模擬結果

[37]，即離線(offline)的設計每一條規則所對應的回授矩陣 _{, ,} ，並透過建立 T-S 接著利用引理 2.1，並使用 MATLAB LMI 工具箱(MATLAB LMI tool box)來對矩 陣 進行求解，我們可求得 如下 (boundary layer width) = 0.02；而在積分型順滑模控制方面我們將控制律(3.29) 修改成下列行式

且同樣地設定其邊界寬度(boundary layer width) = 0.02。

與 LQRn 雖然不完全相同，但 ISMC 的控制輸入時間響應看起來似乎是以 LQRn

圖 3.2 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.3 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.4 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.5 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.6 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.7 衛星姿態穩健性控制其狀態變數 之時間響應比較圖

圖 3.8 衛星姿態穩健性控制其順滑變數 之時間響應比較圖

圖 3.9 衛星姿態穩健性控制其順滑變數 之時間響應比較圖

圖 3.10 衛星姿態穩健性控制其順滑變數 之時間響應比較圖

圖 3.11 衛星姿態穩健性控制其控制輸入 之時間響應比較圖

圖 3.12 衛星姿態穩健性控制其控制輸入 之時間響應比較圖

圖 3.13 衛星姿態穩健性控制其控制輸入 之時間響應比較圖

圖 3.14 衛星姿態穩健性控制其控制輸入 之時間響應比較圖

表 3.2 衛星姿態穩健性控制其效能比較表

控制方式

性能指標(performance index)

穩定度 + ‖ ‖ 收斂時間

(convergence time)

ISMC 穩定 1.6960 4.2780 5.9740 1.4860 8.921

SMC 穩定 5.5961 3.6366 9.2327 2.8950 3.853

LQRn 穩定 1.2272 4.2751 5.5023 1.3968 8.973

LQRd 不穩定 X X X X X

第4章 衛星姿態可靠度控制之應用

近年來，可靠度控制(reliable control)或容錯控制(fault tolerance control)的研 究已受到廣泛的關注，許多相關的研究也如雨後春筍般地被提出[1],[2] -[10]，一 般來說，維修及保養服務無法即時地提供，這也使得可靠度控制變的至關重要。

可靠度控制主要的目的為設計一個適當的控制律使得閉迴路系統能夠忍受某些 控制元件不正常的運作，並且擁有可接受的系統性能以及保持其穩定度。現今已 經有許多設計可靠度控制的方法被提出，在這些方法包含了線性矩陣不等式法 (linear matrix inequality based approach)[6]，代數 Riccatti 方程式法(algebraic Riccatti equation based approach)[8]，互質分解法(coprime factorization approach)[9]，

Hamilton-Jacobi 法(Hamilton-Jacob based approach)[3][10]，順滑模控制法(sliding mode control based approach)[2][4][5]，而上述的這些方法中，只有 Hamilton-Jacobi 法與順滑模控制法是處理非線性系統的可靠度控制問題，但是 Hamilton-Jacobi 法的設計主要是一種最佳控制的技巧(optimal strategy)，其可靠度控制律的設計 不可避免地會與 Hamilton-Jacobi 方程式(Hamilton-Jacobi equation，HJ equation) 的解有關係，一般來說，Hamilton-Jacobi 方程式是難以求解的，雖然可透過冪級 數[11]的方法並使用計算機計算，可能可以降低求解的困難度，但其所得的解仍 然為近似解，且會因系統變得複雜而造成計算快負擔快速地增加；相對地，順滑 模控制法設計可靠度控制律時並不需要求解 Hamilton-Jacobi 方程式，且同時可 保有 2.1 節所述之順滑模控制的優點[1][4][5]。另外，在可靠度控制的議題上，

主要可分為兩種設計方式，一種是被動式(passive)可靠度控制，另一種是主動式

(active)可靠度控制。被動式可靠度控制必須先劃分出不會故障和可能會故障的促 動器(actuator)，可是實際上在故障發生前我們是很難得知這方面的資訊的。而主 動式可靠度控制可以依靠錯誤偵測與診斷機制(fault detection and diagnosis，FDD) 來監視故障的發生，有鑑於此，在本論文中我們選用主動式可靠度控制為主，而 之後所談論的可靠度控制律設計皆是基於主動式可靠度控制設計。

