樣式的相關研究

一、Hargreaves 等人的研究

Hargreaves等人對七至十一歲學童進行研究，瞭解學童在數列推理的表現情 形(Hargreaves, Threlfall, Frobisher, & Shorrocks-Taylor, 1999)。研究中將作業分為 四種類型，受試者面對不同類型之數列樣式，設法分析樣式結構，說明正確數列 型態、規律及尋得樣式的方法。

此 研 究 將 數 列 分 為 線 性 數 列 （ linear sequences ） 、 二 方 數 列 （ quadratic sequences）與費波納齊（Fibonacci）數列。研究發現，受試者能依據不同的數列，

選擇不同的方法解題：

(一)線性數列的解題方法

1.尋找數列中項與項的差距。如數列3,7,11,15,19…中公差為4。

2.注意數列中各個數字的性質，特別是奇數和偶數。如數列3,6,9,12,15…中數字擁 有奇數、偶數、奇數、偶數、奇數的性質。

3.尋找乘法表中的關係。如數列3,6,9,12,15…中每個數字是3的倍數。

(二)二方數列的解題方法 1.尋找數列中項與項的差距。

2.注意數列中各個差距的性質。如數列3,5,9,15,23…中數字的差距為2,4,6,8…皆為 偶數。

3.尋找差距間的差距。如數列3,5,9,15,23…中數字的差距為2,4,6,8…，差距間的差 為2。

4.注意數列中各個數字的性質。

5.尋找乘法表中的關係。

無論是線性數列或二方數列，學童皆須察覺數字，觀察相鄰數字之關係，使

用尋找差距、辨別性質、尋求乘法表之方法，而不論遇到的是等差數列、二方數 列或費波納齊數列，學童最常使用尋找差距為解題策略。二方數列為數列的連續 項的差又形成了另一個數列，因此學童在解決二方數列之問題時，則須使用策略 解析連續項差距間之關係，而年齡愈大的學童越能察覺其關係。

二、Simon 與 Kotovsky 的研究

Simon and Kotovsky（1963）研究文字序列的解題歷程，提出此歷程分為「關 係檢測」、「發現週期」、「完成樣式描述」、「探測答案」四階段。而Holzman, Pellegrion, and Glaser(1983)根據此四階段的歷程，進行數列樣式解題認知歷程研 究，提出解題認知歷程流程圖(如圖2-1)。以下簡述四階段之意義，並以數列樣式 加以說明。

1.關係檢測

受試者對序列進行觀察，以尋找序列的特徵和各元素的關係。在數列 7,20,9,21,11,22,13,23,15,24…中，受試者可能觀察出7,9,11,13,15每項之差距為2 之規律。

2.發現週期

受試者察覺序列中一完整循環的元素個數。由上題之數列中，受試者可能 觀察出每兩個為一個間隔，規律是間隔性產生的。

3.完成樣式描述

受試者察覺元素關係和序列週期後，能以符號表徵表現此序列之規則，而 此規則除可表示已知項目之外，亦可對未知項進行推測。受試者可能觀察出前 一數列7,9,11,13,15每項之差距為2之規律，後一數列20,21,22,23,24每項之差距為 1之規律，兩者穿插形成一數列。

4.探測答案

受試者利用所尋求出之規則，從選項中尋找出適當的答案。由發現之規律

可以推測出接下來的數字為前一數列形成的，以差距為2之規律可得到17，而後 一項為後一數列形成的，以差距為1之規律可得到25。

Holzman et al.(1983)研究中提出影響數列樣式解題難度的因素有運算符號的 類型、運算的複雜度、數列的階層以及週期的長度。而乘除法比加減法難，運算 複雜度高的題目比運算複雜度低的題目難，週期長度在0到3間對解題的結果沒有 明顯的影響，移動數列較非移動數列所需之工作記憶需求量高。

LeFevre and Bisanz(1986)根據Simon and Kotovsky的解題歷程以數列為題材 加以研究，而認為Simon and Kotovsky的解題歷程中的第一階段「關係探測」可 再細分為「記憶數列再辨認」、「計算」、及「檢視」，記憶數列再辨認是指當 受試者接受數列測驗時，會將測驗中之數列與記憶中的數列比較核對，當發現數 列為記憶中熟悉的數列時，則直接由記憶中提取，不需再計算，若數列為記憶中 並不熟悉的數列時，則進入計算的步驟。

圖 2-1 數字系列完成測驗之流程圖 . (引自Holzman et al, 1983: 604）

開始

確定數字關係

關係是 否以循 環的方 式出現

發現週期長度

週期內所 有數字關 係是否皆 能確認

尋找涵蓋週期內 所有數字的關係

檢視答案在週 期中的位置

尋找空 格相對 應的位 置

應用發現之關 係完成答案

結束 關係檢測

發現週期

完成樣式描述

探測答案

否 是

否

否

是

是

三、Sternberg 與Gardner 的研究

1983年Sternberg與Gardner透過Sternberg(1977)提出之類比模式加以探討，認 為在解決諸如「A B C D：E₁或E₂」之類選擇性的系列問題時則需經過編碼

（encoding）、推斷（inference）、映射（mapping）、運用（application）、對照

（comparison）、證明（justification）、反應（response）等七個認知歷程模式(如 圖2-2)。編碼是指將數列中的A、B項次的數字輸入到工作記憶中；推斷是指發現 隱含在兩兩元素之間的關係；映射是指將兩兩元素之間的關係相互比對，以期找 到兩組之間的共同關係；運用是指將發現組間之共同關係，應用到下一項次，並 建構一個預定想法；對照是指將尋找出的想法與心中理想的答案相互比較，以在 E1與E₂兩個選項中找出正確的答案，若其與預定想法相同，則可直接作反應，若 不同，則需重新驗證辨明，再作反應。

