樣式與數學教育

一、國內的樣式教育

近來受到各國課程改革的影響，國內現行的九年一貫課程以學童為學習的主 體，考量學童智能發展和知識架構而制定，和以往課程內容有所差異。而樣式這 個議題，也在新課程出現。以下便針對九年一貫課程中，與樣式相關之內容進行 探討(教育部，2008)。

(一)五大主題能力指標

九年一貫數學學習領域將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計 與機率」、「連結」等五大主題，各主題中皆有與樣式相關之指標，現將其整理成 表，如表2-1。

表2-1 九年一貫數學學習領域五大主題與樣式有關之能力指標

「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題皆與樣式 有所關聯，不同主題所提及之樣式能力則不同。五大主題中以「代數」與樣式關 係最為密切，涵蓋之指標數量最豐富，許多國家的課程亦將樣式議題列入代數的 範疇中。研究者認為欲發現樣式，須具備「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與 機率」或「連結」的能力，然而，要將樣式做更大的延伸時，「代數」的能力是 不可缺少的。

(二)分年細目

為使教師教學及教科書編輯能明確掌握分年教學的目標，九年一貫數學學習 領域依據年級編擬出分年細目，表2-2中羅列與樣式相關之分年細目。

周淑惠（1999）指出不具有數量運演算法則的重複樣式，常被當作學前幼兒 的教學媒材。由表 2-2 可發現，低年級在學習數量後，除了重複樣式外，加減概 念的結構樣式和簡易的增長樣式皆可成為低年級學習之內容；而中年級瞭解基礎 樣式後，可引入乘除概念的結構樣式，逐漸培養察覺樣式的能力；高年級教材將 涉及形與數的增長樣式和比例概念的結構樣式，提供學生更多元樣式探究的知 識；七八年級則以代數式觀點學習增長樣式，提升抽象思維能力。而不論是幾年 級，樣式議題皆圍繞在生活中，因為生活中無處不是規律，同時也呼應了九年一 貫的精神，要學童在生活中發現數學，將數學運用在日常生活中，以解決問題。

表2-2 九年一貫數學學習領域中與樣式有關之分年細目

(三)能力指標與十大基本能力的關係

PISA 將「數學素養」（Mathematical Literacy）定義為能辨別和瞭解數學在 世界上扮演的角色，並在個人、公眾、教育、職業等不同情境中做出合宜的判斷，

進行邏輯思考，以一個積極、關懷、反省的公民態度，解決生活上出現的數學問 題 (周玉秀，2006；OECD, 2002, 2003)。九年一貫數學學習領域強調學生能連結 數學與各領域，並內化數學思維，以運用數學解決生活中的問題，此與 PISA 理 念不謀而合。表 2-3 列舉九年一貫十大基本能力當中與樣式有關的能力，由此可 觀察出樣式與各能力之相關性。

表2-3 九年一貫數學學習領域中與樣式有關之基本能力

基 本 能 力 能 力 指 標

1.瞭解自我與發展潛能 ‧瞭解自己在數量或形上的能力及思考型態的傾向。

2.欣賞、表現與創新

‧以數學眼光欣賞各學習領域中的規律。

‧領會數學本身的美。

‧以數學有組織、有效地表現想法。

6.文化學習與國際瞭解

‧連結數學發展與人類文化活動間的互動。

‧與其他學習領域(語文、社會、自然與生活科技、

藝術與人文、健康與體育、綜合活動)連結。

7.規劃、組織與實踐

‧組織數學材料。

‧以數學觀念組織材料。

‧以數學語言與數學思維做系統規劃。

9.主動探索與研究

‧形成問題、蒐集、觀察、實驗、分類、歸納、類比、

分析、轉化、臆測、推論、推理、監控、確認、反 駁、特殊化、一般化。

10.獨立思考與解決問題 ‧進行數學式思維。

‧以數、形、量的概念與方法探討並解決問題。

資料來源：教育部（2008）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北：

教育部。

由表2-3可看出十大基本能力中有六項能力與樣式具有關聯性，樣式學習可連 結各領域和文化活動，且能訓練組織能力、思維方式，樣式之重要性可見一斑。

二、國外的樣式教育

(一)美國NCTM《學校數學的原則及標準》

NCTM 於 1989 年公佈了課程綱領，掀起了美國教育改革的熱潮。NCTM 2000 年所提出的《學校數學的原則及標準》將樣式規律視為代數學習的一大重點，對 樣式規律相關內容著墨甚多。其中亦指出，期望學前到 12 年級學生在代數學習 領域能夠達成四個標準，現將此四項標準分述如下(NCTM, 2000)：

1.樣式、關係及函數的暸解

此標準中希望學前到二年級學童能辨識樣式，依據物件之大小、數量、聲 音、圖形等不同性質加以分類和排序，進而辨析出樣式隱含之規律，並創造新 樣式。三到五年級學童能描述、發展樣式，使用文字和數學符號表示樣式通則，

