研究動機

一、簡介

1.2 研究動機

近年來已有許多學術研究在探討對於半導體製程的批次特性所發展出來的回饋控制技術。 Sachs,

et al

.（1992）首先提出批次控制（Rub-by-Run control，RbR）的概念，此控制方法首先透過實驗設計（DOE）或反應曲面（RSM），建立製程投入參數和產出之預測模型，經由回饋控制來調整或更新製程未知參數，並以過去產品批量產出值的表現，對下一批量投入變數做適當調整，減少製程產出值與目標值差異。Ingolfsson and Sachs（1993）針對半導體產業的生產型態，提出指數加權移動平均（Exponentially Weighted Moving Average；EWMA）控制器[1]。EWMA 統計量係根據輸出值的先後順序給予不同的權重所得到的移動平均，此權重呈現指數遞減的形式。再由此輸出值的移動平均來估計新的製程投入參數。EWMA 控制器優點在於可以達到「漸進輸出值之變異最小」

及「漸進輸出值達到目標值」的這兩項目標。然而傳統上所使用的 EWMA 控制器其所使用的折扣因子（或稱之為權重）通常為一固定常數，很難同時兼顧到對偏差調整的效率及減少因控制所造成不必要的變異。近年來有許多針對變動折扣因子 EWMA 控制器的研究，惟實際應用在製程上時因為不同的製程偏差現象干擾，諸如機台保養或原料換批時之製程瞬速移（Shift）。

何人杰( 2000)以加重前面數批的折扣因子方式加速消除初始偏差[2]。並提出在製程干擾分配未知的情況下利用製程輸出值來自我調整折扣因子。Tseng, et al.（2003）

亦提出「變動折扣因子 EWMA（簡稱 VEWMA）控制器」[3]以數學演算方式求得不同初始偏差下的最佳折扣因子來加速調整製程初期的偏差。

但以上的變動因子控制器仍限制在最佳化初始偏差發生時的前面數批。然在真實製程當中，製程輸出常可能因機台保養或原料更換時造成速移的現象，或者因機台零件的磨損或老化，特別於化學機械研磨製程之研磨頭老化等所造成的製程飄移（Drift）。甚至因機台量測誤差所造成對控制器的干擾或者因製程模式評估錯誤所造成控制器之表現未如預期。因此本文將介紹以製程偏差改變折扣因子的變動折扣因子控制器，以及結合 Shewhart 管制圖的變動折扣因子控制器來改善製程處於常態時因過度控制所造成的變異增加並同時可以在實際發生製程偏差時將製程輸出拉回目標值。為評估新的控制器

的效益，傳統上針對控制器的評估模擬多僅考慮對初始偏差所造成的影響，然實際半導體製程中，造成製程輸出偏差的因素甚為複雜。本論文將針對不同的製程情形對各種控制器做全面的模擬評估以找出最適合實際線上生產時：

1. 不同的干擾形式下，包含白噪音干擾、ARMA(1,1)數列及 IMA(1.1) 數列。

2. 模式預估誤差下，包含錯誤的干擾預估及製程斜率預估。

最後並將各種控制器於實際黃光微影製程針對關鍵尺寸的控制運用上做評估。

第二章文獻回顧及問題描述

2.1 Single EWMA 控制器文獻回顧

下面將針對 Ingolfsson and Sachs（1993）所建構的 Single EWMA 回饋控制器的性質做一介紹：

假設一生產線上的製程其輸出值和輸入值之間的關係可以用線性的模型表示如下：

t t

X

Y

α

β

η

（1）

其中

Y^t：製程輸出值（t代表第t批次）

α：製程模型的常數項 β：製程模型的斜率項

X：機台參數的設定值（輸入值）

η^t：製程干擾

透過回歸分析或者反應曲面方法可以建構出製程之預測模型如下：

bX a

Y

^{^}

=

₀

+

其中

a

₀、

b

分別為 α、β 之起始估計值。

假設製程產出的目標值為τ，若將製程投入變數設定為 X = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

b

a

₀

τ

。將其代入（1）

式中則可得到製程期望值：

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

b

Y a

E

( _t)