李佩玟（2005）以Sternberg and Gardner（1983）的認知歷程為基礎，選擇六 年級學童為研究對象，探討學生在數列樣式的表現，並建立一套數列樣式認知歷 程模式，此模式為編碼、單位化、計算與推論、映射、應用/類化、反應。研究中 發現單一數列之答題正確率顯著高於複合數列，連續項差為加減關係之數列答題 正確率高於倍數關係之數列，低階關係數列之答題正確率顯著高於高階關係數 列。

圖 2-2 系列完成測驗訊息處理歷程 (引自Sternberg and Gardner, 1983: 102）

四、Orton and Orton 的研究

Orton, A., and Orton, J.（1999）對10至13歲學童進行研究，探討學童面對圖 形樣式題時的表現，他們研究學童解決樣式題時，在下一項、第10項、第15項和

(I 為預設想法) 編碼 A

編碼 B

推斷 AB

編碼 C

推斷 BC

映射(A,B)(B,C)

編碼 D

運用 DI

編碼^E1

編碼E₂

對照(1,^E1),(1,^E2)

預備答案的屬性

是否與 I 符合 反應

運用

否

是

第n項的表現情形，將學生的發展分為0~4階段(stage)：

階段 0：沒有進展。

階段 1：能推出下一項。

階段 2：能推出下一項及第 10 項。

階段 3：能推出下一項、第 10 項及第 15 項。

階段 4：能推出下一項、第 10 項、第 15 項及第 n 項。其中，又將階段 4 分成 4a、

4b、4c 三個子階段。階段 4a 以一個正確文字來描述圖形樣式；階段 4b 嘗試用代數式歸納圖形樣式；階段 4c 能使用正確的代數式。

而後，Orton and Orton（1999）再根據學童解題時掌握到項次間之關係，將 學童的發展改以下列5個不同的層次(level)來劃分，依次為：

層次0：沒有進展。

層次1：學生觀察到樣式中具有某些特性，而可描述出部分樣式。

層次2：學生觀察到一個樣式中的特性，但未能完全描述出，故無法推出下一項。

層次3：學生能利用樣式間的差距尋找下一項。

層次4：學生能瞭解樣式關係，且能推論出其他項次，但不一定能以代數式表示。

Orton and Orton(1999)認為樣式規律的活動是學生學習代數的良好題材。

Orten, Orten and Roper(1999)在研究中發現，學童使用三個方法將圖形樣式轉換為 數列樣式：一為直接將全部數量算出成為一數列；二為檢視下一圖比前一圖增加 的部份，數出此部分，而成為數列的差距；此外也有些學生在觀察圖形外觀後，

以其他算式記錄圖形數量。題目的結構會影響學童解題表現，對於不同的問題學 生所達到層次的比例不同。而二方樣式的結構比線性樣式困難，學生在解題時也 可看出二方樣式題型對學生而言比線性樣式困難。

馬秀蘭(2008)根據Orton and Orton（1999）所提的層次，對國小高年級學生進 行線性圖形樣式題的研究，而將層次3再分割為3a和3b，並將其與層次0~4整合為

層次0、1、2、3a、3b、4a、4b、4c，以下對各層次進行說明：

層次0：沒有進展。

層次1：學生注意到圖形樣式的某些特性，可能描述出部分樣式。

層次2：學生注意一個樣式，但能將其描述出，故未能推出下一項。

層次3a：能比較項次間的差異。

層次3b：能比較項次間的差異外，亦可察覺結構間之關係。

層次4a：以一個正確文字來描述圖形樣式。

層次4b：嘗試用代數式歸納圖形樣式。

層次4c：能使用正確的代數式。

五、Bishop的研究

Bishop(2000)以23名七、八年級的學生為研究對象，探討學生在線性幾何圖 形規律的解題表現，將學生的解題表現分為四個層次，分別為：

層次一：以具體操作和點數的方式求得數量，但無法察覺數量中的關係，只能在 簡單的題目裡使用符號。

層次二：能察覺數量中存在某種關係，但常誤用比例方式表現數量關係。

層次三：能察覺數量間的遞迴關係，亦即前項與後項間所具有的規律，並能以有 意義的算則表示。

層次四：能察覺數與其在數列中位置的關係，以一般化表示數量關係，具有代數 思維。

其研究發現能解決圖形樣式問題的學生，通常已瞭解樣式間的規律，而能推 測出較大項的學生，常以代數方式解決樣式問題。

李佩玟（2005）根據Bishop的結果對六年級學童進行研究，發現大多數受試 者採用鄰近或分群策略來解題，進入Bishop所謂的第三層次，少數受試者運用代 數思維解題，已達Bishop (2000)所謂的第四層次。

六、其他研究

Lin and Yang（2004）以分層隨機抽樣的方式，以國一生與國二生為研究母 體，來探討她們在面對線性和二方數列樣式試題的解題表現。研究結果發現，三 分之一以上的學生能夠正確解出線性數列和二方數列的題目，而年級越高解題的 正確率越高。

林世華、葉嘉惠（1999）結合認知成分分析與心理計量分析，對446名高中 二年級學生進行數列樣式測驗。研究結果發現影響數列樣式試題難度的因素有

「是否為移動數列」、「週期長度」、「字串間是否有造假相同的數字」。其中，

移動數列樣式較非移動數列樣式難度高；週期為3~6之數列中，週期長度越長，

試題難度越高；當字串中出現假造相同的數字，及字串數列越多時，皆會使試題

試題難度越高；當字串中出現假造相同的數字，及字串數列越多時，皆會使試題