第二章、 文獻回顧
第二節、 CoCo 評價文獻
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第二節、CoCo 評價文獻
有關 CoCo 評價的文獻，可依轉換門檻分成兩類：第一種是股價門檻，也就 是當股價跌到一個預定水準會導致轉換，則在這種轉換機制下，CoCo 可被視為 下入／出局衍生性商品的組合。另一個類型是資本適足率門檻，評價方法會相對 複雜，因此目前評價 CoCo 的文獻多半以股價門檻為主。
Pennachi (2010) 首先提出了評價 CoCo 的方法。Pennachi 應用信用風險模型 的「結構式模型」(structural form model)，他假設銀行資金來源有三：存款、優 先順位債與普通股，並假設銀行資產價值服從含跳躍項的幾何布朗運動，無風險 利率期間結構服從 CIR 模型，則根據 Merton 模型，股東權益和公司債可視為以 公司資產為標的的選擇權。Pennachi (2010) 採用的轉換門檻為「股價門檻」，他 考慮各種轉換方式（固定股數 vs.固定金額／票面轉換 vs. 部份轉換），並比較 不同轉換規則下 CoCo 利差、存款利率與股東權益價值。Pennachi 發現，當轉換 股數是變動（固定金額）的情形下，CoCo 的利差是最小的，而當資產波動度增 加時，股東權益增加幅度最小，這是由於固定金額轉換法會讓 CoCo 投資人得到 較多股數，使股東權益稀釋程度較高，因此在此種設計下，金融機構的投機誘因 (risk-taking incentive)會最小。Pennachi 並指出，如果資產價值過程不含跳躍項，
則 CoCo 將不會有違約風險，因此信用價差 (credit spread)為 0；而一旦允許大幅 度資產跳躍，則銀行有正的機率在轉換前就倒閉，因此信用價差會隨跳躍風險增 加而擴大。此外，期初自有資本越多（資本適足率越高）、股價門檻越高時，因 為對 CoCo 投資人較有利，因此信用價差都會較低。
Pennachi (2010) 也額外探討到債務積壓與投機誘因的問題，他指出銀行發行 了 CoCo 後，因違約風險降低了，經營者可能反而會從事高風險投資，形成另一 種道德風險。但作者認為只要銀行發行較多主順位債或股東權益稀釋程度越高，
則可減低此道德風險。至於能否減輕債務積壓問題，Pennachi 以數值例說明，發
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行 CoCo 的銀行與只發行次順位債的銀行相比，股東會較願意增資，因為「價值 移轉」 (value transfer)的效果較輕。另外轉換機制設計得當可更進一步解決此問 題，Pennachi 指出，只要 CoCo 能使公司免於違約，則原有股東會有較高意願增 資。
Hilscher 與 Ravivy (2011) 評價 CoCo 的方法與 Pennachi 相似，他假設資產 服從幾何布朗運動，而公司負債只有優先順位債與 CoCo 兩種，然後考慮以下三 種互斥事件：(1) CoCo 沒有轉換，且公司在到期前沒有違約；(2) CoCo 已轉換，
但公司在到期前沒有違約； (3) CoCo 已轉換，但公司在到期前違約。Hilscher 與 Ravivy 依照這三種情形將 CoCo 拆解成一個以公司資產為標的的障礙選擇權 投資組合，進而計算 CoCo 理論價格。11
Spiegeleer 和 Schoutens (2011) 提出另外兩種模型來評價 CoCo，該論文同樣 是以股價當作轉換觸發點，共有「信用衍生性商品法」(credit derivatives approach, CDA) 和「股權衍生性商品法」(equity derivative approach, EDA)。「信用衍生性 法」是運用信用風險模型當中的「縮減式模型」(reduced form model)，此法可用 於評價一般公司債，方法是先計算債券到期前的違約機率及「違約強度」(default intensity），最後由違約強度和回復率（recovery rate）求得債券應有的信用價差12， 從而計算債券價格。Spiegeleer 和 Schoutens 藉由這種想法，稍加修改模型，將 違約強度與違約機率替換為「轉換強度」(trigger intensity)與轉換機率，從而計算 CoCo 的信用價差。Spiegeleer 和 Schoutens 指出，由於轉換機率較違約機率高，
因此 CoCo 的利差會比一般公司債高，這是因為投資人須承擔 CoCo 轉換成普通 股後的風險，因而要求額外的貼水。「股權衍生性法」是將 CoCo 視為一種股權 組合式商品，將 CoCo 拆解成一個投資組合：買入公司債、買入下入局標的為公 司股價的遠期契約及賣出下入局數據選擇權（代表每期的損失的債息），由於以
11 第一個情形下，CoCo 可視為買入下出局二元障礙買權(binary down-and-out barrier call option)；
至於其餘兩種事件，則可視為一般型下入局選擇權的組合。由於障礙選擇權存在封閉解，將此投 資組合價值加總即得 CoCo 理論價格。
