正比單元教材分析與相關研究

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000)在學校數學的原則和標準(Principles and standards for school mathematics)中 指出，比例概念從中年級開始已逐漸成為數學學習中的重點。

一、五大主題能力與分年細目表

教育部於 2003 年所公布，2008 年修定的九年一貫課程數學領域實施綱要中將 數學學習內容分為五大主題，分別為數與量、幾何、代數、統計與機率及連結，

其中數與量與幾何主題所包含的學習內容多為正比單元的範疇（教育部，2008）。 表 2-1

九年一貫數學課程正比單元能力指標

能力指標編號 能力指標內容

N-3-14 能認識比率及其在生活中的應用。

N-3-15 能認識比、比值與正比的意義，並解決生活中的問題。

N-4-03

能理解比例關係、連比、正比、反比的意義，並解決生活中 的問題。

N-4-04 能熟練比例式的基本運算。

(續下頁)

能力指標編號 能力指標內容

S-3-04

能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並 認識比例尺。

A-4-01

能用符號代表數，表示常用公式、運算規則以及常見的數量 關係(例如：比例關係、函數關係)。

A-4-04

能理解生活中常用的數量關係(例如：比例關係、函數關 係)，恰當運用於理解題意，並將問題列成算式。

資料來源：教育部（2008）。97 年國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市。

正比單元能力指標內容多為解決日常生活中的問題與生活中的應用相關，而 能力指標多為數與量與幾何二大主題。其中數與量在國民教育的數學課程中具有 最重要的位置（教育部，2003）。Clements 和 Battista(1992)指出幾何不但可作為其 他數學或科學主題的工具，加強幾何的概念亦可提高高層次的數學創造和思考能 力。由此可瞭解正比單元學習的重要性。

表 2-2

九年一貫數學課程正比單元分年細目

分年細目編號 分年細目內容

5-n-14 能認識比率及其在生活中的應用(含「百分率」、「折」)。

6-n-09 能認識比和比值，並解決生活中的問題。

6-n-10 能理解正比的意義，並解決生活中的問題。

6-s-02

能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度的影響，並認識比 例尺。

7-n-13

能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有 關比例的問題。

(續下頁)

分年細目編號 分年細目內容 7-n-14 能熟練比例式的基本運算。

7-n-15

能理解連比、連比例式的意義，並能解決生活中有關連比例 的問題。

9-s-04 能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述。

9-s-05 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。

資料來源：教育部（2008）。97 年國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市。

由九年一貫課程數學領域實施綱要中有關正比單元的分年細目課程設計可得 知，五到九年級的學生皆需具備正比的觀念，而分年細目表內容以生活經驗為重 心，培養學生運用正比觀念解決生活中的各式問題。

正比單元相關研究整理可發現，國小學童在學習「正比」單元時是有學習困 難的，當學童致力於較為困難的問題解決時，將以過往的解題經驗，找出線索並 以對應的解題方法進行解題（張幼賢，2003），因此正比單元適合作為多重解題策 略的診斷測驗。在解題策略相關研究整理方面可發現，國小學童在解正比單元題 目時較常運用倍數法、單價法、公式法、累加法等解題策略。在錯誤類型相關研 究整理可發現，國小學童在解正比單元題目時較常產生比例項錯置、公式運用錯 誤、加法策略、未計算完成、任意運算等錯誤類型。表 2-3 為國內正比單元之相 關研究整理，表 2-4 為國內正比單元解題策略相關研究整理，表 2-5 為國內正比 單元錯誤類型相關研究整理，以下將針對研究者與研究發現依序說明。

表 2-3

正比單元相關研究整理

研究者 研究發現

蔡妃妃 (2012)

國小六年級學童在比例單元概念的形成較為延遲。

曹秀如 (2011)

（一）六年級學生答對率小於 35%的數學概念，

1.以倍數關係算出比值。

2.能列出含有未知數之比例式並完成解題。

3.判斷兩數量是否成正比。

4.能找出比值相同的兩數量之關係並完成解題。

（二）六年級學生出現比率高於 50％的迷思概念為：

1.將求比值誤以為求比。

2.轉換整數比時計算錯誤。

3.比例項錯置。

4.比例式公式運用錯誤。

5.無法判斷兩變量成正比例時具有相同比值。

洪玉蓉 (2006)

學生在進行正比單元題目解題時，不善使用比的概念進行解題，而 會已過往經驗如乘法、加法等概念進行進題，而其中低程度的學生 又以倍數與比、比值做轉化的概念理解，有著學習困難。

黃寶彰 (2002)

學生在正比單元的主要學習困難在於應用比和比值的概念進行解 題，以及應用比例進行比的大小判斷。

資料來源：研究者自行整理

表 2-4

正比單元解題策略相關研究整理

研究者 研究發現

王中瓔 (2013)

以潛在類別分析(latent class analysis, LCA)分群每道試題的受試者，

第Ⅰ群主要採用的解題規則皆為公式法，其次為倍數法與單價法；

表 2-5

正比單元錯誤類型相關研究整理

研究者 研究發現

李凱雯 (2013)

國小六年級學童比例問題錯誤共有：

(一)加法策略。

(二)忽略問題部份資訊。

(三)任意運算。

(四)誤解題意。

(五)計算錯誤。

(六)母子問題類型不清楚。

(七)個數與重量的平衡觀念不清楚。

(八)不熟公式解題方法。

(九)公式前後項位置錯置。

(十)未計算完成。

(十一)僅列式未計算與空白。

曹秀如 (2011)

六年級學生出現比率高於 50％的迷思概念為：

(一)比值概念不清—將求比值誤以為求比。

(二)轉換整數比時計算上的錯誤—十進位位數錯誤。

(三)比例項錯置。

(四)比例式公式背錯。

(五)未能判斷兩變量成正比例時，其所有對等關係具有相同比值。

(六)不知兩變量成正比例時，其關係圖為過原點的一直線。

(續下頁)

研究者 研究發現

傅宗聖 (2007)

兒童解比例問題造成的迷失歸納有：

(一)加法策略

(二)忽略問題部份資訊 (三)任意的運算

(四)誤解題意與計算錯誤 資料來源：研究者自行整理