在第二章我們可知道積分型順滑控制比起順滑模控制擁有較多的優點，以及 T-S 模糊模型用於近似非線性系統時之好處，在第三章中，我們已對於基於 T-S 模糊模型並使積分型順滑控制來作為控制律設計的方式進行討論，並考慮其對於 系統干擾的穩健性分析，接下來，誠如前面所述之可靠度控制的重要性，在本章 中我們進一步將基於 T-S 模糊模型並使積分型順滑控制來作為控制律設計的方 式延伸到可靠度控制律設計上面，並且進一步探討其穩健性。同樣地，我們也會 與基於 T-S 模糊模型並使順滑控制來作為可靠度控制律設計的方式[1]做比較。

在本章中，我們將在 4.1 節定義所探討的系統，以及控制目標，接著，在 4.2 節中，我們將敘述如何建立 T-S 模糊模型，而在 4.3 節我們討論如何利用第 2 章 中所提到的順滑模控制與積分型順滑模控制兩種控制方式，來進行控制律設計，

最後 4.4 節，我們以衛星姿態控制的模型為例子來進行模擬，並討論分析兩種控 制律的模擬結果。

4.1 問題描述

我們考慮下列非線性二階控制系統(second-order nonlinear control system)如 下

=

= ( ) + ( ) + (4.1) 其中 ∈ ℝ ， ∈ ℝ ， = [ , ] ∈ ℝ 為系統狀態， ∈ ℝ 為控制輸入，

( ) ∈ ℝ 以及 ( ) ∈ ℝ ^× 皆為平滑函數， ∈ ℝ 代表匹配型(matched type)的系 統之不確定性(uncertainties)或外在干擾(external disturbances)， ( )= ∈ ℝ ，即

∈ ℝ 為其平衡點(equilibrium point)。在可靠度控制的問題下，一般來說，在所 有促動器皆正常運時，即促動器發生故障之前，控制工程師可選擇任何的控制技 術來完成控制目標，因此，在促動器發生故障之前，我們選用 3.3.1 節與 3.3.2 節所討論的順滑模控制以及積分型順滑模控制做為控制方式，當促動器被偵測與 診斷出其發生故障後，則控制律會被重組成可靠度控制律，使得閉迴路系統仍然 會達到我們想要的控制目標。在討論主動式可靠度控制律設計時，我們會先假設 系統由錯誤偵測與診斷機制(fault detection and diagnosis，FDD)的資訊中得知故 障的促動器是哪些部分，為了區分正常和故障的促動器，我們以 H 代表正常運 作的部分，而 F 代表故障的部分，因此系統(4.1)式可被改寫成

=

= ( ) + ( ) + ( ) + (4.2) 其 中 ∈ ℝ 為 正 常 運 作 的 控 制 輸 入 ， ∈ ℝ 為 故 障 的 控 制 輸 入 ，

( ) ∈ ℝ ^× ， ( ) ∈ ℝ ^{×( )}， ( ) = [ ( ) ⋮ ( )] ∈ ℝ ^× ，m ≥ k。為 了幫助討論，我們需要下列引理，同時我們考慮系統擁有下列假設。

引理 4.1：[36]

令 ∈ ℝ ^× ， ∈ ℝ ^× 為兩個矩陣其中rank( ) = n，則 (iv) ‖ ‖ = ( )

(v) ‖ ‖ = ( ) = 1⁄ ( ) (vi) ( + ) ≥ ( ) − ( )

其中 (∙)， (∙)與(∙) 分別代表矩陣的最大奇異值(maximum singular value)，

最小奇異值(minimum singular value)與廣義反矩陣(pseudo-inverse matrix)。

假設 4.1：

對 任 何 狀 態 ∈ ℝ ， 系 統 (4.2) 的 矩 陣 ( ) 為 列 滿 秩 (full row rank) ， 且 ( ) = > 0。

假設 4.2：

系統(4.2)滿足m ≥ k ≥ n，亦即正常運作的控制輸入 ∈ ℝ 的維度(dimension) 大於等於系統狀態 ∈ ℝ 的維度。

附註 4.1：

雖然假設 4.1 已經暗指了動態系統(4.2)滿足m ≥ k ≥ n之條件，但我們仍必須建 立假設 4.2，因當動態系統(4.2)式滿足假設 4.2，即條件k ≥ n，且同時擁有假設 4.1，才能使得後續我們將會 4.3.1 節討論利用 T-S 模糊模型近似動態系統(4.2)式 後的順滑模控制設計時，其等效控制(equivalent control)存在[24]，並且，此條件 也會是之後在 4.3.2 節討論利用 T-S 模糊模型近似動態系統(4.2)式後的積分型順 滑模控制設計時，被能夠使得我們成功設計控制器的關鍵條件。