α β τ

⁰

此時製程期望值E(Yt)與目標值τ之間會有

α β τ

⎟−

τ

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ −

b a

₀

的誤差。為了消除此偏差使製程輸出接近目標值，必須調整製程輸入設定。Single EWMA控制器是利用不斷地調整預測模式截距項

a

的觀念，更改輸入設定值使製程輸出值可以達到目標值τ。調整方式如下：

布，因此稱之為指數加權移動平均(Exponentially Weighted Moving Average，EWMA)。

將（1）式代入（2）式中可得到。

τ

⎯

⎯ →

⎯^t^→^∞

Y

E

( ) 而製程輸出值之變異將為

1 1 1 )

(

σ

_η

ψ ψ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

t =

Y Var

由上述結果可知，選擇的期望值達到目標值τ與製程輸出值之變異與所選擇的折扣因子有相關。在有初始偏差的情形下當所選擇的折扣因子越大，製程期望值將越快接近目標值。如下圖所示，若製程目標值為 0.4，初始偏差為 0.04，製程干擾為白噪音型態，即 η^t服從常態分配N(0,σ²)情形下。不同大小的折扣因子實際輸出的收斂情形。

圖 1：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.2 在初始偏差下之模擬資料

圖 2：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.5 在初始偏差下之模擬資料

圖 3：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.8 在初始偏差下之模擬資料

由上圖的結果可以發現當ω=0.2 時在第 9 批次才有辦法將製程輸出調整至目標值 0.4。

程無偏差情況下因過度調整造成製程變異變大。下

同樣的條件下ω=0.5 在第 7 批次就能將製程輸出調整至目標值，而當ω=0.8 時只要在第 4 批次就能將製程輸出調整至目標值。

但若選取的折扣因子過大，卻會造成製

圖可說明此種狀況。若製程目標值為 0.4，無初始偏差，自然變異η^t服從常態分配N(0,σ²)情形下

ω=0.2

0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

RUN

圖 4：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.2 在無初始偏差下之模擬資料

ω=0.5

0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

RUN

圖 5：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.5 在無初始偏差下之模擬資料

同的折扣因子ω=0.2、ω=0.5 及ω=0.8 其均方差（Mean Square Error，MSE）分別

制器，選擇固定的折扣因子無法兼顧快速縮小製程

ω=0.8

0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

RUN

圖 6：固定折扣因子 EWMA 控制器ω= 0.8 在無初始偏差下之模擬資料

不

為 6.12×10^-5、7.74×10^-5及 9.66×10^-5。由以上例子可以了解傳統的 EWMA 控

偏差並減少對製程變異的增加的需求。下面將針對一些改良過的非固定折扣因子控制器做文獻回顧。

2.2 非固定折扣因子 single EWMA 折扣因子控制器文獻回顧

WMA 控制器當選擇的折扣因子過小，若初始偏差很大，

此時

0<ω^t<1

選擇這個形式的控制方式主要目的是希望能使得前幾個批量的偏差值能快速的收斂到

2.2.1 初始加重折扣因子控制器在半導體製程中，使用傳統 E

將需要數個批量（RUN）的調整才能將製程輸出調整至目標值，因而導致初始數批的產品品質不佳。輕微者如微影製程可以去除光阻方式做重工（Rework），但卻會因此增加製造成本。嚴重者如蝕刻及植入等製程，可能因製程參數連續偏差未能及時調整。

造成產品大量報廢導致重大的損失。但若選擇的折扣因子過大，又將造成長期的製程變異過大造成不穩定，同樣影響產品的品質。因此我們可以考慮折扣因子不再為一常數值，它可隨批量而做調整。一般可以考慮加重前幾批量的折扣因子，考慮折扣因子的形式為：

t =

ω

d

ω

0 的要求。對長期製程而言又可使得製程變異達到最小化。我們可以由下圖來比較此控制方式與傳統固定折扣因子EWMA的控制器。使用變動折扣因子的控制方式

t =0.2+0.5

ω

，與固定折扣因子

ω = 0 . 2

在前 10 批的MSE由原來的 4.19×10^-4降至

批之後加重折扣因子控制器之折扣因子收斂至 0.2，從批次 11 到 50 的均方差。固定折扣因子為 5.07×10

2.23×

10^-4。而在 10

7：加重折扣因子與固定折扣因子ω= 0.2 控制器在初始偏差下之模擬比較

-5而初始加重折扣因子控制器之均方差為 5.13×10^-5幾無差異。

0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Run

Yt (製程輸出)

