第四章 研究結果與討論
第三節 五六年級學生樣式解題方式之分析
本研究樣式測驗中要求學生寫下解題策略，由回收之試卷可發現，每個題目 學生解題的方式不盡相同，故本節羅列答題正確學生之解法，以分析學生解題策 略，並統計使用各方法的人數，將該人數除以測驗總人數，求得百分比，瞭解學 生解題趨向。
一、數列樣式之分析
(一)【題 1】學生之解題策略分析
【題 1】學生之解題策略如表 4-32 所示。
表4-32 【題1】解題策略分析表
下一項時，有 66.67%學生使用所知的最後一項乘上 3 解題；3.5%學生尋找出項
(六)【題 6】學生之解題策略分析
(九)【題 9】學生之解題策略分析
六 (4,7),(7,9),(9,7),(7,14),(14,7), (7,19),(19,7),…( )中數 字之
一、找出 7 為一數列，4,9,14,19,…為一數列，4,9,14,19,…之規律為後項是前項加 5，65.79%學生利用 4,9,14,19 的最後一項加 5 以求解，0.88%學生利用首項加上 項次間的差解題；二、找出 7 為一數列，4,9,14,19,…為一數列，以代數式表示
(十)【題 10】學生之解題策略分析 20,15,11,8,..，項差為 5,4,3,…
6 有的項次除以 2，可得到一新數列 20,15,11,8,..，此數列項次之差為 5,4,3,2…，項 次差的差為 1，以最後一項扣除 2 再乘以 2，即可求解。
二、圖形樣式之分析
根據前述的說明可以發現，使用遞加方法解題的學生比將圖形分組的學生多。
分組的策略解題者，於【題 14】中會維持原來的策略解題。由表 4-44 和表 4-45
數量差間都相差 2，而推論出圖 5 的 數量。根據前述的說明可以發現，使用將
(五)【題 17】學生之解題策略分析
盡相同；另外有 40.35%學生由圖形的變化中，發現後一圖與前一圖 數量的差
【題 18】為求圖 100 的數量，解題成功的學生使用的皆為代數策略，由表 4-49 可知，大約有 45%的學生能使用代數方式解題。而這些學生解題時，有 40.35%
直接由圖形中找出規律，僅 5.26%將圖形轉換為數字再找出其中的規律。研究者 比較學生【題 17】和【題 18】的解題策略發現，在【題 17】中使用分析圖形的 結構，並將圖形分組之策略的解題者，在【題 18】中會維持原來的策略。由表 4-48 和表 4-49 可以發現，解【題 17】時使用遞加方法解題的學生，在【題 18】
中將策略改變為利用圖形分組的方法解題。研究者認為【題 17】中，學生可輕易 由圖形中看出圖 1 至圖 3 的數量，以其數量加上增加的數量，此解法簡易，因此 許多學生選擇此法，然而，【題 18】中需找出圖 100 火柴棒的數量，此時以遞加 方法解題將遭遇困難，因此部份學生能觀察出圖形與序號間的規則，而改變其策 略，若無法發覺圖形或數量與序號間規律的學生，便無法成功解題。
(七)【題 19】學生之解題策略分析
【題 19】學生之解題策略如表 4-50 所示。
表4-50 【題19】解題策略分析表
發現之規律 解法 人數 百分比
25 5
5 72 63.16%
一 圖形構成一個正方形，圖幾即為
邊長， 數量為邊長乘以邊長 以n n列式，將n5
代入 1 0.88%
25 9
16 18 15.79%
二 圖形 數量為 1,4,9,16,…，
相差 3,5,7,… 1357925 3 2.63%
三 後圖比前圖長寬各多一排 16925 2 1.75%
由表 4-50 可知，此題中有 65.79%學生先分析圖形的結構，其中有 64.4%將 圖形視為一正方形，將圖形兩邊視為邊長與邊長，以求正方形面積的方式解題。
此外，有 18.42%學生將圖形轉換為數量，從數量的變化中，發現每一圖增加的數 量呈現一定規則，即數量差距相差 2，而推論出圖 5 的 數量。根據前述的說明 可以發現，使用將圖形視為正方形，以正方形面積解題的學生，比使用遞加方法 解題的學生多。
(八)【題 20】學生之解題策略分析
【題 20】學生之解題策略如表 4-51 所示。
表4-51 【題20】解題策略分析表
發現之規律 解法 人數 百分比
10000 100
100 73 64.04%
一
圖形構成一個正方形，圖幾即為
邊長， 數量為邊長乘以邊長 以n n列式，將n100
代入 1 0.88%