根據假設 4.1，以及假設藉由錯誤偵測與診斷機制我們估測到故障部分的促 動器的輸出為 ，而估測誤差為∆ ，則我們可以進一步將(4.2)式整理成 =

= ( ) + ( )( + ) + ( )( + ∆ ) (4.3) 其中 = ( ) ∈ ℝ 。

在本章中我們主要的目的為，考慮系統存在著系統不確定性以及外在干擾的 狀況下，設計一個控制律使得當系統的某些促動器發生故障時依然能夠利用剩下 正常運作的促動器來完成穩定的任務，也就是可靠度控制設計。而在此我們也會 比較基於 T-S 模糊模型下之順滑模控制與基於 T-S 模糊模型下之積分型順滑模控 制兩者的可靠度控制，並且透過特定的性能指標，來分析比較其兩者之性能。

4.2 建立 T-S 模糊模型

在我們建立 T-S 模糊模型來近似非線性系統(4.3)式之前，我們將非線性系統 (4.3)式的漂移項(drift term) ( )以及控制矩陣 ( )化成下列型式

( ) = ( ) (4.4)

( ) = ( ) (4.5)

( ) = ( ) (4.6)

接著，選取 p 個操作點 , i = 1, ⋯ , p，其中操作點與其各數 p 可由我們自己決定，

且操作點的數目即為建立 T-S 模糊模型時的規則數目。我們把各個操作點代入 ( )和 ( )以及 後可得各個操作點所對應之線性系統的系統矩陣如下

( ) = , i = 1, ⋯ , p (4.7) ( ) = , i = 1, ⋯ , p (4.8) ( ) = , i = 1, ⋯ , p (4.9) 最後，若我們使用 p 條規則建立 T-S 模糊模型並用其來近似原非線性系統時，則 可把 T-S 模糊模型表示成

=

= ∑ ( )[ + + ( + ∆ )] (4.10) 其中 ( )為權重(weighting)其滿足∑ ( ) = 1且 ( ) ≥ 0，因此，最後我們利 用 T-S 模糊模型近似非線性系統(4.3)式後的動態系統模型可表示成

=

= ( ) + ∆ + [ ( ) + ∆ ]( + )

+[ ( ) + ∆ ]( + ∆ ) (4.11)

其 中 ( ) = ∑ ( ) ， ( ) = ∑ ( ) ， ( ) = ∑ ( ) ，

∆ = ( ) − ∑ ( ) ， ∆ = ( ) − ∑ ( ) ， ∆ = ( ) −

∑ ( ) ，而∆ 與∆ 以及∆ 為利用 T-S 模糊模型來近似非線性系統(4.3)

式時所產生的額外模型誤差。

另外，根據[31]可知 T-S 模糊模型可任意的近似原始的非線性系統，即在我 們所考慮的近似誤差範圍下，對應的可找到一 T-S 模糊模型並用它來近似原始的 非線性系統時，所產生的近似誤差會在我們所考慮的範圍內，因此我們可引入下 列假設。

假設 4.3：

設存在常數 > 0，其中 < ，使得‖∆ ‖ ≤ ，其中∆ = [∆ ⋮ ∆ ]，而 為 假設 4.1 所定義之值。

由假設 4.1 可知對任何的狀態 ∈ ℝ 成立 ( ) = > 0，再由假設 4.3 以及引理 4.1，我們可得 ( ( )) = ( ( ) − ∆ ) ≥ ( ) −

‖−∆ ‖ = ( ) − ‖∆ ‖ ，又因為∆ = [∆ ⋮ ∆ ]，即∆ 為∆ 的部 分 矩 陣 ， 故 ‖∆ ‖ ≥ ‖∆ ‖ ， 即 ‖∆ ‖ ≤ ， 我 們 可 得 到 ( ( )) ≥ ( ) − ‖∆ ‖ ≥ − ≥ > 0 ， 因 此 rank ( ) ∈ ℝ ^× = n ， 即 ( )為列滿秩。