固定折扣因子加重折扣因子

圖

2.2.

et al

.（2003）更進一步統計數學模式推演提出下列的變

2 Single VEWMA 控制器除了上述公式之外，Tsen

動折扣因子（簡稱Single VEWMA）回饋控制器來調整製程。Tseng,

et al

.（2003）

利用非隨機偏差項Γ^t和隨機項W^t之和來表示製程之產出偏差值（Y^t-τ），亦即：

在式中將t = 1 時MSE¹帶入MSE²及MSE^t， t>=3，我們可以得到

MSE MSE

MSE

2. 同樣若干擾項η^t為時間序列IMA（1,1）論文中提出利用製程偏差來調整折扣因子的方式。稱之為 STDF（Self-Tuning Discount Factor）控制器。

在之前的推導中

稱之為收斂比率（Ratio of Convergence）。在調整製程中，若要求t時之製程期望值沒有偏差的話（即）

E

(

Y

_t)=

τ

，由上式可得知此時之

ψ

^t=0，亦即ω =b/β。若收斂比率^t-1

其中 m 為一常數。

2.3 舊 EWMA 變動折扣因子問題描述

之前的變動折扣因子控制器多只針對製程初始下線時的偏差做改良折扣因子，如加重折扣因子控制器及 Single VEWMA 控制器。之後當批次到達一定數量時，折扣因子將

。對於製程長期生產當中，於保養週期或原物量批次更換及規格更而發生速移（Shift）情況時，此時我們將無法由上述公式去預測最佳折扣因子。而

文中並未討論如何去選擇最佳的 m 值。對於常數 m

又恢復為固定的形式改

在文獻回顧中所提到的 STDF 控制器中，

的選擇仍是實際製程應用上一項困難點。當 m 選擇過大時可能造成折扣因子調整不明顯造成改善情形不如預期，而當 m 選擇過小又可能會發生折扣因子

ω

>1 的情況，因而造成製程的大幅震盪。因此，針對上述的問題點下面將提出兩種改善目前控制器缺失的新型變動折扣因子控制器。

第三章新型變動折扣因子控制器

3.1 偏差函數變動折扣因子控制器

對於長期運轉的製程而言，加重初始折扣因子以及 single VEWMA 等變動折扣因子控制器。當製程批次到達一定數量時，折扣因子將收斂至一固定值。以此無法改善製程中突然發生變異的狀況。而與固定折扣因子有著相同的問題。由之前的推導我們可以發扣因子來加速製程的調整速度。相反的，當製程處於

現當製程有偏差時，我們需要更大的折

穩定的狀態時，最佳的控制器便是不做任何的調整。因此下面將介紹另一種以偏差量為函數的變動折扣因子控制器。即

ω

_t =

f

(

Y

_t −

τ

)之變動因子控制器。由之前的（4）

式

Y

_t =

τ

+Γ₀

ψ

^t⁻¹ +

G

_t，每個初始偏差量Γ 下若我們選擇的₀ _Γ

ω

0要滿足接下來的 N 批次內

的期望均方差最小則需要解出下列方程式：

在文檔中新型EWMA變動折扣因子控制器及其於半導體微影製程實際應用之研究 (頁 11-0)

一、 簡介

1.2 研究動機

et al

第二章 文獻回顧及問題描述

X

Y

α

β

η

bX a

Y

=

+

a

b

b

a

τ

b

Y a

E

α β τ

α β τ

τ

b a

a

τ

Y

E

σ

ψ ψ

Y Var

ω

d

ω

ω

ω = 0 . 2

et al

et al

MSE MSE

MSE

E

Y

τ

ψ

ω

第三章 新型變動折扣因子控制器

ω

f

Y

τ

Y

τ

ψ

G

ω

一、簡介

第二章文獻回顧及問題描述

第三章新型變動折扣因子控制器