將之ㄧ般化。六到八年級學童能以文字、圖表、符號來表現、歸納、比較樣式 之各式規則，並由圖表或方程式辨別線性及非線性函數。

2.運用代數符號辨析數學的情境與結構

此標準中希望學前到二年級學童能了解約定成俗的符號、交換律和結合律 的性質，並能使用於簡單數字計算中。三到五年級學童能辨識和運用交換律、

結合律以及乘法對加法的分配律等性質，並能利用文字或符號表現樣式中的數 量關係。六到八年級學童能達到不同概念的理解。

3.利用數學模型呈現和了解數量關係

此標準中希望學前到二年級學童能以物體、圖形及符號發展模型以呈現和 解決問題情境。三到五年級學童能將現實世界或數學情境樣式模式化，且能剖 析不同變數間之關係，並瞭解相同情境可創造不同模式。

4.分析和轉換各種情境

此標準中希望學前到二年級學童能觀察和描述量的變化情形。三到五年級 學童能辨別情境中數量變化間的關係和規則。

總括以上敘述，NCTM(2000)期望學童能覺察樣式、描述樣式、推論樣式，

最後將樣式規則通則化。由此也可看出，樣式為學童在數學學習上極其重要的內 容，學童具備發掘、規納和運用規律之能力，是代數學習之利器。

(二)美國新標準之實作標準和「情境數學」

美國「國家教育及經濟中心」與「匹茲堡大學學習研究發展中心」以NCTM 之內容發展出新標準之實作標準，其中代數內容中的四個目標為使用線性樣式解 決問題、辨認非線性樣式、理解並運用兩量間等價關係、瞭解並使用變數表徵物 件(NCEE, 1997)。這些目標要項以樣式表示，並將樣式學習列入代數之學習內涵 中。而在美國威斯康辛大學和荷蘭的福祿丹索共同研發的情境課程(Mathematics in Context, MIC)中亦將樣式的研究列入代數教學的核心目標之ㄧ。這些改革性課 程，皆彰顯了樣式規律在數學學習舉足輕重的特質。

(三)美國加州數學課程綱要

《加州公立學校數學內容綱要》之數學教育的目標中闡述了要培養學生能夠 使用符號、模型等討論數量關係，並做數學推理。其中幼稚園到七年級的課程標 準系統依年級劃分，依學習內涵將數學分為五大主題，各主題中與樣式相關之內 容列表如表2-4至表2-11：

表2-4 加州數學課程綱要幼稚園課程標準中與樣式相關之指標

五大主題 指 標

數字常識 1.0 學生能理解數和量之間的關係（例如，一堆物品在不同的情境下 仍然有相同數量，不會因為它的位置或排列不同而改變）：

1.2 能計數、辨認、表徵、識別或排序某些數量的物件（不超過30）。 代數與函數 1.0 學生能將物件排序(sort)及分類(classify)：

1.1 能依照物件的特性，將物件加以分辨、排序、分類；也能識別 哪些物件不屬於特定的一組。

資料來源：加州的數學課程標準(無日期)。2011 年 03 月 20 日，取自 http://www.

npue.edu.tw/academic/math/hchan/ch21.doc

表2-5 加州數學課程綱要一年級課程標準中與樣式相關之指標

2.1 能辨識、能描述、能延伸樣式，並知道線性樣式(linear patterns) 中會出現的下一項是什麼（例如：4，8，12…；一匹馬的耳朵 數、二匹馬的耳朵數、三匹馬的耳朵數、四匹馬的耳朵數）。

2.2 能解決簡單數字樣式（number patterns）的問題。

數學推理 3.0 學生能注意某個問題與其他問題之間的關聯。

資料來源：加州的數學課程標準(無日期)。2011 年 03 月 20 日，取自 http://www.

npue.edu.tw/academic/math/hchan/ch21.doc

表2-7 加州數學課程綱要三年級課程標準中與樣式相關之指標

五大主題 指 標

數字常識 2.0 學生能計算並能解決加、減、乘、除法的問題：

2.3 能利用乘、除法的互逆關係，計算及驗算。

代數與函數 1.0 學生能選擇適當的符號、運演算法則和性質去表徵、描述、簡化 和解決簡單的數字關係（number relationships）：

1.1 能利用數學式（mathematical expression）、等式或不等式以表 徵數量之間的關係。

1.5 能認識並能使用乘法交換律和結合律的性質 2.0 學生能表徵簡單的函數關係：

2.1 能解決兩個量之間的函數關係的簡單問題。

2.2 能藉由規則(rule)，延伸並找出線性樣式（linear pattern）。 數學推理 1.0 學生能決定如何處理問題：

表2-9 加州數學課程綱要五年級課程標準中與樣式相關之指標

表2-11 加州數學課程綱要七年級課程標準中與樣式相關之指標

五大主題 指 標

數字常識 1.0 學生能利用代數術語、算式、等式、不等式、統計圖表(graph)來 表徵數量關係。

1.5 能用圖表來表徵數量的關係，並能解釋該情境圖表中某特定部 分的意義。

數學的推理 1.0 學生能決定如何處理問題：

1.1 在分析問題時，能藉由辨識關係、區分相關與不相關的資訊、

排列資料的先後次序和觀察樣式。

1.3 能描述一般的數學問題或布題，將數學推測（conjecture）公式 化，並能驗證它。

2.0 學生在求解時，能利用策略、技能和概念：

2.4 能利用歸納、演譯推理來作推測並考驗它。

3.0 學生能將特定問題一般化，進而遷移到其他的情境。

3.0 學生能將特定問題一般化，進而遷移到其他的情境。