積分型順滑模控制(integral-type sliding mode control，ISMC)的概念與順滑模 態控制類似，兩者之間最顯著的差別在於，積分型順滑模控制的順滑面型式，可 在順滑面上時，其匹配型模型不確定性或干擾(matched type uncertainties or disturbances)會被完全的抑制；(2)順滑模控制其最大控制輸出最大值(maximum
的系統之不確定性(uncertainties)或外在干擾(external disturbances)。根據論文[29]
可知，設計非線性系統的積分型順滑模控制器可分為兩個步驟，步驟一為設計順 滑面(sliding surface)，當閉迴路系統軌跡被限制在順滑面上時其動態響應會等同 於 閉 迴 路 無 干 擾 系 統 (nominal system) 之 響 應 ， 並 藉 無 干 擾 控 制 律 (nominal controller) 可使得閉迴路系統達到漸進穩定；步驟二為設計積分型順滑模控制 律(integral-type sliding mode control law) = + ，使得閉迴路系統軌會一直 被保持在順滑面上。
假設 2.4：
‖ ‖ ≤ ( , t), ∀ ∈ ℝ , ∀t ∈ ℝ ，其中 : ℝ × ℝ → ℝ為一連續的非負函數。
假設 2.5：
當m ≤ n時，存在 ∈ ℝ × 使得對任何的狀態 ∈ ℝ 矩陣 ( ) ∈ ℝ × 為可逆 (invertible) ， 當m > n 時 ， 存 在 ∈ ℝ × 使 得 對 任 何 的 狀 態 ∈ ℝ 矩 陣 ( ) ∈ ℝ × 為列滿秩(full row rank)。
假設 2.6：
存在一個無干擾控制律(nominal controller) 使得(2.21)式的無干擾系統(nominal system) = ( ) + ( ) 在 的控制下，原點為漸進穩定(asymptotically stable)。
附註 2.3：
與 2.1 節所討論的順滑模控制不同，在此我們並不需要對動態系統(2.21)做m ≥ n 之假設，因為，儘管當m ≤ n時，只要系統(2.21)滿足假設 2.5，即可使得積分型 順滑模控制的等效控制(equivalent control)存在[29]，並且只要系統(2.21)滿足假設 2.6，即存在無干擾控制律 使得 = ( ) + ( ) 為漸進穩定，後續理論推導 仍然成立且可行。
‧步驟一：設計順滑面(sliding surface) ( ) = 考慮(2.21)式，順滑面被設計成[29]
= (t) − (t ) − [ ( (τ)) + ( (τ)) ] dτ = (2.22) 其中 滿足假設 2.5。我們可發現 (t ) = ，即閉迴路系統軌跡一開始就會落 在順滑面上。
‧步驟二：設計控制律
設計控制律之前，我們必須先設計好順滑面，在此我們假設已設計好順滑面 如(2.22)式，而設計控制律，又可分為兩個子步驟，子步驟一為設計 ，子步驟 二為設計 ，而最後的積分型順滑模控制律(integral-type sliding mode control law) = + ，我們分別討論。
‧子步驟一：(設計 )
設計 時可針對(2.21)式的無干擾系統 = ( ) + ( ) 進行設計，且必須使 得 要滿足假設 2.6，因此，對於 存在著額外的設計自由度[29]。另外，與順 滑模控制一樣， 也擁有當我們不考慮匹配型的系統之不確定性或外在干擾時，
使得順滑面 ( )= 對於閉迴路系統為不變集合(invariant set)的這項功能，即 ( (t )) = ， ( (t)) = , ∀t ≥ t ，但我們設計 並不需要把這項 既有的功能
納入設計時所必須考慮的條件，而在順滑模控制時卻一定要納入設計 時所考慮
的 條 件 。 我 們 將 (2.22) 式 中 的 順 滑 變 數 = (t) − (t ) − [ ( (τ)) + ( (τ)) ] dτ 對時間 t 取導函數並將(2.21)式代入，再假設 已經設計完成代入 (2.21)式了，則我們可得順滑變數 所對應的動態系統為
