 0.100 0.146 0.097 0.094 1

變動折扣因子控制器 固定折扣因子控制器

未做控制

φ θ 機率 速移量(σe)

由模擬結果可以發現，若干擾形式為 ARMA(1,1)。使用偏差函數折扣因子控制器在大部 分的模擬條件下都較固定折扣因子有更佳的效能表現。而結合 SPC 的變動折扣因子控制

定折扣因子控制器ω= 0.5 略差，而與固定折扣因子控制

定折扣因子控制器ω= 0.5 略差，而與固定折扣因子控制

在文檔中 新型EWMA變動折扣因子控制器及其於半導體微影製程實際應用之研究 (頁 26-0)