積分型順滑模控制律設計

考慮利用 T-S 模糊模型近似原非線性系統後的動態系統(3.7)式，透過第 2.2 節所談論的積分型順滑模控制設計方式可知，我們可設計順滑面為

= (t) − (t ) − ( (τ)) + ( (τ)) dτ = (3.21) 其 中 滿 足 假 設 2.5 ， (t) = [ (t) (t)] ， ( ) = [0 ⋮ ( ) ] ， ( ) = [ (t) ( ) ] 。我們知道，當m ≤ 2n時 ∈ ℝ ^× ，當m > 2n時 ∈ ℝ ^× ， 不失一般性可以令矩陣 = [ ⋮ ]，其中當m ≤ 2n時 ∈ ℝ ^× ， ∈ ℝ ^× ， 而 當m > 2n 時 ∈ ℝ ^× ， ∈ ℝ ^× ， 接 著 再 將 (3.21) 式 中 的 順 滑 變 數

= (t) − (t ) − ( (τ)) + ( (τ)) dτ 對時間 t 取導函數並將(3.7)式 帶入如下

= (t) − (t) − ( (t))

= [ (t) (t)] − [ (t) ( ) ] − ( (t))

= {[ (t) (t)] − [ (t) ( ) ] − [0 ⋮ ( ) ] } = {[0 (t) − ( ) ] − [0 ⋮ ( ) ] }

= { (t) − ( ) − ( ) } (3.22)

我們可發現，順滑變數 所對應的動態系統(3.22)式，即順滑變數 沿著閉迴路系 統軌跡對時間 t 的變化率與矩陣 並無關，因此在考慮(3.7)式時我們可以將順滑

面的設計簡化成如下

= (t) − (t ) − [ ( (τ)) + ( (τ)) ] dτ = (3.23) 其中 滿足假設 2.5，即當m ≤ n時， ∈ ℝ ^× 使得對任何狀態 ∈ ℝ 矩陣 ( ) ∈ ℝ ^× 為可逆，當m > n時， ∈ ℝ ^× 使得對任何狀態 ∈ ℝ 矩陣 ( ) ∈ ℝ ^× 為列滿秩，但由假設 3.2 以及 3.2 節建立 T-S 模糊模型時的過程知 道，我們現在僅考慮系統(3.7)式擁有m ≥ n之條件，此條件可用來幫助我們設計 (3.7)式這樣子形式下的非線性系統積分型順滑模控制律。

接著設計積分型順滑模控制律(integral-type sliding mode control law) = + ，根據 2.2 節之討論可知，設計積分型滑模控制律 = + 中的 時 必須滿足假設 2.6，因此在此我們引入下列假設。

假設 3.5：

存在一個無干擾控制律 使得(3.7)式的無干擾系統 =

= ( ) + ( ) (3.24) 在 的控制下，原點對於閉迴路系統為漸進穩定。

因為 的設計方式存在著自由度，我們定義二次成本函數(performance index) 如下[37]

= ( + ) dt (3.25)

其中 = ≥ 0， = > 0，根據[37]可知，我們可在(3.25)式這個二次成本 函數下使用線性二次調節法(linear quadratic regulation，LQR)來對(3.7)式的無干 擾 系 統 進 行 平 行 分 配 補 償 之 設 計 ， 即 設 計 每 一 條 規 則 所 對 應 的 回 授 矩 陣 (feedback gain matrix)，再透過建立 T-S 模糊模型來近似原非線性系統時所使用 的權重 ( )來得到 ，即我們最後可得 為

= − ∑ ( ) (t) (3.26) 此種 的設計方式為一種次最佳化(sub-optimal)的設計方式[37]，當 透過此方 法設計完成並帶入(3.24)式的 之後，我們僅需要利用引理 2.1，並透過線性矩陣 不等式的求解工具，如 MATLAB LMI 工具箱(MATLAB LMI tool box)來對矩陣 進行求解，即可確定(3.24)式在 的控制下之穩定性。我們將(3.23)式對時間 t 取 導函數並將(3.7)式以及已經設計完成的 代入了，則我們可得順滑變數 所對應 的動態系統為