( )= ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − ( )
= ( )( + ) + ( ) − ( )
= ( ) + ( ) (2.23)
觀察(2.23)式我們可發現，如果我們僅使用 = 作為回授控制，亦即 = ， 且不可慮雜訊項 時，則(2.23)式擁有 = 為平衡點(equilibrium point)。
‧子步驟二：(設計 ) 瞬間(time instant) ≠ ，並將(2.24)式代入(2.23)式可得順滑變數 所對應的閉迴 路動態系統變為
( ) = − ( , t) ( ) ( )
( ) + ( ) (2.25) 透過 Lyapunov 理論，令(2.25)式的可能的 Lyapunov 函數(Lyapunov function candidate)為V = ，則V對時間 t 的導函數為
V = = − ( , t) ( )
( ) + [ ( )]
≤ − ( , t) ( ) + ( ) ‖ ‖
≤ − ( , t) ( ) + ( ) ( , t) = ( ) [− ( , t) + ( , t)] < 0 (2.28) 其 中 我 們 利 用 了 柯 西 - 史 瓦 茲 不 等 式 (Cauchy-Schwarz inequality) 來 使 得 [ ( )] ≤ ( ) ∙ ‖ ‖ 。推導至此，由(2.28)式與 Lyapunov 理論可
知，V = 為(2.25)式的一個 Lyapunov 函數，且(2.23)式所表示的動態系統在 控制律(2.24)式的控制下，其閉迴路系統(2.25)式為漸進穩定(asymptotically stable)，
亦即 → ，當t → ∞，也就是說，針對(2.23)式來說每當順滑變數 ≠ ， 會使
得 → ，同時代表著閉迴路系統軌跡一但偏離順滑面後，會立即趨近順滑面，
但在此因為順滑面的設計型式所致，我們僅會得到 ( (t )) = 之值，故對(2.23) 式使用(2.24)式控制後的順滑變數 所對應的閉迴路動態系統(2.25)式來說必成立
( (t)) = , ∀t ≥ t 。
由以上子步驟一與子步驟二，以及相關證明可知，最後的積分型順滑模控制 律為 = + 。
附註 2.4：
接下來我們證明僅考慮系統存在匹配型模型不確定性或干擾，當閉迴路系統軌跡 被保持在順滑面上時，其動態行為會等同於未受干擾的閉迴路無干擾系統 (nominal system)之響應。設閉迴路系統軌跡被保持在順滑面，即 ( (t )) = ， ( (t)) = , ∀t ≥ t 時，閉迴路系統 = ( ) + ( ) 的軌跡為 (t) = (t)，而
= ( )[ + − ] = (2.29) 其中 ( )為可逆或列滿秩，故必存在一解
= − + (2.30) 滿足(2.29)式，而 稱為等效控制(equivalent control)，其為閉迴路系統軌跡被保 持在順滑面時所對應的等效控制律。我們把(2.30)式代入原始動態系統(2.21)式後 可得
= ( ) + ( ) (2.31)
觀察(2.31)式，可發現其動態系統即為原始動態系統(2.21)使用 控制後的閉迴路 無干擾系統，因此，當閉迴路系統軌跡被保持在順滑面上時，其動態行為確實等 同於未受干擾的閉迴路無干擾系統(nominal system)之響應。
附註 2.5：
我們需要假設 2.5 來幫助我們完成控制律的設計，並使得積分型順滑模控制的等 效 控 制 (equivalent control) 存 在 [29] ， 另 外 ， 我 們 已 知 當 ≠ 時
= − ( , t) ( ) ( ) ，且希望當 ≠ 時， 必須發生作用將
閉迴路系統軌跡推向順滑面，因此，我們需要假設 2.5 來使得 ( ) 為可逆或 者行滿秩(full column rank)，進一步使得當 ≠ 時 ( ) ≠ 。