12 在縮減式模型中，違約率(λ)、回復率(R) 和信用價差(cs)之間的關係為：cs = (1 − R) × λ
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上三者同樣有封閉解，因此很容易求得理論值。
Teneberg (2012) 在既有評價 CoCo 模型為基礎下，進一步修改得到更符合現 實的市場狀況。Teneberg 將既有的評價模型分成三類：第一類是 Hilscher 與 Ravivy (2011)的方法，稱為「資產負債表評價」(balance sheet pricing)，另兩種則是 Spiegeleer 和 Schoutens (2011) 提出的「信用衍生性商品法」和「股權衍生性商 品法」；三者各有其缺失，例如第一種方法是將公司資產當成選擇權標的，但資 產本身是無法交易的，這違反衍生性商品可被複製的原則；再者，資產動態過程 很可能不是幾何布朗運動。「信用衍生性法」主要在訂定 CoCo 的信用價差，因 此缺點是模型太過著重在 CoCo 的債券特質，忽略了它本身同時具有股權的特性，
尤其當觸發點是股價時，CoCo 價值受股價影響將更大，其價格波動會更接近普 通股，因而此種評價法會不準確。
Teneberg (2012)因而認為「股權衍生性商品法」是最合適的方法，然而此模型 假設股價報酬呈幾何布朗運動，這不符合現實上股價有跳空的現象，Teneberg 於 是在這點上作修正。然而不幸的，當股價有了跳躍項後，障礙選擇權的封閉解就 不存在了，必須仰賴數值法，例如蒙地卡羅法或二元樹求解，該文作者採用的是
「三元樹」。Teneberg 的三元樹建構方法是將每期股價分成三條路徑，三條路徑 各自包含數個跳躍，因此每期過後都產生更多個節點 13。但由於有「分配誤差」
(distribution error) 和「非線性誤差」(nonlinearity error)，造成數值解收斂速度極 慢且呈不規則鋸齒狀，因此作者採用「適應網模型」(adaptive mesh model, AMM) 和 Ritchken’s technique 來修正三元樹模型，將資產路徑在接近門檻時加以細分，
而在其餘節點則不作調整，如此收斂時間大幅降低。Teneberg 將修正三元樹評 價模型實際應用到瑞士信貸所發行的 CoCo 上，所得出的理論值與市價誤差僅約 5%。
13 例如當我們假設每一期可能產生 1,2,或 3 個跳躍時，則每一條路徑將可能產生向上(下) 3 個跳 躍與沒發生跳躍的情形，相當於 7 個節點，因此三元樹每過一期就會新增 21 個節點。
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Glasserman 和 Nouri (2010) 的論文也是在評價 CoCo，不同於前述幾種評價 法的是，他們採用的轉換方式為 accounting trigger，理由主要有三點：(1) 所有 的銀行監理機制都是以會計資訊為基礎 14；(2) 既有已發行的 CoCo 條款皆採用 資本適足率當作門檻值，而非以股價當作觸發點；(3) 採用市價門檻易受市場操 縱，或者會因市場不理性而使股價下跌引起不必要的轉換，如此有違 CoCo 設計 的精神，但採用會計門檻則不受此影響。
Glasserman 和 Nouri 評價模型還有另外一個較特別的設定，在其他評價相 關文獻，只要 CoCo 的門檻一被觸及，則所有已發行的 CoCo 會「一次」轉換成 普通股，但在此作者允許 CoCo「部分」轉換 (partial conversion)，也就是 CoCo 在門檻被觸及後，若資產價值仍持續下跌，則 CoCo 會逐漸轉換成權益，使公司 資本適足率「恰好」維持在法定水準，簡言之，就是需要多少法定資本，才轉換 多少，一直到 CoCo 全部轉換完為止。也由於同時考量了會計門檻與部分轉換，
模型較其他股價門檻模型更為複雜，因為在折現 CoCo 預期現金流量時，首先我 們必須要知道在任何一個到期前的時點，究竟有多少 CoCo 被轉換成權益，或者 在現有普通股當中，究竟有多少比例是由 CoCo 轉換來的；同時我們還須了解轉 換過來的普通股，領了多少股利，而剩餘 CoCo 又累積多少利息。作者在論文中 分別求出各種現金流量來源的通式，最後以平賭訂價法導出 CoCo 的理論價格。
Wilkens 和 Bethke (2012)是第一篇實證評價模型的文獻，該文以 LBG 和 Credit Suisse 發行的 CoCo 比較三個模型的準確度, 分別是 Pennacchi (2010)的結 構式模型以及 Spiegeleer J.D. & Schoutens (2011)的信用衍生性模型、股權衍生性 模型。Wilkens 和 Bethke (2012)的實證顯示，三種模型導出的價格大致吻合實際 資料，然而當使用避險參數作動態避險時，股權衍生性模型的總避險誤差是最小 的，因此作者認為該模型在風險管理的實用性上最高。
14 例如 Basel II 的要求自有資本須超過「風險加權資產」(risk-weighted assets) 的 8%，其中第一 類核心資本 (Tier I core capital) 須超過 4%。