第四章、 模擬分析
第二節、 模擬結果
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第二節、模擬結果
本節將分成有跳躍（違約）與無跳躍約的情形，來觀察不同参數設定下，
CoCo 價值的變化與避險績效。首先定義一個基準參數組：CoCo 面值 F = $1000，
期初股價 S0 = $100，轉換價格 CP為期初股價（因此轉換比例 Cr = 10），PDI 履 約價 K = $70，CoCo 股價門檻 S* = $70，到期日 T = 10 年，股價波動度 σ = 25%，
無風險利率 rf = 3%，票面利率 c = 3%，接著將每次改變一個參數來觀察避險績 效。本節所有模擬值均為進行 10 萬次模擬所算出的結果。
我們首先探討無違約風險下的情形。附錄中的表 3 為σ 改變時投資組合的各 種統計量，從σ = 15% 開始每次調整 5%。表格數值上而下分別代表平均值、標 準差、最小值、四分位數、最大值、1% VaR、平均損失與下方風險。將表 3 的 資料依 3.2 節定義的避險效率（HE）公式加以整理，即可得到表 4 的效率彙整。
綜合表 3、表 4 我們可大致觀察到幾個結果：
(1) 投資組合期望價值（平均值）三者大約相等，這結果符合直覺，因為避險的 收益（到期的 PDI 價值）平均而言會被期初避險成本（期初的 PDI 成本）
抵銷
(2) 觀察表 3 的各統計量，CoCo 價值隨σ 增加而遞減，標準差、VaR 等風險指 標則遞增。但比較三種投資組合，我們發現有避險的標準差、VaR 與平均損 失都比沒避險小較沒避險的小，隨σ 增加的幅度也較小，這表示避險策略雖 然無法提升投資組合價值，但能有效降低風險與期望損失。
(3) 比較表 4 的避險績效，當無轉倉時，除 HE1外，其餘避險績效均隨著σ 增加 而提升，尤其 1% VaR 在高波動度時，能達到接近 50%的減幅；而在有轉倉 時，避險績效則是先升後降。
表 5、表 6 為 T 改變時投資組合的各種統計量與避險效率，從 T = 10 年開每 次增加 5 年。綜合這二表格，我們可觀察到以下結果：
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(1) CoCo 價值隨 T 增加而遞減，但下降的幅度越來越小，而各種風險指標則遞 增。在有避險無轉倉時，風險均較沒避險時小；在有轉倉時也大致如此，唯 有 VaR 在 T = 30 年時例外，較沒避險時大。
(2) 與波動度改變不同的是，避險績效均隨 T 增加而遞減，在有轉倉時甚至出現 負的績效，代表長天期時避險效果很差，甚至風險反而比沒避險大。
比較σ 與 T 改變的結果，我們可歸納出一個結果，這兩個參數增加都會使得 各項風險指標增加，但在避險績效方面兩者改變的影響卻相反，到期日增加反而 效率下降。筆者推測原因，可能是因為隨著這兩者增加將導致 CoCo 被轉換的機 率增加，CoCo 的表現會越像股價，風險指標因而增加。然而在風險中立下，股 價係以無風險利率指數成長，故股價到期日的平均值 𝐸𝐸(𝑆𝑆𝑇𝑇) = 𝑆𝑆0exp (𝑟𝑟𝑟𝑟) 隨時 間拉長而增高，抵銷了部分下方風險，使得避險績效變差。但當波動度改變時，
到期日的股價平均數為固定，風險指標純粹受波動度影響，因而避險績效會隨波 動度增加變佳。
接著我們考慮銀行可能無預警破產時，參數改變對避險績效的影響。基準參 數組與上面設定相同，但現在須多假設銀行的違約機率，我們以 p = 1%作為基 準，表示銀行在一年內有 1%機率違約，這相當於 BBB 到 A 級信評的公司。如 同 3.2 節的模擬方法說明，我們須先模擬期初的 PDI 價值，才能計算(10)式中的 避險成本。PDI 的模擬結果列在表 7（表格使用的參數同基準參數組），並列出 不同波動度、到期日、違約機率時的 PDI 估計值，一次改變一個參數，括弧中 的數值為模擬標準誤，顯示 10 萬次的模擬結果已足夠精確。我們可看出 PDI 隨 p 增加而上升，代表若公司可能突然破產，則避險成本會相對提高。
估計出 PDI 價值後，即可進行第二階段模擬，並分析不同參數改變對避險 績效的影響，以下將分別探討波動度、到期日與違約機率改變的影響。
表 8、表 9 列出每年違約機率 1%時，不同 σ 下投資組合的統計量與避險效 率。我們可得出與之前沒有跳躍類似的結論，不同的是避險績效在低波動度時有
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了大幅的提高，之後隨波動度增加而遞減，但平均而言避險效率皆優於沒有違約 的情況，以 VaR 減幅為例，平均有高於 50%的水準。
表 10、表 11 為 T 改變時的統計量與避險效率。避險效率較先前略為提高，
趨勢也同先前那般隨到期日增加而遞減。但值得注意的是，觀察表 10，從 15 年 開始，未避險時的 VaR 等同於期初價值，相當於未來 15 年有機會虧損全部本金；
反觀有避險的情況約為期初價值的 55%，約為一半本金。從這裡我們可推論之所 以避險績效會遞減，可能是因為只要到期日多於 15 年，未避險投資組合的下方 風險已不會再增加（因為已達到最大損失），反觀避險組合卻仍持續增加，導致 效率降低。
表 12、表 13 為違約機率改變時的統計量與避險效率。首先觀察表 12，當違 約機率極低時（p = 0.001）表現會很接近無跳躍的情形，如 VaR 與標準差均十分 相近；不同的是，未避險組合還是有機會在無徵兆狀況下損失全額本金（因為最 小值為 0），有避險則無此問題。接著觀察表 13，可發現避險績效隨著 p 增加而 提升，尤其在違約機率很高時，幾乎所有在所有指標都能達成減低 50%的效率，
這與其他參數變動情形有所差異。
此外尚有兩個結果值得一提。首先，除了前面介紹的四個風險指標外，如果 觀察各統計量表中最小值與 Q1的變化，則在不考慮違約且當到期日很長（或波 動度很高）時，CoCo 最小值已來到個位數，但避險組合最差仍有$300 ~ $400 的 價值（此指無轉倉組合）；在考量違約後，不論使用哪種到期日與波動度假設，
未避險組合最小值皆為 0，而避險組合最差仍有$200 ~$ 300 的價值，甚至有些情 形下，未避險組合的 Q1還小於避險組合的最小值（例如σ = 35%時，前者 Q1為
$253.88，後者 min.為$367.09）！這現像顯示透過避險，我們可將鉅額的「尾端 風險」給消除，將損失鎖定在一定水準，不至於損失所有本金，說明藉由衍生性 商品避險，的確能收到顯著的功效。第二，觀察最大值或 Q3的變化，則我們發 現避險組合的表現會比未避險略差，這是因為 CoCo 有可能在轉成股票後股價反 轉一路向上或者在到期前既沒違約也沒轉換，這時用於避險的 PDI 就不會被執
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行（或因沒碰觸界限而失效），單純成為投資組合的費用，減降低投資組合的價 值。換言之，當銀行經營狀況是不斷變好時，投資人進行避險反而會降低獲利空 間，這可視為投資人在獲得避險好處的同時必須犧牲的部分。