【題 20】為求圖 100 的數量，解題成功的學生使用的皆為代數策略，由表 4-51 可知，大約有 65%的學生能使用代數方式解題。而此題解答時學生皆直接由 圖形中找出規律。學生使用的方法為將圖形視為一正方形，將兩邊視為邊長，以 求正方形面積的方式求得數量。觀察學生解決【題 19】和【題 20】的情形，發 現有些學生解【題 19】時是採用遞加的方式，但解【題 20】時選擇使用正方形 求面積的方法，因為當他們面對【題 20】時將發現正方形求面積的策略比遞加的 方式易於解題，且以遞加的方式可能遭遇解題的困難，此階段的學生未學習過等 差級數，因此若學生無法觀察出正方形之關係，而以遞加方法解題，將陷入解題 的困境。此外，研究者發現有 1 名學生在面對【題 19】時使用5525來求解，
在【題 20】中卻企圖以遞加的方式解題，可見該名學生並未完全觀察出正方形邊 長與圖形序號間的關係，在解【題 19】時，只是發現圖 1 到圖 5 中後一圖比前一 圖多一排，而以5525解題，未能擴展至代數思維。
(九)【題 21】學生之解題策略分析
表4-53 【題22】解題策略分析表
式求和或將和為十的數字先相加等策略解題，可見學生會選擇適當方法解題。
列為一等比級數，若要用數字表示圖 10 的數量須具備指數概念，國小五六年級
表4-57 【題26-2】解題策略分析表
差距去發覺序列間的關係。本研究中，只要求學生找出下一項，絕大多數的學生 是以已知的最後一項計算出下一項，只有少數學生運用代數思維解題。在複合數 列【題9】中，多數學生仍使用尋求差距的方法解題，而因本題兩數列中其中一 數列為相同的數，因此學生若將兩數列相互運算，仍可找出規律。若複合數列為 不同構成方式，如等差數列、等比數列、遞迴數列混合排列，則學生須先將數列 加以分群，才能順利解題。
由研究中發現，【題 14】【題 16】【題 20】能以代數方式解題者有 50%，【題 18】【題 22】能以代數方式解題者有 40%，【題 26-2】能以代數方式解題者只有 13%，而【題 24】能以代數方式解題者則只有 1.75%。因此五六年級學生面對等 差圖形樣式和圖形呈現矩形的圖形樣式，有較多學生能以代數方式解題，但同樣 為等差圖形樣式，學生的表現可能不同；而等比圖形樣式對五六年級學生而言，
最具挑戰性，只有少數學生能以代數方式解題。故本研究認為因試題結構不同，
學生所達層次比例將有所差異，此結果與 Orton and Orton（1999）之看法相同。
此外，研究亦發現學生在解決圖形樣式題時，有些會分析圖形結構，由圖形 中尋找規律，有些則會將圖形數量轉換成數字，再由數字間找尋規則。而學生將 圖形數量轉換成數字的方法中，其一是將每一圖中的數量點數出而轉換為數字，
各圖的數便形成一數列，學生根據數列間的關係尋找所求。再者，學生會先觀察 圖形間的關係，當察覺出圖形的差異，如後一圖比前一圖數量多，則點數多出部 份的數量，將此當作差距。而不論學生是先全部計算出圖形數量，或是只計算後 一圖形多出數量，在求得各數量之後，學生通常會探求這些數量的關係，而觀察 項與項間的差距是學生最常使用的方法。此外，當學生發現圖形的形狀為矩形 時，如【題 15】、【題 16】、【題 19】、【題 20】，則傾向於以求矩形面積的方式求 取圖形數量，並觀察矩形長寬在圖形與圖形間的關係。此發現符合 Orten, Orten and Roper(1999)研究結果。
多數學生在解決線性圖形樣式題和二方圖形樣式題時，有其習慣使用的解題 模式，因此在整份試卷中，使用的策略幾乎一致。當學生選用的策略可解決問題，
則會在此類試題中沿用該法，例如有些學生使用代數法，發現代數法可順利找出 解答，則不斷運用此成功策略；但當學生面臨原來使用的方法無法解題時，便會 尋覓他法，例如有些學生在求圖 5 的試題，慣用加法方式解題，但在求圖 100 的 試題時，就需改變方法，才有助於解題。
陳滿（2002）提出五年級學童在解圖形題時，普遍將圖形先轉換成數列模式，
本研究與之相符。研究中亦發現，學生面對所求是後一項或後兩項，即只需加上 或乘上一兩個數的試題時，偏好以加法或乘法方式解題。但若試題為尋找第 100 圖的數量時，六年級學生較多能變換方式，改為觀察圖形結構之規律，以代數方 式解題，但五年級學生通常仍設法以數列模式解題，而遭遇解題障礙。此外，研 究者認為，學生由專注於數字使用加法策略解題改為觀察圖形結構使用代數法解 題的因素有二：一、因為圖形為具體的，學生以具體的圖形結構觀察分析並推論 圖 100，比分析數字容易；二、五六年級學生還未正式接觸等差級數，因此以此 概念解題，對學生而言難度較高。由此可知學生能自行選擇解題方式，會選擇簡 便的方式解題，當發現此法無法解題時，則會改變策略。
研究者發現同樣的試題中，學生採用的解題法十分多樣化，解題思考的方向 各不相同。黃敏晃(1998)在《數學年夜飯》中提到，一個問題的解法常顯現其多 元的現象，不同的學生常有相異的做法。可見一個數學問題是十分複雜卻又開放 的，學生的想法是豐富而繁盛的。研究者認為不論學生利用何種方式解題，若能 正確解答問題，表示學生已領會出樣式間的規則。