積分型順滑模可靠度控制律設計

考慮動態系統(4.12)式，透過第 2.2 節所談論的積分型順滑模控制設計方式 可知，我們可設計順滑面為

= (t) − (t ) − ( (τ)) + ( (τ)) dτ = (4.26)

其 中 滿 足 假 設 2.5 ， (t) = [ (t) (t)] ， ( ) = [0 ⋮ ( ) ] ， ( ) = [ (t) ( ) ] 。我們知道，當k ≤ 2n時 ∈ ℝ ^× ，當k > 2n時 ∈ ℝ ^× ，不 失一般性可以令矩陣 = [ ⋮ ]，其中當k ≤ 2n時 ∈ ℝ ^× ， ∈ ℝ ^× ，而當 k > 2n 時 ∈ ℝ ^× ， ∈ ℝ ^× ， 接 著 再 將 (4.26) 式 中 的 順 滑 變 數 = (t) − (t ) − ( (τ)) + ( (τ)) dτ 對時間 t 取導函數並將(4.12)式帶 入如下

= (t) − (t) − ( (t))

= [ (t) (t)] − [ (t) ( ) ] − ( (t))

= {[ (t) (t)] − [ (t) ( ) ] − [0 ⋮ ( ) ] }

= {[0 (t) − ( ) ] − [0 ⋮ ( ) ] }

= { (t) − ( ) − ( ) } (4.27)

我們可發現，順滑變數 所對應的動態系統(4.27)式，即順滑變數 沿著閉迴路系 統軌跡對時間 t 的變化率與矩陣 並無關，因此在考慮(4.12)式時我們可以將順 滑面的設計簡化成如下

= (t) − (t ) − [ ( (τ)) + ( (τ)) ] dτ = (4.28) 其 中 滿足假設 2.5，即當k ≤ n時， ∈ ℝ ^× 使得對任何狀態 ∈ ℝ 矩陣 ( ) ∈ ℝ ^× 為 可 逆 ， 當k > n時， ∈ ℝ ^× 使 得 對 任 何 狀 態 ∈ ℝ 矩陣 ( ) ∈ ℝ ^× 為列滿秩，但由假設 4.2 以及 4.2 節建立 T-S 模糊模型時的過程 知道，我們現在僅考慮系統(4.12)式擁有k ≥ n之條件，此條件可用來幫助我們設 計(4.12)式這樣子形式下的非線性系統積分型順滑可靠度模控制律。

接 著 設 計 積 分 型 順 滑 模 可 靠 度 控 制 律 (integral-type sliding mode control law) = + ，根據 2.2 節之討論可知，設計積分型滑模可靠度控制律

= + 中的 時必須滿足假設 2.6，因此在此我們引入下列假設。

假設 4.5：

存在一個無干擾控制律 使得(4.12)式的無干擾系統 =

= ( ) + ( ) (4.29)

在 的控制下，原點對於閉迴路系統為漸進穩定。

因為 的設計方式存在著自由度，我們定義二次成本函數(performance index)如下[37]

= ( + ) dt (4.30)

其中 = ≥ 0， = > 0，根據[37]可知，我們可在(4.30)式這個二次成本 函數下使用線性二次調節法(linear quadratic regulation，LQR)來對(4.12)式的無干 擾 系 統 進 行 平 行 分 配 補 償 之 設 計 ， 即 設 計 每 一 條 規 則 所 對 應 的 回 授 矩 陣

(feedback gain matrix)，再透過建立 T-S 模糊模型來近似原非線性系統時所使用 的權重 ( )來得到 ，即我們最後可得 為

= − ∑ ( ) (t) (4.31) 此種 的設計方式為一種次最佳化(sub-optimal)的設計方式[37]，當 透過此 方法設計完成並帶入(4.29)式的 之後，我們僅需要利用引理 2.1，並透過線性矩 陣不等式的求解工具，如 MATLAB LMI 工具箱(MATLAB LMI tool box)來對矩 陣 進行求解，即可確定(4.29)式在 的控制下之穩定性。我們將(4.28)式對時間

假設 4.6：

‖ ‖ ≤ ( , t), ∀ ∈ ℝ , ∀t ∈ ℝ， : ℝ × ℝ → ℝ為一連續的非負函數。

雖然假設 4.6 的不等式當中需要 的資訊，但因‖∆ ‖ ，‖∆ ‖ ，‖∆ ‖ 以 及‖∆ ‖ 的上界(upper bound)可離線估測(offline estimation)，並且我們也可以估 計干擾的上界‖ ‖ ，因此當計算完 後我們便可獲得 ( , t)之值。

同樣地，根據 2.2 我們可設計積分型順滑模可靠度控制律 = + 中 的 為下列所示

= − ( ) ( ) − ( , t) ( )

( ) , if ≠

− ( ) ( ) , if =

(4.34)

其中 ( , t) > ( , t)，在此我們可特別注意到，因為透過錯誤偵測與診斷 機 制 ， 我 們 估 測 到 故 障 部 分 的 促 動 器 的 輸 出 為 ， 因 此 我 們 確 實 可 獲 得 ( ) ( ) 之資訊來設計 。為了證明 設計成(4.34)式之可行性，我們令 在某個時間瞬間 ≠ ，並將(4.34)式代入

(4.33)式可得順滑變數 所對應的閉迴路動態系統變為 = ( ) − ( , t) ( )

( )

+ ( )∆ − ( , t) ( )

( ) + (4.35)

透過 Lyapunov 理論，令(4.35)式的可能的 Lyapunov 函數(Lyapunov function candidate)為V = ，則V對時間 t 的導函數為

V = (4.36)

將(4.35)式代入(4.36)式可得

V = = ( ) − ( , t) ( ) ( )

+ ( )∆ − ( , t) ( )

( ) + (4.37)

利用假設 4.1 到假設 4.3 以及假設 4.6 可將(4.37)式整理成如下

V = − ( , t) ( )

( ) + [ ( )] ( )∆ − ( , t) ( ) ( ) +[ ( )]

≤ − ( , t) ( )

+ ( ) ∙ − ( , t) ( )∆ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ( )∆ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ∆ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ‖∆ ‖ ∙ ( ) ( )

+ ( ) ∙ ‖ ‖

+ ( , t) ( )

進一步整理(4.41)式後可的

+[ ( ) + ∆ ]( + ∆ ) (4.44)

+[ + ( )∆ ] − ( )∆ ( ) ( ) } (4.48)

假設系統(4.1)的某些促動器發生故障之情形，且假設藉由錯誤偵測與診斷機制我 們估測到故障部分的促動器的輸出為 ，而估測誤差為∆ ，並且利用 T-S 模糊 模型近似後得其近似之動態系統(4.12)式，當假設 4.1 到假設 4.3，以及假設 4.6 同時成立，且存在矩陣 P 滿足引理 2.1 使得假設 4.5 也成立時，則含控制輸入發 生故障得(4.1)式在下列控制律(4.52)式的控制下，原點對於閉迴路系統為漸進穩 定。

= + (4.52)

其中

= − ∑ ( ) (t) (4.53)

= − ( ) ( ) − ( , t) ^{( )}

( ) , if ≠

− ( ) ( ) , if =

(4.54) 且 ( , t) > ( , t)。