= { ( ) + ∆ + [ ( ) + ∆ ]( + ) − ( ) − ( ) } (3.27) 由 3.2 節我們知道 ( )為列滿秩，故 ( ) ( ) = ∈ ℝ ^× ，因此我們可將(3.27) 式進一步整理後得

= {∆ + ( )( + ) + ∆ ( + )}

= { ( )( + + ( )∆ ( + ) + ( )∆ )}

= ( ){ + + ( )∆ ( + ) + ( )∆ }

= ( ){ + ( )∆ + } (3.28)

其中 = + ( )∆ ( + ) + ( )∆ 。為了繼續完成控制律之設計，我們 引進下列假設。

假設 3.6：

‖ ‖ ≤ ( , t), ∀ ∈ ℝ , ∀t ∈ ℝ， : ℝ × ℝ → ℝ為一連續的非負函數。

雖然假設 3.6 的不等式當中需要 的資訊，但因‖∆ ‖ 與‖∆ ‖ 的上界(upper bound)可離線估測(offline estimation)，並且我們也可以估計干擾的上界‖ ‖ ，因 此當計算完 後我們便可獲得 ( , t)之值

同樣地，根據 2.2 我們可設計積分型順滑模控制律 = + 中的 為下列 所示

= − ( , t) ( )

透過 Lyapunov 理論，令(3.30)式的可能的 Lyapunov 函數(Lyapunov function candidate)為V = ，則V對時間 t 的導函數為

+ ( ) ∙ ‖ ‖ ≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ( )∆ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ∆ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( )

+ ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ‖∆ ‖ ∙ ( ) ( ) + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( ) + ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ‖∆ ‖ + ( ) ∙ ‖ ‖

≤ − ( , t) ( ) + ( , t) ( ) ∙ ‖ ( )‖ ∙ ‖∆ ‖

+ ( , t) ( ) (3.33)

另外，因為 ( )為列滿秩，故由引理 3.1 可知 ‖ ( )‖ = ‖( ( ) − ∆ ) ‖

= 1

( ( ) − ∆ ) ≤ 1

( ) − ‖−∆ ‖

= 1

制律 = + 進行控制時，其中 為(3.26)式所示 為(3.29)式所示，閉迴路

=

∆ = ( ) − ( )，我們可將(3.43)式整理成 =

= ( ) − ∆ + ( ) (3.44) 再利用一次關係式∆ = ( ) − ( )，我們可再將(3.44)進一步整理成

=

= ( ) + ( ) (3.45) 其中 = [ , ] ，觀察(3.45)式可發現其動態系統即為動態系統(3.7)式的無干 擾系統使用 控制後的閉迴路無干擾系統，也就是說，原始非線性系統(3.1)式僅

擁有匹配型模型不確定性或干擾時，並使用積分型順滑模控制律 = + 進

行控制，其中 為(3.26)式所示 為(3.29)式所示，且閉迴路系統軌跡一直被保持 在順滑面上時，則其閉迴路系統響應會等同於同於(3.7)式的無干擾系統只使用 進行控制時的避迴路系統響應。因此，最後我們可知道，我們使用 T-S 模糊模型 進行積分順滑模控制時，會先對 T-S 模糊模型的無干擾系統進行設計，即設計 ， 並使 T-S 模糊模型的無干擾系統達到我們希望的性能表現，而儘管最後我們是將 考慮 T-S 模糊模所設計的積分順滑模控制律代入原始的非線性系統，此非線性系 統受到考慮 T-S 模糊模所設計的積分順滑模控制律控制後，其閉迴路系統軌跡仍 然會與 T-S 模糊模型的無干擾系統使用 控制後的閉迴路無干擾系統軌跡相同。

最後，根據上列分析後我們提出下列定理。

定理 3.1：

考慮非線性二階控制系統(3.1)式，且利用 T-S 模糊模型近似後得其近似之動態系 統(3.7)式，當假設 3.1 到假設 3.3，以及假設 3.6 同時成立，且存在矩陣 P 滿足引 理 2.1 使得假設 3.5 也成立時，則(3.1)式在下列控制律(3.46)式的控制下，原點對 於閉迴路系統為漸進穩定。

= + (3.46)

其中